复矩阵若当标准形的性质与应用
若当标准型求解
• 方法步骤：
由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i) 中 Jordan 块的个数 由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。 由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA
另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现
R(( A i I )nj1) N ( A iI )
2 1
例 A
20 2 2
，求可逆矩阵P使得A相似
2 3
2
于Jordan 标准型。
解：可计算A的包含阶数为2和3的两个Jordan块。可计算得：
0 1
00
A2I
0 2
0 3
0
2. 矩阵的化简
方阵A的Jordan 标准形变换矩阵P的求法
• 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA • 求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks
矩阵A和JA的特征值相等
APi Pi Ji( i )
先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p1 R(( A 2 I )) N ( A 2 I ), p1 (a,0,b,0,0)T , a 0或b 0
这时
p2 (x, a, z, b / 2, 0)T (x, 0, z, 0, 0)T (0, a, 0， b / 2, 0)T
2
1
g( A ) P 15 23 P1
15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以 参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学 出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。
(完整word版)矩阵等价标准形及其应用
矩阵等价标准形及其应用学生： 姜旭东 指导教师 ： 张姗梅（太原师范学院 数学系 数学与应用数学专业 20041011班)摘要 矩阵的等价关系是矩阵理论中最基本的一个概念，本文利用矩阵的等价标准形，给出矩阵的分解、矩阵方程、矩阵秩的讨论、以及线性方程组解的理论.本文给出了矩阵的满秩分解定理,并通过例子给出求矩阵满秩分解的方法；并举例分析了有关矩阵分解的若干问题；本文利用矩阵的等价标准形讨论了矩阵方程，对系数矩阵为n m ⨯矩阵的线性方程组，给出了类似于系数矩阵为可逆方阵的线性方程组的理论；本文讨论了有关矩阵秩的若干问题；从等价标准形的角度给出了齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法.关键词 矩阵的秩 等价标准形 矩阵方程 线性方程组1、矩阵等价标准形的概念定义1、设A 、B ∈s n F ⨯，如果A 经过有限次初等变换可以变成B ，则称A 与B 是等价的.显然，矩阵的等价关系是s n F ⨯上的一个二元关系,可以证明，这种关系具有反身性，对称性，传递性。
因此,由矩阵的等价类组成的集合是s n F ⨯的一个分类.由于矩阵的初等变换可以利用初等矩阵及矩阵的乘法来实现，且一个矩阵可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积，因此有：定理1、A 、B ∈ s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ=B.证明:见北大版《高等代数》。
P190定理6和推论1.在每一个等价类中，我们希望选取一个代表，它不但具有这一类中矩阵的一些特征，且其形式是最简单的，那么这个形式简单的代表就有了较高的应用价值，我们把它叫做矩阵的等价标准形。
定理2、设A ∈s n F ⨯,且r(A)=r ，则A 与000r s n I ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价，000rs nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的等价标准形，如果r(A ）=0,则A 的等价标准形是零矩阵。
定理3、设A ，B ∈s n F ⨯，则A 与B 等价的充分必要条件是r(A)=r （B ）.这个定理说明了，同一等价类中的矩阵，由于它们彼此等价，故有相同的秩，反过来，s n F ⨯中秩相同的矩阵必在同一等价类中因此得到：推论1、集合s n F ⨯中，秩为r 的所有矩阵恰好组成一个等价类，其中0≤r ≤min{s ，n ｝;从而s n F ⨯一共有min{s ，n ｝+1个等价类.推论2、设A ∈s n F ⨯，且r （A)=r （≠0），则存在数域F 上的s 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使得A=P 000r s nI ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦Q.2、矩阵等价标准形的应用由于在数域F 上的 s ⨯n 矩阵集合s n F ⨯中，同一等价类的矩阵有相同的秩,且具有相同秩的矩阵在同一等价类中，因此矩阵的秩是集合 s n F ⨯在等价关系下的完全不变量，从而在研究有关矩阵的一些问题时,我们就可以先求出矩阵A 的等价标准形D ，由于矩阵D 的形式比较简单,它的性质容易研究，由此可以了解矩阵A 的性质。
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的标准形则是对矩阵进行特征分解的一种形式，通过标准形可以更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形及其相关概念。
首先，我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常表示为A=[aij]m×n。
其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们介绍矩阵的相似性。
两个n阶矩阵A和B称为相似矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=B。
相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
相似矩阵在矩阵的相似变换和对角化等问题中有着重要的作用。
然后，我们引入矩阵的特征值和特征向量。
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是矩阵A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们理解矩阵的变换规律和特征。
接着，我们介绍矩阵的对角化。
对角化是一种重要的矩阵相似变换，通过对角化可以将一个矩阵化为对角矩阵的形式。
具体地，设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=Λ成立，其中Λ是对角矩阵，则称矩阵A是可对角化的。
对角化可以简化矩阵的运算和分析，是线性代数中的一个重要概念。
最后，我们来介绍矩阵的标准形。
设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=J成立，其中J是特殊形式的矩阵，则称J是矩阵A的标准形。
常见的标准形包括实标准形、实规范形、实若当形、复标准形等。
不同的标准形反映了矩阵的不同性质和结构，对于矩阵的分析和运用具有重要的意义。
总之，矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要内容，它可以帮助我们更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的特征值、特征向量、相似性和对角化等概念的理解，我们可以更深入地研究矩阵的标准形及其应用。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的若尔当标准型
矩阵的若尔当标准型矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它能够将一个任意的矩阵通过相似变换转化为一个特定的形式，从而更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的若尔当标准型的定义、性质及其应用。
首先，让我们来了解一下什么是矩阵的若尔当标准型。
对于一个n阶矩阵A，如果存在非奇异矩阵P，使得P^-1AP能够转化为若尔当形矩阵，即：P^-1AP = J = diag(J1, J2, ..., Jr)。
其中，J1, J2, ..., Jr是若尔当块，它们的形式为：Ji = λiI + Ni。
其中，λi是矩阵Ji的特征值，I是单位矩阵，Ni是上三角矩阵，它的非零元素只能在主对角线的上一条对角线上。
这样的矩阵J就是矩阵A的若尔当标准型。
接下来，我们来看一下矩阵的若尔当标准型的性质。
首先，若尔当块对应于矩阵的特征值和特征向量，它能够将矩阵A分解为一些简单的形式，更好地理解矩阵的结构。
其次，若尔当标准型是相似对角化的一种特殊形式，通过相似变换可以将任意矩阵转化为若尔当标准型，这为矩阵的分析和计算提供了便利。
最后，若尔当标准型还具有唯一性，即对于一个给定的矩阵A，它的若尔当标准型是唯一的，这为矩阵的性质和特点分析提供了确凿的依据。
矩阵的若尔当标准型在实际应用中有着广泛的意义。
首先，它能够简化矩阵的运算和分析，将复杂的矩阵转化为简单的形式，更好地理解和应用线性代数的理论。
其次，若尔当标准型在矩阵的对角化和相似变换中起着重要的作用，它为矩阵的求解和计算提供了便利。
最后，若尔当标准型还能够帮助我们更好地理解矩阵的特征值和特征向量，从而更深入地理解线性代数的概念和方法。
综上所述，矩阵的若尔当标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它能够将复杂的矩阵通过相似变换转化为简单的形式，更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
它具有唯一性、简化性和广泛的应用价值，是线性代数中的重要内容之一。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用矩阵的若尔当标准型，进一步深入学习和研究线性代数的理论和方法。
