七年级上册--分类讨论思想
七年级上册分类讨论思想测试(通用版)(含答案)
七年级上册分类讨论思想测试（通用版）一、单选题(共10道，每道10分)1.一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离等于，如果数轴上表示a和-2的两点之间的距离是3，那么a=( )A.1B.-5C.-5或1D.-1或5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论2.已知△ABC，AB=5，BC=7，AC=9，D是AC上一点，连接BD，△ABC被分成周长之差为5的两个三角形，则AD=( )A.8B.3C.4或1D.8或3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的周长3.若，，则( )A.7B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论4.已知，，且，则的值为( )A.1B.7C.1或7D.1或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论5.的最小值是( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论6.若，则的取值共有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论7.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=9，AC=16，则MN的长为( )A.8B.C.8或D.8或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长8.已知线段AB=16，点C在直线AB上，BC=3AC，M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN 的长为( )A.4B.2或14C.4或20D.2或4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长9.若∠AOB=50°，∠BOC=70°，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°或10°B.10°或25°C.15°或35°D.35°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=40°，∠AOC=4∠AOB，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°B.25°或4°C.100°D.100°或60°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算。
初一上册分类讨论典型例题
初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。
通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。
下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。
1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。
假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。
根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。
如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。
所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。
当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。
当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。
所以答案是至少有1个数。
2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。
所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。
假设这4个点是A、B、C、D。
我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。
然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。
通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。
3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。
解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。
首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。
如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。
计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a -b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b -a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a -b)n =(b -a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版
七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版一、引言七年级上册数学第二单元主要涉及有理数及其运算、整式的加减、一元一次方程、图形的认识、数据的收集与整理等内容。
这些知识点不仅是初中数学学习的基础，也是学生们在日常生活中常常会用到的数学知识。
本文将对这些知识点进行详细的归纳和解析，帮助学生们更好地理解和掌握。
二、有理数及其运算1. 有理数的概念有理数包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
它们可以表示为分数的形式，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数。
3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
以下是各类运算的具体规则：加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。
减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法：同号相乘得正，异号相乘得负，绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
4. 有理数的性质有理数具有以下性质：交换律：a + b = b + a；a × b = b × a结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；a ×(b ×c) = (a ×b) × c分配律：a ×(b + c) = a × b + a × c三、整式的加减1. 整式的概念整式是由数字和字母通过加、减、乘、除（除法中除数不含字母）以及乘方运算组成的代数式。
整式包括单项式和多项式。
2. 单项式单项式是由数字和字母的乘积组成的代数式，如3a、-5xy²等。
