小学思维数学：换元法-带答案解析

换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”
三、换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624
++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 令1111246a +++=，111
246b ++=，则：
原式11()()66
a b a b =-⨯-⨯-
1166ab b ab a =--+
1()6a b =-11166
=⨯= 【答案】16
【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234
+
++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111
1(1555a a a a +(+)(+)-+)=
【答案】1
5
【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 令621739458126358947a ++=；739458
358947
b +=，
原式378378207207a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9
【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-
(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲
教学目标
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，
原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=
【答案】0.054321
【巩固】 计算下面的算式
(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式
a =⨯(10
b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=
【答案】0.2
【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 设0.120.23a +=，0.120.230.34b ++= 原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-=
【答案】0.34
【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)
⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，
有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=
⑵ 设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭ 原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】⑴0.67 ⑵9
【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
= 。

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】 设573123217a =++、73
3217
b =+，则有
441313444
()131313455131239
a b a b
a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式
【例 2】 计算：1
11111111111220072320082200823
2007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 令111232007a =+++，111
232008
b =+++，
原式()()1
112008
a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=
【答案】12008
【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设111111213141a +++=，111
213141
b ++=，
原式115151a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
115151
ab a ab b =+--
1()51a b =
-111
5111561=⨯=
【答案】1
561
【巩固】 计算1111111111111111
())()5791179111357911137911
+++⨯+++-++++⨯++（）（
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】清华附中
【解析】 设111157911A +++=，111
7911
B ++=，
原式111313A B A B ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
111313
A B A A B B =⨯+-⨯- ()113A B =
-11113565
=⨯= 【答案】165
【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 设111112345A ++++=，1111
2345
B +++=
原式=1166A B A B ⎛
⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16=
【例 3】 计算：
2
1239123911292391234
10234
10223
1034
10⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++
⨯-++++
⨯+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯
【解析】 设123923410t =++++，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫
⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
【答案】
【例 4】 计算
1111211131114311412009
2009
++++++
+++
+
【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设3N =+
1141
2009
+
+. 原式=
112N
+
+11111N
+
+
=
121N N ++111
N N ++ =1
12121N N N N ++=++. 【答案】1
【例 5】 计算：2
2222811811811111118118118811⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (法一)设811
x =，则原式2211
881111288x x x x x x x x +
--
=
=⎛⎫⎛⎫++⨯-+⨯
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． (法二)设811118
x =+，那么222
228112118x =++，所以222228112118x +=-．
而2
222211112811811111
228118118118118888x x ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
这样原式转化为
()()2222
2888812
1288
x x x x x x x x ----=⨯=--+-⨯
． 在这里需要老师对于()()()()a b c d a b c a b d ac bc ad bd +⨯+=+⨯++⨯=+++的计算进行简单的
说明.
【答案】88
【例 6】 计算：2
2010200920111
⨯+
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设a=2009,
原式
22
2
1)21
1 +2121
a a a
a a a a
+++
===
+++
（
（）
【答案】1
【巩固】计算200820092007 200820091
+⨯
⨯-
（4级）
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设2008
a=
原式
(1)(1)
(1)1
a a a
a a
++-=
+-
2
2
1
1
1
a a
a a
+-
=
+-
=
【答案】1。