贝叶斯决策例题
贝叶斯决策例题
例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。
假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。
根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。
为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。
从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。
问如何进行决策。
解：采用贝叶斯决策方法。
(1)先验分析根据已有资料做出决策损益表。
根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。
（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。
从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。
预报天气好的概率1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31预报天气坏的概率2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：111111()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.8/0.31=0.77预报天气好而天气坏的概率：212211()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.1/0.31=0.23预报天气坏而实际天气好的概率:121122()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.2/0.69=0.09预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.9/0.69=0.91上述计算可以用表格表示：③ 后验决策：若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E （X1）=3.62若气象中心预报天气不好（x2），各方案的最大期望收益值 E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2④ 计算补充信息的价值：得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842则补充的信息价值为：EMV*(后)-EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。
2024年高考数学贝叶斯统计与推理历年真题
2024年高考数学贝叶斯统计与推理历年真题2024年高考数学真题第一题：（3分）已知事件A与事件B独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4。
求P(A|B)。
解答：根据贝叶斯定理，有P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)。
由于事件A与事件B独立，所以P(B|A) = P(B)。
代入已知条件，P(A|B) = (P(B) * P(A)) / P(B) = P(A) = 0.6。
第二题：（4分）某医院进行乳腺癌筛查，根据历年数据统计，该筛查方法的阳性率为85%，同时，已知乳腺癌的发病率为1%。
对于新来的患者，她的筛查结果为阳性，请问她真的患有乳腺癌的概率是多少？解答：设事件A为患有乳腺癌，事件B为筛查结果为阳性。
根据贝叶斯定理，求解P(A|B)。
已知P(B|A) = 0.85，P(A) = 0.01，求P(A|B)。
根据贝叶斯定理，有P(A|B) = (P(B|A)*P(A)) / P(B)，代入已知条件进行计算，得到P(A|B) = (0.85*0.01) / (0.85*0.01 + 0.15*0.99) ≈ 0.053。
第三题：（5分）某机场对通过安检的旅客进行毒品筛查。
根据统计数据，已知在旅客中约0.5%携带毒品，而安检机器能够正确识别携带毒品的旅客的概率为90%，不携带毒品的旅客有10%的概率被识别为携带毒品。
现在，有一位旅客被安检机器识别为携带毒品，请问他实际携带毒品的概率是多少？解答：设事件A为旅客携带毒品，事件B为安检机器识别结果为携带毒品。
根据贝叶斯定理，求解P(A|B)。
已知P(B|A) = 0.90，P(A) = 0.005，求P(A|B)。
根据贝叶斯定理，有P(A|B) = (P(B|A)*P(A)) / P(B)，代入已知条件进行计算，得到P(A|B) = (0.90*0.005) / (0.90*0.005 + 0.10*0.995) ≈0.043。
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式是一种计算条件概率的公式，常用于根据已知条件更新某个事件发生的概率。
下面是一个贝叶斯公式的典型例题：
例：假设有两种类型的围棋棋手，分别是专业棋手和业余棋手。
专业棋手在比赛中获胜的概率为0.9，而业余棋手获胜的概率为0.3。
已知在所有棋手中，专业棋手占70%，业余棋手占30%。
现在有一场比赛，我们只知道其中一位棋手获胜了，那么这位棋手是专业棋手的概率是多少？
