分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326)一、知识要点概述1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.2.引入分类讨论的主要原因(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论；(6)按实际问题的情况而分类讨论.二、解题方法指导1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.3.解题时把好“四关”(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.三、范例剖析例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＞0 ①若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1)∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0<a<1时，a-2a-1>2，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1，2).当a ＝0时，原不等式为(x ﹣2)2＜0，解集为∅.综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(a-2a-1，2)； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当0<a<1时,原不等式的解集为(2，a-2a-1) 当a>1时，原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1)∪（2,＋∞）. 点拨：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a ＞1和a ＜1，在a<1时，又需要讨论两个根2与a-2a-1的大小，又分为三类，即a ＜0，a=0和0＜a ＜1. 例2在等比数列{a n }中，S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ，T n = a 1a 2a 3… a n ，P n =1a 1+1a 2 +1a 3 +…+1a n ，求证：(S n P n )n=T n 2. 解析：由所要证明的等式，知须分别求出S n 、T n 、P n ，因此要用等比数列的前n 项和公式，根据公式的要求必须对公比q 进行分类讨论.(1)当q=1时，S n =na 1,T n = a 1n ，P n =n a 1，∴(S n P n )n =[n a 1n a 1]n =a 12n ，T n 2= a 12n ，∴(S n P n )n =T n 2； (2) 当q ≠1时，S n =a 1(1-q n)1-q ，T n = a 1n ·q n(n-1)2 ，P n = 1a 1(1-1q n )1-1q =q n+1-q a 1q n (q -1)， ∴S n P n = a 12q n-1 ，(S n P n )n =a 12n q n(n-1)，T n 2= a 12n q n(n-1)，∴(S n P n )n=T n 2. 点拨：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多，必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性.例3解关于x 的不等式3log a x -2＜2 log a x -1(a ＞0,a≠1)解析；转化为等价不等式组，注意对于log a x 的底数的a 进行讨论.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3log a x -2≥0 ①3log a x -2<(2 log a x -1) 2 ②2log a x -1>0 ③ 由①得log a x ≥23，由②得log a x<34或log a x>1，由③得log a x>12，∴23≤log a x<34或log a x>1， 当a>1时，所求不等式的解集为{x|a 23 ≤x < a 34或x >a}；当0<a<1时，所求不等式的解集为{x| a 34 <x ≤a 23或0<x <a }.点拨：本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对a 进行分类讨论.例4如图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角P-l -Q 的两个平面内移动,若AB 和平面P 、Q 所成的角分别为α、β，试讨论α+β的范围.解析：(1)当AB ⊥l 时，α+β=90︒.(2)AB 与l 不垂直时，在平面P 内作AC ⊥l ，C 为垂足，连结BC ，∵平面P ⊥平面Q ，∴AC ⊥平面Q ，∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角，即∠ABC=β，在平面Q 内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD ，同理∠BAD=α，在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，BD ＜BC ，BD AB ＜BC AB,即sin α＜sin ∠BAC, ∵α和∠BAC 均为锐角，∴α＜∠BAC ，而∠BAC+β=90︒，∴α+β＜90︒.(3)若AB 与l 重合，则α+β=0︒.综上讨论可知0︒≤α+β≤90︒.点拨：在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究.例5四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？解析：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类.第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有A 23A 44(种)；第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：C 13C 13A 22A 44(种)；第三，甲前面仅有一个女孩，有：A 13A 55(种)；∴满足条件的站法为：A 23A 44+C 13C 13A 22A 44+A 13A 55=936(种).点拨：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类.例6函数y=sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx |tanx|＋|cotx|cotx 的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4}解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨论.由题意可知x ≠k π2(k ∈Z), (1)当x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；(2)当x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3)当x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0；(4)当x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.故值域为{-2,0,4},应选B.点拨：由于三角函数在各象限内符号不同，依此特点，从不同的象限入手分类讨论是解此类题的常见方法.例7已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解析：如图，设MN 切圆于N ，则由动点M 组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|，λ＞0}.∵ON ⊥MN ，|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-1.设动点M 的坐标为(x,y)，则x 2+y 2﹣1=λ2[(x-2) 2+y 2]，整理，得(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.故M 的轨迹方程是(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.(1)当λ=1时，方程化为x=54，且交x 轴于点(54，0)的直线； (2)当λ≠时，方程化为(x ﹣2λ2λ2-1)2+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它是以点(2λ2λ2-1，0)为圆心，1+3λ2|λ2-1|为半径的圆. 点拨：点M 的轨迹方程由已知条件很容易得出，本题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x 2+y 2项系数λ2-1是否等于零进行了讨论.。