复矩阵的Jordan标准形的性质及应用
复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。
本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。
关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。
定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。
【论文】矩阵的若当标准形的计算方法及其应用
摘 要矩阵的若当标准形的求解方法在代数中有着极其重要的作用，在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、解微分方程等问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学和计算方法中是一个非常重要的工具.但是，在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，对矩阵的若当标准形的求解方法及其相似变换矩阵的介绍并不全面，所以显得这部分内容比较的简单，不容易被学生所重视.本论文首先阐述了矩阵的若当标准形的求解方法的背景、意义、研究现状、相关概念和性质定理，然后对矩阵的若当标准形的求解方法进行归纳和总结，并给出具体例题以便详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对各种方法进行比较，指出各种方法的优缺点和适应性，以期待能够帮助读者在解决与矩阵的若当标准形的求解有关题目时能够选择使用适当的方法，从而提高解题的效率；最后，鉴于矩阵的若当标准形在“矩阵方程论”、“矩阵函数论”以及“常微分方程”和“现代控制论”中都有广泛的应用，所以对矩阵的若当标准形的应用进行总结，并给出具体实例，强调理论联系实际的重要性.此外，利用所总结的矩阵的若当标准形的求解方法及其应用，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美.关键词：矩阵，若当标准形，计算方法，应用AbstractHow to get the Jordan Canonical form of a matrix has an extremely important role in the algebra. The Jordan Canonical form of a matrix can be used in calculating the determinant, the power of matrices, the decomposition of matrices, the solution of differential equations and so on. In addition, the Jordan Canonical form of a matrix is also a very important tool in mechanics and computational methods. However, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are not elaborated in many textbooks and books include matrix theory. In this paper, the background, the significance of research, the nature of the relevant concepts and theorems with respect to the Jordan Canonical form of a matrix are given firstly. And then, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are summarized and concluded, and there is a specific example of each method to help the readers understand the method. At the same time, comparisons of various methods are given. Finally, in view of the Jordan Canonical form of a matrix is wide used in the "matrix equation"、 " matrix function of "、" Ordinary Differential Equations "and" modern control theory ", the application of the Jordan Canonical form of a matrix are summarized. Furthermore, this paper can be used to help teachers show students the diversity and unity of mathematical methods and the beauty of mathematics.Key words:Matrix，Jordan Canonical form，solution，application目 录第一章 前言 (1)1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义 (1)1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状 (1)1.3 论文的结构安排 (2)第二章 矩阵的若当标准形的相关概念与结论 (3)2.1 基本概念的介绍 (3)2.2 若当块、若当标准形的定义和性质 (4)2.3 矩阵的若当标准形的基本定理 (5)第三章 矩阵的若当标准形的计算方法 (6)3.1 初等因子方法一 (6)3.2 初等因子方法二 (7)3.3 特征值方法一 (8)3.4 特征值方法二 (10)3.5 行列互逆初等变换法 (11)3.6 λ-矩阵初等变换法 (12)3.7 初等相似变换法 (14)3.8 幂零矩阵的若当标准形求法 (16)3.9 可分块矩阵的若当标准形的求法 (17)第四章 矩阵的若当标准形的应用 (19)4.1 在计算矩阵多项式中的应用 (19)4.2 在矩阵的高次幂计算中的应用 (20)4.3 在证明过程中的应用 (22)4.4 在解线性微分方程组中的应用 (25)第五章 总结 (27)参考文献 (28)致 谢 (29)声 明 (30)第一章 前 言1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义在高等代数和线性代数中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.若当标准形定理是矩阵标准形理论的一个重要定理.矩阵的若当标准形在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求解微分方程等数学问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学及其计算方法中也是一个非常重要的工具.鉴于矩阵的若当标准形在各个领域的重要性，讨论、归纳和总结矩阵的若当标准形的计算方法及矩阵的若当标准形的应用是有必要的，且具有一定的理论和实际意义.希望通过对若当标准形的的多种计算方法的总结和比较，加深笔者和读者对矩阵的若当标准形的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好地利用该方法解决各类实际问题.1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状若当标准形是矩阵理论中不可缺少的部分，在研究矩阵若当标准形的过程中，大多是以矩阵若当标准形的基本定理[1]出发，即：每个n阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，它称为A的若当标准形.这个定理是计算矩阵的若当标准形各种方法的理论基础.根据这个基本定理和其他定理，能够得出其他的推论[2,3]，如：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.求解矩阵的若当标准形的最常见的方法是初等因子法、特征值法和初等变换法.初等因子方法是最为基础的求解矩阵若当标准形的计算方法.[4]中介绍了两种初等因子法求矩阵若当标准形的详细步骤，并给出简单的例子进行说明.文献[4～7]中介绍的求矩阵的若当标准形的方法是特征值法，该方法也是比较基础的计算方法.两种方法都是先求出矩阵的特征值，之后再根据不同的方法来求解矩阵的若当标准形。
矩阵的若尔当标准型及简单应用
矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。
又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。
矩阵论3-3.方阵的若当标准型
2 1 0 1 0 0 λ +λ ≅ 3 2 3 2 ≅ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ − λ + λ −λ 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2 0 −λ4 − λ3 − λ −λ2
Department of Mathematics
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B ( λ ) = P ( λ ) A( λ )Q ( λ )
行列式因子的定 义： 矩阵, 设 A(λ )为一个 n 阶 λ 矩阵,对于任意的正整数 k 阶子式， A 1 ≤ k ≤ r A( λ ) 必有非零的 k 阶子式， (λ) 的全部 k 阶 行列式因子。 子式的首一最大公因子称为 A( λ ) 的k 阶行列式因子。 规定: 规定 D0 (λ) = 1 记为: 记为: D (λ) 显然， 显然，如果 rank ( A(λ )) = r ，则行列式因子一共有r 个 例1 求
λ ( λ + 1) A( λ ) =
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λ
2 ( λ + 1)