解：首先，我们定义以下事件：
•A：棋手是专业的
•B：棋手获胜
根据题意，我们知道：
•P(A) = 0.7（专业棋手占比）
•P(¬A) = 0.3（业余棋手占比）
•P(B|A) = 0.9（专业棋手获胜的概率）
•P(B|¬A) = 0.3（业余棋手获胜的概率）
我们要找的是P(A|B)，即在已知棋手获胜的条件下，棋手是专业的概率。
根据贝叶斯公式，我们有：
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(¬A) \times P(B|¬A)}将已知的概率值代入公式中，我们得到：
P(A|B) = \frac{0.7 \times 0.9}{0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.3} = \frac{0.63}{0.63
+ 0.09} = \frac{0.63}{0.72} = 0.875
所以，在已知棋手获胜的条件下，这位棋手是专业棋手的概率为0.875。
这个例题展示了贝叶斯公式在更新条件概率方面的应用。
通过已知的概率值和贝叶斯公式，我们可以计算出在给定条件下的未知概率。
贝叶斯博弈例子
贝叶斯博弈例子
以下是 8 条关于贝叶斯博弈例子：
1. 你想想在牌桌上呀，就像咱打牌的时候，你先根据对手前面出的牌来判断他手里大概有啥牌，这不就是贝叶斯博弈嘛！比如说你看到对手老是出小牌，那是不是大概率他手里大牌不多呀！
2. 去商场买东西砍价也有点这个感觉呢！你看商家报价，然后根据他的态度和表情猜测他的底线，这也是一种贝叶斯博弈嘞！要是他看起来很犹豫，那是不是代表咱还能往下砍砍价呀！
3. 在求职面试的时候呀，你得根据面试官的提问和反应来调整自己的回答策略，这难道不是贝叶斯博弈吗？好比面试官一直追问某个问题，那就得想着更深入地回答呀！
4. 学生时代考试猜答案也能算呢！当你不确定一个题目的答案时，根据以往对这类题目的了解去猜测，这不是贝叶斯博弈是啥呀！哎呀，要是以前做过类似的，那猜对的几率不就大多啦！
5. 谈恋爱的时候其实也有哦！你通过对方平时的言行举止来判断他的喜好和想法，这算不算是在进行贝叶斯博弈呢？比如说他总提到某个东西，那是不是表示他可能很喜欢呀！
6. 参加比赛的时候呀，观察对手的表现来调整自己的战术，这就是活生生的贝叶斯博弈呀！要是看到对手有个弱点，那不就得抓住机会嘛！
7. 玩游戏抢地盘的时候呢，根据其他玩家的行动来决定自己该怎么行动，不也是贝叶斯博弈嘛！他们都往左边去了，那右边是不是咱的机会就来了呀！
8. 去市场买菜的时候呀，看着菜的品质和价格，还有老板的态度，来决定要不要买，这就是一种贝叶斯博弈嘛！要是老板很热情，菜看着也不错，那咱肯定更愿意买啦！
我觉得贝叶斯博弈在我们生活中可太常见了，很多时候我们都在不知不觉中运用着它呢！。
贝叶斯博弈例题及答案
贝叶斯博弈例题及答案在游戏理论中，贝叶斯博弈是一个重要的概念，它是游戏理论在实际应用中使用博弈模型考虑比较复杂系统中的市场行为。
在贝叶斯博弈中，每位参与者都有一定的概率估计其未知变量的状态。
在这种情况下，每个参与者都将利用这些估计的概率，以某种程度上有利于其自身的方式玩游戏。
贝叶斯博弈也可以用于分析多个玩家或者博弈者之间的交互行为，并评估玩家的决策是否是最优的，以及如果有必要的话，改善玩家的行为。
下面我们将介绍一些典型例题，以便大家来学习和理解贝叶斯博弈。
例题一：假设Alice和Bob正在玩一个回合制的博弈游戏，其中Alice有攻击和防守两种行为，Bob有反击和缩减两种行为，他们同时选择行为时，Alice的最终的分数等于Alice的行为加上Bob的反击和Bob 的缩减。
答案：一般情况下，Alice和Bob之间的贝叶斯博弈是一个多阶段博弈模型，Alice首先选择行为，随后Bob选择反击和缩减，之后Alice计算最终得分（Alice的行为加上Bob的反击和缩减）。
Alice 在决定行动时，可以根据Bob的行为应用贝叶斯博弈模型来估计Bob 会怎么反应，从而决定自己使用什么样的行动。
同样，Bob也可以应用贝叶斯博弈模型，估计Alice的行为来决定自己的行动。
例题二：现在Alice和Bob正在玩一个抢夺食物的游戏，游戏中Alice和Bob可以选择攻击或逃跑，如果Alice攻击了Bob，而Bob却逃跑了，Alice将获得所有的食物；如果Alice逃跑了，而Bob攻击了Alice，那么Bob将获得所有的食物；如果两者都攻击，则每人都获得一半的食物。
答案：在这种情况下，Alice和Bob可以用贝叶斯博弈模型推断彼此的行为，来决定自己的行动。
Alice可以根据Bob的行动准确预测Bob会选择什么样的行动，来决定自己是攻击还是逃跑；Bob也可以根据Alice的行动准确预测Alice会选择什么样的行动，来决定自己是攻击还是逃跑。
贝叶斯决策例子
贝叶斯决策练习某石油公司拟在一片估计含油的荒地上钻井。
如果钻井，费用为150万，若出油的概率为0.55，收入为800万元；若无油的概率为0.45，此时的收入为0。
该公司也可以转让开采权，转让费为160万元，但公司可以不担任何风险。
为了避免45％的无油风险，公司考虑通过地震试验来获取更多的信息，地震试验费用需要20万元。
已知有油的情况下，地震试验显示油气好的概率为0.8，显示油气不好的概率为0.2；在无油条件下，地震显示油气好的概率为0.15，而显示油气不好的概率为0.85。
又当试验表明油气好时，出让开采权的费用将增至400万元，试验表明油气不好时，出让开采权费用降至100万元，问该公司应该如何决策，使其期望收益值为最大。
