2.4 梅森公式
梅森公式求传递函数
梅森公式求传递函数
梅森公式是一种常用的求解数字滤波器传递函数的方法。
数字滤波器是一种用于数字信号处理的滤波器，其传递函数描述了滤波器对输入信号的影响。
梅森公式可以用于求解各种类型的数字滤波器的传递函数，包括低通、高通、带通和带阻滤波器。
梅森公式的基本形式为：
H(z) = B(z) / A(z)
其中，B(z)和A(z)分别为数字滤波器的分子和分母多项式。
通过对分子和分母多项式进行系数的选择和取值，可以得到不同类型的数字滤波器传递函数。
例如，对于一个二阶低通数字滤波器，其分母多项式可以表示为： A(z) = 1 + a1*z^-1 + a2*z^-2
其中，a1和a2为系数。
通过选择合适的系数值，可以得到所需的滤波器响应特性。
类似地，分子多项式可以表示为：
B(z) = b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2
也需要根据需要的响应特性进行系数的选择。
将分子和分母多项式代入梅森公式，即可求得数字滤波器的传递函数。
需要注意的是，在使用梅森公式求解数字滤波器传递函数时，需要考虑数字滤波器的采样率、截止频率等参数，以确保所得到的传递函数具有所需的滤波性能。
同时，由于数字滤波器的传递函数是离散的，因此在实际应用中需要进行数字信号的抽样和插值等处理，以确保信号处理的准确性和精度。
梅森公式_精品文档
梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。
梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。
如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。
由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。
其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
自动控制原理C作业(第二章)答案
4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
梅森增益公式_自动控制原理_[共2页]
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第2章 控制系统的数学模型３１㊀2 4 1 信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络图,可以由微分方程组绘制,也可以由结构图转化而来.如图２３６所示为简单的结构图与信号流图之间的转换,变换中,将结 图236 结构图与信号流图之间的转换构图中的输入量㊁输出量变为节点,以小圆圈表示;连接两个节点的定向线段,称为支路;将结构图中的方框去掉,传递函数标在支路的旁边表示支路增益;支路增益表示结构图中两个变量的因果关系,因此支路相当于乘法器,即有C ＝G R .由此可见结构图转换为信号流图的规则:将系统的输入量㊁输出量以及中间变量转化为节点;引出点转化为节点;综合点后的变量转化为节点.方框去掉,将方框的输入量和输出量连起来形成支路.方框中的传递函数标在支路旁边,即为支路增益. 图237 信号流图在信号流图中,常使用以下名词术语.(１)源节点(或输入节点)只有输出支路的节点称为源节点,如图２３７中的R (s )和N (s ).它一般表示系统的输入量.(２)阱节点(或输出节点)只有输入支路的节点称为阱节点,如图２３７中的C (s ).它一般表示系统的输出量.(３)混合节点㊀既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点,如图２３７中的X １㊁X ２㊁X ３.它一般表示系统的中间变量.(４)前向通道信号从源节点到阱节点传递时,每一个节点只通过一次的通道,称为前向通道.前向通道上各支路增益之乘积,称为前向通道总增益,一般用p k 表示.在图２３７中,对于源节点R (s )和阱节点C (s ),有一条前向通道,是R (s )ңX １ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P R ＝a b c ;对于源节点N (s )和阱节点C (s ),是N (s )ңX ２ңX ３ңC (s ),其前向通路总增益为P N ＝f c .(５)单回路如果回路的起点和终点在同一节点,而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.如果从一个节点开始,只经过一个支路又回到该节点的,称为自回路.回路中所有支路增益之乘积叫回路增益,用L a 表示.在图２３７中共有两个回路,L １＝b e ,L ２＝d .(６)不接触回路如果一信号流图有多个回路,而回路之间没有公共节点,这种回路叫不接触回路.在信号流图中可以有两个或两个以上不接触回路.在图２３７中,有一对不接触回路,L １L ２＝b e d .2 4 2 梅森增益公式在系统的信号流图上,可以用梅森公式直接求出系统的传递函数,由于信号流图和结构图存在着相应的关系,因此梅森公式同样也适用于结构图.。
简易梅森公式
简易梅森公式好的，以下是为您生成的关于“简易梅森公式”的文章：梅森公式，这玩意儿听起来好像有点高大上，让人摸不着头脑，但其实呀，它就像一个藏在数学城堡里的小秘密，等我们去揭开它的神秘面纱。
我记得有一次给学生们讲梅森公式的时候，那场面可有意思啦。
当时我在黑板上写下了一堆复杂的公式和符号，学生们的眼神从期待瞬间变成了迷茫，一个个小脑袋瓜里估计都在想：“这是啥呀？”我赶紧打住，说：“同学们，别慌，咱们慢慢来。
”然后我就从最基础的概念开始讲起。
咱们先来说说啥是梅森公式。
它呀，其实就是用来计算线性系统传递函数中分母多项式的特征根的个数。
