锐角三角函数的图文解析

A． 6 2 3
B． 6 3
C．10 3
D．8 3
【答案】A
【解析】
【分析】
延长 PQ 交直线 AB 于点 E，设 PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用 x
表示出 AE 和 BE，列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则
问题求解．
6．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为 E，∠BAE＝30°，则 tan∠DEC 的值是 （）
A．1
B． 1
C． 3
D． 3
2
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意过点 C 作 CF⊥BD 与点 F 可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到 AE＝CF＝1，EF＝
3- 3 = 2 3 ，即可求出答案 33
12． cos60 tan45 的值等于 ( )
A． 3 2
【答案】A 【解析】
B． 2 2
C． 3 2
D．1
【分析】 根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：原式 1 1 3 ． 22
故选 A． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
∵四边形 ABCD 是菱形，∴OD=OB，CD=BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．
∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC=60°．
∵∠DEB=90°，∴BD= DE 2 3 ． sin60 3
故选 B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中 线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
BQ＝2× 3 v＝2 3 v，
y＝ 1 AB×BQ＝ 1 6v×2 3 v＝6 3 ，解得：v＝1，
2
2
故点 P、Q 的速度分别为：3， 3 ，AB＝6v＝6＝a，
则 AC＝12，BC＝6 3 ，
如图当点 P 在 AC 的中点时，PC＝6， 此时点 P 运动的距离为 AB+AP＝12，需要的时间为 12÷3＝4，
2
2
在 Rt△ADC 中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
a
1 2
c
2
b2
3 4
c2，
即 a2+c2=b2+ac，
∴
a
c b
c
a b
c2 cb a2 ab
a bc b
a2 ac
c2 ab bc ab bc b2
b2 ac ab bc ac ab bc b2
1.
故选 C．
在 Rt△ABC 中，sin∠D＝ AB ＝ 1 ， AD 2
∴∠D＝30°，∠A＝60°，
∴sinA＝ 3 ，故 C 正确；cosD＝ 3 ，故 D 错误，
2
2
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边
垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）
2
2
可求 DB 1 c, AD 3 c, 把这两个表达式代入到另一个 Rt△ADC 的勾股定理表达式中，
2
2
化简可得即 a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于 1．
【详解】
解：过 A 点作 AD⊥BC 于 D，在 Rt△BDA 中，由于∠B=60°，
∴ DB 1 c, AD 3 c,
C． 500tan55 m
D． 500 m cos55
在 Rt△BDE 中，cosD= DE ， BD
∴DE=BD•cosD=500cos55°． 故选 B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB,垂足为 E,sinA= 3 ,则下列结论正确的个数有（ ） 5
A．100sin35°米 【答案】C
B．100sin55°米
C．100tan35°米
D．100tan55°米
【解析】 【分析】 根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 【详解】 ∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°， ∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C． 【点睛】 此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际 问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．② 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答 案，再转化得到实际问题的答案．
则 BQ＝ 3 x＝4 3 ，CQ＝BC﹣BQ＝6 3 ﹣4 3 ＝2 3 ，
过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，
PC＝6，则 PH＝PCsinC＝6× 1 ＝3，同理 CH＝3 3 ，则 HQ＝CH﹣CQ＝3 3 ﹣2 3 ＝ 2
3，
PQ＝ PH2 HQ2 ＝ 3 9 ＝2 3 ，
故选：C． 【点睛】 本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关 系，进而求解．
A．
【答案】C 【解析】 【分析】
B． 2
C． 3
D． ( 3 1)
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．可计算边长
为 2，据此即可得出表面积． 【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
【详解】
解：设 AB＝a，∠C＝30°，则 AC＝2a，BC＝ 3 a，
设 P、Q 同时到达的时间为 T，
则点 P 的速度为 3a ，点 Q 的速度为 3a ，故点 P、Q 的速度比为 3： 3 ，
T
T
故设点 P、Q 的速度分别为：3v、 3 v，
由图 2 知，当 x＝2 时，y＝6 3 ，此时点 P 到达点 A 的位置，即 AB＝2×3v＝6v，
在直角△BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=3+ 3 ．
3
3
∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ．
答：电线杆 PQ 的高度是（6+2 3 ）米．
故选：A． 【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.
8．如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一 点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于（ ）
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为 15cm2; ④BD=2 10 cm．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
【详解】
∵菱形 ABCD 的周长为 20cm
∴AD=5cm
∵sinA= 3 5
∴DE=3cm（①正确）
【详解】 过点 C 作 CF⊥BD 与点 F． ∵∠BAE＝30°， ∴∠DBC＝30°，
∵BC＝2，
∴CF＝1，BF＝ 3 ，
易证△AEB≌△CFD（AAS） ∴AE＝CF＝1， ∵∠BAE＝∠DBC＝30°，
∴BE＝ 3 AE＝ 3 ，
3
3
∴EF＝BF﹣BE＝ 3 ﹣ 3 ＝ 2 3 ， 33
在 Rt△CFE 中，
1 tan∠DEC＝ CF 2 3 3 ，
EF 3 2 故选 C．
【点睛】 此题考查了含 30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
7．如图，从点 A 看一山坡上的电线杆 PQ ，观测点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点， 测得顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30 ，则该电线杆 PQ 的高度（ ）
2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在 AC 上找一点 B ，取 ABD 145 ， BD 500m ， D 55 ，要使 A ， C ， E 成一直线，那么开挖 点 E 离点 D 的距离是（ ）
A． 500sin55 m B． 500cos55 m
【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
A． 3
【答案】A 【解析】 连接 OC，
B．2 3
C． 3 2
D． 2 3 3
∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°= 3 ，
故选 A
11．如图 1，在△ABC 中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC 向点 C 以 恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时到达点
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD= 10 cm（④不正确）