波函数和薛定谔方程-力学量算符
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波函数和薛定谔方程-力学量算符
1.一维运动的粒子处在
的状态,其中,求:
(1)粒子动量的几率分布函数;
(2)粒子动量的平均值。
[解]首先将归一化,求归一化系数A。
(1)动量的几率分布函数是
注意到中的时间只起参数作用,对几率分布无影响,因此可有
令
代入上式得
(2)
动量p的平均值的结果从物理上看是显然的,因为对本题说来,粒子动量是和是的几率是相同的。讨论:
①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此,当原来坐标空间的波函数不含时间变量时,
即相当于的情况,变换式的形式保持不变。
③不难证明,若是归一化的,则经傅里叶变换得到也是归一化的。
2.设在时,粒子的状态为
求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。
[解]方法一:根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和,即,展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后,就可按照
求平均值。
在时,动量有一定值的函数,即单色德布罗意平面波为,与的展开式比较可知,处在状态的粒子动量可以取
,而,粒子动量的平均值为
A可由归一化条件确定
故
粒子动能的平均值为
。
方法二:直接积分法
根据函数的性质,只有当函数的宗量等于零时,函数方不为零,故的可能值有
而
则有及。
讨论:①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零,因此的归一化积分是发散的,故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。
②本题的不是平方可积的函数,因此不能作傅氏积分展开,只能作傅氏级数展开,即
这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱,因此计算积分,得到函数。
③在连续谱函数还未熟练以前,建议教学时只引导学生按方法一做,在第三章函数讲
授后再用函数做一遍,对比一下,熟悉一下函数的运算。
3.一维谐振子处在
的状态,求:
(1)势能的平均值;
(2)动量的几率分布函数;
(3)动能的平均值
[解]先检验是否归一化。
是归一化的。
(1)
.
其中应用及
(2)由于是平方可积的,因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
其中,
(3)
其中
由此得出结论,对于处在基态的谐振子来说,动能的平均值和势能的平均值相等。
4.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
[解]一维谐振子的波函数为
式中
为厄密多项式。
对于第一激发态
故
处在第一激发态的几率正比于
欲求其最大值,必须满足
即有
讨论:①在处有极值,这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故,这从物理上看是很清楚的,当及时,几率,故和几率的关系大致如图示。
②假如过渡到经典情况,相当于,这时。这在经典力学看来是完全合理的,因为从经典的观点来看,谐振子处在原点几率最大,因为处在原点能量最低。
5.设氢原子处在
的态,为玻尔半径,求
(1)r的平均值;
(2)势能的平均值;
(3)动量几率分布函数。
[解] 先检验是否归一化。
这表明是归一化的。
(1)
(2)
这个结果和旧量子论中,氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。
(3)
选用球坐标,且使y轴与的方向一致,则有
其中令,且应用了
再令
则
6.粒子在势能为
的场中运动,证明对于能量的状态,能量由关系式
决定,其中
[解]势能与坐标的关系如图示,按值的不同可分为三个区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。分别应用薛定谔方程,有
Ⅰ:,
其中:
Ⅱ:其中:
Ⅲ:其中:
它们的解分别为
,
边界条件:
当;则
当,;则
连接条件(波函数的标准条件)
在处,
在处,
在处,
在处,
在上面四个式子,由第一和第三式可得
由第二和第四式可得
而
故
其中令
于是有
由,得
由可得
讨论:①对于束缚态的问题,我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程,求出解。然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。这种方法具有一般性。
②把Ⅰ、Ⅲ两区域的解写成指数形式,是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问
题变为只有一个任意常数的问题。而在区域Ⅱ中没有边界条件。又因所要求的结
果具反三角函数的形式,因此把Ⅱ的解写成三角函数的形式。原则上,写面指数
或三角函数形式是任意的,若选择得当,往往可使问题的求解较为简捷。
7.粒子处在势能为
的场中运动,求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。
[解]对区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别有
Ⅰ:
Ⅱ:
Ⅲ:
其解分别为
边界条件:
当时,
当时,;
于是
连接条件:
当时,,
,
当时,,
,
上列四式可重写为齐次方程式为下:
这个方程组要得到非零解,必须其系数行列式为零,故有
解之得
它与
三式决定粒子的能量。
8.求三维谐振子的能级,并讨论它的简并情形。
[解]三维谐振子的哈密顿为
其中
如果哈密顿可以分离变量,就必然有
及
因此可以设定薛定谔方程的解为
且
则有