2-1波函数和Schrodinger方程详解
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
第二章 波函数和 Schrodinger 方程§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。
简言之:波函数完全描述微观粒子状态(一）波函数描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。
此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：，它通常是一个复函数。
如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。
exp ()iA Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦p r (,)t ψr (,)t ψr()2,,,dW x y z t dV=ψ概率密度/dW dV所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。
波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。
由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而 则表示概率密度例题1：电子的自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
波函数与薛定谔方程
x x ( r ) x ( r )dr 三维情况: p x p x ( r ) x ( r )dr p F F ( r )F ( r )dr
若波函数未归一化,则 ( r )F (r )dr F F ( r ) ( r )dr
没有归一化,
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A (A 是大于零的常数),则有
∫∞ |A-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 也就是说,A-1/2Ψ (r , t ) 是归一化的波函数,与Ψ (r , t )描写同一 几率波,(A)-1/2 称为归一化因子. 注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不确定性.若Ψ(r , t )
一般情况下,如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态,那么它们的 线性叠加
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2
也是该体系的一个可能状态,其中 C1
和 C2 是复常数,这就是量子力学的态叠加原理.
态叠加原理一般表述:
若Ψ1 ,Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态, 则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ...
p x | c ( p x ) |2 dp x
(二)力学量算符
(1)动量算符
既然ψ(x) 是归一化波函数,相应动量表象波函数为c(px) 一 一 对应,相互等价的描述粒子的同一状态,那末动量的平均 值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来.但是ψ(x)不含px变量, 为了能由ψ(x)来确定动量平均值,动量 px必须改造成只含自 变量 x 的形式,这种形式称为动量 px的算符形式,记为
x y z
A1e
考虑一维积分 若取 A1= (2)-1/2, 则:
*
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
2-1波函数和Schrodinger方程
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大 小，确切的说，|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体 积元Δx Δy Δz中找到粒子的几率。波函数在空间某
点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子 的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反
映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有
电子既不是粒子也不是波 ，既不是经典的粒子 也不是经典的波。
两者统一于 Bohn 的几率波概念中。
52
8
波函数
Aexp i(p •rE)t
描写自由粒子的 平面波
称为de Broglie波。此式称为自由粒子的波函数。
•如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量 和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用 平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r,t)
描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。
如何理解物质波和它所描写的粒子之间的关系?
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
52 (3) 描写的是什么样的波呢？
9
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
另外也不能把电子看成三维空间的物质波包。
衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。
52
7
②不能认为波是由一群粒子组成。否则必
然导致波动是由粒子间的相互作用产生的
电子衍射实验中，电子流非常弱，一个一 个电子打到靶上也产生干涉图样。说明波 动性也是单个粒子所具有的。
结论：微观粒子既是粒子又是波。它是粒子和 波动二重性矛盾的统一