单项式的系数是数字部分，次数是所有字母指数的和。
3. 多项式多项式是由几个单项式相加组成的代数式，如3a + 5b、-2x²+ 4x 7等。
多项式的项数是单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数。
《有理数》数学思想-分类讨论(专项练习)-七年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)【有答案】
专题2.25 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。
本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。
一、单选题1．下列关于有理数的分类正确的是（ ）A ．有理数可以分为正有理数和负有理数B ．有理数可分为正有理数、负有理数和0C ．有理数可分为正整数、0和负整数D ．有理数可分为自然数、0和分数 2．已知0abc >，则式子：a b c a b c ++=（ ） A ．3 B ．3-或1C ．1-或3D ．1 3．若m 满足方程20192019m m -=+，则2020m -等于（ ）A ．2020m -B ．2020m --C ．2020m +D ．2020m -+ 4．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（ ）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c++的值为（ ） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 6．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a +++>；④1a bc <-，其中正确的结论有（ ）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．已知：23a bb cc am c a b +++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．38．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，49．有理数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示，若|b |＞|c |，则下列结论中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．b ＋c ＜0C ．a ＋c ＞0D ．ac ＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413， －7，1.5，0，－5.3, －32， 6，－80%. (1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性质分．11．若0a b c ++=，则||||||a ab abc a ab abc++的值是___________． 12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____． 13．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a b c a b c a b c ⊗⊗=++-+-，例如：()()()12-312-312-3⊗⊗=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ⊗⊗的最大值为__________．15．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ． 所以式子2x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________．②数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x 的点到表示1的点的距离与它到表示3-的点的距离之和可表示为：13x x -++．则13x x -++的最小值是________． ④若318x x -++=，则x =________16．若a ，b ，c 为有理数，且abc ≠0，则b abc a c a b c abc++-＝_____． 17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a 和b ，若计算a+b ，a-b ，ab ，a b 的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28b a +=_____________ 18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A '表示的数是______．19．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．三、解答题20． 有理数的两种分类方法：有理数 有理数 21．177.6,2,, 4.1,5,23--- （1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2, 1.5,,0.6,,0,37π-- 整数集合：{ ．．．}，分数集合：{ ．．．}，非负整数集合：{ ．．．}，有理数集合：{ ．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即0a ≥ （3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值 解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值25．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 26．阅读下题和解题过程：化简：()2122x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20x -≥时，即2x ≥时：原式21243x x x =-+-+=-+；当20x -<时，即2x <时：原式()212437x x x =--+-+=-+．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x -=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a ＞0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a ＜0时，|a|=﹣a ．用这种方法解决下列问题：(1)当a=5时，求a a的值． (2)当a=﹣2时，求a a的值．(3)若有理数a 不等于零，求a a的值． (4)若有理数a 、b 均不等于零，试求a a +b b的值． 28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a ＞6a 进行讨论，甲说：“8a ＞6a 正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．29．阅读下题和解题过程：化简212(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20-≥x 时，即2x ≥时，原式2124x x =-+-+3x =-+；当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：2(21)3x x +-=+；(2)试探究：当m 分别为何值时，方程21x m -=-①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A ，C ，D 错误，B 正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a ＜b ＜c ，分类讨论：①a ＜b ＜0＜c ，②a ＞0，b ＞0，c ＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a ＜b ＜c ．