λ ( λ + 1) A( λ ) =
λ
2 ( λ + 1)
≅ ≅
λ ( λ + 1) λ λ ( λ + 1) 2 λ ( λ + 1) λ λ −λ ( λ + 2) 1
k
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ 的各阶行列式因子。 λ −λ 的各阶行列式因子。 λ 2 −λ 2
2
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矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的标准形，包括它的定义、性质和应用。
首先，让我们来看一下矩阵的标准形是什么。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵转化为某种特定形式的过程。
这个特定形式通常具有简洁的结构，可以更好地展现矩阵的特点。
在实际应用中，我们经常需要将矩阵转化为标准形，以便进行进一步的分析和计算。
接下来，让我们来讨论一下矩阵的标准形有哪些常见的类型。
在线性代数中，我们经常会遇到对角形、上三角形和若当标准形等。
对角形矩阵是指只有主对角线上有非零元素的矩阵，上三角形矩阵是指主对角线以下的元素全为零的矩阵，而若当标准形则是一种更为一般化的形式，可以将矩阵分解为若干个特征块的直和。
这些标准形在不同的情况下具有不同的意义和应用，我们需要根据具体的问题选择合适的标准形进行转化。
那么，矩阵的标准形有什么应用呢？矩阵的标准形在很多领域都有着重要的应用，比如在线性方程组的求解、矩阵的对角化、矩阵的相似变换等方面。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，从而解决实际问题。
此外，矩阵的标准形也为我们提供了一种更加直观和简洁的方式来理解和描述矩阵的性质，有助于我们深入学习和研究线性代数的相关知识。
在实际操作中，我们可以通过一系列的相似变换，将一个矩阵逐步转化为标准形。
这个过程通常涉及到矩阵的特征值、特征向量等概念，需要我们对线性代数有一定的了解和掌握。
通过适当选择相似变换的方式和顺序，我们可以将矩阵转化为最简洁、最易于处理的标准形，从而更好地解决实际问题。
总之，矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，解决实际问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
若当标准型
都是若当块.
第六章 线性空间
例7.8.1 以下若当形矩阵是由哪几个若当块组成?
1 1 0 A= 0 0 0
解:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 1 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
, A3
1 0 其中 A1 = J (1, 2) = , 1 1 0 0 A3 = J (0, 2) = 1 0
§7.8 若当(Jordan)标准形介绍
§7.8 若当(Jordan)标准形介绍
一,若当(Jordan)形矩阵 二,若当(Jordan)标准形
第六章 线性空间
一,若当(Jordan)形矩阵
λ 1 定义1 形如 J ( λ , t ) = 0 0 0 0 0 1 0 0 0
λ
0 0
λ
1
0 0 的矩阵称为 0 λ t ×t
为若当(Jordan)块.
第六章 线性空间
λ
1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 λ t ×t
�
A1 A=
A2
i 0 A2 = J ( i , 2) = , 1 i
第六章 线性空间
二,若当(Jordan)标准形
对于复数域上线性空间V上的线性变换 σ 来说,可以在V中 找到一个基,使 σ 在这个基下的矩阵为若当形,这就是下面的 定理,它回答了前面提出的问题. 定理7.8.1 设 σ 是C上n维线性空间V的一个线性变换,在V 中必存在一个基,使 σ 在这个基下的矩阵是若当形矩阵,且这 个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是由 σ 唯一决定 的,这个矩阵称为 σ 的若当标准形. 这个结论用矩阵的语言可叙述为: 定理7.8. 1′ 每个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似, 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外被矩阵A唯一确 定,它称为A的若干标准形.
若当矩阵
莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月 25 日复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143摘要：若当标准形有广泛的应用。
本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。
然后讲到其应用。
若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。
最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。
关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理一、 定义及性质1、若当形矩阵的定义 形式为1(,)1t tJ t λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。
由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。
特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。
2、若当标准形的性质性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。
此性质可用于求矩阵的若当标准形。
例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形解：首先求E A λ-的初等因子2221260132100130110111141140132100100011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭性质二 一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。
例2、设复准对角12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i A 是i n 阶方阵，1,2,,i s = 。
第三章矩阵对角化、若当标准型
第三章 矩阵的对角化、若当标准型§ 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。
定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为iλ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。
由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。
定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则rank()i i n n I A αλ=--证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以dim dim ()ii i n V N I A λαλ==-dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=--例1 求123323001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解 123det()32301I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。
1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--2233rank 3331000---⎡⎤⎢⎥=----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--3233rank 3231005--⎡⎤⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。
矩阵的标准形的一些应用
和 n 阶可逆阵 Q , 使得 A = P
Er O Q= P
O O
Er ( ErO) Q
O
令 B = P Er , C = ( ErO) Q , 则 R ( B ) = R ( P O
Er
Er
=R
= r , R ( C) = R ( ( ErO) Q) = R ( Er
O
O
O) = r ,且 A = B C ,故结论得证 。
1999 年科技文献版 内蒙古科技与经济
77
矩阵的标准形的一些应用
李月芬 王万义
(内蒙师大计算机系) (内蒙师大数学系)
摘要 通过一些例题 ,介绍矩阵的标准形在矩阵的分解表示 、矩阵的秩和矩阵的特征 值等方面的应用 。
关键词 矩阵 ,标准形 ,秩 ,特征值
为了讨论方便 , 首先介绍矩阵标准形的定义和
| λEn - BA | = | λEr - B 1| λn - r ,
所以 AB 与 BA 有完全相同的非零特征值 。
(3) 当 A 是一般矩阵且 R ( A ) = r 时 , 则存在
m 阶可逆阵 P 与 n 阶可逆阵 Q, 使得 A = P
Er O Q 。所以 A B = P Er O QB ,
B′= B , C 可逆且 A = B C ,结论获证 。
2 在矩阵秩的问题中的应用 例 6 设α_1 ,α_2 , ……α_n是 n 维向量空间 V 的一
个基 , A 是 n ×m 矩阵 ,若
(β_1 ,β_2 , ……,β_m ) = (α_1α_2 ……α_n) A ,
则向量组β_1 ,β_2 ,β_m的秩等于 A 的秩 。 证明 :设 R ( A ) = r , 则存在 n 阶可逆阵 P 与 m
【精品】毕业论文毕业设计数学专业矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、..
矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、性质及应用Jordan 标准形及其应用摘要： 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法． 关键词： 初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形．The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ．Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ10000 (00)...100 (01)00...00 （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ）这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块i is i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(i i i ni a t a t υ-- （2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A n r n n r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P ⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-P A P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-PA P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ，设J AQ Q =-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q 1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721 例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q . 参考文献：[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.关于矩阵Jordan 标准形的若干应用学生姓名：李英红 指导教师：周 芳摘要: 矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan 标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n 级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步 研究学习有很大的帮助.关键词: 若当标准形; 矩阵分解; 线性递推; 哈密顿—凯莱定理引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.1．定义形式为 0 0001 000(,)00......1000......01t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵为若尔当（Jordan ）块，见[1] [8] [9],其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如12s J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中1=11i ii i i ii k k J λλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , 并且12,,......,s λλλ中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵. 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P ,使11k J P AP J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 为若尔当块()1,2,,i k = . 而1k J J ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭称为A 的若尔当标准形. 2．性质 见[6]性质1 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的.性质2 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形J ，主对角线上的元素正是A 的特征多项式的全部的根，即A 的全部特征值（重根按重数计算）.性质3 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成. 性质4 设n nA C⨯∈,()[]f x C x ∈，若12,,,n λλλ 为A 的全部特征值,则()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ , 即11()0()()n f P f A P f λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭. 证明 设110n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的若尔当标准形,再设10()m m f x a x a x a =+++ ,则111100()n n f A f P P PfPλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110000m m m n n P a a a E P λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11()0()n f P P f λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭， 可见()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 性质5 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P , 使11k J P AP J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则11K J A P P J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11m m m k J A P P J -⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭.其中m i J 111111m i m m i m m m m m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭(1,2,,)i k = . 证明 设011i i i i i J E A λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ ,001010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意到：001010in A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，200001100i n A ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,, 1000100i in n A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，0(0)i i n n A =. 于是11110000()m m m m m m m i i i m i m i J E A E C A C A A λλλλ---=+=++++111111m i m m i m m mm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭3．若尔当标准形的应用3.1 若尔当标准形在矩阵分解论中的应用，见[4] [7][13]例1 （VOSS 分解定理）复数域上任意n 阶方阵都可以分解成两个对称矩阵之积,并且其中一个为可逆对称矩阵.证明 先证明：任何若尔当块0J 可表示成两对称矩阵之积,且其中一个为可逆对称矩阵()*.设011J λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是一个若尔当块,若令111n nS ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （称为倒置矩阵）, 那么1'SS S -==，||1S =±，从而S 是可逆对称矩阵,且0J SM = ①其中11n nM λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 显然'M M =.由①结论()*成立. 若n n A C ⨯∈,则A J , 且12r J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中i J 是若尔当块,J 是A 的若尔当标准形,那么存在可逆矩阵T , 使111r J A T JT T T J --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭②由上面①知i i i J S M = ()1,2,,i r = ③其中i S 为倒置矩阵,即可逆对称矩阵,i M 是对称矩阵()1,2,,i r = . 将③代人②得111r r S M A T T S M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111''()r r S M T T T T BC S M --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④其中111'()r S B T T S --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为可逆对称矩阵,1'r M C T T M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为对称矩阵. 由④即证.例 2 任一n 阶方阵A 都可以写成A D N =+的形式,其中D 是一个与对角阵相似的n 阶方阵,N 是一个幂零矩阵（即存在自然数m ，使0m N =）,而且DN ND =.证明 由若尔当标准形知,存在可逆矩阵T ,使11s J A T T J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭①其中11kkk k J λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为若尔当块,()1,2,,k s = . 于是01010k k k k k J D N λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()1,2,,k s = ② 其中k k k D λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭为对角矩阵,01010k N ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为幂零矩阵.0n k N =Q ，将②代入①得111s s D N A T T D N -+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭1111s s D N T T T T D N D N --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 其中11s D D T T D -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵,且11s N N T T N -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则110n n n s N N T T N -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即N 为幂零阵.于是111s s D N DN T T D N -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭④类似的,有111s s N D ND T T N D -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⑤但()k k k k k k D N E N N λλ==,所以()k k k k k k N D N E N λλ==k k k k D N N D =,(1,2,,)k s = ⑥从而由⑥④,⑤即证DN ND =.3.2 若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用，见[10][12]定理 设1122n n n k n k S a S a S a S ---=+++ （其中12,,,k a a a 为已知常数）是一个线性递推关系.1P AP J -=,其中J 为矩阵A 的若尔当标准形,而矩阵121100001000010k k a a a a A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是由线性递推关系式所唯一确定的k 阶方阵.如果12111121k k n k k d S d S PJ P d S d S ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n k S d =.