分类讨论思想

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分类讨论思想总结

分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。

分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。

分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。

在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。

分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。

在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。

在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。

分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。

例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。

在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。

在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。

分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。

例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。

在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。

分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。

例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。

在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。

在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。

分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。

分类讨论思想工作总结报告

分类讨论思想工作总结报告思想工作总结报告一、思想工作的重要性思想工作是指通过教育、引导、激励等手段，对个体或集体内部的思想、意识和价值观进行管理和指导，以达到充分发挥个体潜力、保持集体团结、促进社会和谐发展的目标。

思想工作的重要性主要体现在以下几个方面：1. 价值引领：思想工作能够引导个体正确的价值观和人生观，使其形成正确的思想认知，确立正确的人生目标，从而推动个人的全面发展和社会的健康发展。

2. 统一思想：通过思想工作，能够使整个集体形成共同的思想理念和目标，加强内部凝聚力和向心力，提高工作效率和工作质量。

3. 心理健康：思想工作能够关注个体的心理健康，预防和化解心理问题，提高员工的工作积极性和工作热情，推动工作的顺利进行。

4. 促进和谐：思想工作能够提倡和倡导团队协作、和谐相处的价值观念，消除内部矛盾和冲突，营造一个积极向上、团结友爱的工作氛围。

二、分类讨论思想工作针对不同的工作场景和对象，思想工作可以进行分类讨论，以下以教育思想工作和企业思想工作为例进行分类讨论。

1. 教育思想工作教育思想工作是指在教育机构内对学生进行思想教育、价值观培养及心理健康指导的工作。

教育思想工作的主要任务包括：（1）价值观引领：通过课堂教育、校园文化建设等手段，引导学生形成正确的价值观念，培养学生的责任感、奉献精神和公民意识。

（2）心理辅导：关注学生的心理健康，开展心理辅导和心理疏导工作，帮助学生解决学习、人际关系等方面的问题。

（3）个性发展：尊重学生的个性差异，鼓励学生发展自己的特长，提供适宜的发展环境和机会，促进学生全面成长。

2. 企业思想工作企业思想工作是指在企业内部对员工进行思想教育、团队建设和职业发展指导的工作。

企业思想工作的主要任务包括：（1）价值观塑造：通过企业文化建设、内部培训等方式，塑造企业员工正确的价值观念，提高员工的职业道德和责任心。

（2）团队建设：加强内部沟通和协作，促进团队合作和团队精神的形成，凝聚员工凝聚力，共同推动企业的发展。

分类讨论思想

2
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一例一变”的相似与相异之处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，叙述方便，使问题表述有层次、有条理，叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所分类讨论思想又称要研究的数学对象划分为若干不同的情形，要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现，某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变未表明不等式的次数，参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［上的最大值. 分析求最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下是二次函数，

分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。

二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。

4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。

5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。

三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。

七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。

即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。

第二步：根据公式、定理确定分类标准。

运用公式、定理对分类对象进行区分。

第三步：分类解决“分目标”问题。

对分类出来的“分目标”分别进行处理。

第四步：汇总“分目标”。

分类讨论思想

整理分类讨论素材
• 对收集到的素材进行筛选、整理和分类 • 建立素材数据库，便于后续分析讨论
运用分类讨论方法进行分析讨论
运用分类讨论方法
• 根据已确定的分类标准对素材进行分析讨论 • 注意多角度和多层次的分析讨论
得出结论和建议
• 根据分析讨论的结果，得出结论和建议 • 评估结论和建议的可行性和有效性
02
分类讨论思想的实施步骤与方法
确定讨论主题与分类标准
确定讨论主题
• 选择具有代表性和针对性的问题 • 确保问题具有可操作性和可解决性
确定分类标准
• 根据问题的性质和特点制定分类标准 • 分类标准应简洁明了，便于实际操作
收集与整理分类讨论素材
收集分类讨论素材
• 通过文献检索、实地调查、访谈等方式收集素材 • 确保素材的真实性和可靠性
• 可以追溯到古代哲学家亚里士多德 • 在文艺复兴时期得到进一步发展 -近现代广泛应用于科学、工程、社会科学等领域
• 东方文化中的“分而治之”策略 • 西方文化中的“案例分析”方法
分类讨论思想在解决问题中的应用
分类讨论思想在问题解决过程中的应用
• 首先，确定问题的主题和分类标准 • 然后，收集和整理相关的分类讨论素材 • 最后，运用分类讨论方法进行分析讨论
分类讨论思想在未来可能的发展机遇
• 如何利用新技术和新方法提高分类讨论的效果 • 如何拓展应用领域和应用场景，发挥分类讨论思想的潜力
如何应对分类讨论思想未来的挑战
应对分类讨论思想未来的挑战
• 培养信息素养和创新能力 • 提高团队协作和沟通能力
发挥分类讨论思想在未来发展的优势
• 为决策者提供有价值和有深度的信息支持 • 为解决复杂问题和应对不确定性提供新思路和方法