schrodinger方程
Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。
Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。
它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。
通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。
方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。
下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。
这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。
波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。
根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。
这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。
由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。
但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。
哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。
它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。
例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。
通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。
解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。
量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1
1. 波由粒子组成
如水波，声波等 矛盾：不能解释长时间单个电子衍射实验 反例：氢原子
2. 粒子由波组成
粒子的运动速度即波包的群速度
d k k 矛盾： v g dk m
反例：自由粒子
3
波包发散
3
2.1.2．几率波，多粒子系的波函数
电子究竟是什么东西呢？ 是粒子？还是波？
经典概念 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
1. 扫描电子显微镜
17
SEM
17
电子显微镜下的 流行感冒病毒
18
电子显微镜下 的乙肝病毒
18
电子显微镜下的花粉
19
19
电子显微镜下的灯泡钨丝
20
20
电子显微镜下的光盘表面
21
21
电子显微镜下放大50k倍才观察到碳纳米管的真面目 22
22
2. 扫描隧道显微镜
STM
23
23
0 10
30
50
70
90
(nm)
24
硅晶体表面的STM扫描图象
24
神经细胞的STM扫描图象
25
25
操纵单个原子写出的“100”、“中国”
26
26
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫 描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形 成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
27
27
1959年费曼的演讲《在底部还有很大的空间》
15 15
波函数的意义
2 r , t r , t r , t :几率密度
z
Ψ dV
t 时刻，在 r 端点处单位体
积中发现一个粒子的几率。
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
第二章 波函数和薛定谔方程
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
2-1波函数和Schrodinger方程
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
schrodinger方程
schrodinger方程Schrodinger方程是一个描述量子力学中粒子随时间演化的数学方程。
它的主要思想是将粒子的位置信息转化为波函数的形式，并根据波函数的随时间演化，计算出粒子在时间上的变化。
下面将分步骤详细阐述Schrodinger方程的相关知识。
1. 量子态和波函数在量子力学中，我们无法精确地描述粒子的位置和动量信息，而只能用量子态来描述。
量子态可以是一个列向量，也可以是一个常数乘以列向量。
而波函数则是一个数学函数，它是用来描述量子态的工具。
波函数是一个复函数，它的平方即为粒子出现在某一位置时的概率。
波函数的模方必须为正值，且在整个空间上积分等于1，保证了粒子一定会存在于某个位置。
2. Schrodinger方程的基本形式Schrodinger方程的基本形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) =\hat{H}\psi(x,t)$其中，$\hbar$是普朗克常数除以$2\pi$，$\hat{H}$是量子力学中的哈密顿算符。
哈密顿算符描述了物理系统的能量与动量的关系，它是粒子的动能加势能的和。
3. Schrodinger方程的一维形式一维Schrodinger方程的形式为：$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partialx^2}\psi(x,t)+V(x)\psi(x,t)$其中，$m$是粒子的质量，$V(x)$是势能函数。
这个方程可以用于描述一个自由粒子在势场中的运动。
4. Schrodinger方程的应用Schrodinger方程在量子力学中的应用非常广泛，它可以用于解决各种静态和动态问题。
静态问题包括计算某个势场下粒子的定态波函数和能量本征值。