证明 1122n n n k n k S a S a S a S ---=+++112231n k n k n k k n S a S a S a S +-+-+--∴=+++从而1122312233n k n k n k k n n k n k n n k n k n n S a S a S a S S S H S S S S +-+-+--+-+-+-+-+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121311100001000010n k k k n k n n n S a a a a S AH S S +--+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是21213211,,,n n H AH H AH A H H A H -====又11111,,n n P AP J A PJP A PJ P -----===Q111n n H PJ P H --∴=即11221113321n k k n k k n n k k n k S d S S d S S PJ P d S S d S +-+----+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故n k S d =.例3 求n 阶行列式61161611616116161116n D =.解 将n D 按第一列展开,112136116n n D D M M -=-+,这里12M 与13M 分别是12a 与13a 的余子式,把它们分别按第一列展开,得1236116n n n n D D D D ---=-+. 那么6116100010A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()||(1)(2)(3)A f E A λλλλλ=-=---故1231,2,3λλλ===.由性质2，存在可逆矩阵P ,使得1P AP J -=,其中123J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,易求得149123111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11532214313122P -⎛⎫- ⎪⎪=-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,1P AP J -=123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由定理可得13111211153149190221232143251113136122n n n n D PJ P D D -----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭11153902214325123136122n n --⎛⎫-⎪***⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=***-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭2213222n n ++⎛⎫⎪*⎪=* ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭故2213222n n n D ++=-+.说明：（1）当线性递推关系式为三阶时,即n 阶行列式n D 满足如下关系式：120n n n aD bD cD --++=n D 可用如下方法简便求得.则做特征方程20ax bx c ++= ()*1°若240b ac ∆=-≠,则方程()*有两个不等复根12,x x ,则1112n n n D Ax Bx --=+,其中,A B 为待定系数,可令1n =和2n =得出；2°若240b ac ∆=-=，则方程()*有重根12x x =,则11()n n D A nB x -=+,其中,A B 为待定系数,可令1n =和2n =得出. 例4 计算n 阶行列式9500049500049000009500049n D =.解 将n D 按第一列展开,12920n n n D D D --=-,即129200n n n D D D ---+=. 做特征方程29200x x -+=,得124,5x x ==.即1145n n n D a b --=+令1n =时9a b =+, ①令2n =时6145a b =+, ②5⨯①-②,解得16a =-,代入②得25b =，所以1154n n n D ++=-.（2）当线性递推关系式为二阶时,即n 阶行列式n D 满足如下关系式10n n aD bD -+=则21121()()n n n n b b bD D D D a a a---=-=-==- .3.3 用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理，见[5] [14] [15]（Hamilton-Caylay 定理） 设A 是数据P 上一个n n ⨯矩阵,()||f E A λλ=-是A 的特征多项式,则()f A =O .证明 由性质2得121n P AP J λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪== ⎪ ⎪*⎝⎭ 为A 的若尔当标准形,其中i λ 为A 的全部特征值(1,2,,)i k = ，*代表0或1. 则12112()||()()()k n n n k k J f E A E J λλλλλλλλλ⎛⎫⎪=-=-=--- ⎪⎪⎝⎭, 并且11()k J f A f P P J -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111()()k k J f J Pf P P P J f J --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()()i n i i f λλλ=-,则010()()010ii n n i i i i f J J E λ⎛⎫⎪⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭再由()|()()0i i f f f J λλ⇒=(1,2,,)i k = ,由性质4得()111()0()00k f J f A P P P P fJ --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.例5 若120020211A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，求100A .解 设()f λ为A 的特征多项式,则()||(2)(1)(1)f E A λλλλλ=-=-+-再设1002()()q f a b c λλλλλ=+++, ①将1,1,2λλλ==-=代入①式有10011422a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得100100110,(21),(42)33b ac ==-=-.所以100100210011()()(21)(42)33q f λλλλ=+-+-.故100100210011(21)(42)33A A E =-+-10010010012(21)002050(21)13⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 3.4 若尔当标准形在矩阵方程中的应用，见[2][3] [11] 例6 在复数域上讨论矩阵方程mXE =的全部解.解 设11K J P XP J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为X 的若尔当标准形, 由性质5得11m m m k J X P P J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,又Q m X E =,∴11m m k J P P E J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即1m m k J E J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,进一步得i m i n J E =，(1,2,,)i k =由此可得,X 的若尔当块都是一阶的. 若不然,不妨设1J 的阶数大于一,于是111111J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11mλ= 由性质5111111111111111imm m m mn m m m m m J E m m λλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,这与11mn J E =矛盾,则X 的若尔当块都是一阶的. 于是111k k J P XP J λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121k X P P λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , （其中1m i λ=，而P 为任意的可逆矩阵）为矩阵方程m X E =的全部解.例7 设,A B 分别是k 阶和l 阶方阵,且没有公共特征值,证明AX XB =只有零解0X =.证明 设11k a P AP a -⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭ ,11l b Q BQ b -⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪*⎝⎭ 分别为,A B 的若尔当标准形.（其中*处为0或1）Q ,A B 没有公共特征值,(1,2,,,1,2,,)i j a b i k j l ∴≠==由AX XB =得11k l a b Y Y a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪** ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭⎝⎭ ,1Y P XQ -= 比较1行l 列元素得：111l l l a y y b =即11()0l l a b y -=由题设10l y =21一般地,假定10i y =,(1)i l <≤比较1行l -1列元素得：1111111i i i i a y y b y ---=+*⋅利用10i y =得110i y -=10,(1,2,,)i y i l ∴==同理可证：20,,0,(1,2,,)i ki y y i l ===因此10,0Y P XQ X -===即结束语： 本文给出了若尔当矩阵在矩阵分解论、解线性递推关系式、证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理、矩阵方程四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,我们不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到化简.从而很好地体现了若尔当标准形具有的重要应用价值.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳,石生明修订. 高等代数 (第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003,7:346～352.[2] 范亮宇. 高等代数辅导及习题精解[M]. 北京：中国矿业大学出版社,2007:285～291.[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2009,10:446～487.[4] 伊继昆. Jordan 矩阵的应用. 玉溪师专学报(自然科学版)[J]. 第11期第4卷1995:54～59.[5] 李桂荣，孙杰，刘耀斌. Jordan 标准形矩阵的性质和应用. 德州学院学报[J]. 第19期第4卷 2003:22～37.[6] 高芳征,常瑾瑾. 矩阵若尔当标准形的标注. 安阳师范学院学报[J]. 第8期第5卷2010：12～15.[7] 王英. 若尔当标准形问题新探.湖南理工学院学报(自然科学版)[J]. 第20期第1卷2007:18～22.[8]张禾瑞,郝炳新.高等代数.第三版，高等教育出版社，1984[9]北京大学数学系.高等代数.第二版，高等教育出版社，1988[10]白述伟，高等代数选讲-通过问题学方法.黑龙江教育出版社，1988[11]杨振华，李志慧.高等代数学习指导与习题详解.陕西师范大学出版社，2005[12]Lambda-matrices and vibrating systems--lambda矩阵与振荡系统2002Dover Publications[13]Roger A. Hom charles R.Johnson. Matrix Analysis. Cambridge. University Press. 2005[14] Matrices and linear transformations Charles G. Cullen .Dover Publications 1990年5月.[15]Complete English Math book ，出版社: Cambridge University Press Spring 2005年Discussion for the some application of the Jordan MatrixStudent: Li Yinghong Tutor: Zhou FangAbstract:Matrix is very import in high level mathematic. There are many kinds of matrix. This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same resultsKey Word:Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay后记致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师周芳老师.周老师平日里教学任务比较繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有她的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩周老师的专业水平外，她的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！22。
若当(Jordan)标准形介绍
• 矩阵
• 的最小多项式是: (x-1)2 的最小多项式是: (x-
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 矩阵A = 与矩阵B = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 的最小多项式都是( x − 1) 2 ( x − 2).