听起来是不是还是有点晕？没关系，咱们举个例子。
比如说有一个系统，它的传递函数分母多项式是 s^3 + 2s^2 + 3s + 4 ，咱们用梅森公式就能很快算出这个多项式有几个根。
那梅森公式到底长啥样呢？它大概是这样的：Pk 表示第 k 条前向通路的传递函数，Δ 表示特征式，Δk 表示第 k 条前向通路特征式的余子式。
哎呀，光说这些公式和概念，估计你们都快睡着了。
咱们还是回到刚刚那个例子。
我当时就一步一步地带着学生们，把每一项都算出来，然后得出最终的结果。
在这个过程中，有个平时挺调皮的学生，突然瞪大了眼睛，好像发现了新大陆一样，大声说：“老师，我好像懂了！”这一嗓子，把其他同学也都给带动起来了，大家纷纷开始积极思考，互相讨论。
讲完这个例子，我又给他们出了几道练习题，让他们自己动手试试。
有的同学一开始还不太熟练，算错了好几遍，但还是不放弃，一直在那琢磨。
等到下课的时候，大部分同学都能掌握这个公式的基本用法了。
看着他们一个个充满成就感的表情，我心里也特别开心。
其实呀，学习梅森公式就像搭积木，一块一块地往上加，只要每一步都踏实，最后就能搭出漂亮的城堡。
不管是在数学里，还是在生活中，很多事情都是这样，看起来很难，但只要我们有耐心，有方法，总能把难题给解决掉。
所以呀，别害怕梅森公式，勇敢地去探索它，说不定你会发现其中的乐趣呢！。
梅森素数——精选推荐
梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
可能你还是不太了解，那就再详细点。
了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
梅森公式的特征式
梅森公式的特征式梅森公式是一种用于生成伪随机数的算法，它的特征式是一个非常重要的概念。
特征式是指一个矩阵的特征值所满足的方程式，它在计算机科学中有着广泛的应用。
梅森公式是一种伪随机数生成算法，它的原理是通过一个初始值来生成一系列的随机数。
这个初始值被称为种子，它可以是任何整数。
梅森公式的核心是一个线性同余方程，它的形式为：Xn+1 = (aXn + c) mod m其中，Xn是第n个随机数，a、c、m是常数。
这个方程的意思是，下一个随机数等于上一个随机数乘以一个常数再加上另一个常数，然后对一个大的数取模。
这个大的数通常是2的某个次幂，比如2的32次方或2的64次方。
梅森公式的特征式是一个非常重要的概念，它可以用来判断一个伪随机数生成算法的质量。
特征式是一个矩阵的特征值所满足的方程式，它可以用来计算矩阵的特征值。
在梅森公式中，特征式的形式为：X^n - (a1)X^(n-1) - (a2)X^(n-2) - ... - (an-1)X - an = 0其中，X是一个n维向量，a1、a2、...、an-1、an是常数。
这个方程的意思是，矩阵乘以一个向量等于这个向量乘以一个常数。
这个常数就是矩阵的特征值，而向量就是对应的特征向量。
特征式的求解是一个非常复杂的过程，通常需要使用数值计算方法来求解。
在梅森公式中，特征式的求解可以用来判断算法的周期长度和随机性。
周期长度是指生成的随机数序列重复出现的长度，而随机性是指生成的随机数序列的均匀性和无序性。
梅森公式的特征式是一个非常重要的概念，它可以用来判断一个伪随机数生成算法的质量。
特征式的求解是一个非常复杂的过程，但是它可以帮助我们更好地理解伪随机数生成算法的原理和性质。
信号流图与梅森公式
7
梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数；
Δ称为特征式， 且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
8
ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
信号流图及梅森公式
❖ 是表示复杂系统的又一种图示方法。
❖ 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
f
输入节点（或源节点）：
x1 a x2
b
只有输出支路的节点,如x1、 x5。
d
e
c
x4
x3
输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。
混x合3。节点：既有输出支路,又有输入支路的节点,如：x2、
传之间的输增：益两为个a节，点则之传间输的也增为益a。叫传输。如：x1→x2
前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个
节点只通过一次的通路称为前向通路。如
x1→x2→x3→x4 。
2
x5
前向通路总增益：前向通路 x1 a x2 b
上各支路增益的乘积 ，如：
R(s) +
E(s) G(s)
C(s)
2
_
H(s)
N(s)
R(s) + E(s)
++
C(s)
3
_ G1(s)
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介1.梅森公式的定义2.梅森公式在数学中的重要性二、经典例题解析1.例题一：利用梅森公式求解2.例题二：利用梅森公式求解3.例题三：利用梅森公式求解三、例题解答与总结1.例题一解答2.例题二解答3.例题三解答4.总结：梅森公式在解题中的应用与技巧正文：一、梅森公式简介梅森公式，又称伯努利公式，是数学领域中一个非常重要的公式。
它是由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）提出的，用于描述调和级数的性质。
梅森公式在数学中具有很高的地位，被广泛应用于组合数学、概率论、数论等多个领域。
二、经典例题解析接下来，我们将通过三个经典例题来解析梅森公式在实际问题中的应用。
