数学期望的计算方法探讨
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1 - eλx
x > 0 x Φ0
0
— 42
—
高等理科教育 数学期望的计算方法探讨 ∴EX =
=
∫
0
+∞
[1 - F( x) ] dx -
∫
0
- ∞
F( x) dx =
∫
0
+∞
[1 - F( x) ] dx =
∫[ 1 0
i =1 i =1 i =1 n n n
是概率论学习中一种很重要的思想方法 。 例 1 :设有 n 张信纸分别标号为 1 ,2 , …,n ,另有 n 个信封也分别标号为 1 ,2 , …,n1 今将每张信 纸随机地放入一个信封中 ,令 X 表示信纸与信封号码恰好相同的个数 ,求 EX 。 解 : 如果先求出 X 的分布律 ,再利用定义计算 EX ,显然大费周折 ,因此可以考虑先将 X 分解为 一些简单随机变量的和再求 EX 若令 X i =
2 π 1 π 0
x + y
2 2
Φ1
, 求 EX
其它
- 1 Φ x Φ1
解一 :利用定义 , 先求出 X 的边际分布密度函数 p ( x ) =
1 - x2
0 由于 p ( x) = p ( - x) ,即 p ( x) 关于 x = 0 对称 ,因此 EX = 0
其它
解二 : 由于 ( X , Y) 服从 x 2 + y 2 Φ 1 内的均匀分布 , 因此 ( X , Y) 取值的中心位置是圆心 ( 0 ,0) , 因此 X ( 或 Y) 取值的中心位置应该是 X = 0 ( 或 Y = 0) ( 当然 ,这并不表明 X ( 或 Y) 服从 [ - 1 ,1 ] 上 的均匀分布 ,这一点可以通过 X 的边际分布密度函数得到验证) ,故 EX = 0 ( 或 E Y = 0) 。 在 ( 联合) 分布密度函数较复杂而用定义计算数学期望很困难时 , 这种方法可以首先拿来一 试 , 若 ( 联合) 分布密度函数恰好具有对称性 , 则计算数学期望就易如反掌了 。 上述解法中 , 如果对 数学期望和均匀分布的直观意义能够很好地理解 , 这种解法就是很自然的 。 在概率统计课的教学中 引导学生对基本概念的这种直观或直觉认识非常有助于学生深刻理解和灵活掌握基本概念 , 也可 以提高学生的学习兴趣 。 四 、 将随机变量 X 分解为 X = Σ X i , 从而 EX = Σ EX i 以达到简化计算的目的
i =1 i =1 n n
有些随机变量的结构很复杂 , 利用定义求其数学期望需要求其概率分布 , 若直接求概率分布很 困难 , 此时可以根据实际意义将要求数学期望的随机变量 X 分解为一些简单随机变量的和 , 即 X
= Σ X i , 然后利用数学期望的性质求得 EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i , 从而化整为零 、 化繁为简 , 这也
— 41
—
2006 年第 5 期 高等理科教育
∞
( 总第 69 期)
同理可得 , Σ k ( k - 1) x k - 2 =
k =2
d 1 2 ( ) = , 因此有 : d x (1 - x ) 2 (1 - x ) 3
i- 1
EX
2
2 2 = Σ i P ( X = i ) = Σ i P ( 1 - p)
i =1 i =1
∞
∞
= P ( 1 - P) Σ i ( i - 1) ( 1 - p )
i =2
∞
i- 2
+ PΣ i ( 1 i =1
∞
p)
i- 1
= P ( 1 - P) 3
2
P
3
+ P3
1
P
2
=
2 - P
P
2
1 第 i 张信纸恰好放入第 i 号信封 0 否则
n n
( i = 1 , 2 , …, n ) , 则 X = Σ X i
i =1 n
1 ∵EX i = P ( X i = 1) = , ∴EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i = 1
nHale Waihona Puke Baidu
i =1 i =1
例 2 :将 n 个球随机地放入 r 个盒子中 ,求有球的盒子数 X 的数学期望 解 :令 X i =
( r - 1) n r
n
= 1 - (1 -
1
r
) n,
r r 1 n ) ] ∴EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i = r[ 1 - ( 1 -
r
五 、 建立递推关系 当随机变量与实验的次序 ( 或顺序) 有关时 , 其本身的表达就很复杂 , 直接计算其数学期望很 困难 ,此时可以考虑建立递推关系 ,从而使问题得到顺利解决 。 例 : 袋中有 a 只白球 b 黑球 ,每次摸出一球后总是放入一只白球 ,这样进行了 n 次之后 ,求袋中 白球数的数学期望 解 : 令 Xn 表示进行了 n 次摸球后袋中的白球数 ,下面建立 EXn 的递推关系 1 进行 n 次摸球后再从袋中摸出一球是白球 令 Yn = 0 进行 n 次摸球后再从袋中摸出一球是黑球 则 Xn +1 = Xn - Yn + 1 ,故 EXn +1 = EXn - E Yn + 1 ( 1) ,由于 E Y n = P ( Y n = 1) = Σ P ( X n