∵abc ＞0，∴分两种情况：①a ＜b ＜0＜c ，则abca b c ++=－1+（－1）+1=－1；②a ＞0，b ＞0，c ＞0，则a b c a b c ++=1+1+1=3．故选C ．【点拨】 本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况． 3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m 的取值范围即可解答.【详解】当2019m ≥时，20192019m m -=-，不符合题意；当0m ≤时，20192019m m -=+，符合题意；当02019m <<时，20192019m m -=-，不符合题意；所以0m ≤20202020m m -=-+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4．C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a ，b ，c 中应有奇数个负数，进而可将a ，b ，c 的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a ，b ，c 的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc <∴a ，b ，c 中应有奇数个负数∴a ，b ，c 的符号可以为：1负2正或3负∵0a b c ++=。
七年级数学上册常用数学思想方法(xiuding)
七年级数学上册常用数学思想方法一、数形结合的思想。
利用数形结合，可以使研究的问题化难为易，化繁为简。
1、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?2、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? （2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？3、3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每个队都与其他参赛队各赛一场），那么总的比赛场数是多少？若有4个球队呢？若有5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。
二、整体代入的思想。
1、若a、b互为倒数，x、y互为相反数，m的绝对值等于3求：（1）5ab－m＋x－4＋y的值；（2）5x－ab＋＋5y的值；（3）x+y∕x³－ab＋m²－8的值。
2、已知x²＋x＋3的值为7，求2x²＋2x－3的值。
三、分类讨论的思想。
在数学问题中，当一个字母（或一个式子）有几种可能的取值；当一个图形有几种不同的位置或不同的形状时，往往需要分类讨论。
分类讨论应做到：分类标准必须统一，分类时不重复不遗漏。
1、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。
四、割补的思想。
1﹙1﹚用含有a、b的式子表示阴影部分面积；﹙2﹚当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？五、方程思想。
方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这是一种很重要的数学思想方法。
七年级数学上册书本知识点归纳整理
七年级数学上册书本知识点归纳整理人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容。
第一章有理数一、知识框架二、知识概念1.有理数：(1)凡能写成（p，q为整数且p≠0）形式的数，都是有理数正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0⇔a+b=0⇔a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大的数-小的数＞0，小的数-大的数＜0。
6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么a的倒数是1；若ab=1⇔a、b互为倒数；若ab=-1⇔a、b互为负倒数。
7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数。
8.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲
2023-2024年七年级数学上册(人教版)知识提纲如下：
一、数学基础知识
1.数与式子：整数、有理数、实数及其运算；代数式的分类与化简。
2.方程与方程组：一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
3.不等式与不等式组：一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法。
4.函数：平面直角坐标系，函数及其表示，一次函数的图象与性质。
二、数学思想方法
1.分类讨论思想：根据所研究对象的差异进行分类，然后逐类进行讨论，得出
结论。
2.化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题。
3.数形结合思想：利用数与形的相互对应关系解决数学问题。
4.方程思想：将实际问题转化为数学问题，通过解方程或方程组找到数学模型
的解。
5.函数思想：用函数的观点分析问题，建立数学模型，利用函数的性质解决问
题。
三、数学应用
1.利用一元一次方程解决实际问题：行程问题、工程问题、调配问题等。
2.利用一次函数解决实际问题：最值问题、优化问题等。
3.利用图形的性质解决实际问题：面积问题、体积问题等。
四、数学活动与探究
1.数学实验：通过观察、操作、实验等活动，探究数学规律和性质。
2.数学建模：根据实际问题建立数学模型，并利用数学模型解决问题。
3.数学探究：通过观察、猜想、证明等活动，探究数学规律和性质。
七年级数学(上册)集体备课经验交流讲话稿
七年级数学（上册）集体备课经验交流讲话稿各位领导、老师：大家上午好！首先感谢教育局、进修学校的领导为我们搭建了一个这样的业务交流与提升的平台，让我们聚在这里集众人智慧采众家之长。
在座的兄弟学校的老师都是教育界的行家里手，我就鲁班门前献丑了，希望能给各位起到抛砖引玉的作用。
二十年的教学生涯，使我感悟到，如果说了解学生是育人的先导，那么吃透教材则是教学的基石。
下面我就谈谈自己对最新人教版七年级数学（上册）教材的整体把握。
第一章《有理数》一、本章的主要内容：对正、负数的认识；有理数的概念及分类；相反数与绝对值的概念及求法；数轴的概念、画法及其与相反数与绝对值的关系；比较两个有理数大小的方法；有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及相关运算律；科学记数法、近似数的概念及求法。
重点：有理数加、减、乘、除、乘方运算。
难点：混合运算的运算顺序，对结果符号的确定及对科学记数法的理解。
二、本章的地位及作用：本章的知识是本册教材乃至整个初中数学知识体系的基础，它一方面是算术到代数的过渡，另一方面是学好初中数学及与之相关学科的关键，尤其有理数的运算在整个数学及相关学科中占有极为重要的地位，可以说这一章内容是构建“数学大厦”的地基。
三、本章涉及的主要数学思想及方法：1．分类讨论的思想：主要体现在有理数的分类及绝对值一节课的教学中。
