2-1波函数和Schrodinger方程详解
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52 2
教学重点
1、态(波)函数、态叠加原理、几率密度、几 率流密度、定态、束缚态、自由态。 2、微观体系（粒子）的状态用波函数完全描 述； 3、态叠加原理； 4、微观体系（粒子）运动状态随时间的变化 服从薛定谔方程。
52
3
教学难点
如何理解波函数的统计解释及态叠加原理， 如何理解量子力学与经典力学关于描写微 观粒子运动状态及其运动规律时的不同观 念。微观粒子的波动-粒子二象性、 态叠加 原理、边值问题的确定和求解。
9
结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为M，到达某处的电子数 为N，则到达某处的电子几率为N/ M
②单个电子的多次行为 干涉图样 明条纹 暗条纹 小 小
10
“粒子”观点 发现电子几率大
“波动”观点
52
波强度大
结论：这种波是一种几率波
波函数的统计解释：
若干涉振幅用 ( r ) 表示，与在光学中类似， 2 波的强度可用 | (r ) | 表示。
波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波。 一般情况下称 ( r )为几率振幅，它描述微观 粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态 （ r , p）的描述。由此得到 量子力学的基本原理之一：
微观粒子的状态用波函数 ( r , t )完全描述。
52 11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。 2 几率密度用 r , t r , t r , t 表示，
p 2 2k 2 E 2m 2m
p k
2
52
E k 2 2 2m h
6
p v m
而
dv g
0 dk m
即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。
但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。
所以不能把电子看成三维空间的物质波包。
52 7
②不能认为波是由一群粒子组成。否则必然 导致波动是由粒子间的相互作用产生的电子 衍射实验中，电子流非常弱，一个一个电子 打到靶上也产生干涉图样。说明波动性也是 单个粒子所具有的。 结论：微观粒子既是粒子又是波。它是粒子和 波动二重性矛盾的统一 电子既不是粒子也不是波 ，既不是经典的粒子 也不是经典的波。
52
4
§2.1 波函数的统计解释
1、对波粒二象性的理解 对于能量为E动量为P的状态，说限于某 点的波没有意义，不能按经典的概念去理 解微观粒子的波粒二象性。
那么，如何理解波粒二象性呢？ 粒子----定域性 波动----广延性
52 5
①不能认为一个粒子就是经典概念下的波 历史上曾经把粒子用波包来等价，比如自 由粒子的平面波包。以波包中心表示粒子的 位置，波包的大小表示粒子的大小。 群速度表示粒子的速度。则
52 14
（2）多粒子系的波函数
在t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为 ( r1 , r2 , , rN , t ) 其中 r1 , r2 , , rN 表示各粒子的位置 2 3 3 3 而 | (r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 2 N 1 2 表示粒子 1 出现于 （r1 , r1 dr1）中， 同时
V
▲几率的相对性
与经典波不同，对空间中的各点， c与 描述同一个状态。由于粒子在全空间出现的几率等 于1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波 函数在空间各点强度的相对比例，考虑的几率是相 对几率。空间中任意两点 r , r 的相对几率为
1 2
2 c ( r1 ) ( r1 ) c ( r2 ) ( r2 )
两者统一于Bohn的几率波概念中。
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2、几率波 多粒子系的波函数 (1)几率波 分析电子的双缝干涉实验发现，干涉图 样与发射电子流强度无关。且多个电子一 次行为与一个电子的多次行为结果相同。 ①多个电子的一次行为
干涉图样 明条纹 暗条纹 少
“粒子”观点 到达电子多 “波动”观点
52
波强度大
小
V
用内积表示为 ( , ) *d 1
第二章 波函数和 Schrö dinger方程
主要内容: 1.引入描述微观粒子量子状态的物理量：波函数; 2.建立非相对论的量子力学的基本方程：薛定谔方程.
