分类讨论思想

分类讨论思想

1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准实行分类并逐类实行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象实行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级实行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适合于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。所以，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度来说，把知识从宏观到微观持续地分类学习，既能够把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。

3. 分类讨论思想的具体应用。

分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面来说，小学数学能够分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的理解范围实际上是在有理数范围内，有理数能够分为整数和分数，整数又能够分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又能够分为偶数和奇数。正整数又能够分为1、素数和合数。

小学数学中分类讨论思想的应用如下表。

4．分类讨论思想的教学。

如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。在教学中应注意以下几点。

第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的理解和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就能够看作一个集合。

第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。

第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概

率的计算、抽屉原理等问题经常使用分类讨论思想解决。

第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据实行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。

第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法实行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。

第六，注意相关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题：如果5a＝2b，那么a：b＝2：5；有人认为是对的，有人认为是错的。严格来说，这道题是错的，因为这里并没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的约定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决相关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。

案例1：下图中共有多少个长方形？

分析：此题可分类计数，分以下几步：

单一的长方形：3×3＝9；

由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6+6=12；

由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3+3=6；

由四个单一长方形组成的长方形：4；

由六个单一长方形组成的长方形：4；

由九个单一长方形组成的长方形：1。

共计 9+12+6+4+4+1=36（个）。

案例2：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。

分析：任意一个整数除以3，余数只有三种可能：0，1和2。使用分类思想，构造这样的三个抽屉：除以3余数分别是0，1和2的整数。根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两个数，这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r(m、n都是整数)，它们的差是3(m-n)，必是3的倍数。