2．数形结合的思想：主要体现在数轴一节课的学习上，用数字表示数轴（图形）的形态，反过来用数轴（图形）反映数字的具体意义，达到数字与图形微观与宏观的统一，具体与抽相的结合，即用数说明图形的形象，用图形说明数字的具体，尤其利用数轴比较有理数的大小，理解相反数与绝对值的几何意义，更是直观形象。
3．转化思想：主要体现在有理数减法转化为有理数的加法，有理数的乘法转化为有理数的除法。
4．整体思想：主要体现在求一个代数式的相反数及绝对值上。
如求a b的相反数。
当然，这些拔高题放在这里也得视学生情况而定，如难掌握最好放在《整式加减》一章中，让学生整体考虑解决问题。
2019秋北师大版深圳专用数学七年级上册同步分层训练第四章专题训练(四)基本平面图形中的三种思想方法含答案
专题训练(四) 基本平面图形中的三种思想方法► 类型一 分类讨论思想1．已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为( ) A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°2．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，线段AB ＝6 cm ，且AB ＝12AC ，则BC ＝______________．3．已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，且AB ＝60，BC ＝40，则MN 的长为__________．4．平面上有三个点，过其中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？5．已知∠AOB ＝60°，∠BOC ＝20°，求∠AOC 的度数．6．已知线段AB ＝10 cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝2 cm ，D 是线段AB 的中点，求线段DC 的长．7．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．8．[2017·宜黄县月考]有两根木条，一根长8 cm，一根长10 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，试求此时两根木条的中点之间的距离．► 类型二 方程思想9．如图4－ZT －1，已知AC ＝56CB ，AD ＝14CB ，CD 的长为7，求AB 的长．图4－ZT －110．如图4－ZT －2，B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3的三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．图4－ZT －211．如图4－ZT－3，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．图4－ZT－312．如图4－ZT－4，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB∶∠AOD＝2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数．图4－ZT－4►类型三整体思想13．已知：如图4－ZT－5，OM平分∠AOB(∠AOB<180°)，ON平分∠BOC.图4－ZT－5(1)当∠AOC＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON＝________°；(2)当∠AOC＝80°，∠BOC＝60°时，∠MON＝________°；(3)当∠AOC＝80°，∠BOC＝50°时，∠MON＝________°；(4)猜想：不论∠BOC的度数是多少，∠MON的度数总等于________的度数的一半．14．如图4－ZT－6，点C在线段AB上，AC＝8 cm，BC＝6 cm，M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋BC＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．图4－ZT－6详解详析1．C2．6 cm 或18 cm [解析] 分两种情况讨论：①当点B 在线段AC 上时，由AB ＝6 cm ，且线段AB ＝12AC ，得AC ＝2AB ＝12 cm.由线段的和差，得BC ＝AC －AB ＝12－6＝6(cm)；②当点B 在线段AC 的反向延长线上时，由AB ＝6 cm ，且线段AB ＝12AC ，得AC ＝2AB ＝12 cm.由线段的和差，得BC ＝AC ＋AB ＝12＋6＝18(cm)． 故答案为6 cm 或18 cm.3．50或10 [解析] (1)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图①. 因为M ，N 分别为AB ，BC 的中点， 所以BM ＝12AB ＝30，BN ＝12BC ＝20.所以MN ＝50.(2)当点C 在线段AB 上时，如图②.同理可知BM ＝30，BN ＝20，所以MN ＝10. 故MN 的长为50或10.4．[解析] 本题没有指明三点的具体位置，因此要考虑两种不同的情况． 解：分两种情形讨论：(1)当三点不在同一条直线上时，过每两点可画1条直线，一共可画3条直线(如图①)； (2)当三点在同一直线上时，只能画1条直线(如图②)．故一共可以画1条或3条直线． 5．解：分两种情形讨论：(1)当∠BOC 在∠AOB 内部时，∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－20°＝40°； (2)当∠BOC 在∠AOB 外部时，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝60°＋20°＝80°. 故∠AOC 的度数为40°或80°.6．[解析] 由于点C 相对于A ，B 两点的位置关系不确定，所以要进行分类讨论，然后再求解． 解：分两种情形讨论：(1)当点C 在线段AB 的延长线上时，如图①所示．因为D 是线段AB 的中点， 所以DB ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．所以DC ＝DB ＋BC ＝5＋2＝7(cm)． (2)当点C 在线段AB 上时，如图②所示．因为D 是线段AB 的中点， 所以DB ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．所以DC ＝DB －BC ＝5－2＝3(cm)． 故线段DC 的长为7 cm 或3 cm.7．[解析] 当题目中没有给出具体的图形，而根据题设又有可能出现多种情况时，就应不重不漏地分情况加以讨论．本例∠AOB 既可大于∠BOC ，也可小于∠BOC ，故应分这两种情况进行求解．解：分两种情形讨论：(1)当∠AOB 大于∠BOC 时，如图①所示．由题意易得∠BOE ＝∠AOE ＝30°. 因为∠BOD ＝20°，所以∠DOE ＝10°，∠AOD ＝40°.因为∠COD ＝∠AOD ＝40°，∠BOD ＝20°， 所以∠BOC ＝20°. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×20°＝10°.(2)当∠AOB 小于∠BOC 时，如图②所示．由题意易得∠BOE ＝∠AOE ＝30°. 因为∠BOD ＝20°， 所以∠AOD ＝80°.因为∠COD ＝∠AOD ＝80°，∠BOD ＝20°， 所以∠BOC ＝100°. 因为OF 平分∠BOC ，所以∠COF ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.故∠COF 的度数为10°或50°.8．解：设木条AB ＝8 cm ，木条CD ＝10 cm ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点．