例题一：利用梅森公式求解题目：已知等差数列的前n 项和为S_n，求S_n^2 与n^3 之间的关系。
解答：根据梅森公式，我们可以得到S_n = n*(2a + (n-1)*d)/2，其中a 为数列的首项，d 为公差。
将S_n 代入S_n^2 中，我们可以得到S_n^2 = n^2*(4a^2 + 4a*d + d^2 + 2a*(n-1)*d)/4。
通过化简，我们可以发现S_n^2 与n^3 之间的关系为S_n^2 = n^2*(2a^2 + 2a*d + d^2)/4 +n^3*(a*d - a^2)/4。
例题二：利用梅森公式求解题目：求解组合数C(n, k) 的梅森公式表示。
解答：根据梅森公式，我们可以得到C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
将C(n, k) 的定义代入梅森公式中，我们可以得到C(n, k) = (n*(n-1)*...*(n-k+1)) / (k*(k-1)*...*1)。
进一步化简，我们可以得到C(n, k) = n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!。
例题三：利用梅森公式求解题目：已知正整数n，求解1^2 + 2^2 + ...+ n^2 的值。
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
梅森公式——精选推荐
、 梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式，称为梅森公式。
该公式如下：()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁，此处略去。
现从应用角度对此公式予以说明。
式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。
式中：i L 为第i 个环路的传输函数， i i L 为所有环路传输函数之和；n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积，n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积， ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积；k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。
求k ∆的公式仍然是式(6-35)。
例6-19 图6-34(a)所示系统。
求系统函数()()()s F s Y s H =。
解：1 求Δ(1) 求∑iiL：该图共有5个环路，其传输函数分别为2L 1=，8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=，()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组：()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 0LL L rrq,p,qp=∑；…。
故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P ：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
1 2 3 1 4
1 2 H1 2 3 H2 1 2 3
L1 G1G2H1 L2 G2G3H 2 L3 G1G2G3
P1 G1G2G3 P2 G1G4
4 H2 1 4
L4 G4H2 L5 G1G4
8
R(s)
-
G4
A
G1
G2
-B
H1
P
1
2
Pk k
k 1
G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
6
G4
求 E(s) R(s)
R
E
-
G1
G2
+
-
G3
C
+
H1
H2
P1 1, 1 1 G3H2
P2 G3G4H1H2 , 2 1
△2=1
△3=1+G2(s)H1(s)
Cs N s
P11
P2 2
P33
1 Gn sG1sG2 s Gn sG1sG3s Gn sG1sG2 sG3sH1s]
23
练习
已知系统的结构如图,求传递函数 Y , Y , Y
9
练习 求传递函数
-
G1
R
Y
-
-
G2
GY
G2 G1 G1G2 G1G2
R 1 G2 G1 G1G2 G1G2 G1G2
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数
2.4 梅森公式
(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的 回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触， 解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
L2 L5 G1G2G4G7 H 2 H3
特征式:
1 La Lb Lc
1 ( L1 L2 L3 L4 L5 ) (L1L2 L1L4 L2 L5 )
1 G2 H1 G4 H 2 G1G2G3G4G5 H3 G6G4G5 H3 G1G2G7 H 3 G2G4 H1H 2 G2G4G5G6 H1H3 G1G2G4G7 H 2 H3
C ( s) Gr ( s ) R( s) Gn ( s ) N (s) R( s) N ( s) 1 s
3 1 求出：a1 1, a2 , a3 2 2
8 1 s 1 C ( s) 2 2 s 6s 8 s s 6s 8 s