+∞
( 1 - e - λx ) ] d x
1 λ
三 、 利用分布的对称性 当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时 , 直接利用定义求其数学期望较困难 。 但如果随 机变量的分布律或分布密度函数具有对称性 , 则其数学期望就是其取值的对称中心 , 这个结论的证 明并不难 , 可参阅文献 [ 1 ] 。 实际上 , 从数学期望的实际意义来看 , 这个结论也很显然 , 因为数学期望 就是随机变量取值的集中位置 , 当分布律或分布密度函数具有对称性时 , 取值的集中位置就是对称 中心 。 尤其当随机变量服从均匀分布时 , 其取值的对称中心非常容易得到 , 由此得到其数学期望 。 例 设二维随机变量 ( X , Y) 的分布密度函数为 p ( x , y ) =
+∞ - ∞
∫ x p ( x) dx Γ 在计算连续型随机变量的数学期望时 , 常常会用到一些特殊的积分 , 如 ∫ e d x = 2π、 函数Γ( n ) = 很多学生对积分 ∫ x e d x = ( n - 1) ! ( 其中 n Ε 1) 等 。 ∫ e d x = 2π很 1 陌生 , 但如果将它变形为 : : 这不正是标准正态分布的分布密 ∫ 2πe d x = 1 , 则会恍然大悟 “
( 二) 若随机变量 X 的分布函数为 F ( x) , 则 EX =
∫
0
+∞
[1 - F ( x) ] d x -
∫ F( x) dx
- ∞
0
当分布函数 F ( x) 为以 x = 0 为分段点进行定义的分段函数时 , 用该公式计算数学期望尤其简 便。 例 设 X 服从参数为λ的指数分布 , 求 EX 解 : X 的分布函数为 F ( x ) =
分布 密 度 时 引 入 该 特 殊 积 分 , 会 起 到 很 好 的 效 果 , 既 能 起 到 复 习 概 率 分 布 密 度 p ( x) 性 质
(
∫ p ( x ) d x = 1) 的作用 , 又能利用该性质间接得到的结果解决相关的积分运算 , 从而加深记忆 。
例 设 X 的分布密度函数为 p ( x ) =
从而 EX = PΣ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
= P・ = P [ 1 - ( 1 - P) ]2
1
1
Ξ 收稿日期 2004 — 11 — 16 资助项目 华中农业大学启动项目 ( 项目编号 : 52204 - 03046) 资助 1 作者简介 覃光莲 (1969 - ) 女 , 新疆玛纳斯人 , 副教授 , 主要从事概率统计的教学和科研工作 1
( 二) X 是连续型随机变量 ,X 的分布密度函数为 p ( x) , EX =
+∞ - ∞ x
2
2
- ∞
n- 1
- x
+∞ - ∞
-
x
2
2
0
+∞ - ∞
-
x
2
2
度 p ( x) =
+∞ - ∞
1 e 2π
x
2
2
) 上的积分吗 ? d x 在 ( - ∞, + ∞ 当然值为 1 了 !” 。 因此 , 在讲标准正态分布的
1 第 i 个盒子有球 0 否则
( i = 1 , 2 , …, r) , 则 X = Σ X i
i =1 r
— 43
—
2006 年第 5 期 高等理科教育
( 总第 69 期)
∵EX i = P ( X i = 1) = 1 - P ( x i = 0) = 1 i =1 i =1
高等理科教育 数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨
Ξ
覃光莲
( 华中农业大学 理学院数学与信息科学系 , 湖北 武汉 430070)
摘 要 本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法 : 利用一些特殊求和与积分公 式 、利用数学期望定义的不同形式 、利用随机变量分布的对称性 、全期望公式以及特征函数等 , 以期对该内容的学习和教学有所启发 。 关键词 数学期望 全期望公式 特征函数 中图分类号 G642 文献标识码 A 随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征 , 随机变量的其它 数字特征都是通过数学期望来定义的 , 因此数学期望的计算问题显得非常重要 。求随机变量的数 学期望从模型本身来讲 , 无非是计算 EX = Σ x i P ( X = x i ) 或 EX =
i =1
∞
k ∞ x 在计算离散型随机变量的数学期望时 , 常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式 , 如 Σ
k =0
k!
