高考抽象函数技巧全总结[1]
抽象函数题的解法与技巧
抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。
类型一：求抽象函数的定义域。
例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x ）的定义域为（-1,0）,则函数f （2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1） 解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜．所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B ． 变式1：已知f （2x-1）定义域是[]2,1，则函数)(x f 的定义域为 答案：[1,3]变式2：已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1，则函数)12(+x f 的定义域为 答案：[0,1] 解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。
解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。
类型二：抽象函数的求值问题：例2.对任意实数x,y ，均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f （1）≠0，则f2014）=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n ，得f （n+1）=f （n ）+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f （n+1）-f （n ）=21，f （n ）=2n，所以，f(2014)=22014=1007. 解题技巧：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)
重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数解题全攻略
２ 令 Ｘ＝ １ ２ｘ 则有ｆ－） ｘ＋ － ）又令 － ２－ ， ） ， Ｉ一 ，＝ ， ｌ ｘ＝ ） １， ｘ ｌ ｌ ｆ ｆ ＝ ＝１ Ｘ
得 １ 一 ）再 令 － ：ｌ得 １＝ ， 而 ｆ－）ｏ 于 ） ： １， ＝， ）０ 从 （１＝ ，
是有 ） ）可知 ） ， 是偶函数 ．
数 触） 是非奇非偶 函数． （） ２ 分析 ： 显然要根据周期解决 ， 周期为 １ ， Ｏ 在闭 区间［， 上 ， ０ ７］ 只 有ｄ１ ）Ｏ 必须研究ｆ８、９ １） ） ＝， Ｍ３ １ ） （） ０是否为 ０ ， ．
鏖 （ ） １ ｏ图像关于 ｘ７ ２ ）， ３ ： ＝ 对称， 故可知ｆ８ｆ ） ， １ ）（ ＃０同理 ＝６
则它也是 周期 函数 ， 象函数经常在这个方面 出题． 抽
厘图设函 在（ 。 。上满足ｆ － ２ （ ） 帆 ， 圈 数／） 一 ，。 ａ＋ ） （ ｘ ＋） ７ ７ ） ２） 一 且
在闭 区间［，１ ， ０ ７上 只有 １ ３： ．１ 试判 断 函数 ｙ ） ） ）０ （） 气 的奇偶性 ； （） ２ 试求方程 ｆ ）Ｏ在 闭区间［２ １ ，０ ０上 的根 的个数 ， ｉ ＝ ｘ － ０ ０ ２ １］ 并证 明你
的结论．
（） 析 ： １ ｆ 证明函数． ） 函数 ， 是偶 只须证①定义域关于原点对称 ； ￣ｄ－） ）要注意判断 ｙＡ ） ｘ＝ ， ｄｘ ＝ ｘ也有可能是非奇非偶 函数．
圈
（ １ （ ｘ ） ） （ ｘ 由 １￣ ２ ） ） ｆ － ２ ， ＝４ ） 得 ｆ－；
－７ ， ） ｆ 得 ＿ （ － ｆ
抽 象 函 数 怒 析其解题方法 ，旨在探索题型规律 ， 同学们的视野． 题 全 攻 路 开拓
一
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
高考数学抽象函数6种快速解题方法与技巧(....