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)
梅森公式,求零状态响应
梅森公式，求零状态响应梅森公式（Mason's formula）是控制工程中用于求解线性时不变系统传递函数的一种方法，它基于信号流图的分析。
然而，梅森公式本身并不直接用于求解零状态响应，而是用于确定系统的整体传递函数。
零状态响应是指系统在初始状态为零时，对输入信号的响应。
要求零状态响应，通常需要通过以下步骤：1.确定系统的微分方程或差分方程，这通常基于系统的物理特性或电路元件的关系。
2.对微分方程或差分方程进行拉普拉斯变换或Z变换，将时域方程转换为复频域或Z域的代数方程。
3.利用代数方法求解变换后的方程，得到系统的传递函数H(s)或H(z)。
4.对传递函数进行反拉普拉斯变换或反Z变换，将其转换回时域，得到系统的单位冲激响应h(t)或单位样本响应h[n]。
5.最后，通过卷积积分（连续时间系统）或卷积和（离散时间系统）将输入信号f(t)或f[n]与单位冲激响应h(t)或单位样本响应h[n]结合起来，得到零状态响应y(t)或y[n]。
在实际应用中，可能会使用各种工具和软件（如MATLAB）来辅助完成这些计算。
如果你有一个具体的系统描述或信号流图，并且想要使用梅森公式来求解传递函数，进而找到零状态响应，你需要首先根据梅森公式计算出传递函数，然后按照上述步骤找到零状态响应。
请注意，以上步骤是一般性的指导，具体问题可能需要特定的处理方法和技巧。
如果你有具体的系统或问题，请提供更多信息以便给出更准确的指导。
以下是一个实际例子：假设我们有一个简单的RC电路，其微分方程为：(\frac{d}{dt}V(t)+\frac{1}{RC}V(t)=0)其中(V(t))是电压，(R)是电阻，(C)是电容。
1.首先，我们对微分方程进行拉普拉斯变换，得到传递函数(H(s)=\frac{1}{RCs+1})。
2.然后，对传递函数进行反拉普拉斯变换，得到单位冲激响应(h(t)=e^{-\frac{t}{RC}})。
3.假设输入信号是(f(t)=\sin(t))，我们将输入信号和单位冲激响应进行卷积积分，得到零状态响应(y(t)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{(t-u)}{RC}}\sin(u)du)。
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2.4 信号流图
信号流图是表示线性方程组的示意图。在控制工
程中，信号流图和结构图一样，可以用来表示系统的
结构和变量传递过程中的数学关系。所以，信号流图 也是控制系统的一种图形表示的数学模型。
1. 符号简单、便于绘制； 2. 可以根据统一的公式直接求得系统的传递函数； 3. 适用于结构复杂的系统分析；
R
1
E G H
C
D( s)
3、R( s)
B( s )
E (s)
G1(s)
G2(s)
C (s)
H(s)
R
1
E G1
D 1
G2 C 1
H
[例2.19] 试将方框图化为信号流图
R
1
1
H2
G1
H1
G2
1
G3
1
C
2.4.6 梅森公式
La 第a个回 路的总增益；
Lb Lc 两两不接 触回路乘积
闭环传递函数是指反馈连接的系统输入与输出之
间的传递函数。
对于单回路闭环负反馈系统传递函数的一般公式为
前向通道传递函数 闭环传递函数 1+开环传递函数
G( s) 1 G(s) H (s)
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
[ 例 2.21] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
解 : 前向通道 P1=G1G2G3G4G5
回路，
三个 回路均与前向通道 接触，△1=1
L1=G2G3H1 L2=－G3G4H2 L3=－G1G2G3G4H3
C ( s) 1 G(s) P 11 R( s ) G1G2G3G4G5 1 G2G3 H1 G2G3 H 2 G1G2G3G4 H 3
二、通道及其类别
源节点到阱节点,通过任何节点只能一次的通道 前向通道传输:前向通道中各支路传输的乘积
REPQC
DPQC
G1G2G3G4 G5G3G4
回路
起点与终点是同一节点的通道,其它节点只能通过一次 EPQE 回路传输:回路中各支路传输的乘积 G2G3 H 不接触回路:没有任何公共节点的回路
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
G1 ( s )
G3 ( s )
G2 ( s )
反馈通道: G2 ( s)G3 ( s)
+ + D2 ( s)
G1 Y ( s) ( s) R( s) 1 G1G2G3
2) 扰动D1(s)输入作用下,令R(s)= D2(s)= 0 前向通道:
3) 扰动D2(s)输入作用下,R(s)= D1(s)= 0 前向通道: G1 ( s)G3 ( s) 反馈通道:
G2(s)
C (s)
C(s) D (s) D(s)
G2 ( s) D( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
3.给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出
C(s) (s) R(s) D (s) D(s)
G1 ( s)G2 ( s) G2 ( s) R( s ) D( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s)
偏差是指给定输入信号r(t)与主反馈信号b(t)之间
的差值,用e(t)表示,即
e(t ) r (t ) b(t )
其拉普拉斯变换为
E ( s ) R( s ) B( s )
下面研究各种输入作用下的偏差传递函数.