动态问题包括计算粒子在势场中受到外界时间依赖作用的状态演化，以及计算一些简单的量子力学现象。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
第二章 波函数和 Schrodinger 方程 2010
若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的
证明： ∝ r r r 2 r ∗ r ∫ |c( p, t ) | dp = ∫ c ( p, t )c( p, t )dp
−∝
∞ r r r r r c( p, t ) = ∫ Φ∗ p (r )Ψ(r , t )dr −∞
r r r r r r ∗r r r ( r )dr ][ = ∫ [ ∫ Ψ ( r , t )Φ p ∫ Ψ(r ' , t )Φ p (r ' )dr ' ]dp r r r r ∗r r r ∗ r r ( r )Φ p ( r ' )dp = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' ∫ Φ p r r r r r ∗ r = ∫∫ Ψ ( r , t )Ψ( r ' , t )dr dr ' δ ( r − r ' ) r r ∗ r = ∫ Ψ ( r , t )Ψ( r , t )dr = 1
称为 de
描写自由粒子的 平 面 波
Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
r Ψ (r , t)
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ → ∞, 则 C → 0, 这是没有意义的。
r ⎡i r r ⎤ Ψ(r , t ) = A exp⎢ ( p • r − Et )⎥ ⎣h ⎦
2-1-单电子原子的Schrodinger方程及其解
2.1.2 分离变量法求解方程
1 2 1 1 2 8 2 Ze2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 4 0r
l 3
m0 m 1 m 2 m 3
R(r )方程的解
联属拉盖尔方程
1 d 2 dR 8 2 Ze2 l (l 1) (r ) 2 (E ) R0 2 2 r dr dr h 4 0 r r
类氢体系: 是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+,
等，它们的核电荷数为Z，核与电子的吸引位能为：
Li2+, Be3+
电子相对运动的 Hamilton算符为
Ze e V 4 0 r 2 2 h Ze 2 ˆ H 2 8 4 0 r
2
2.1.1
mm e N me mN
方程
R方程
( )方程的解
d 2 2 m 0 2 d
(常系数二阶线性齐次方程)
im 通解： m Ae
根据单值条件(周期性边界条件)，得 m ( ) m (2 )
Ae
im
Ae
im (2 )
Ae
im
e
i 2 m
ei 2 m cos 2 m i sin 2 m 1
x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r2 = x2 + y2 + z2
cos z x2 y 2 z 2
取值范围： 0r 0 0 2 OP长为r OP与z轴夹角为
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程（新）
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程（新）I.波函数与Schrodinger方程1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流密度。
2-1波函数
2-1波函数第二章波函数与Schr?dinger 方程本章将介绍量子力学的基本假设。
§2.1 波函数2.1.1 波粒二象性的意义把de Broglie 假说加以推广，对于一般状态下的微观粒子，应该用一般的时间和空间的复函数来描写：ψψ=(,) r t ，它称为波函数。
对波函数的意义的理解是量子力学中的重要问题。
波函数是微观粒子的“波粒二象性”的表现，所以这里的关键是如何理解波粒二象性。
某些对波粒二象性的理解是错误的，比如：波函数代表粒子的结构；或者，波函数代表大量粒子的运动。
对波粒二象性的正确理解如下。
在粒子的双缝干涉实验中，两个缝同时打开时观察到的波的强度（即是粒子打在观察屏上的位置几率分布）不等于分别打开一个缝时波的强度的和：1212.P P P ≠+所以，粒子的波动性是许多粒子在一个实验中显示的统计结果，或一个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。
如果我们把粒子流的强度减低到如此之弱，使得只有在前一个粒子到达了观察屏以后，它后面的一个粒子才出发，那么只要观察的时间积累得足够长，最后得到的双缝干涉条纹还是完全一样的。
所以，单个粒子就具有波动性，或者说，在双缝干涉实验中，粒子是自己和自己发生了干涉。
2.1.2 波函数的统计诠释(Born, 1926) Born 提出：波函数在某个空间点的绝对值的平方与在该点找到粒子的几率密度成正比。
波函数本身称为几率振幅。
关于量子力学中的几率和数学中的几率的异同。
在观察的意义上，量子力学中的几率和数学中的几率是一样的。
但是，在量子力学里几率不是原初的对象。
量子力学的出发点是几率振幅，它的模平方给出几率。
在数学中规定几率要满足一些公理性的运算法则，但是在量子力学中规定的却是对几率振幅进行运算的规则。
所以，量子力学中的几率和数学中的几率（有时被称为经典几率）有质的不同。
按照几率解释，设()(,)(,,)r t r x y z ψ=是某个波函数，那么在点r 附近的体积元3d r dxdy dz=中在时刻t 发现粒子的几率就是23(,)(,),dW r t r t d r =ψ 或者说，粒子的空间几率密度是2(,)(,).r t r t ρ=ψ以后我们还会看到：由波函数还可以决定粒子的其它各种物理量（又称“可观察量”）的测量值和测量几率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主要内容: 1.引入描述微观粒子量子状态的物理量：波函数; 2.建立非相对论的量子力学的基本方程：薛定谔方程.