(1)如图①，当CD 的端点C 接在AB 的端点B 处(此时点B 与点C 重合)，且点D 在AB 的延长线上时，AD ＝AB ＋CD ＝18 cm.所以EF ＝12AB ＋12BD ＝12(AB ＋BD )＝12AD ＝12×18＝9(cm)；(2)如图②，当AB 的端点B 在CD 的端点D 处(此时点B 与点D 重合)，且点A 在CD 上时，EF ＝12CD －12AB ＝12(CD －AB )＝12×(10－8)＝1(cm)．综上可知，两根木条的中点之间的距离为1 cm 或9 cm. 9．解：设CB ＝x ，则AC ＝56x ，AD ＝14x .因为AC －AD ＝CD ，所以56x －14x ＝7，解得x ＝12.这时AC ＝56×12＝10，所以AB ＝AC ＋CB ＝22.10．解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ， 所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm.因为M 为AD 的中点，所以AM ＝MD ＝12AD ＝5x cm. 所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x (cm)．因为BM ＝6 cm ，所以3x ＝6，解得x ＝2.故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm)，AD ＝10x ＝10×2＝20(cm)．11．[解析] 此题比较复杂，难以理清角之间的关系，而通过设未知数，寻找相等关系，运用方程知识，则问题可迅速获解．解：设∠AOC 的度数为x °，则∠BOC 的度数为(2x )°，∠AOB 的度数为(3x )°.因为OD 平分∠AOB ，所以∠AOD ＝(32x )°. 根据∠AOD －∠AOC ＝∠COD ，列方程32x －x ＝18，解得x ＝36.即∠AOC 的度数为36°. 12．解：设∠AOB ＝2x °，则∠AOD ＝11x °.根据题意，得2x ＋90＝11x ，解得x ＝10.所以∠AOB ＝20°.所以∠BOC ＝90°－20°＝70°.13．(1)45 (2)40 (3)40 (4)∠AOC14．解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ＝12×8＝4(cm)，NC ＝12BC ＝12×6＝3(cm)． 所以MN ＝MC ＋NC ＝4＋3＝7(cm)．(2)能．猜想：MN ＝12a cm.理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC . 所以MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC )＝12a cm. (3)能．画图如下：结论：MN ＝12b cm. 理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ，NC ＝12BC . 所以MN ＝MC －NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC )＝12b cm.。
线段、角中的分类讨论思想(人教版七年级上册数学)
第 1 页 共 1 页 “线段、角”中的分类讨论思想当题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，解题时需根据题意画出示意图，再利用图形的直观性不重、不漏地分情况讨论.例1 已知C 为线段AB 的中点，点D 在直线AB 上，并且满足AD=2BD ，若CD=6 cm ，求线段AB 的长. 解析：题目中没有给出图形，需先根据条件画出图形，再根据图形计算，画图时会发现有两种情况：点D 在线段AB 上，如图1，设BD=x cm ，则AD=2x cm ，根据AB=AD+BD=2x+x ，再由点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB ，由CD ＝BC−BD ＝23x−x ＝6，可得x=12，所以AB=3x=36（cm ）；点D 在线段AB 的延长线上，如图2，设BD=x cm ，AD=2BD ，可得BD=AB=x cm ，根据点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB=21x cm ，由CD=BC+BD=21x+x=6 cm ，可得x=4，所以AB=4 cm ． 综上所述，线段AB 的长为4 cm 或36 cm ．例2 已知∠AOB=80°，射线OC 在∠AOB 内部，且∠AOC=20°，∠COD=50°，射线OE ，OF 分别平分∠BOC ，∠COD ，则∠EOF 的度数是___________．解析：根据题意，可知分OD 在∠AOB 内和OD 在∠AOB 外两种情况，画出图形，根据角的和差关系和角平分线的定义求解．如图3，OD 在∠AOB 内.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC-∠COF=5°.如图4，OD 在∠AOB 外.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+25°=55°．综上，∠EOF 的度数是5°或55°．故填5°或55°．。
人教版 七年级上册数学 计算满分训练
人教版七年级上册数学计算满分训练【专题】有理数的计算专题【知识点一】有理数的加减法1.有理数加法（分类讨论思想）（1）同号两数相加：取的符号，并把相加.（2）异号两数相加：取的符号，并用的绝对值减去的绝对值.互为相反数的两个数相加得 .（3）一个数与0相加：仍得 .2.有理数的减法（化归思想）（1）减去一个数，等于这个数的，即 .（2）加减混合运算：利用减法的化归思想，遇到加减混合运算时，只需要把所有的减法都化成加法！【课堂】例题1 计算：(1)(−23)−(−134)−(−223)−（+334）(2)14+(−23)+56+(−14)+（−13）(3)(−3)+(−4)+|−15|+{−[−(−7)]}变式计算：(1)(−1.5)+414+2.75+（−512）(2)(−3)+(−4)−|−15|+{−[−(−7)]}−（−3）(3)200512−200413+200312−200213+⋯+312−212+112−13例题2计算：|12009−12008|+|12010−12008|−|12010−12009|变式计算:|12010−12009|+|12011−12010|+|12012−12011|−|12012−12009|例题3 计算：(1)14×7+17×10+⋯+1100×103(2)11×2+12×3+13×4+⋯+199×100变式计算：(1)37×8+38×9+39×10+310×11(3)13+115+135+⋯+1442例题3 计算：1+3+5+7+⋯+99变式计算：1+2+3+4+⋯+100【专题】有理数的计算专题（满分班）【知识点一】有理数的乘除1.有理数乘法（分类讨论思想）（1）两数相乘：同号得，异号得 . （2）任何数与0相乘，都得 .（3）若干个非0因数相乘：负因数的个数是时，积是；负因数个数是时，积是 .（4）若干个数相乘，若其中有因数为0，积就为 .2.有理数除法（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数. 0没有倒数（2）除以一个数，等于乘以这个数的 . 即 .例题1 计算：（−35）×13×123×（−113）变式计算：（−3）×（−4）×（−5）×（−6）例题2计算：−12×（56−34−12）变式计算：（1）25×34−(−25)×12+25×（−14）(2)（−60）×（34+56−1115−712）例题3 计算：（−81）÷214×49÷(−15)变式计算：−112÷34×(−0.2)×134÷1.4×(−35)【知识点二】有理数的乘方1.