高考数学抽象函数的6大快速解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
高考数学复习：抽象函数求解技巧-
高考数学复习：抽象函数求解技巧函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。
然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。
例：设y=蕊(x)是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：(i)f(-1)=f(1)=0,高中历史;(ii)对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)u-v。
(Ⅰ)证明：对任意的x[-1，1]，都有x-11-x;(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)1。
解题：(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x[-1，1]时，有f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即x-11-x.(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，当u-v1时，有f(u)-f(v)1当u-v1，uv0,不妨设u0，则v0且v-u1,其中v(0，1]，u[-1，0) 要想使已知条件起到作用，须在[-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)=f(1)=0知，这个点可选-1。
同理，须在(0，1]上取点1，使之与v配合以利用已知条件。
所以，f(u)-f(v)f(u)-f(-1)+f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u)1综上可知，对任意的u,v[-1，1]都有f(u)-f(v)1.1。
抽象函数解题技巧
抽象问题有形化破解抽象函数难题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征式子的一类函数.抽象函数题既能考查函数的概念和性质,又能体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查.由于抽象函数表现形式抽象,对学生思维能力考查的起点较高,使得此类问题成为函数内容的难点之一,使多数学生感觉无从下手,望而生畏.事实上,解决此类问题时,只要准确掌握函数的性质,熟知我们所学的基本初等函数,将抽象函数问题转化为具体函数问题,问题就迎刃而解了.具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法等.➢高考真题【2018·全国Ⅱ卷理科·11】已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( )A. B. C. D.➢解题策略【过程分析】由于题目条件中的没有具体的解析式,仅给出了是定义域在上的奇函数,且,即()为抽象函数,显然我们不可能去一一求解这些函数值,这说明这些函数值应满足某种规律,而这种规律必然和函数的性质有关.【深入探究】求解的值,如果一一求解函数值,这个过程是比较复杂的,自然而然的让我们有这样的想法:函数()的图象是不是满足某种规律性的变化呢?基于这个想法及选择题的特点,那么解题方向不外乎两个:一是判断的周期性,利用函数的周期性求解;二是构造一个具体的函数来求解.➢解题过程法一:利用函数的性质∵是定义域为的奇函数,∴,且,∵,∴,,∴,∴,∴是周期函数,且一个周期为,∴,,,∴,,,,以,,,,循环,∴,故选C. 法二:构造特殊函数由题意可设,作出的部分图象如图所示.由图可知,的一个周期为,所以,故选C.➢解题分析本题条件中的函数为抽象函数,给出了函数的性质,求函数值.解法一从函数性质入手,由奇偶性和对称性,推出了周期性从而完成求值,体现了数学抽象与逻辑推理能力;解法二结合题中的函数,联系函数,将抽象函数具体化,从而完成求解,体现了数学建模及数形结合思想.➢拓展推广把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,同时抽象函数问题又将函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性和图象集于一身,是高中数学的难点,也是近几年考试的热点和重点.1.解决抽象函数问题的常用方法函数性质法:先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就不再抽象了,而是变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题.特殊值法:根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而问题得解.构造函数法:导数、不等式、函数相结合的问题,往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法,通过构造函数,使抽象函数问题具体化.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)定义域问题这类问题的一般形式是:已知原函数的定义域为,求复合函数的定义域:只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域.已知复合函数的定义域为,求函数的定义域:由,求的取值范围,即求函数在的值域.(2)奇偶性问题抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.要判断抽象函数的奇偶性,多用赋值法,给已知的等式中的变量取恰当的值,如等,有时需要多次赋值,才能达到解题目标.(3)单调性问题抽象函数虽然没有解析式,但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的,同样利用函数的单调性的定义.奇偶函数在对称区间上的单调性:奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.(4)周期性问题①若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数.推论1.若函数定义域为,且满足条件,则是以为周期的周期函数.推论2.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.推论3.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.②若函数的图象关于直线与对称,则是以为周期的周期函数.③若函数的图象关于点与点对称,则是以为周期的周期函数.④若函数的图象关于直线与点,则是以为周期的周期函数.(5)对称性问题①若函数定义域为,且满足条件,则函数的图象关于直线对称.推论1.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.推论2.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.推论3.若函数定义域为,且满足条件,又若方程有个根,则此个根的和为.②若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称.推论1.若函数定义域为,且满足条件(为常数),则的图象关于点对称.推论2.若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称.③若函数定义域为,则函数与两函数的图象关于直线对称(由可得).推论1.函数与函数的图象关于直线对称.推论2.函数与函数的图象关于直线对称.④若函数定义域为,则函数与的图象关于点对称.