第五节简单拉压超静定问题
拉压超静定
简单的拉、压超静定问题
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§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
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D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
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二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
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A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
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A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
拉压超静定
1 2
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得
l1 y sin x cos
y
x
A x
整理得
l2 x l3 y sin x cos
变形关系为 l3 l1 2l2 cos
l1
l2
l3
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得 F F cos 2 F FN 1 FN 2 N3 1 2 cos 3 1 2 cos 3 3
拉、压超静定问题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
2
拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 Fx 0 FN1 FN 2
y
F
0 2FN1 cos FN 3 F
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717F W W AW
拉压超静定问题
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
6.1拉压超静定问题
A 简图 N A
C P
P 为什么画轴力图? 应注意什么? + x
轴力的简便求法: 轴力的简便求法: 以x点左侧部分为对象,x点的内力N(x)由下式计算:
N ( x ) = ∑ P (←) − ∑ P (→)
其中“ΣP( )”与“ΣP( )”均为x点左侧与右侧部分的 所有外力。
例11 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 解： 、平衡方程: B 3 1 D C 2 N3
∑X
= N 1 sin α − N 2 sin α = 0
[σ ] 1 A1 N1 ≤ P= 0 .07 0 .07
160× 308.6 = 705.4kN = 0.07
另外：若将钢的面积增大 倍 怎样？ 另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的边长变为25mm，又怎样？ 若将木的边长变为 边长变为 ， 怎样？ 结构的最大载荷永远由钢控制着。 结构的最大载荷永远由钢控制着。
Α1=5cm2 ， Α2=10cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 a (线膨胀系数α =12.5× 10 −6 / oC N1 a 弹性模量E=200GPa) 解： 、平衡方程： ；
∑Y = N − N
1
2
=0
、几何方程： a
∆L = ∆LT − ∆LN = 0
N2
、物理方程
∆ LT = 2 a ∆ Tα ;
1 A 3 D
2
B 1
α α
C 2
∑ ∑Y = N1 cosα + N2 cosα − N3 = 0
材料力学 简单的超静定问题
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
拉伸、压缩超静定问题
定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。
拉压超静定
A 1 B 2
FN1
D
FN2 F
D
3 C h
FN3
F
平衡方程为
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0
这是一次超静定问题
A 1 B 2
1 D
E
l3
D3
l2
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0 l1 l3 2 l2 cos
A 1 B 2
D
物理方程为
FN1l1 FN1h l1 EA EA cos FN2l2 FN2h l2 EA EA FN3l3 FN3h l3 EA EA cos
2.10 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及求解方法 静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, 这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部 未知力, 这种情况称做超静定问题。
超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数 的数目, 称作超静定的次数。
2.10 拉伸、压缩超静定问题 变形协调方程: 在静不定问题中, 各部分变形之 间必存在相互制约的条件, 这种条件称为变形相 容条件(变形协调方程)。
2 FN1 3 FN2 6 F
这是一次超静定问题
(2) 画变形几何关系图 建立变形几何方程
变形协调条件为： 梁 ABCD 绕 铰 链 A 转 动 , ①、② 两杆仍与其铰接
d C 2d B
②
A a
60º B
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
工程力学(马浩)拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律） 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
α
F
几何方程为
∆l1 +∆l3 = 2 l2cosα ∆
A
α
1
1
∆l3
B 2
α α
D
β
E
α α
D
∆l2
C
D1
3
2
P
H
∆l1
3
G
D
'