有理数乘方的意义一般地，几个相同因数相乘，即，记作______，读作_________，求n个相同因数的______，叫作乘方，乘方的结果叫做____. 在中，叫做______，叫作______.当看作的次方的结果时，也可读作_________.2. 有理数混合运算的运算顺序先算 ，再算 ，最后算 ，如果有括号，就先算 .3. 乘方的符号法则：负数的奇次幂是_______数，负数的偶次幂是______数.正数的任何次幂都是______数，0的任何正整数次幂都是.4. （53）2和 523的异同 (−3)2和−32的异同例题1 计算：（1） 86×(12)6 （2）0.25×（−2）3−[4÷(−23)2+1]（3） −32×(−23)3×(1−23)3变式 计算：（1）(−2)2−22−|−14|×（−1）2(2) 0.1252007×(−8)2008（3）−0.52+14−|−22−4|−（−112）3×49例题2 求1+2+22+23+⋯+22012的值，可令s =1+2+22+23+⋯+22012，则 2s =2+22+23+ …+22013，因此2s −s =22013−1，即 s =22013−1，仿照以上推理，求1+5+52+53+⋯+52012 的值.变式计算：10+102+103+⋯+10n【课后作业】计算下列课题（1）[(−2)3×16−(−3)×8]÷(−223)（2）−34+22÷23×32+|−5|（3）76×（16−13）÷314×73（4）3×|−4|−12×（14+16−12）（5）12+|−16|+（−4）2−5（6）(−23)+|0−516|+|−456|+（−913）（7）|33−（−3）3|×21327−12÷（23）2×23（8）−35×10−35×(−53)−35×15（9）2+22−23+⋯−29+210（10）2+4+6+8+⋯+100。
人教版七年级上册 第一章 数轴上的分类讨论问题 练习
数轴上的分类讨论1、在数轴上到原点的距离等于3的点所表示的数2、数轴上点A表示的数是-1，点B到点A的距离为2个单位，则B点表示的数是3、数轴上与表示2的点的距离为5个单位长度的点表示的数为4、点A是数轴上一点，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是5、一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了+1，则点A所表示的数是6、已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是-17、读图回答问题：（1）若将点B向右移动4个单位后，则点B表示的数为（2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数．（3）在数轴上找一点E，使点E到点A的距离等于2，求点E表示的数．（4）在数轴上找一点F，使点F到点A的距离是到点B的距离的2倍，求点F表示的数．8、已知：数A、B两点表示的有理数分别为a、b，且（a-1）2+|b+2|=0，（1）求（a+b）2015的值．（2）数的点C与A、B两点的距离的和为7，求点C表示的数c的值．9、在数轴上A表示的数为a点，B点表示的数为b，AB表示A点和B点的距离，且a，b满a）2=0足|a-6|+（b+23（1）求a，b的值及A，B两点之间的距离；（2）若动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴朝某方向匀速运动．若点P，Q同时出发，经过t 秒，P，Q两点重合，求此时t的值．10、已知式子M=（a+5）x3+7x2-2x+5是关于x的二次多项式，且二次多项式系数为b，数上A、B两点所对应的数分别是a和b．（1）则a= ，b= A、B两点之间的距离=（2）有一动点P从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2015次时，求点P所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能请说明理由．答案：1、3和-3 2.、1或-3 3、7或-3 4、4或-4 5、-6或86、7或-17、解：（1）点B表示的数为0；故答案为：0．（2）点D表示的数为0.5；（3）点E在点A的右边时，点E表示的数为1，点E在点A的左边时，点E表示的数为-3，∴点E表示的数为1或-3．（4）当点F在A、B时，AF+BF=3，且AF=2BF，∴点F表示的数为-3；当点F在点B的左侧时，根据题意可知点B是AF的中点，∴点F表示的数是-7．∴点F表示的数为-3或-7．8、解：（1）∵（a-1）2+|b+2|=0，∴a-1=0，b+2=0，解得a=1，b=-2，∴（a+b）2015=（1-2）2015=（-1）2015=-1；（2）∵a=1，b=-2，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，数轴上的点C与A、B两点的距离的和为7，∴点C可能在点B的左侧或点C可能在点A的右侧，当点C在点B的左侧时，1-c+-2-c=7，得c=-4，当点C在点A的右侧时，c-1+c-（-2）=7，得c=3，即点C在数轴上表示的数c的值是-4或39、解：（1）∵|a-6|+（b+2a）2=0，3∴a-6=0，b+2a=03∴a=6，b=-4，∴AB=6-（-4）=10；（2）分两种情况：①动点Q沿数轴向右匀速运动，由题意得6t+4t=10，解得t=1；②动点Q沿数轴向左匀速运动，由题意得6t-4t=10，解得t=5．故所求t的值为1或5秒．10、解：（1）∵式子M=（a+5）x3+7x2-2x+5是关于x的二次多项式，且二次多项式系数为b，∴a+5=0，b=7，则a=-5，∴A、B两点之间的距离=|-5|+7=12．故答案是：-5；7；12．（2）依题意得：-5-1+2-3+4-5+6-7+…+2014-2015，=-5+1007-2015，=-1013．答：点P所对应的有理数的值为-1013；（3）设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=-5-x，PB=7-x，依题意得：7-x=3（-5-x），解得：x=-11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x-（-5）=x+5，PB=7-x，依题意得：7-x=3（x+5），解得：x=-2；③当点P在点B的右侧时：PA=x-（-5）=x+5，PB=x-7，依题意得：x-7=3（x+5），解得：x=-11，这与点P在点B的右侧（即x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是-11和-2．所以-11和-2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．。
(完整版)人教版初一数学知识点总结
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
七年级上册知识点复习
人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，a.无意义即13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n 或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。
人教版七年级上册数学解题技巧
人教版七年级上册数学解题技巧1.灵活变形：在解题时，要学会根据题目的形式和内容进行灵活的变形，例如在计算加减混合运算时，可以将相反数相结合或同号结合，也可以将同分母或凑整相结合，从而简化计算过程。
2.举一反三：在解题时，要善于总结规律，学会举一反三。
例如在计算有理数的加、减、乘、除运算时，可以灵活运用分配律进行简便运算。
3.逆用分配律：在解题时，要注意逆用分配律进行计算。
例如在计算有理数的乘法时，可以将括号内的项进行分配律的逆运算，从而简化计算过程。