推论.函数与函数图象关于点对称.变式训练1已知定义域为的函数满足,当时,单调递增,若且,则的值( )A 恒大于B 恒小于C 可能等于D 可正可负变式训练2已知函数,且,则实数的取值范围为( )ABCD变式训练3已知定义在上的函数满足,且, ,则方程在区间上所有实根之和为( ) A B C D变式训练4已知函数的图象关于直线对称,且当时,,设,,,则,,的大小关系为( )ABCD变式训练5定义在上的函数的图像关于对称,且当时, (其中是的导函数),若,, ,则, , 的大小关系是__________答案变式训练1B 恒小于法一:由,得, 即,故函数的对称中心为,令,解得.又函数在上单调递增,画出函数的大致图象如图所示.由,可得与异号,即,分布在直线的两侧,不妨设.由,可得,即,由函数的对称性,可知必有.法二:由可知,则函数图象关于点中心对称.因为时,单调递增,所以时,单调递增.因为且,不妨设,则,所以.又因为,所以,即. 变式训练2C函数,易得图象关于对称,且在上单调递增,又,∴,即或,解得或.故选C.变式训练3C由题意知,即的图象关于点对称,由知函数的周期为,则函数,在区间上的图象如图所示:由图形可知函数,在区间上的交点为,,,易知点的横坐标为,若设的横坐标为,则点的横坐标为,所以方程在区间上的所有实数根之和为.故选C.变式训练4A函数的图象关于直线对称,将的图象向右平移个单位得到,则关于直线即轴对称,则函数是偶函数,当时,为减函数,∴当时为增函数,∵,,, ∵,,,∵,∴,即,则,即. ∵当时为增函数,∴,即,故选A.变式训练5∵当时不等式成立,即,∴在上是减函数,又∵函数的图象关于点对称,∴函数的图象关于点对称,∴函数是定义在上的奇函数,∴是定义在上的偶函数,∴在上是增函数,又∵,, ∴,即,即.故答案为.。
最新高三高考抽象函数总结汇总
最新高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、求值问题 例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。
注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
最新高三高考抽象函数总结
最新高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、求值问题 例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。
注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
新高一抽象函数知识点归纳总结
新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。
抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。
接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。
函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。
二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。
抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。
在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。
三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。
四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。
首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。
其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。
另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。
五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。
通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。
高三抽象函数知识点汇总
高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。
本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。
简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。
定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。
函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。
输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。
4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。
符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。
三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。
2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。
3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。
4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。
四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。
2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。
高考抽象函数知识点
高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。
抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。
了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。
本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。
一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。
常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。
其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。
抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。
同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。
2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。
3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。
二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。
1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。