1
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0
矩阵A与B的最小多项式 相同但它们的特征值不 同(特征多项式不同),从 而A和B不是相似矩阵
引理3.设A是一个准对角矩阵
A1 A= A 2
如果A1的最小多项式是g1(x),A2的最小多 项式是g2(x),则A的最小多项式是g1(x)和 g2(x)的最小公倍式[g1(x),g2(x)]. 推论: 推论:准对角矩阵的最小多项式是个块矩 阵最小多项式的最小公倍式. 阵最小多项式的最小公倍式.
用最小多项式判断一个矩阵能否对角化的 问题 引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 1.矩阵 证明: d(x)与g(x)都是矩阵A 证明:设d(x)与g(x)都是矩阵A的最小多项 都是矩阵 g(x)且 |d(x),从而 式,则d(x)| g(x)且g(x) |d(x),从而 d(x)= g(x). 引理2.设 是矩阵A的最小多项式, 引理2.设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么 2. 为根的充分必要条件是g( f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除 f(x).
关于约旦形矩阵的主要结论: 关于约旦形矩阵的主要结论:
设A是复数域上n维线性空间V的线性变换. 是复数域上n维线性空间V的线性变换. 中必定存在一组基, 在V中必定存在一组基,使A在这组基下的 矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan Jordan形矩阵 矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan形矩阵 除去其中Jordan块的排列次序外,是被A Jordan块的排列次序外 除去其中Jordan块的排列次序外,是被A 唯一决定的-称为矩阵A Jordan标准形 标准形. 唯一决定的-称为矩阵A的Jordan标准形.
矩阵的约当标准形及应用
矩阵的约当标准形及应用安军【摘要】复数域上矩阵的约当标准形是最常用的相似标准形,它圆满解决了复数域上矩阵的相似最简化问题,是线性代数理论中最深刻的内容之一,是线性代数的顶峰.回顾了矩阵约当标准形的理论背景和基本思想,研究了教学中值得注意的若干问题.列举3个实例探讨矩阵约当标准形的应用,从而加深对该理论的认识.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2018(038)009【总页数】5页(P63-67)【关键词】约当标准形;矩阵相似;哈密顿-凯莱定理【作者】安军【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆 400067【正文语种】中文【中图分类】O151.2:G642.0研究矩阵的主要方法是矩阵分解，出于不同的研究目的，有不同的矩阵分解法，如等价标准形分解、相似标准形分解、QR分解、LU分解、奇异值分解和谱分解等．其中，相似标准形分解是矩阵分解的一种重要方法，在求矩阵的高次方幂、二次曲线（或曲面）的分类、多元统计分析的降维、工程力学的解耦、无线通讯的定位技术等诸多领域都有广泛的应用．复数域上矩阵的约当标准形是最常用的相似标准形．本文回顾了矩阵约当标准形的理论背景和基本思想，研究了教学中值得注意的几个问题．列举3个实例探讨约当标准形分解法的应用，加深对该理论的认识．设是数域上的阶矩阵，如果存在数域上的阶可逆矩阵，使得为对角矩阵，则称矩阵在数域上可以相似对角化．由于对角矩阵有很好的运算性质，因而当是对角矩阵时结果是非常理想的．但是，矩阵的相似对角化并不总能实现，除非它有个线性无关的特征向量．退而求其次，对那些不能相似对角化的方阵，能否找到一个可逆矩阵，使得也具有比较简单的形式．矩阵的约当标准形就是在这种背景下提出的一种矩阵分解理论．定义1[1] 273 设是复数，形如的矩阵称为阶约当块．由若干个约当块构成的分块对角矩阵称为约当标准形矩阵，简称约当形矩阵，其中中可能有些相等．定理1[2]345 复数域上任意阶矩阵都与一个约当形矩阵相似，即存在复数域上的可逆矩阵，使得，其中：是一个约当形矩阵．如果不计各约当块的次序，这个约当形矩阵是唯一的，称为矩阵的约当标准形．定理1可以用线性变换的语言叙述成定理2．定理2[3]430 设是复数域上的维线性空间，是的线性变换，则在中一定存在一个基，使得在这个基下的矩阵是约当形矩阵．不计约当块的排列次序，这个约当形矩阵被唯一决定．由定理2容易得到线性空间的如下直和分解：定理3 设是复数域上的维线性空间，是的线性变换，则线性空间可以分解成若干个的不变子空间的直和，即，其中每一个都是的不变子空间．任取是的一个基，则在这个基下的矩阵是一个约当块，即，其中：．将它们合在一起，是的基．约当标准形圆满地解决了复数域上矩阵的相似最简化问题，它是线性代数中最深刻的部分，是线性代数的顶峰[4-5]．从几何上讲，它彻底解决了复数域上的线性空间在线性变换下的直和分解；从代数上讲，又彻底解决了复数域上的矩阵在相似变换下的分类．约当标准形分解法在解矩阵方程、求矩阵的方根、解微分方程等诸多领域都有广泛的应用[6-11]，也是历年名校研究生入学考试的热点内容之一. 在教学中有如下几个问题值得我们注意．定义1中的约当块把1放在主对角线下方，有的教材中出现了把1放在主对角线上方的另一种约当块，因而出现了2种不同形式的约当标准形．定义2[6] 364 设是复数，形如的矩阵称为阶约当块．由若干个约当块构成的分块对角矩阵称为约当标准形矩阵，简称约当形矩阵．定理4[6]371 复数域上任一阶矩阵相似于某个约当形矩阵，如果不计各约当块的次序，这个约当形矩阵是唯一的．任一阶矩阵与它的转置矩阵有相同的初等因子，因而与相似．2个阶约当块与互为转置矩阵，其共同的初等因子为，所以与相似．一个自然的问题是探讨其相似过渡矩阵或相似变换矩阵是什么．定义3[1]62 称矩阵为阶排列矩阵．容易验证，阶排列矩阵是可逆矩阵，且具有如下性质：（1）；（2）；（3）．注对阶矩阵，左（或右）乘阶排列矩阵得（或），相当于将的第行（或列）与第行（或列）交换位置，．所以，．取，其中：是阶排列矩阵，则．设阶矩阵的约当标准形为，即存在可逆矩阵，使得，或，则．因而．令，则，即是从到的相似过渡矩阵．复数域上阶矩阵的约当标准形中，各约当块分别与初等因子相对应．如果取消复数域的限制，则的不变因子未必能分解成一次因式方幂的乘积，这时，的约当标准形未必存在．由于任一阶矩阵的特征多项式等于各不变因子的乘积，于是得到定理5．定理5 数域上的阶矩阵存在约当标准形的充分必要条件是的特征多项式在数域上可以分解成一次因式方幂的乘积．如果数域上矩阵的约当标准形不存在，这时通常考虑有理标准形[1-2]．先求复数域上阶矩阵的初等因子，每一个初等因子对应一个约当块，然后将各约当块组成一个分块对角矩阵（不计各约当块的排列顺序），从而得到的约当标准形．这是最常用的方法，一般的高等代数教材中都有叙述，在此不重复．进一步分析可以知道，矩阵的每一个约当块只对应一个特征值，但每个特征值可能对应多个约当块．每一个阶约当块对应于过渡矩阵中的个相邻的线性无关的列向量，其中只有最后一个列向量是的特征向量，前面个列向量都不是特征向量．因此，特征值有多少个线性无关的特征向量就对应多少个约当块．如果的约当标准形中有个阶约当块，则在矩阵的约当标准形中，原来的约当标准形中那些阶数小于或等于的约当块全部变成零矩阵子块，因此，至少有个阶矩阵子块是零矩阵子块．定理6[7]36 设是阶矩阵的特征值，令，，，，，则等于属于特征值的约当块的个数，等于属于特征值的阶约当块的个数．于是得到求约当标准形的第2种方法，这种方法不依赖于初等因子，只需求出全部特征值及相应矩阵的秩（如定理6）即可．例如：三阶矩阵在复数域上只有一个特征值，．若，即特征值只有1个线性无关的特征向量，则只有1个三阶约当块；若，即有2个线性无关的特征向量，则有2个约当块；若，即有2个线性无关的特征向量，则有3个约当块，亦即相似于对角矩阵．关于求约当标准形过渡矩阵这里不作介绍，读者可参阅文献[8-12]．证明哈密顿-凯莱定理并不是一件容易的事情，可以尝试用约当标准形分解方法解决．