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
D( s)
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
反馈控制系统的典型结构
2.5.1 系统的开环传递函数
R( s ) E ( s ) G1(s) 前向通道传递函数与反馈 B( s )
D( s)
G2(s)
C (s)
通道传递函数的乘积就称为开 环传递函数。
解:对结构图进行简单变换 给定输入作用下,令N(s)=0
Gr ( s )
C( s ) R( s )
8
1 1 2 (6 s 8) s 8 2 s 6s 8
1 s2
扰动输入作用下,令Ｒ(s)=0 1 C( s ) s Gn ( s ) R( s ) 1 1 [ 1 (6s 8)] s s s 2 s 6s 8
1
C
H1
解 : 前向通道: 反馈回路:
H2 H3
P1=G1G2G3G4G5
P2=G6G4G5
P3=G1G2G7
L1=G2H1 L2=－G4H2 L3=－G1G2G3G4G5H3
L4=－G6G4G5H3
L5=－G1G2G7H3
两两互不接触回路:
L1L2 G2G4 H1H 2
L1L4 G2G4G5G6 H1H3
G2(s)
C (s)
H(s)
1.给定输入作用下的偏差传递函数 令D(s)=0
E ( s) E ( s) R( s)
1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1 R( s ) E(s) E (s) R(s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
D( s)
3 1 1 2 C ( s) 2 s s2 s4
8 s s( s 2 6s 8)
c(t ) 1 3 e2t 1 e4t 2 2
8 s s( s 2)( s 4)
a3 a1 a2 s s2 s4
2.5.3 闭环系统的偏差传递函数
注意:只有输出可以叠加,不存在统一的传递函数.
例[2.23]系统结构如图，求传递函数
X (s) +
Y( s ) Y( s ) Y( s ) , , R( s ) D1( s ) D2( s )
.
++
D1 ( s )
Y ( s)
解:1)给定输入作用下,令D1(s)= D2(s)= 0
前向通道:
-
G1 ( s )
R( s ) E ( s ) G1(s) B( s )
G2(s)
C (s)
H(s)
2.扰动作用下的偏差传递函数 令R(s)=0
E ( s) DE ( s) D( s ) G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
E (s)
D( s)
2.4.1 信号流图的基本要素
节点——代表系统中的一个变量或信号。用符号“ ”表示。 支路 —— 是连接两个节点的定向线段。用符号“→”表示， 其中的箭头表示信号的传送方向。 传输 —— 亦称支路增益，支路传输定量地表明变量从支路 一端沿箭头方向传送到另一端的函数关系。用标在支路旁边 的传递函数“G”表示支路传输。
回路:
L1=-G2G3H
C ( s) 1 G(s) （P 11 P 2 2） R( s)
只有一个回路，所以，△=1 －L1
G1G2G3 G3G4 1 G2G3 H1
=1 +G2G3H
[例2.22]
R
用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G6
G7
G3 G4 G5
1
G1
G2
(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的 回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触， 解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
H(s)
B( s) GK (s) G1 (s)G2 (s) H (s) R( s)
注：开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是 指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。 当H(s)=1时,则开环传递函数和前向通道传递函数一致, 则
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s)
2.5.2 系统的闭环传递函数
Y GX
2.4.2 信号流图的常用术语
阱节点
一、节点及其类别
源节点
源节点 只有输出支路而无输入支路的节点称为源
节点或输入节点，对应于系统的输入变量。
混合节点
阱节点 只有输入支路而无输出支路的节点称为阱
节点或输出节点，它对应于系统的输出变量。
混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为 混合节点，
1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)
G1 ( s)G2 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R( s )
G1(s) H(s)
G2(s)
C (s)
G1 ( s)G2 ( s) R( s ) C (s) (s) R(s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
余子式:
1 1
2 1 G2 H1