分类讨论思想

为整”的解题策略．
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2．分类讨论的常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，
引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数
学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，
如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
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(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用
题中，特别是排列、组合中的计数问题． 3．分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
[答案] C
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本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的.一
般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数
对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化等.
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x2 y2 3．设 F1、F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 |PF1| P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.求|PF |
a 当－2≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间 1 (－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－4a2.
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a a 当－2＜－1，且－6≥－1，即2＜a≤6时，函数h(x)在区间
a －，－1 2 a －∞，－ 2

分类讨论思想

分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x –a ｜+1，x ∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn 为它的前n 项和.（1）用Sn 表示Sn+1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N*)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=k k S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N*) 故只要23Sk –2＜c ＜Sk ，（k ∈N*）因为Sk+1＞Sk ，(k ∈N*) ①所以23Sk –2≥23S1–2=1.又Sk ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为cS >=-252232，由Sk ＜Sk+1(k ∈N*)得 23Sk –2＜23Sk+1–2故当k ≥2时，23Sk –2＞c ，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立因为cS >=-4132233，又23Sk –2＜23Sk+1–2 所以当k ≥3时，23Sk –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21>--+c S cS k k 成立.［例2］给出定点A （a,0)（a ＞0）和直线l ：x=–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记B （–1，b)，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=–bx. 设点C(x,y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a by -+-=由x –a ≠0，得a x ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y ≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a )(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA=∠COB=∠COD –∠BOD=π–∠COA –∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COA COA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan =)1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x ＜a) 以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO 的方程为y=–bx ，直线AB 的方程为)(1a x a by -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC=θ,∴直线OC 的斜率为k=tan θ,OC 的方程为y=kx 于是2212tan 1tan 22tan k k-=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b=212k k - ①∵C 点在AB 上∴)(1a x a bkx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k kkx a --=+ ③又x yk =，代入③，有)(12)1(22a x x y x yx x y a --⋅⋅⋅+整理，得(a –1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④当b=0时，即B 点在x 轴上时，C(0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论. 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn n n n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x ｜x2–3x+2=0},B={x ｜x2–ax+(a –1)=0}，C={x ｜x2–mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，则a 的值为，m 的取值范围为 . 三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x ｜x2+px+q=0}，B={x ｜qx2+px+1=0},A,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x2+y2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x 2和xn 的表达式；（2）计算∞→n limxn ；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f(x)=ax –bx2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a ≤2b;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参考答案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a –1)x2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a2–(a –1)＞0.答案：252252+-<<--a 或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x ｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a ｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f(x)=x2–x +a+1=(x –21)2+a+43若a ≤21，则函数f(x)在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1若a ＞21，则函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a ，且f(21)≤f(a). ②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x –a+1=(x+21)2–a+43若a ≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a ，且f(–21)≤f(a)；若a ＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a ；当–21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a ＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A={1,2},B={x ｜(x –1)(x –1+a)=0}, 由A ∪B=A 可得1–a=1或1–a=2；由A ∩C=C ，可知C={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x0∈A ，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A ∩B=∅与已知矛盾，故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(20=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B.∵A ∩B ={–2},则–2∈A,且–2∈B .设A={–2,x0}，则B={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B=∅）.若x0=–21，则01x –2∈B,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x0=01x ，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}. ∵ON ⊥MN,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x,y)，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y ≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x1=1又由f(x2)=2，当1≤y ≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由bx x x f x f =--1212)()( 即x2–x1=b 1∴x2=1+b 1记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f(xn)=n,f(xn –1)=n –1∴xn –xn –1=(b 1)n –1,n=1,2,……由此知数列{xn –xn –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(xk –xk –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b b n n 即xn=1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, xn 也趋于无穷大.∞→n limxn 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y=x ，即当0≤x ≤1时，f(x)=x;当n ≤y ≤n+1，即xn ≤x ≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x –xn)(n=1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y=f(x)的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1∵b a b a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a ba f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒–1≤f(x ），据此可以推出–1≤f(1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒f(x)≤1.因为b ＞1，可以推出f(b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx2≥b(x –x2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx2≤2b x –bx2≤1 即ax –bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f(x)=ax –bx2≥–b ≥–1 即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b+1a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x –bx2≤1 即f(x)≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是a ≤b+1.。