解：该公司面临两个阶段的决策：第一阶段为要不要做地震试验，第二阶段为在做地震试验条件下，当油气显示分别为好与不好时，是采取钻井策略还是出让开采权。
若用A 1表示有油，A 2表示无油；用B 1表示地震试验显示油气好，B 2表示地震试验显示油气不好。
由题意可知：1211211222()0.55 ()0.45(|)0.8 (|)0.2(|)0.15 (|)0.85P A P A P B A P B A P B A P B A ======由贝叶斯公式计算得到：11111111212()(|)0.440.44(|)0.867()(|)()(|)0.440.06750.5075P A P B A P A B P A P B A P A P B A ====++ 同理，有： 2112220.0675(|)0.1330.50750.11(|)0.2230.49250.3825(|)0.7770.4925P A B P A B P A B ======该问题对应的决策树图采用逆序的方法，先计算事件点②③④的期望值：事件点 期望值② 800×0.867＋0×0.133＝693.6（万元）③ 800×0.223＋0×0.777＝178.4（万元）④ 800×0.55＋0×0.45＝440（万元） 在决策点2，按max[(693.6-150)，400]＝543.6万元，故选择钻井，删除出让开采权策略； 在决策点3，按max[(178.4-150)，100]＝100万元，故选择出让开采权，删除钻井策略； 在决策点4，按max[(440-150)，160]＝290万元，故选择钻井策略。
贝叶斯决策例子
贝叶斯决策练习某石油公司拟在一片估计含油的荒地上钻井。
如果钻井，费用为150万，若出油的概率为0.55，收入为800万元；若无油的概率为0.45，此时的收入为0。
该公司也可以转让开采权，转让费为160万元，但公司可以不担任何风险。
为了避免45％的无油风险，公司考虑通过地震试验来获取更多的信息，地震试验费用需要20万元。
已知有油的情况下，地震试验显示油气好的概率为0.8，显示油气不好的概率为0.2；在无油条件下，地震显示油气好的概率为0.15，而显示油气不好的概率为0.85。
又当试验表明油气好时，出让开采权的费用将增至400万元，试验表明油气不好时，出让开采权费用降至100万元，问该公司应该如何决策，使其期望收益值为最大。
解：该公司面临两个阶段的决策：第一阶段为要不要做地震试验，第二阶段为在做地震试验条件下，当油气显示分别为好与不好时，是采取钻井策略还是出让开采权。
若用A 1表示有油，A 2表示无油；用B 1表示地震试验显示油气好，B 2表示地震试验显示油气不好。
由题意可知：1211211222()0.55 ()0.45(|)0.8 (|)0.2(|)0.15 (|)0.85P A P A P B A P B A P B A P B A ======由贝叶斯公式计算得到：11111111212()(|)0.440.44(|)0.867()(|)()(|)0.440.06750.5075P A P B A P A B P A P B A P A P B A ====++ 同理，有： 2112220.0675(|)0.1330.50750.11(|)0.2230.49250.3825(|)0.7770.4925P A B P A B P A B ======该问题对应的决策树图采用逆序的方法，先计算事件点②③④的期望值：事件点 期望值② 800×0.867＋0×0.133＝693.6（万元）③ 800×0.223＋0×0.777＝178.4（万元）④ 800×0.55＋0×0.45＝440（万元） 在决策点2，按max[(693.6-150)，400]＝543.6万元，故选择钻井，删除出让开采权策略； 在决策点3，按max[(178.4-150)，100]＝100万元，故选择出让开采权，删除钻井策略； 在决策点4，按max[(440-150)，160]＝290万元，故选择钻井策略。
贝叶斯判别习题[整理]
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1.办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。
按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为0.5。
坏人总是要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，一天，小王做了一件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。
解：A ：小王是个好人 a ：小王做好事B ：小王是个坏人B ：小王做坏事()(/)(/)()(/)()(/)P A P a A P A a P A P a A P B P a B =+0.5*0.90.820.5*0.90.5*0.2==+=0.18()(/)0.5*0.2(/)()(/)()(/)0.5*0.90.5*0.2P B P a B P B b P A P a A P B P a B ==++0.82>0.18 所以小王是个好人、2. 设 m = 1,k = 2 ，X 1 ~ N (0,1) ，X 2 ~ N (3,2 2 ) ，试就C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1 属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 ) 。