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
α
N 2l2 N 2 H = ∆ l2 = EA EA
N 3 l3 N3 H = ∆ l3 = EA EA cosα
3 3 2 1
2
1
l
B
a C
a A
C
B
A
∆l 3
C′
∆l 2
B′
∆l1
A′
G (4) 联立平衡方程与补充方程求解
N1+ N2 + N3 −G=0 N1⋅ 2a + N2⋅a =0 N1+ N3 = 2N2
x =0
G N1 = − 6 G = N2 3 5 G N3 = 6
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
F
A
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
工程力学-简单的超静定问题
根据前面的分析可知，杆件在轴 向的总变形应包括两部分：
工程力学
第十章 简单超静定问题
（1）由于温度变化引起的变形：此处温度升高
t℃，若B处刚性支撑假想地去除，则杆件可以
“自由”地伸长，设伸长量为lt
（2）由于B处的刚性支撑并没有真的去除，而是这个刚
性支撑为抵抗由于温度升高引起的变形而产生了一个约
束反力 FNB 正是这个约束反力的存在，使得杆件没有产 生真正的伸长，根据相对性原理，相当于这个约束反力
1
2
1
A
A
B
（a）
图10.5
2 B
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，如图
10.6a所示，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆 要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点，如图10.6b所示。 因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在 载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称 为装配应力，有时也称之为初应力。
试求温度升高 t ℃时杆内的温度应力。
。
图10.8
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：第一步，受力分析，如图10.8b所示，列写平 衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
（a）
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。由于杆件两端 是刚性支撑，可想而知，杆件在轴向的总变形量应该为零：
l 0
（b）
工程力学
第十章 简单的超静定
问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
第十章 简单超静定问题
§10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题
简单的超静定问题 超静定问题及其解法
( wB ) FBy
C C F F
8FBy a 3 3EI
(b) (b)
B B
所以
3 14 Fa 3 8FBy a 0 3EI 3EI
MA
MA MA
A A
B B (c) (c) B B B (d) (d) FBy FBy
FA y
A A A
C C
7 FBy F 4
4）由整体平衡条件求其他约束反力
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
§6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立 的平衡方程数。 超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。 变形几何相容方程：有多余约束的存在，杆件（或 结构）的变形受到多于静定结构的附加限制。根据 变形的几何相容条件，建立附加的方程。
7-6
目录
采用超静定结构
MA MA FA y FA y
A A 2a 2a (a) (a) A A
B B a a
F F
C C
例 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。 解：
1）判定超静定次数
(b) (b)
B B F F FBy FBy B B B
C C
2）解除多余约束，建立相当系统 3）进行变形比较，列出变形协调 条件
FN1 FN 2 33.3kN
FN 2 2 33.3MPa A2
FN 1 1 66.7MPa A1
例：设温度变化为t，1、2杆的膨胀系数为1， 3杆
的膨胀系数为3，由温差引起的变形为l= •t •l,
求各杆温度应力。
简单超静定问题
05
案例分析
案例一：简支梁的超静定问题
总结词
简支梁的超静定问题通常涉及到梁的弯曲变形和剪切变形，需要利用材料力学和弹性力学的基本原理进行分析。
详细描述
简支梁的超静定问题是指具有简支边界条件的梁在受到外力作用时发生的弯曲变形和剪切变形。这类问题需要考 虑梁的弯曲刚度和剪切刚度，通过建立力和位移的关系来求解。在分析过程中，需要利用材料力学和弹性力学的 基本原理，如弯曲理论、剪切理论等，来推导梁的位移和内力分布。
机械系统的超静定问题
机械系统的超静定问题主要涉及到复杂机械装置和设备，如多自由度机构、柔性 机构和机器人等。这些机构的运动学和动力学特性需要采用超静定分析方法来准 确描述。
超静定问题在机械设计中具有重要意义，通过对机械系统的超静定分析，可以更 好地了解机构的运动性能、动态响应和稳定性等，有助于优化设计并提高机械设 备的性能和可靠性。
超静定问题在桥梁设计中具有重要意义，因为它们能够提供 更精确的结构内力和变形分析，有助于优化设计并提高结构 的安全性和稳定性。
建筑物的超静定问题
建筑物的超静定问题主要涉及到高层建筑、大跨度结构和 复杂结构体系等。这些结构的几何非线性和材料非线性使 得传统的静力分析方法无法得到准确的结果。
超静定问题在建筑设计中同样重要，通过对建筑物的超静 定分析，可以更好地了解结构的动力响应、地震作用和风 荷载等，从而优化设计方案，提高建筑物的安全性和稳定 性。
02
03
解析法
通过建立系统的平衡方程 和多余约束力的方程，求 解未知数的方法。
试算法
通过尝试不同的解法，逐 步逼近最优解的方法。
迭代法
通过不断迭代修正解的方 法，直到满足精度要求为 止。
03
简单的超静定问题
M A Me M B 0
Me MB
A
C
B
2、变形协调方程
B 0
即
BM BM 0
e B
Me
MB
A
C
B
3、补充方程
BM
e
M e a GI p
BM
BM Bl GI p NhomakorabeaM e a M Bl 0 GI p GI p
M ea MB l
4、联立解得