Σ xk = = ex 、
k =0
∞
1 ( | x | < 1 ) 等 , 熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简 1 - x
单。 例 设 X 服从参数为 P 的几何分布 , 求 EX , E X 2 解 : EX = Σ i P ( x = i ) = Σ i P ( 1 - p )
i =1
∞
∫ x p ( x ) d x , 但涉及到随
- ∞
+∞
机变量分布的各具体场合 , 其计算又有很多变化和技巧 。 下面结合具体场合 , 介绍一些简化计算数 学期望的不同方法 。 一 、 利用一些特殊的求和与积分公式
( 一) X 是离散型随机变量时 , EX = Σ x i P ( X = x i )
x - x2 2 e 2 a x > 0 , 求 EX a
2
而我们知道 χ2 分布 、 t 分布 、 F 分布的概率分布密度函数都用到 Γ 函数 , 因此了解和记忆 Γ 函数的 一些基本性质是很有必要的 , 在讲解数学期望时适时复习一下可谓是一举两得 。
解 : EX =
∫ = a ∫( 0
+∞
+∞
x - x x 3 2 e 2 a2 d x a y ) de y
2
2
令y = a
x
0 x Φ 0
= a
∫y e
2 0
y
+∞
2
y
2
2
dy
+∞
2
0
= a[ ( - y ) e -
2
|0
+
∫e
0
+∞
-
y
2
2
dy ] =
2π a 2
二 、 利用数学期望定义的不同形式
( 一) 若取非负整数值的随机变量 X 的数学期望存在 , 则 EX = Σ P ( X Ε k )
k =1
∞
有时对取非负整数值的随机变量 X 我们很容易得到 P ( X Ε k ) , 此时用该定义来计算数学期 望就很简单 。 例 掷 n 颗均匀的骰子 ,求掷得最大点数 X 的数学期望 分析 :若直接用定义 , 则需要求出 P ( X = k ) , 直接计算不易得出 , 但易知 : P ( X Ε k ) = 1 ∞ ( k - 1) n ( k = 1 , 2 , …, 6) , 因此用 EX = Σ P ( X Ε k ) 计算 EX 会很方便 。 n k =1 6 6 6 ( k - 1) n 解得 : EX = Σ P ( X Ε k ) = 6 - Σ k =1 k =1 6n
i =1 i =1
∞
∞
i- 1
= PΣ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
为了求级数 Σ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
, 可作如下考虑 :由于 Σ x k =
k =0
∞
1 ( | x | < 1) 1 - x
利用和函数的可微性对此级数逐项求导 , 得
∞ ∞ ∞ d ∞ k d d 1 1 (Σ x ) = Σ ( x k ) = Σ k x k - 1 , 因此 Σ k x k - 1 = ( ) = k =0 dx k =1 k =1 dx k =0 dx 1 - x (1 - x ) 2
x > 0 x Φ0
0
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高等理科教育 数学期望的计算方法探讨 ∴EX =
=
∫
0
+∞
[1 - F( x) ] dx -
∫
0
- ∞
F( x) dx =
∫
0
+∞
[1 - F( x) ] dx =
∫[ 1 0
i =1 i =1 i =1 n n n
是概率论学习中一种很重要的思想方法 。 例 1 :设有 n 张信纸分别标号为 1 ,2 , …,n ,另有 n 个信封也分别标号为 1 ,2 , …,n1 今将每张信 纸随机地放入一个信封中 ,令 X 表示信纸与信封号码恰好相同的个数 ,求 EX 。 解 : 如果先求出 X 的分布律 ,再利用定义计算 EX ,显然大费周折 ,因此可以考虑先将 X 分解为 一些简单随机变量的和再求 EX 若令 X i =
2 π 1 π 0
x + y
2 2
Φ1
, 求 EX
其它
- 1 Φ x Φ1
解一 :利用定义 , 先求出 X 的边际分布密度函数 p ( x ) =
1 - x2
0 由于 p ( x) = p ( - x) ,即 p ( x) 关于 x = 0 对称 ,因此 EX = 0
其它