解：2222121/821()()/}1,221(2)(20)}0.05421(2)(23)/4}0.1762i i i P x x i P P μσ--=--==--===--==由于<，所以2属于1(2)P 2(2)P 2π21/2121/221(1)(10)}0.24221(1)(13)/4}0.1202P P --=--===--==>，所以1属于1(1)P 2(1)P 1π由1()Px 22211}()(3)/4}22x P x x -==--即2=21exp{}2x -21exp{(69)}8x x --+2211ln 2(69)28x x x -=--+解得=1.42 =-3.14.所以R=([-3.41,1.42],(-,-3.41)1x 2x ∞U(1.42,+)).∞3.已知，的先验分布分别为=,=,C(2|1)=1，C(1|2)=1，1π2π1q 352q 25且11,01()2,120,x x f P x x x <≤⎧⎪==-<≤⎨⎪⎩他他22(1)/4,13()(5)/4,350,x x f P x x x -<≤⎧⎪==-<≤⎨⎪⎩他他使判别= ，=2所属总体。
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例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。
假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。
根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。
为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。
从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。
问如何进行决策。
解：采用贝叶斯决策方法。
(1)先验分析
根据已有资料做出决策损益表。
根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8
（2）预验分析
完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）
=1.36（万元）
完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）
即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。
（3）后验分析
①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。
从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9
②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。
预报天气好的概率
1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31
预报天气坏的概率
2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：
111111()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.3×0.8/0.31=0.77
预报天气好而天气坏的概率：
212211()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.7×0.1/0.31=0.23
预报天气坏而实际天气好的概率:
121122()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.3×0.2/0.69=0.09
预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)
(/)()
P P x P x P x θθθ⋅=
=0.7×0.9/0.69=0.91
上述计算可以用表格表示：
③ 后验决策：
若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2
选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E （X1）
=3.62
若气象中心预报天气不好（x2），各方案的最大期望收益值 E(d1/x2)=0.09×5+0.91×
(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2
选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2
④ 计算补充信息的价值：
得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：
1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）
=0.9842
则
补
充的信
息
价值为
：
EMV*(
后
)-
EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842
补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。
⑤ 画出决策树（略）。