分类讨论思想的总结

分类讨论思想的总结思想是指人们对于世界、生活和人生等一系列问题的认识、理解和见解。

作为人类的一种高级智慧和思考能力，思想在人类社会发展和进步中起着重要的作用。

思想不仅是认识世界的一种手段，而且也是人们对于现实和未来的期望和理想的体现。

分类讨论思想是一种对思想进行辨析和分析的方法，可以帮助我们更好地理解和应用思想。

下面将从不同层面和视角对思想进行分类讨论，并进行总结。

1.哲学思想：哲学思想是对于宇宙万物的本质和规律进行探索和思考的一种思想。

哲学思想涉及到诸多问题，如存在、认识、伦理、美等。

在哲学思想中，人们通过辩证和综合的方法，试图找到介于自然科学与人文科学之间的认识方式和真理的本质。

2.科学思想：科学思想是经验观察、实验证据和逻辑推理相结合的思想。

科学思想强调通过实证和理性的方式，对世界和事物进行客观和系统的认识和解释。

科学思想以现代科学为基础，通过对自然界、人类社会等领域的研究，推动了人类社会的进步和发展。

3.宗教思想：宗教思想是人们对于信仰、灵性和超自然力量的思考和追求。

宗教思想强调对于神秘世界和信仰体系的探索和崇拜。

宗教思想在不同文化和地区具有多样性，包括基督教、佛教、伊斯兰教等。

宗教思想对于人们的精神需求和道德规范起着重要的作用。

4.政治思想：政治思想是人们对于政治制度、权力和社会秩序等问题的思考和观点。

政治思想涉及到国家、政府和政治体制等方面，通过思考政治问题，人们试图找到公正、平等和民主的最佳实践。

在不同历史时期和文化背景下，政治思想具有多样性，如自由主义、共产主义、保守主义等。

5.伦理思想：伦理思想是人们对于道德和价值观的思索和思考。

伦理思想关乎人们的行为和人与人之间的关系，试图制定一套行为规范和道德标准。

伦理思想包括对于善、恶、义务等问题的讨论和探索，通过伦理思想，人们试图解决道德困境和促进个人和社会的和谐。

综上所述，思想是人类智慧和思考的产物，具有多个分类和层面。

在不同的领域和视角下，人们通过思考和讨论，试图探索世界的本质和规律，解决问题，并推动社会的进步和发展。

分类思想

分类讨论思想1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。

其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。

因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。

无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。

分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。

另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。

3. 分类讨论思想的具体应用。

分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。

从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。

分类讨论思想的简单应用

分类讨论思想的简单应用思想分类讨论是指将某一思想按照某种标准进行分类，以便更好地理解和应用这一思想。

思想分类讨论的简单应用涉及到对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，以便更好地理解和应用这一思想。

本文将围绕思想分类讨论的简单应用展开讨论，以期对读者有所帮助。

思想分类讨论的简单应用是对某一思想进行分析。

对某一思想进行分析，可以帮助我们更好地理解这一思想的内涵和外延，以及其与其它思想之间的关系。

对于马克思主义思想，我们可以通过对其社会历史背景、基本原理和实践应用进行分析，更好地理解这一思想的内在逻辑和价值取向。

在实际生活和工作中，我们可以通过思想分类讨论的简单应用，更好地理解和应用各种思想，提升自我认知和自我修养。

在管理实践中，我们可以通过对不同领导思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解员工心理和行为动因，制定更科学的管理策略和方法，提高管理效能和员工满意度。

在社会治理中，我们可以通过对不同政治思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解社会需求和公共利益，制定更可行的政策和措施，提高社会治理效果和人民福祉。

在文化交流中，我们可以通过对不同文化思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解彼此差异和共通之处，促进文明互鉴和民族交流，增进世界和平和发展。

思想分类讨论的简单应用是一种思维工具和方法论，可以帮助我们更好地理解和应用各种思想，提升个人素养和社会能力。

通过对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，我们可以更清晰地认识其内涵和外延，更准确地把握其核心观点和实践路径，更有效地运用其理论思想和实践经验。

希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】。

分类讨论思想

k＋2 k k＋1 k 2
＋＋
(2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝ k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列；
－1k＋1 1－ 2 1 ＋ 1 2 当 q＝－时，Sk＋1＝＝ 1－－2k 1 ，同理可得 Sk＋2＝ 2 3 1 1－－2
n n2n，①
nn＋1 ； 2
，②
＋pn－npn
＋1
即 Tn
题型三
参数取值分类讨论
【例 3】已知 m∈R，求函数 f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m 在区间[0,1] 上的最大值． 4 4 解：(1)当 4－3m＝0，即 m＝时，函数 y＝－2x＋，它在[0,1] 3 3 4 上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝ . 3 4 (2)当 4－3m≠0，即 m≠ 时，y 是二次函数 . 3 4 ①若 4－3m>0，即 m< 时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴 3 x＝ 1 >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点得到(由于 4－3m
3．已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C：x ＋y ＝1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)，试求动点 M 的轨迹方程，它表示什么曲线？解：如图，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合 P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，式中常数 λ>0，因为圆的半径|ON| ＝1，依勾股定理|MN| ＝|MO| －|ON| ＝|MO| －1，设点 M 的坐标为(x，y)，则
此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m. 4 2 4 当 m≥2－2m，又 m< ，即 ≤m< 时，ymax＝m； 3 3 3 4 2 当 m<2－2m, 又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3 4 ②若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 它的对称轴方程 x＝于是 ymax＝f(0)＝m. 由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为