解二 : 由于 ( X , Y) 服从 x 2 + y 2 Φ 1 内的均匀分布 , 因此 ( X , Y) 取值的中心位置是圆心 ( 0 ,0) , 因此 X ( 或 Y) 取值的中心位置应该是 X = 0 ( 或 Y = 0) ( 当然 ,这并不表明 X ( 或 Y) 服从 [ - 1 ,1 ] 上 的均匀分布 ,这一点可以通过 X 的边际分布密度函数得到验证) ,故 EX = 0 ( 或 E Y = 0) 。 在 ( 联合) 分布密度函数较复杂而用定义计算数学期望很困难时 , 这种方法可以首先拿来一 试 , 若 ( 联合) 分布密度函数恰好具有对称性 , 则计算数学期望就易如反掌了 。 上述解法中 , 如果对 数学期望和均匀分布的直观意义能够很好地理解 , 这种解法就是很自然的 。 在概率统计课的教学中 引导学生对基本概念的这种直观或直觉认识非常有助于学生深刻理解和灵活掌握基本概念 , 也可 以提高学生的学习兴趣 。 四 、 将随机变量 X 分解为 X = Σ X i , 从而 EX = Σ EX i 以达到简化计算的目的
i =1 i =1 n n
有些随机变量的结构很复杂 , 利用定义求其数学期望需要求其概率分布 , 若直接求概率分布很 困难 , 此时可以根据实际意义将要求数学期望的随机变量 X 分解为一些简单随机变量的和 , 即 X
= Σ X i , 然后利用数学期望的性质求得 EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i , 从而化整为零 、 化繁为简 , 这也
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2006 年第 5 期 高等理科教育
∞
( 总第 69 期)
同理可得 , Σ k ( k - 1) x k - 2 =
k =2
d 1 2 ( ) = , 因此有 : d x (1 - x ) 2 (1 - x ) 3
i- 1
EX
2
2 2 = Σ i P ( X = i ) = Σ i P ( 1 - p)
i =1 i =1
∞
∞
= P ( 1 - P) Σ i ( i - 1) ( 1 - p )
i =2
∞
i- 2
+ PΣ i ( 1 i =1
∞
p)
i- 1
= P ( 1 - P) 3
2
P
3
+ P3
1
P
2
=
2 - P
P
2
1 第 i 张信纸恰好放入第 i 号信封 0 否则
n n
( i = 1 , 2 , …, n ) , 则 X = Σ X i
i =1 n
1 ∵EX i = P ( X i = 1) = , ∴EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i = 1
nHale Waihona Puke Baidu
i =1 i =1
例 2 :将 n 个球随机地放入 r 个盒子中 ,求有球的盒子数 X 的数学期望 解 :令 X i =
( r - 1) n r
n
= 1 - (1 -
1
r
) n,
r r 1 n ) ] ∴EX = E ( Σ X i ) = Σ EX i = r[ 1 - ( 1 -
r
五 、 建立递推关系 当随机变量与实验的次序 ( 或顺序) 有关时 , 其本身的表达就很复杂 , 直接计算其数学期望很 困难 ,此时可以考虑建立递推关系 ,从而使问题得到顺利解决 。 例 : 袋中有 a 只白球 b 黑球 ,每次摸出一球后总是放入一只白球 ,这样进行了 n 次之后 ,求袋中 白球数的数学期望 解 : 令 Xn 表示进行了 n 次摸球后袋中的白球数 ,下面建立 EXn 的递推关系 1 进行 n 次摸球后再从袋中摸出一球是白球 令 Yn = 0 进行 n 次摸球后再从袋中摸出一球是黑球 则 Xn +1 = Xn - Yn + 1 ,故 EXn +1 = EXn - E Yn + 1 ( 1) ,由于 E Y n = P ( Y n = 1) = Σ P ( X n
+∞
( 1 - e - λx ) ] d x
1 λ