例1 用矩阵约当标准形分解方法证明哈密顿-凯莱定理．证明设是阶矩阵的特征多项式，证明．事实上，设复数域上的阶可逆矩阵，使得是的约当标准形，这里中可能有些相等．每一个约当块的特征多项式分别是，因此，矩阵的特征多项式为．对每一个，矩阵，因此，，．所以，，故．例2 设是阶复矩阵，证明：存在一个维列向量，使得线性无关的充分必要条件是的每一个特征值恰有一个线性无关的特征向量（南京大学2009年考研试题）．证明必要性．反证法，设的某个特征值有2个线性无关的特征向量，则对应2个约当块，分别设为．再设的约当标准形为，其中：是一个阶的约当形矩阵．由于，因此．由线性无关可知，矩阵是阶可逆矩阵．设，则，其中：．因此，．于是，其中，“”号当且仅当时成立，从而得到矛盾．因此，的每一个特征值只有一个线性无关的特征向量．充分性．设的每个特征值恰有一个线性无关的特征向量，是的全部互不相同的特征值，则对每一个，．由定理6可知，每一个只对应一个约当块，即矩阵的约当标准形有个约当块．设是的约当标准形．由互不相同可知，的最小多项式（最后一个不变因子）等于的特征多项式，设为．注意到次多项式恰好又是矩阵的最小多项式（最后一个不变因子），因此，矩阵与有相同的不变因子，因而与相似．即存在可逆矩阵，使得．取，则，故线性无关．例3 设是非零复数，，是正整数，,．证明：（日本京都大学2008年考研题）．证明注意到[1]83，因此与有相同的非零特征徝，且每个非零特征值的代数重数也相同．对于非零复数，如果不是的特征值，则，结论成立．考虑是的特征值的情形，并设是的重特征值．令，其中：．显然．设是线性空间的线性变换在某个基下的矩阵，则．由线性变换核的性质可知，当时，．设是阶可逆矩阵，是维列向量，注意到从到的线性映射是可逆映射，因此，对任意矩阵，线性空间与同构（是同构映射），因而有相同的维数．基于以上事实，不妨假定就是它自身的约当标准形．注意到是的重特征值，因而0是的重特征值．设的约当标准形中0对应的最高阶约当块（0可能对应多个约当块）的阶数为，，则，．因此，，．故，．由于非零复数同为与的特征值，且代数重数同为，因此，0也是的重特征值．故在的约当标准形中特征值0对应的最高阶约当块的阶数也不超过．令，其中：．类似的推理可知，有，，且．故，．【相关文献】[1] 安军，蒋娅．高等代数[M]．北京：北京大学出版社，2016[2] 北京大学数学系．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，2007[3] 张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．5版．北京：高等教育出版社，2013[4] 李炯生，查建国，王新茂．线性代数[M]．2版．合肥：中国科技大学出版社，2010[5] 龚升．线性代数五讲[M]．北京：科学出版社，2005[6] 李尚志．线性代数（数学专业用）[M]．北京：高等教育出版社，2006[7] 呙林兵．矩阵约当标准形的另一种求法[J]．太原师范学院学报：自然科学版，2006，5（2）：35-37[8] 刘仲奎，杨永保，程辉，等．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2003[9] 熊全淹，叶明训．线性代数[M]．3版．北京：高等教育出版社，1990[10] 施武杰，戴桂生．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2005[11] 田代军，周泽华．矩阵的开方问题[J]．数学的实践与认识，2013，43（12）：272-276[12] 王莲花，王萍．若当标准形的计算及其应用[J]．河南教育学院学报：自然科学版，2003，12（3）：1-3。
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莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：复矩阵若当标准形的性质与应用姓名：廉换霞学号：410401143莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6 月 25 日复矩阵若当标准形的性质与应用数本041 廉换霞 410401143摘要：若当标准形有广泛的应用。
本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些性质及相关例题。
然后讲到其应用。
若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。
最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。
关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理一、 定义及性质1、若当形矩阵的定义 形式为1(,)1t tJ t λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。
由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。
特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。
2、若当标准形的性质性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。
此性质可用于求矩阵的若当标准形。
例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形解：首先求E A λ-的初等因子2221260132100130110111141140132100100011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭性质二 一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。
例2、设复准对角12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i A 是i n 阶方阵，1,2,,i s = 。
证明：A 的初等因子是各个i A （1,2,,i s = ）初等因子的汇集。
证明：因对于各个子块i A ，都有i n 阶可逆矩阵i Q ，使得11,2,,i i i iQ AQ J i s -==这里i J 是i A 的若当标准形，令12S Q Q Q Q ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则Q 是n 阶可逆矩阵，且121S J J Q AQ J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由若当标准形的唯一性，J 是A 的若当标准形，每个i J 就是J 的若当块，由性质二，J 的初等因子是个各个()1,2,,iJ i s = 初等因子的汇集。
因为i iA J A J ，相似矩阵有相同的初等因子，所以A 的初等因子是各个()1,2,,i A i s = 初等因子的汇集。
性质三 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若当矩阵相似，这个若当矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为A 的若当标准形。
此性质在解题中有广泛的应用。
例3、证明任意n 级复矩阵A 与它的转置'A 相似。