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrö dinger方程
52 1
教学目的
1、理解量子力学与经典力学在关于描写微观 粒子运动状态及其运动规律时的不同观念。 2、掌握波函数的标准化条件：有限性、连续 性、单值性。 3、理解态叠加原理以及任何波函数按不同动 量的平面波展开的方法及其物理意义。 4、了解Schrodinger方程的建立过程以及它 在量子力学中的地位。
52
4
§2.1 波函数的统计解释
1、对波粒二象性的理解 对于能量为E动量为P的状态，说限于某 点的波没有意义，不能按经典的概念去理 解微观粒子的波粒二象性。
那么，如何理解波粒二象性呢？ 粒子----定域性 波动----广延性
52 5
①不能认为一个粒子就是经典概念下的波 历史上曾经把粒子用波包来等价，比如自 由粒子的平面波包。以波包中心表示粒子的 位置，波包的大小表示粒子的大小。 群速度表示粒子的速度。则
两者统一于Bohn的几率波概念中。
52 8
2、几率波 多粒子系的波函数 (1)几率波 分析电子的双缝干涉实验发现，干涉图 样与发射电子流强度无关。且多个电子一 次行为与一个电子的多次行为结果相同。 ①多个电子的一次行为
干涉图样 明条纹 暗条纹 少
“粒子”观点 到达电子多 “波动”观点
52
波强度大
小
所以不能把电子看成三维空间的物质波包。
52 7
②不能认为波是由一群粒子组成。否则必然 导致波动是由粒子间的相互作用产生的电子 衍射实验中，电子流非常弱，一个一个电子 打到靶上也产生干涉图样。说明波动性也是 单个粒子所具有的。 结论：微观粒子既是粒子又是波。它是粒子和 波动二重性矛盾的统一 电子既不是粒子也不是波 ，既不是经典的粒子 也不是经典的波。
V
用内积表示为 ( , ) *d 1
粒子 2 出现于 （r2 , r2 dr2）中， 同时 粒子 N 出现于 （ rN , rN drN）中的几率
52 15
归一化条件为 2 3 3 3 | ( r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 1 2 1 2 N
其物理涵义是(见下图）： z
Ψ
r
y 52
中发现一个粒子的几率。 dV 而t 时刻在 r 点附近dV 内发现粒子的概率为: x 2 r , t dV
t 时刻，在 r 点处单位体积
12
这就是波函数的统计解释。显然几率是归 2 3 一的，即 | (r , t ) | d r 1
p 2 2k 2 E 2m 2m
p k
2
52
E k 2 2 2m h
6
p v m
而
dv g
0 dk m
即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 子变胖。
但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。
52 14
（2）多粒子系的波函数
在t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为 ( r1 , r2 , , rN , t ) 其中 r1 , r2 , , rN 表示各粒子的位置 2 3 3 3 而 | (r , r , , r , t ) | d r d r , d rN 1 2 N 1 2 表示粒子 1 出现于 （r1 , r1 dr1）中， 同时
9
结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为M，到达某处的电子数 为N，则到达某处的电子几率为N/ M
②单个电子的多次行为 干涉图样 明条纹 暗条纹 小 小
10
“粒子”观点 发现电子几率大
“波动”观点
52
波强度大
结论：这种波是一种几率波
波函数的统计解释：
若干涉振幅用 ( r ) 表示，与在光学中类似， 2 波的强度可用 | (r ) | 表示。
52
2
常数因子不确定性
13
经典波相差c，强度相差 |c|2。经典波根本 谈不上归一化。 若
1 则归一化波函数可用 ( r ) 表示 A
显然
V
2 3 (r ) d r A 0 (常数)
V
3 1 (r ) d r 1 A
2
即使归一化，波函数仍具有 e i 的相位不稳 i 定性，因为 ( r )e ( r )
波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波。 一般情况下称 ( r )为几率振幅，它描述微观 粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态 （ r , p）的描述。由此得到 量子力学的基本原理之一：
微观粒子的状态用波函数 ( r , t )完全描述。
52 11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。 2 几率密度用 r , t r , t r , t 表示，
V
▲几率的相对性
与经典波不同，对空间中的各点， c与 描述同一个状态。由于粒子在全空间出现的几率等 于1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波 函数在空间各点强度的相对比例，考虑的几率是相 对几率。空间中任意两点 r , r 的相对几率为
1 2
2 c ( r1 ) ( r1 ) c ( r2 ) ( r2 )
52 2
教学重点
1、态(波)函数、态叠加原理、几率密度、几 率流密度、定态、束缚态、自由态。 2、微观体系（粒子）的状态用波函数完全描 述； 3、态叠加原理； 4、微观体系（粒子）运动状态随时间的变化 服从薛定谔方程。
52
3
教学难点
如何理解波函数的统计解释及态叠加原理， 如何理解量子力学与经典力学关于描写微 观粒子运动状态及其运动规律时的不同观 念。微观粒子的波动-粒子二象性、 态叠加 原理、边值问题的确定和求解。