3、物理方程
FN 1l l1 EA FN 3 l l 3 EA FN 2 l l 2 EA
得
FN 1 FN 2 FN 3
F 12 F 3
C′
补充方程 FN 1 FN 3 2FN 2
7F 12
例题3：如图所示结构，杆①、②的刚度为EA，梁BD 为刚体，载荷F=50kN，许用应力[s]160MPa。试确 定各杆的横截面积。 解： 1、确定各杆内力 取横梁为研究对象 平衡方程
FB aEAT
由平衡方程得 FA FB aEAT
例题5：如图所示结构，三杆的刚度均为EA，杆③的长 度比设计长度l短了d。试求装配后各杆的轴力。
A
D
① ③ a a C′ C l2 ②
B
解：对称结构，内力对称 变形协调方程
l1 d l 3 cos a
l
d
l3 l1
lt a1 T l1 a 2 T l 2
A
l1
C
l2
B
约束力产生的变形
l FB FB l1 F l B2 E1 A1 E2 A2
lt
FB
变形协调方程
工程力学—简单超静定问题
杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1．熟练掌握拉（压）杆变形计算2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算二、 内容提要1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。
当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即EAlF l N ⋅=∆ （4.1） 图 4.1式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。
显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。
公式（4.1）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。
当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。
即∑==∆ni ii i N A E l F l i 1（4.2）当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 ()()⎰=∆lN x EA dxx F l 0 （4.3）2．拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。
这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。
超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。
解题步骤： （1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。
超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。
第五节 简单拉压超静定问题
第五节简单拉压超静定问题在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。
(a) (b)图5-25图5-26在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。
这类问题称为超静定问题或称静不定问题。
未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。
例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。
显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。
求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。
下面通过例题说明超静定问题的解法。
例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。
在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
图5-27解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程得 （a ）上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。
显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为根据虎克定律，得到=，，，代入上式得到变形的几何方程为整理后得（b ）将式（a ）代入式（b ），可解得作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。
拉压超静定问题
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
9-简单超静定结构的解法解析
例4 两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需 将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆 的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知： 钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的 弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其 变形可略去不计。
最后，补充方程变为
7 qa4 FNa3 FNl 12 EI EI EA
解得
FN
7qa4 A 12(Il Aa3 )
B
D
在静定问题中，只会使结构的几 何形状略有改变，不会在杆中产生 附加的内力。如1杆较设计尺寸过长， C 仅是A点的移动。
3
1 aa
2
A''
A'
e
A
在超静定问题中，由于有了多余 约束，就将产生附加的内力。
附加的内力称为装配内力,与之相 应的应力则称为装配应力,装配应力 是杆在荷载作用以前已经具有的应 力，也称为初应力。
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2)温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
与之相应的应力则称为温度应力。
M x 0, M A M B M e 0
变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基 本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