证明：由性质3，存在可逆矩阵P 使得()()()12121r t t t r J J P AP J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故()()()12121r t t t r J J A P P J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭令111n E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2n E E = ，所以1nn E E -=()()1'1111111i i i iiin t i nt iii E J E J λλλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()()()1''1,2,,i i i t i n t i n n t i n J E J E E J E i r λλλ-===所以()()()()()()1212'1'21'''121''1'1''1'()()()()()r r t t t r t t n n t r n n n n J J A P PJ J J P E E P J P E P AP E P P E P A P E P λλλλλλ-----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭==故'A A例4、证明：n 级复矩阵A 的n 个特征值是1,,n λλ ，则对于任一复系数多项式()g λ，矩阵A 的多项式()g A 的n 个特征值是1(),,()n g g λλ证明：设()10m m g a a a λλλ=+++ ，则()10m m g A a A a A a E =+++ 。
由于性质三，存在可逆阵P ，使得121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭于是()()()11101110101221012()()()()m m mm m mm m n n n P g A P P a A a A a E P a P AP a P AP a Ea a a a a g g g λλλλλλλλλ----=+++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪** ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪= ⎪* ⎪⎝⎭由于相似矩阵具有相同的特征值，故()g A 的特征值是1(),,()n g g λλ 。
补充 可逆阵P 的求法由性质三，对任意n 级复矩阵A 都存在一个可逆阵P ，使得()11P AP J-=由()1可知()()122s AP PJ Pdiag J J J == ，，，把变换矩阵P 按若当块i J 的阶数i n 进行相应的分块，即记()12s P P P P = ，，，，其中i i n n i P C ⨯∈，因此()()()121212s s s A P P P P P P diag J J J = ，，，，，，，，，故()()121122,s s s AP AP AP P J P J P J = ，，，，， 比较上式两端，得()1,2,,3i i iAP PJ i s==对i P 按列分块()12,,n ii i i i P X X X = ，其中12,,n ii i i X X X 是i n 个线性无关的n 维列向量，代入()3可得()112223114n n ni i i n ni i i i i i i i i ii i i i i i i AX X X AX X X AXX X AX Xλλλλ--⎧=+⎪⎪=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩由最后一个方程看到，列向量n ii X 是矩阵A 的特征值为i λ所对应的特征向量，且由n ii X 继而可求得211,,,n i i i i X X X - ，因此，矩阵i P 以至P 都可求得。
但需要注意的是：特征向量n ii X 的选取要保证1n i i X -可以求出，类似地1n i i X -的选取也要保证2n i i X -可以求出，如此等等。
例5、已知126103114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭求A 的若当标准形和可逆矩阵P ，使1P AP J -=。
解：先求A 的初等因子()222126114131311412611411401101101320021100010001E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+--+-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以A 的初等因子为()21,1λλ--A 的若当标准形11011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是存在33P C ⨯∈，满足AP PJ =，令()123,,P X X X = ，得()()1231231,,,,1011AX AX AX X X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭比较上式两边，得：1122333,,AX X AX X X AX X ==+= 即()()()12330,,0E A X E A X X E A X -=-=--=由此可见，1X ，3X 是A 的特征值为1的两个线性无关的特征向量，解方程组()0E A X -= ，可求得两个线性无关的特征向量为()'1,1,0ξ=-，()'3,0,1η=，取1X ξ=，但不能简单地取3X η=，因为3X 还要保证非齐次线性方程组()23E A X X -=-有解。
因此，选取1X ξ=，312X k k ξη=+，其中12,k k 要保证1X 与3X 线性无关，且使得()23E A X X -=-有解。
因()'31212123,,X k k k k k k ξη=+=-+，即选取12,k k ，使方程组()1122213323226113113x k k E A X x k X x k -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有解。
不难知，当12k k =时，方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-1k 为非零任意常数，取11k =，这时得：()()''322,1,1,2,0,1X X ==于是122101011P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 容易验证111011P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭性质四 n 级若当块()1,1a a J a k a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()kx a -。
性质五 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使ϕ在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被ϕ唯一决定的。
性质六 设ϕ是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，()()()1212,,,k rr r k λλλλλλ--- 是ϕ的初等因子组，则V 可分解为k 个不变子空间的直和：12k V V V V ∙∙∙=+++其中i V 的维数等于i r 。
证明：设V 是n 维复线性空间，ϕ是V 上的线性变换。
设ϕ的初等因子组为()()()1212,,,kr r r k λλλλλλ---则性质五告诉我们，存在V 的一组基1,,{}i i n e = ，在这组基下ϕ的表示矩阵为12k J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭上式中每个i J 是相应与初等因子()ir i λλ-的若当块，其阶正好为i r ，令1V 是由基元11,,r e e 生成的子空间，则()()11111111,,,,1r re e e e λλϕλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即()()()()11111111221231111r r rr r e e e e e e e e e e eϕλϕλϕλϕλ--=+=+=+=这表示()11V V ϕ⊆，即1V 是ϕ的不变子空间。