三 、 利用分布的对称性 当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时 , 直接利用定义求其数学期望较困难 。 但如果随 机变量的分布律或分布密度函数具有对称性 , 则其数学期望就是其取值的对称中心 , 这个结论的证 明并不难 , 可参阅文献 [ 1 ] 。 实际上 , 从数学期望的实际意义来看 , 这个结论也很显然 , 因为数学期望 就是随机变量取值的集中位置 , 当分布律或分布密度函数具有对称性时 , 取值的集中位置就是对称 中心 。 尤其当随机变量服从均匀分布时 , 其取值的对称中心非常容易得到 , 由此得到其数学期望 。 例 设二维随机变量 ( X , Y) 的分布密度函数为 p ( x , y ) =
+∞ - ∞
∫ x p ( x) dx Γ 在计算连续型随机变量的数学期望时 , 常常会用到一些特殊的积分 , 如 ∫ e d x = 2π、 函数Γ( n ) = 很多学生对积分 ∫ x e d x = ( n - 1) ! ( 其中 n Ε 1) 等 。 ∫ e d x = 2π很 1 陌生 , 但如果将它变形为 : : 这不正是标准正态分布的分布密 ∫ 2πe d x = 1 , 则会恍然大悟 “
( 二) 若随机变量 X 的分布函数为 F ( x) , 则 EX =
∫
0
+∞
[1 - F ( x) ] d x -
∫ F( x) dx
- ∞
0
当分布函数 F ( x) 为以 x = 0 为分段点进行定义的分段函数时 , 用该公式计算数学期望尤其简 便。 例 设 X 服从参数为λ的指数分布 , 求 EX 解 : X 的分布函数为 F ( x ) =
分布 密 度 时 引 入 该 特 殊 积 分 , 会 起 到 很 好 的 效 果 , 既 能 起 到 复 习 概 率 分 布 密 度 p ( x) 性 质
(
∫ p ( x ) d x = 1) 的作用 , 又能利用该性质间接得到的结果解决相关的积分运算 , 从而加深记忆 。
例 设 X 的分布密度函数为 p ( x ) =
从而 EX = PΣ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
= P・ = P [ 1 - ( 1 - P) ]2
1
1
Ξ 收稿日期 2004 — 11 — 16 资助项目 华中农业大学启动项目 ( 项目编号 : 52204 - 03046) 资助 1 作者简介 覃光莲 (1969 - ) 女 , 新疆玛纳斯人 , 副教授 , 主要从事概率统计的教学和科研工作 1
( 二) X 是连续型随机变量 ,X 的分布密度函数为 p ( x) , EX =
+∞ - ∞ x
2
2
- ∞
n- 1
- x
+∞ - ∞
-
x
2
2
0
+∞ - ∞
-
x
2
2
度 p ( x) =
+∞ - ∞
1 e 2π
x
2
2
) 上的积分吗 ? d x 在 ( - ∞, + ∞ 当然值为 1 了 !” 。 因此 , 在讲标准正态分布的
1 第 i 个盒子有球 0 否则
( i = 1 , 2 , …, r) , 则 X = Σ X i
i =1 r
— 43
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2006 年第 5 期 高等理科教育
( 总第 69 期)
∵EX i = P ( X i = 1) = 1 - P ( x i = 0) = 1 i =1 i =1
高等理科教育 数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨
Ξ
覃光莲
( 华中农业大学 理学院数学与信息科学系 , 湖北 武汉 430070)
摘 要 本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法 : 利用一些特殊求和与积分公 式 、利用数学期望定义的不同形式 、利用随机变量分布的对称性 、全期望公式以及特征函数等 , 以期对该内容的学习和教学有所启发 。 关键词 数学期望 全期望公式 特征函数 中图分类号 G642 文献标识码 A 随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征 , 随机变量的其它 数字特征都是通过数学期望来定义的 , 因此数学期望的计算问题显得非常重要 。求随机变量的数 学期望从模型本身来讲 , 无非是计算 EX = Σ x i P ( X = x i ) 或 EX =
i =1
∞
k ∞ x 在计算离散型随机变量的数学期望时 , 常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式 , 如 Σ
k =0
k!