4.分类讨论：在解题时，要注意分类讨论的重要性。
例如在解决实际问题时，需要根据实际情况对各种情况进行分类讨论，从而得出正确的结论。
5.认真审题：在解题时，要认真审题，准确理解题意。
例如在解决实际问题时，要仔细阅读题目，找出关键词和数据，理解题目的本质和要求。
6.规范表述：在解题时，要注意规范表述，准确表达自己的思路和观点。
例如在解决实际问题时，要用数学语言规范表述问题，注意语言的准确性和严谨性。
7.给出结论：在解题时，要注意给出结论的重要性。
例如在解决实际问题时，要对各种情况进行分类讨论并得出结论，以便更好地解决问题。
总之，人教版七年级上册数学解题技巧需要学生在学习中不断积累和实践，只有通过不断的练习和总结，才能提高自己的解题能力和数学素养。
以下是一个七年级上册数学解题技巧的实例：例题：解方程 2x + 3 = 5分析：这是一个简单的一元一次方程，我们可以按照以下步骤来解这个方程：1.移项：将常数项移到方程的右边，得到 2x = 2。
2.除以系数：将方程两边同时除以2，得到 x = 1。
解答：所以，方程 2x + 3 = 5 的解是 x = 1。
这个例子展示了如何使用基本的数学运算来解一元一次方程。
在解方程时，首先要观察方程的形式和特点，然后选择合适的方法进行变形和化简，最后得到方程的解。
同时，要注意运算的准确性和规范性，避免出现错误或混淆的情况。
浙教版数学七年级上册第十七讲 分类讨论思想 专项训练
浙教版数学七年级上册第十七讲分类讨论思想专项训练1.设a是实数，则｜a｜-a的值( ）.A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D.可以是正数也可以是负数2.线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点间的距离是( ）.A.1cmB.9cmC.1cm或9cmD.以上结果都不对3.若|a|=5，|b|=2，a＜b，则a，b分别为( ）.A.5，-2B.-5，-2C.-5，2D.-5，-2或-5，2(第4题）4.如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角.在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°，153°，171°这些角中，能画出的角有( ）.A.6个B.7个C.8个D.9个5.一条直线上有A，B，C三点，AB＝8cm，AC＝18cm，P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ＝.6.已知∠AOB=60°，过点O的射线OC使∠AOC∶∠AOB=3∶2，则∠BOC= ．7.阅读材料，解答下列问题.例：当a＞0时，如a=6，则｜a｜=｜6｜=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，｜a｜=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=－6，则｜a｜=｜－6｜=6=-(-6），故此时a的绝对值是它的相反数.∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.(1）请仿照例中分类讨论的方法，分析实数a2去根号后的各种情况.（2）猜想a2与｜a｜的大小关系.8.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，BC=6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长.b9.阅读材料：我们知道，对于关于x的方程ax=b，当a不等于0时，方程的解为x=a；当a等于0，b也等于0时，所有实数x都能使等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a等于0，而b不等于0时，使等式成立的x的值不存在，此时，我们说方程无解．根据上述知识判断，a，b为何值时，关于x的方程a（4x-2）-3b=8x-7的解为全体实数？a，b为何值时，方程无解？10.对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|+|a-b|．（1）计算2⊙（-3）的值.（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b.②当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=-c？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.（3）已知（a⊙a）⊙a=8+a，求a的值．(第10题）11.已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°.（1）如图1，当点O，A，C在同一条直线上时，∠BOD的度数是.（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O按逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180.①若∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝.②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON 的度数.图1图2（第11题）12.同一平面内三条直线互不重合，那么交点的个数可能是( ）.A.0，1，2B.0，1，3C.1，2，3D.0，1，2，3(第13题）13.如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线共有( ）.A.2条B.3条C.4条D.5条14.某超市推出如下购物优惠方案：一次性购物在80元（不含80元）以内时，不享受优惠；一次性购物在80元（含80元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.某顾客在本超市两次购物分别付款65元、252元，如果他改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，那么应付款（）.A.316元B.304元或316元C.276元D.276元或304元15.已知9，16，a三个数，要使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，则所有符合条件的数a的值是．16.如图，在数轴上点A，B分别表示-15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动时间为t （s），在运动过程中，当点P，Q和原点O这三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，t的值是.（第16题）17.已知关于x 的多项式ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 3，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数，且abcd=4.当x=1时，这个多项式的值为27． （1）求a+b+c+d 的值. （2）求e 的值.（3）当x=-1时，求这个多项式的所有可能的值．18.【问题提出】已知∠AOB ＝70°，∠AOD=21∠AOC ，∠BOD ＝3∠BOC （∠BOC ＜45°），求∠BOC 的度数.【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决问题.（1）当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOC 内部，如图1，可求∠BOC 的度数，解答过程如下：设∠BOC ＝α，∴∠BOD ＝3∠BOC ＝3α. ∴∠COD ＝∠BOD -∠BOC ＝2α. ∵∠AOD=12∠AOC, ∴∠AOD ＝∠COD ＝2α.