数学分类讨论思想

在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
C
A
D
B
例12、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
C
B
D
A
E
F
如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = , S△AEF= ×10× = 5 (cm2)
1
2
C
B
D
A
17
16
E
F
C
B
D
A
E
F
C
B
D
A
E
F
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3）在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数的图象的交点的个数是（）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
A
4）、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为；
A
C
B
B
A
C
C
B
A
分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4 （2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，另一个交点在延长线上。 3﹤R≦4
例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？

分类讨论思想总结

分类讨论思想总结分类讨论思想总结分类讨论思想是一种系统思考和分析问题的方法，通过将问题拆分成不同的分类，并对每个分类进行深入讨论，从不同的角度寻找问题的解决方案。

分类讨论思想的应用范围广泛，可用于分析复杂的社会问题、解决实际的管理难题，甚至是思考个人生活中的困扰。

以下对分类讨论思想进行一些总结：首先，分类讨论思想能帮助我们梳理复杂的问题。

在面对一个复杂的问题时，往往难以一下子找到问题的核心和解决方案。

通过将问题的各个方面进行分类，可以将复杂的问题拆分成一系列相对独立的子问题。

这样做的好处是可以把注意力集中在每个子问题上，提高问题分析的深度和准确性。

其次，分类讨论思想能够让我们看到问题的多个方面。

一个问题往往可以从不同的维度进行分类，每种分类方式都能够提供新的视角和思考角度。

通过将问题进行多次分类，可以系统地了解问题的各个方面，从而更好地找到问题的解决方案。

此外，分类讨论思想能够帮助我们对问题进行优先级排序。

在面对多个问题时，常常会出现一些问题优先级高于其他问题的情况。

通过将问题进行分类，可以清晰地了解每个问题的重要性和紧迫性，从而在解决问题时能够更加高效地分配资源和精力。

最后，分类讨论思想有助于激发创新思维。

通过与他人共同进行分类讨论，可以融合不同的观点和思考方式，从而产生新的见解和创意。

在分类讨论中，每个人都有机会从自己的独特视角出发，提出独到的见解，这有助于形成全新的思维模式，并帮助我们找到解决问题的创新途径。

综上所述，分类讨论思想是一种有助于梳理问题、多角度思考、优先级排序和创新思维的方法。

在我们面临各种问题时，可以通过分类讨论思想来帮助我们更好地理解问题，找到解决问题的途径。

通过与他人进行分类讨论，我们可以融合不同的思考方式和观点，从而形成更全面的视角，并提出创新的解决方案。

因此，分类讨论思想是一种非常实用和有效的思维方法，值得我们在实际问题处理中加以运用。

分类讨论思想

分类讨论思想一．知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

2．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；3．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；4．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；5．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。

如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。

如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。

如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。

分类讨论

y
P1
Q A N P2
B
x
C
M
（三）由结论的不确定引起的分类讨论
例13（2009北京）已知：关于x的一元二次方程2x2+4x+k1=0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值; K=1或2或3
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式. 解：当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；解题攻略：在解答过程中，当结论中字母的取值通过部分条件，初步得出是有限的几个可能当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根；值时，若想根据条件进一步确定字母的最终取当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零正整数根；值，可采用分类讨论的办法，分情况对字母的综上所述，k=1和k=2不符合题意，舍去；k=3符合题意. 各种取值逐一验证排除，最后通过归纳得出符合题意的结果.
(二）由图形引起的分类讨论
1.与图形形状有关的
例4（2005北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是 BC边上的高，并且 A D 2 B D · D C ，则∠BCA的度数为 65°或115° .
A
A
B
D
C
B
C\
D
C
BC在高的两侧，也可以在同侧.
例5 已知△ABC中，AB=4,AC= 3 2 ，若∠C＝45°，则 BC长为 3 7 或 3 7 .
当k≠0时
当k=0时
例3（2007四川）已知一次函数y=-x+8和反比例函数 y
k x
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？K<16且k≠0 （2）设(1) 中的两个交点为M、N，O为坐标原点，试比较 ∠MON与90°的大小. 当k<0时