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第五节简单拉压超静定问题
在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。
(a) (b)
图5-25
图5-26
在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。
这类问题称为超静定问题或称静不定问题。
未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。
例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。
显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。
求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。
下面通过例题说明超静定问题的解法。
例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。
在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
图5-27 解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程
0,0=-+-=∑X B A R P P R
得 B A R R = （a ）
上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。
显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为
0=∆+∆+∆DB CD AC l l l
根据虎克定律，得到AC l ∆=EA l R A -，=∆CD l EA l R P A )(-，=∆DB l EA l R B
-，代入上式得到变形的几何方程为
0)(=--+-EA l R EA l R P EA l R B A A
整理后得
P R R B A =+2 （b ） 将式（a ）代入式（b ），可解得
3P R R B A =
=
作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。
例5-9 图5-28a 所示结构中，已知杆1、杆2和杆3的抗拉刚度均为EA ，角030=α， 重物G=38kN ，试求各
杆所受的拉力。
(a) (b) (c)
图5-28
解：（1）列平衡方程
在重力G 作用下，三根杆均被拉长，故可设三杆均受拉力，节点A 的受力图如图5-28b 所示，列平衡方程： ΣX=0， 0sin sin 21=+-ααN N F F
ΣY=0， 0cos cos 321=-++G F F F N N N αα
整理得到
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=033121G F F F F N N N N （1）
（2）变形几何关系
由图5-28c 可以看到，由于结构左右对称，杆1、2的抗拉刚度相同，所以节点A 只能垂直下移。
设变形后各杆汇交于A’点，则3l A A ∆='。
以B 点为圆心，杆1的原长BA 为半径作圆弧并与BA’相交，BA’在圆弧以外的线段即为杆1的伸长1l ∆，由于变形很小，可用垂直于BA’的直线AE 代替上述弧线，且仍可以认为030=='∠αD A B 。
于是
αcos 31l l ∆=∆ （2）
（3）物理关系
由虎克定律，得到
EA l F l EA l F l N N 3
33111,=∆=∆ （3）
（4）补充方程
将物理关系式（3）代入几何方程（2），得到解该超静定问题的补充方程
αcos 3311EA l F EA l F N N =
将αcos 13l l =代入上式，整理得到α231cos N N F F =，即
3175.0N N F F = （4）
（5）求解各杆轴力
联立求解补充方程（4）和平衡方程（1），可得
kN
5.16175.033=+⨯=G
F N ,
21N N F F ==
对于超静定结构，由于制造误差会造成装配应力，温度变化会造成温度应力。
我们知道，所有构件在制造中或多或少都会有一些误差，这种误差，在静定结构中不会引起任何内力及应
力。
而在超静定结构中则有不同的特点。
例如图5-29所示的三杆桁架结
图5-29
构，如果杆3制造时短了δ，为了将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆1、2压短，这种强行装配使杆3中产生拉应力，杆1、2中产生压应力。
这种由于装配而引起的杆内应力，称为装配应力。
装配应力是在载荷作用前结构中已经具有的应力，因而是一种初应力。
这种应力的存在，有时是不利的，它会降低构件承受载荷的能力，但有时又可以利用它来达到一定的目的。
例如轮毂和轴的紧配合就是有意识地利用与装配应力相应的变形，来防止轮毂和轴的相对转动；预应力钢筋混凝土构件，也是利用装配应力来提高其承受载荷的能力。
在工程实际中，构件往往会遇到温度变化，从而引起构件热胀冷缩的温度变形。
在静定结构中，构件可以自由
变形，故温度改变不会在构件内产生应力。
例如图5-25a 、图5-26a 所示的杆，如果全杆各点处温度均上升了ΔT 0C ，
则杆件因热胀而伸长，但不会产生应力。
然而在图5-30a 所示的超静定结构中，如果杆AB 的温度发生变化，由于有了多余的约束，在杆内将出现温度应力。
设温度变化前杆AB 长度正好合适，如果全杆各点处温度均上升了
图5-30
ΔT 0C ，设想此时只有一个支座A ，则杆应伸长L T L t ⋅∆=∆α，其中α为材料的线膨胀系数。
但由于两端均受到刚性支座的约束，杆的长度不能改变。
因此，杆的两端必受到来自支座的轴向压力P ，使杆缩短了ΔL P (t L ∆=)而回到原长L （图5-30c ）。
同时在杆内产生了应力
L L E P T ∆=σ。
这种由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应
力，其计算式为 T E T ∆=ασ (5-11)
碳钢的C /1105.1206-⨯=α，E=200GP a 。
所以
a a 96MP 2.5P 10200105.12T T T ∆=∆⨯⨯⨯=-σ
可见当温度变化T ∆较大时，T σ的数值便非常可观。
为了避免过高的温度应力，在送热管道中可以增加伸缩节
（图5-31）；在铁路钢轨各段之间留有伸缩缝，以削弱对钢轨膨胀的约束，降低温度应力；铁路桥梁一端用固定铰链支座，另一端采用可动铰链支座（图5-32），可以避免桥梁水平方向的温度应力。
图5-31 图5-32。