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrö dinger方程
52 1
教学目的
1、理解量子力学与经典力学在关于描写微观 粒子运动状态及其运动规律时的不同观念。 2、掌握波函数的标准化条件：有限性、连续 性、单值性。 3、理解态叠加原理以及任何波函数按不同动 量的平面波展开的方法及其物理意义。 4、了解Schrodinger方程的建立过程以及它 在量子力学中的地位。
52
2
常数因子不确定性
源自文库
13
经典波相差c，强度相差 |c|2。经典波根本 谈不上归一化。 若
1 则归一化波函数可用 ( r ) 表示 A
显然
V
2 3 (r ) d r A 0 (常数)
V
3 1 (r ) d r 1 A
2
即使归一化，波函数仍具有 e i 的相位不稳 i 定性，因为 ( r )e ( r )
粒子 2 出现于 （r2 , r2 dr2）中， 同时 粒子 N 出现于 （ rN , rN drN）中的几率
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归一化条件为 2 3 3 3 | ( r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 1 2 1 2 N
其物理涵义是(见下图）： z
Ψ
r
y 52
中发现一个粒子的几率。 dV 而t 时刻在 r 点附近dV 内发现粒子的概率为: x 2 r , t dV
t 时刻，在 r 点处单位体积
12
这就是波函数的统计解释。显然几率是归 2 3 一的，即 | (r , t ) | d r 1
教学重点
1、态(波)函数、态叠加原理、几率密度、几 率流密度、定态、束缚态、自由态。 2、微观体系（粒子）的状态用波函数完全描 述； 3、态叠加原理； 4、微观体系（粒子）运动状态随时间的变化 服从薛定谔方程。
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教学难点
如何理解波函数的统计解释及态叠加原理， 如何理解量子力学与经典力学关于描写微 观粒子运动状态及其运动规律时的不同观 念。微观粒子的波动-粒子二象性、 态叠加 原理、边值问题的确定和求解。
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结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为M，到达某处的电子数 为N，则到达某处的电子几率为N/ M
②单个电子的多次行为 干涉图样 明条纹 暗条纹 小 小
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“粒子”观点 发现电子几率大
“波动”观点
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波强度大
结论：这种波是一种几率波
波函数的统计解释：
若干涉振幅用 ( r ) 表示，与在光学中类似， 2 波的强度可用 | (r ) | 表示。
波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波。 一般情况下称 ( r )为几率振幅，它描述微观 粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态 （ r , p）的描述。由此得到 量子力学的基本原理之一：
微观粒子的状态用波函数 ( r , t )完全描述。
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不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。 2 几率密度用 r , t r , t r , t 表示，
p 2 2k 2 E 2m 2m
p k
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E k 2 2 2m h
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p v m
而
dv g
0 dk m
即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。
但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。
所以不能把电子看成三维空间的物质波包。
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②不能认为波是由一群粒子组成。否则必然 导致波动是由粒子间的相互作用产生的电子 衍射实验中，电子流非常弱，一个一个电子 打到靶上也产生干涉图样。说明波动性也是 单个粒子所具有的。 结论：微观粒子既是粒子又是波。它是粒子和 波动二重性矛盾的统一 电子既不是粒子也不是波 ，既不是经典的粒子 也不是经典的波。
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§2.1 波函数的统计解释
1、对波粒二象性的理解 对于能量为E动量为P的状态，说限于某 点的波没有意义，不能按经典的概念去理 解微观粒子的波粒二象性。
那么，如何理解波粒二象性呢？ 粒子----定域性 波动----广延性
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①不能认为一个粒子就是经典概念下的波 历史上曾经把粒子用波包来等价，比如自 由粒子的平面波包。以波包中心表示粒子的 位置，波包的大小表示粒子的大小。 群速度表示粒子的速度。则
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（2）多粒子系的波函数
在t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为 ( r1 , r2 , , rN , t ) 其中 r1 , r2 , , rN 表示各粒子的位置 2 3 3 3 而 | (r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 2 N 1 2 表示粒子 1 出现于 （r1 , r1 dr1）中， 同时
V
▲几率的相对性
与经典波不同，对空间中的各点， c与 描述同一个状态。由于粒子在全空间出现的几率等 于1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波 函数在空间各点强度的相对比例，考虑的几率是相 对几率。空间中任意两点 r , r 的相对几率为
1 2
2 c ( r1 ) ( r1 ) c ( r2 ) ( r2 )
两者统一于Bohn的几率波概念中。
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2、几率波 多粒子系的波函数 (1)几率波 分析电子的双缝干涉实验发现，干涉图 样与发射电子流强度无关。且多个电子一 次行为与一个电子的多次行为结果相同。 ①多个电子的一次行为
干涉图样 明条纹 暗条纹 少
“粒子”观点 到达电子多 “波动”观点
52
波强度大
小
V
用内积表示为 ( , ) *d 1
第二章 波函数和 Schrö dinger方程
主要内容: 1.引入描述微观粒子量子状态的物理量：波函数; 2.建立非相对论的量子力学的基本方程：薛定谔方程.
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrö dinger方程
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教学目的
1、理解量子力学与经典力学在关于描写微观 粒子运动状态及其运动规律时的不同观念。 2、掌握波函数的标准化条件：有限性、连续 性、单值性。 3、理解态叠加原理以及任何波函数按不同动 量的平面波展开的方法及其物理意义。 4、了解Schrodinger方程的建立过程以及它 在量子力学中的地位。
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常数因子不确定性
源自文库
13
经典波相差c，强度相差 |c|2。经典波根本 谈不上归一化。 若
1 则归一化波函数可用 ( r ) 表示 A
显然
V
2 3 (r ) d r A 0 (常数)
V
3 1 (r ) d r 1 A
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即使归一化，波函数仍具有 e i 的相位不稳 i 定性，因为 ( r )e ( r )
粒子 2 出现于 （r2 , r2 dr2）中， 同时 粒子 N 出现于 （ rN , rN drN）中的几率
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归一化条件为 2 3 3 3 | ( r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 1 2 1 2 N
其物理涵义是(见下图）： z
Ψ
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中发现一个粒子的几率。 dV 而t 时刻在 r 点附近dV 内发现粒子的概率为: x 2 r , t dV
t 时刻，在 r 点处单位体积
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这就是波函数的统计解释。显然几率是归 2 3 一的，即 | (r , t ) | d r 1