八年级数学下册一次函数与 方案设计(超经典)

一次函数与方案设计问题
1、 生产方案的设计
例1在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂 接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内 （含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其 中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产 Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产 0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只 Ｂ型口罩可获利0.3元．
自变量的取值范围是60≤≤100，且为整数．
（２）因为是的一次函数，且随增大而增大，故当取最大值100时， 最大值为100＋480＝580（元）．
例3分析：（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为千米，则三家运输公司包装 与装卸及运输的费用分别是：甲公司为（6＋1500）元，乙 公司为（8＋1000）元，丙公司为（10＋700）元，依题 意，得
(1)写出 (元)关于 (套)的函数解析式；并求出自变量的取值范围；
(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂 所获的利润最大?最大利润为多少?
5．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输 公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按 规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)
例４ Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ， Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／
吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／ 吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨， 如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样 调运花钱最小?
设该源自文库在这次任务中生产了Ａ型口罩万只．问：（１）该厂生产Ａ 型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____ 万元；
（２）设该厂这次生产口罩的总利润是万元，试写出关于的函数 关系式，并求出自变量的取值范围；
（３）如果你是该厂厂长：
①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数， 使获得的总利润最大？最大利润是多少？
当＝时，＝550，此时表明：当两市距离等于550千米时，选择甲或 丙公司都一样；
当＜时，＞550，此时表明：当两市的距离大于550千米时，选择甲 公司较好．
例4解：设从Ａ城运往吨到Ｃ地，所需总运费为元，则Ａ城余下的 （200－）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－）吨 应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－）吨，Ｂ城余下 的300－（220－）＝15（220－）＋22（80＋），
(2)生产A，B两种产品获总利润是 (元)，其中一种的生产件数是， 试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中 的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
２． 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支 援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8 台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4 百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是 3百元/台、5百元/台．求：
运输费用（元 ／千 米）
包装与装卸时 间 （小 时）
包装与装卸
甲公司
60
６
４
1500
乙公司
50
８
２
1000
丙公司
100
10
3
700
解答下列问题:
（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲 公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；
（２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以 及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支 付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之 和）最小，应选择哪家运输公司？
＝10ｓ＋700＋（＋３）×300＝13ｓ＋1600，
现在要选择费用最少的公司，关键是比较，，的大小．
∵＞０，∴＞总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择 丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比 较和的大小，而与的大小与Ａ，Ｂ两市的距离的大小有 关，要一一进行比较．
当＞时，11＋2700＞13＋1600，解得＜550，此时表明：当两市距 离小于550千米时，选择丙公司较好；
（8＋1000）＋（10＋700）＝２×（6＋1500），
解得＝216≈217（千米）；
（２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为，，（单位： 元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲 （＋４）小时；乙（＋２）小时；丙（＋３）小时．从而
＝6＋1500＋（＋４）×300＝11＋2700，
＝8＋1000＋（＋２）×300＝14＋1600，
（３）要使取得最大值，由于＝0.2＋1.5是一次函数，且随增大而 增大，故当取最大值4.2时，取最大值0.2×4.2＋1.5＝ 2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只， 获得的总利润最大，为2.32万元；
若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生 产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的 3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋ 3.2÷0.8＝７（天）．
例题分析与解答
例1分析：（１）0.5，0.3（5－）；
（２）＝0.5＋0.3（5－）＝0.2＋1.5，
首先，1.8≤≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部 生产Ａ型口罩，假设最多用天生产Ａ型，则（８－）天生 产Ｂ型，依题意，得0.6＋0.8（８－）＝５，解得＝７， 故最大值只能是0.6×7＝4.2，所以的取值范围是1.8（万 只）≤≤4.2（万只）；
(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?
(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?
3． 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行 社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优 待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折 (即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口 罩的只数?最短时间是多少？
二、营销方案的设计
例２ 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价 是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报 社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100 份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购 的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变 量，每月所获得的利润为函数．
即＝２＋10060，
因为随增大而增大，故当取最小值时，的值最小．而０≤≤200，
故当＝０时，最小值＝10060（元）．
因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城 220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．
练习题：
１．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这 两种原料生产A，B两种产品，共50件．已知生产一件A种产 品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元； 生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千 克，可获利润1200元．
(1)要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出 来；
（１）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利 润最大？最大利润是多少？
三、优惠方案的设计
例３某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售． 现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息 如下：
运输 单位
运输速度（千 米／ 时）
甲
乙
丙
每辆汽车能装
的吨 2
1
1.5
数
每吨蔬菜可获
利润 （百
5
7
4
元）
(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙 两种蔬菜的汽车各多少辆?
(2)公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售(每 种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利 润?最大利润是多少?
例2分析：（１）由已知，得应满足60≤≤100，因此，报亭每月向
报社订购报纸30份，销售（20＋60×10）份，可得利润 0.3（20＋60×10）＝6＋180（元）；退回报社10（－60） 份，亏本0.5×10（－60）＝5－300（元），故所获利润为 ＝（6＋180）－（5－300）＝＋480，即＝＋480．
(1)设学生数为，甲旅行社收费为甲，乙旅行社收费为乙，分别计算 两家旅行社的收费(建立表达式)；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；
(3)就学生数讨论哪家旅行社更优惠．
4．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布 料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童 装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一 套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获 利润30元．设生产L型号的童装套数为，用这批布料生产这 两种型号的童装所获利润为 (元)．