∴∠AOB ＝∠AOD+∠BOD ＝2α+3α＝5α＝70°. ∴α＝14°.∴∠BOC ＝14°.当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOB 外部，如图2，请你求∠BOC 的度数. 【问题延伸】（2）当射线OC 在∠AOB 外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数. 【问题解决】（3）综上所述，∠BOC 的度数是.19.如图1，数轴上m，n，q所对应的点分别为M，N，Q，若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ，我们有QM＝q-m，NQ＝n-q.（1）如图2，点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，6，c，且BC＝CA，直接写出c的值：.（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为每秒4个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度.求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7.（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点B后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点B 运动，到达点B后再次返回……当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动.求运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇.图1图2备用图（第19题）。
分类讨论思想的简单应用
分类讨论思想的简单应用分类讨论思想是一种基本的逻辑思维方式，通过对事物进行分类、比较、归纳等操作，以达到更加清晰地认识和理解事物的目的。
在日常生活中，分类讨论思想被广泛应用于各个领域，比如科学研究、教育教学、社会管理等。
本文将通过几个简单的例子，来阐述分类讨论思想在实际生活中的应用。
一、科学研究领域在科学研究领域，分类讨论思想被广泛应用于问题的分析和解决过程中。
比如在生物学研究中，科学家们常常通过对物种进行分类，来研究它们的生态习性、遗传特征以及进化规律。
通过对不同物种进行分类，科学家们可以更加清晰地了解它们之间的相似性和差异性，从而为相关领域的研究提供基础数据。
二、教育教学领域在教育教学领域，分类讨论思想也发挥着重要的作用。
比如在学前教育中，老师们常常通过对颜色、形状、大小等进行分类讨论，来帮助幼儿建立基本的认知能力。
通过对事物进行分类讨论，幼儿可以更加清晰地认识和理解事物的特征和规律，从而培养其观察和思维能力。
三、社会管理领域在社会管理领域，分类讨论思想也被广泛应用。
比如在公共安全管理中，有关部门常常通过对不同类型的安全隐患进行分类讨论，来制定相应的管理措施和预案。
通过对安全隐患进行分类讨论，有关部门可以更加清晰地了解各类安全隐患的特征和规律，从而更加有针对性地采取预防和处理措施。
在城市规划管理中，分类讨论思想也被广泛应用。
比如在规划城市交通系统时，城市规划者们常常通过对不同类型的交通需求进行分类讨论，来优化交通系统的布局和设计。
通过对交通需求进行分类讨论，城市规划者们可以更加清晰地了解市民的出行特点和需求，从而制定更加科学合理的规划方案。
七年级上册分类讨论思想
分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程：|x-1|=2【例2】【例3】试比较1+a与1-a的大小。
【例4】。
【例5】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。
【例6】【例7】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？【例8】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？【例9】【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。
如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。
练习题1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a -+的值5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。
6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点8. 已知∠A0B=120o ，∠BOC=30o ，则∠AOC 为多少。
9.已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA ︰CB9.在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知AB ＝5cm ，点O 是线段AC 的中点，且OB=1.5cm ，求线段BC 的长。
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分类讨论思想
在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程：|x-1|=2
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。
【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？
【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？
【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。
如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。
练习题
1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a
2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c
c b b a a -+的值
5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。
6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?
8. 已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC为多少。
9.已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段C A︰CB?
9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。
10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少？
11.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则
∠MON?
12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为?
甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。