根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。
2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。
将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。
3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。
抽象函数新高考知识点总结
抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。
抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。
在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。
1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。
与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。
抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。
（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。
（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。
2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。
（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。
（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。
例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。
（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。
例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。
3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。
（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。
（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。
（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。
4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。
了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。
高考数学热点难点突破技巧第01讲抽象函数的图像和性质问题的处理201802074155
第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】题型一抽象函数的定义域利用已知条件得到关于x的不等式【（1）已知原函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式a g(x)b，不等式的解集即为解题步骤所求函数的定义域.（2）已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f x的定义域：只需根据a x b求出函数g(x)的值域，即得原函数f(x)的()定义域.）】，再解不等式，得到抽象函数的定义域.【例1】已知函数f(x)的定义域是[1，2]，求函数f[log(3)]的定义域.1x2【例2】已知函数y f(2x4)的定义域为[0,1]，求函数（f x)的定义域.【解析】∵y f(2x4)的定义域为[0,1]，即在y f(2x4)中x∈[0,1]，令t2x4，x∈[0,1]，则t∈[4,6]，即在f(t)中，t∈[4,6]∴（f x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式a g(x)b，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据a x b求出函数g(x)的值域，即得原函数f(x)的定义域.例2就是典型的例子.1【反馈检测1】若函数y f(x 1)的定义域为[2,3)，求函数(12)y f的定义域.x题型二抽象函数的值域解题步骤一般先分析出抽象函数的单调性，再利用抽象函数的单调性来分析解答.【例3】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x y)f(x)+f(y)，且当x 0时，f(x)0，又（f1）=2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R，不等式f(ax2)2f(x)f(x)4恒成立，求a的取值范围．(2)证明：任取x x ，且1,2(,)x x，则12x x，210f(x)f (x)f(x x)0，2121∴f(x)f (x)，又f(x)为奇函数，∴21f(x)f(x)．∴f(x)是R上的减函数．12(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，∴对任意x [3,3]，恒有f(3)f(x)f (3)，∵f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)236，∴f (3)f(3)6，f(x)在[3,3]上的值域为[6,6]．(4) f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)f (2x)f(x)f (2)，则f(ax 2x)f(x 2)，2∵f(x)在(,)上是减函数，∴ax22x x 2，当a 0时，2x x 2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a 0时，ax22x x 20，要使不等式恒成立，则98a 0，即9a；8当a0时，ax23x20在R上不是恒成立，不合题意．29综上所述，a的取值范围为+（，）．8【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设x1,x2D,且x1x2，再利用已知条件判断f(x)f(x)的符号，如果12f(x)f(x)0，则函数是减函数；如果12f(x)f(x)0，则函数是增函数. （2）求抽12象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数f(x)的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意x 0,1，总有f(x)2；(2) f(1)3(3)若x x 且10,20x x ，则有121f(x x)f(x)f(x)2.1212(I)求f(0)的值；(II)求f(x)的最大值.题型三抽象函数的奇偶性和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到解题步骤f (x)和f(x)的关系，多用赋值法（特殊值）.【例4】已知函数f(x)(x R，x 0)对任意不等于零的实数x1、x都有2f(xx)12f(x)f(x)，试判断函数f(x)的奇偶性.12【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求f (x)；最后比较f (x)和f(x)的关系，如果有f (x)= f(x)，则函数是偶函数，如果有f (x)=- f(x)，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到f(x)和f(x)的关系，多用赋值法（特殊值）.3【反馈检测3】定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x,y都有f x y f x f y成立，且当x0时（f x)0恒成立.