Σ xk = = ex 、
k =0
∞
1 ( | x | < 1 ) 等 , 熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简 1 - x
单。 例 设 X 服从参数为 P 的几何分布 , 求 EX , E X 2 解 : EX = Σ i P ( x = i ) = Σ i P ( 1 - p )
i =1
∞
∫ x p ( x ) d x , 但涉及到随
- ∞
+∞
机变量分布的各具体场合 , 其计算又有很多变化和技巧 。 下面结合具体场合 , 介绍一些简化计算数 学期望的不同方法 。 一 、 利用一些特殊的求和与积分公式
( 一) X 是离散型随机变量时 , EX = Σ x i P ( X = x i )
x - x2 2 e 2 a x > 0 , 求 EX a
2
而我们知道 χ2 分布 、 t 分布 、 F 分布的概率分布密度函数都用到 Γ 函数 , 因此了解和记忆 Γ 函数的 一些基本性质是很有必要的 , 在讲解数学期望时适时复习一下可谓是一举两得 。
解 : EX =
∫ = a ∫( 0
+∞
+∞
x - x x 3 2 e 2 a2 d x a y ) de y
2
2
令y = a
x
0 x Φ 0
= a
∫y e
2 0
y
+∞
2
y
2
2
dy
+∞
2
0
= a[ ( - y ) e -
2
|0
+
∫e
0
+∞
-
y
2
2
dy ] =
2π a 2
二 、 利用数学期望定义的不同形式
( 一) 若取非负整数值的随机变量 X 的数学期望存在 , 则 EX = Σ P ( X Ε k )
k =1
∞
有时对取非负整数值的随机变量 X 我们很容易得到 P ( X Ε k ) , 此时用该定义来计算数学期 望就很简单 。 例 掷 n 颗均匀的骰子 ,求掷得最大点数 X 的数学期望 分析 :若直接用定义 , 则需要求出 P ( X = k ) , 直接计算不易得出 , 但易知 : P ( X Ε k ) = 1 ∞ ( k - 1) n ( k = 1 , 2 , …, 6) , 因此用 EX = Σ P ( X Ε k ) 计算 EX 会很方便 。 n k =1 6 6 6 ( k - 1) n 解得 : EX = Σ P ( X Ε k ) = 6 - Σ k =1 k =1 6n
i =1 i =1
∞
∞
i- 1
= PΣ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
为了求级数 Σ i ( 1 - p )
i =1
∞
i- 1
, 可作如下考虑 :由于 Σ x k =
k =0
∞
1 ( | x | < 1) 1 - x
利用和函数的可微性对此级数逐项求导 , 得
∞ ∞ ∞ d ∞ k d d 1 1 (Σ x ) = Σ ( x k ) = Σ k x k - 1 , 因此 Σ k x k - 1 = ( ) = k =0 dx k =1 k =1 dx k =0 dx 1 - x (1 - x ) 2