华罗庚学校数学教材(五年级下)第08讲 时钟问题

本系列共15讲
第八讲时钟问题
.文档贡献者：与你的缘
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60分格，当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=。

分针每走60÷（1－）=（分），与时11256056511
针重合一次。

时钟问题变化多端，也存在着不少的学问。

这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－）=追及时间（分112钟）。

其中，1－
为分针每分钟比时针多走的格数。

112例1
现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？分析3点时分针指向12，时针指向3，分针在时针后5×3=15
（个）格。

每分钟分针比时针多走（1－
）格，要使分针与时针560
重合，即使分针比时针多走15格，需要15÷（1－）=16（分112411
钟）。

所以，所求的时刻应为3点16分。

411
解：15÷（1－）=16（分钟）112411
答：所求的时刻应为3点16分。

411例2
在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
分析分两种情况进行讨论。

（1）在顺时针方向上分针与时针成270°角：
在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格。

因此，在这段时间内，分针要比时针多走50－45=5（个）格，而每分钟分针比时针多走（1－）个格，因此由基本公式，112
到达这一时刻所用的时间为：5÷（1－）=5（分钟）。

112511（2）在顺时针方向上分针与时针成90°角：
在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60÷（90÷360）=15（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50－15=35（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：35÷（1－）=38（分钟）。

112211
解：（1）在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：
[5×10－60×（270÷360）]÷（1－）=5（分钟）。

112511
（2）在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：[5×10－60×（90÷360）]÷（1－
）=38（分钟）112211
答：所求时刻为10点5分和10点38分。

511211例3
在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分析分两种情况进行讨论。

（1）分针与时针的夹角为180°角：
当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格。

因此，在这段时间内分针要比时针多走45－30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（1－
）个格，因此，到达这一时刻所112
用的时间为：15÷（1－）=16（分钟）112411（2）分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷（1－）=49（分钟）。

112111
解：（1）当分针与时针的夹角为180°角时：
[5×9－60×（180÷360）]÷（1－）=16（分钟）112411
（2）当分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合时：
5×9÷（1－）=49（分钟）。

112111
答：所求时刻为9点16分和9点49分。

411111例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合。

小明解题共用了多少时
间？
分析要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。

（1）小明开始解题时的时刻：
因为小明开始解题时，分针一时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7=35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走35－30=5（个）格，则这一段时间为：5÷（1－）=5（分钟）。

所以小明开始解题时是7点5分。

112511511
（2）小明解题结束时的时刻：
因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7=35（个）格，因此这一段时间为：35÷（1－）=38（分钟）。

所以小明解题结束时是7点38分。

112211211这样小明解题所用的时间就可以求出来了。

解：先求小明开始解题的时刻：
[5×7－60÷（180÷360）]÷（1－
）=5（分钟），所112511
以小明开始解题时是7点5分。

511再求小明结束解题的时刻：
5×7÷（1－）=38（分钟），所以小明结束解题时是7112211
点38分。

211
最后求小明解题所用的时间：
7点38分－7点5分=32（分钟）211511811
答：小明解题共用了32分钟。

811例5一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央。

问这时是什么时刻？
分析由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两钟情况进行讨论：
（1）先设此时是4点多：
4点整时，时针指4，分针指12。

从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格。

由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格。

又由于时针的速度是分针的
，所以从4112点整到目前状态共用了：30÷（1＋
）=27（分钟）112913
所以这时是4点27。

913（2）再设此时是5点多：
5点整时，时针指5，分针指12，从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20少于25格，时针走的格
数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格。

因此，从5点整到目前状态共用了25÷（1＋）=23（分钟）。

112113
所以此时是5点23分。

113
解：（1）如果是4点多：
30÷（1＋）=27（分钟）112913
（2）如果是5点多：
25÷（1＋）=23（分钟）。

112113
因此，这时可以是4点27分，也可以是5点23分。

913113例6一只旧钟的分针和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次。

问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？
分析前面已知标准钟每65标准分钟时针、分针重合一次，511
旧钟每65分钟重合一次，显然旧钟快。

本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格），进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格；它与标准准的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟面上显示的比标准钟快的时间读数。

设旧钟分针每标准分钟走格，那么，每走1格用标准分钟。

x 1x
如用复合单位表示：旧钟分针速度为（格/标准分）。

旧钟分针走60x
格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为112
（格/标准分）。

重合两针耗用65标准分钟，表示两次重合之112
x 间针分针赶超了时针60格，列方程：
60÷（－）=65x 112
x 解此方程，=（1－）得=6065112x x 1212
1311
××标准时间一天有60×24=1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：×60×24，但是我们只须求出旧钟分针比标准分针多12121311
××走了多少格，即减去1440个（标准钟的）格，所以有
×60×24－60×2412121311
××=（－1）×60×2412121311
××=×60×241441431311
−×=60241311
××=10（旧钟格）10143
但读者一定明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也10143
是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。

解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走格，则旧钟的时x 针速度为格/标准分。

112
x 根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得：60÷（－）=65x 112
x
解出=x 144
1311
×标准时间一天有60×24标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数为：×60×24格。

1441311
×这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准分针一天走的格数差为：×60×24－60×24=10（旧钟格）1441311×10143答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟（按旧钟上的时10143
间）。

习题八
1、在6点和7点之间，两针什么时刻重合？
2、现在是2点15他，再过几分钟，时针和分针第一次重合？
3、2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
4、在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？
5、在10点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？
6、一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中快或慢几分钟？
7、李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了。

他上足发条后忘了拔针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。

8小时工作后
夜里11点下班，李叔叔回到家里，一看才9点整。

假定他上班和下午在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？。