()()()(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[3,3)上总有（f x)6成立，试确定f(1)应满足的条件.题型四抽象函数的单调性解题步骤一般利用单调性的定义和导数证明函数的单调性，再利用抽象函数单调性的分析解答.【例5】f(x)定义在实数集上，当x0时，f(x)1，对于任意实数x,y，有f(x y) f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数.【解析】证明：在f(x y)f(x)f(y)中取x y0，得f(0)[f(0)]2若f(0)0，令x0，y0，则f(x)0，与f(x)1矛盾, 所以f(0)0，即有f(0)1当x0时，f(x)10；当x0时，x0，f(x)101而f(x)f(x)f(0)1所以f(x)0f(x)【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，f(x)-f(x)=f(x)-f[x+(x-x)]=f(x)-f(x)f(x-x)=f(x)(1-f(x-x))这1211211121121是解答的关键，想方设法把变量x或1x，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号. 2【反馈检测4】已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m n)f(m)f(n),4且当 x 0 时,0 f (x ) 1.(1)证明: f (0) 1,且x 0时, f ( x) >1； (2)证明: f (x ) 在 R 上单调递减.【反馈检测 5】已知函数 f (x ) 的定义域是 x 0 的一切实数，对定义域内的任意x x ，都有1, 2f x x f x f x ，且当 x 1时 f (x ) 0 ， f (2)1.()( )( )1 212（ 1） 求 证 f (x ) 是 偶 函 数 ； （ 2） f (x ) 在 (0,)上 时 增 函 数 ； （ 3） 解 不 等 式f (2x1) 2.2【例 6】设函数 f '(x ) 是奇函数 f (x ) （ x R ）的导函数，且 f (2) 0 ，当 x 0 时，xf '(x ) f (x ) 0 ，则使得 f (x ) 0 成立的 x 的取值范围是（）A ． ,20, 2B ．2, 02,C ． ,22, 0D ．0, 22,f (x )xf '(x ) f (x ) 【解析】设g (x )g '(x )0, (x 0) g (x ) 在 (0,)上是减函数，xx2又 f (x ) （ xR ）是奇函数，所以 f (x ) f (x ) ，所以 g ( x ) f ( x)f (x )f (x )xx x是偶函数， (2)( 2) ( 2) 0 0fg (x ) gg22作出图象如下图，由x x0 0f (x ) xg (x ) 0 或x ,20, 2，g (x ) 0 g (x ) 0故选 A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件xf'(x)f(x)0联想到商的导数，还原公式，再5构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若a g，b g(20.8)，c g(3)，则a，b，c的大小关系为（）(log 5.1)2A.a b cB. c b aC.b a cD.b c a题型五抽象函数的周期性解题步骤一般先结合已知猜想函数的周期，再利用周期性的定义严格证明.【例7】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x 1对称.(1)求f(0)的值；(2)证明: 函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)x(0x 1),求当x R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵f(x)为R上的奇函数, ∴对任意x R,都有f (x)f(x),令x 0,则f (0)f(0)∴f(0)=0(3)当x1,3时，f(x)x (1x 1)x 2(1x 3)当4k 1x 4k 1时，f(x)x 4k，k Z当4k 1x 4k 3时，f(x)x 24k，k Z∴x 4k(4k 1x 4k 1)f(x),z Rx 24k(4k 1x 4k 3)图象如下：6【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果 1不是它的周期，就猜想 2是它的周期，如果 2不 是 它 的 周 期 ， 就 猜 4是 它 的 周 期 （ 偶 数 倍 ）， 再 证 明 .（ 2） 如 果 函 数 f (x ) 满 足f (x a ) f (x b )， 则 函 数 f (x ) 的 周 期 T 为 | a b |， 如 果 函 数 f (x ) 满 足f (x a )f (x ) ，则函数 f (x ) 的周期T 为 2 | a | .【反馈检测 7】已知函数 f (x ) 满足f (x 1)1 f(x ) 1 f (x )，若 f (0) 2004，试求 f(2005).高考数学热点难点突破技巧第 01讲： 抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案1 1 【反馈检测 1答案】 (, ] (,) 3 2【反馈检测 1详细解析】由 yf (x1)的定义域为[2,3) ，知 x 1中的 x[2,3) ，从而x ， 对 函 数(1 2)114y f而 言 ， 有 x 1 1 x (, ] ( ,). 3 2 1 1 1 所以函数 y f ( 2) 的定义域为 (, ] ( ,) x3 2 112 4 ， 解 之得 ：x【反馈检测 2答案】（1） f (0)=2 ；（2）f (x ) f (1)3max（II ）任意x 1, x 20,1 xx ，则 0 xx1, f (xx ) 21 2 2121且1,20,17f (x ) f (x xx ) f (xx ) f (x ) 2f (x )22112111f (x ) f (1)3max【反馈检测 3答案】（1）奇函数；（2） f (1)2 .【反馈检测 3详细解析】（1）由已知对于任意的实数 x , y 都有 f (x y ) f (x ) f (y ) 成立.令 x y 0 ，得 f (0 0) f (0) f (0) ，∴ f (0)令 xy ，得 f (x x ) f (x ) f (x ) 0 ∴对于任意 x ，都有 f (x )f (x ) ∴ f (x )是奇函数. （2）设任意x 1, x 2 R 且x x ，则12x 2x 1 0 ，由已知f (xx ) 0（1）21又 f (x x ) f (x ) f (x ) f (x ) f(x )（2）212121由（1）（2）得 f xf x ,根据函数单调性的定义知 f (x ) 在 (,) 上是减函数.( )( )12∴ f (x ) 在[3, 3) 上的最大值为 f (3）.要使 （f x ) 6 恒成立，当且仅当 f (3） 6，又∵f (3)f (3)f (2 1)[ f (2) f (1)][ f (1) f (1) f (1)]3 f (1),f (1)2【反馈检测 4答案】（1）见解析；（2）见解析. 【反馈检测 4详细解析】(1)证明:令 m 0,n 1,则 f (0 1) f (0) f (1)∵当 x 0 时,0 f (x ) 1,故 f (1)0,∴ f (0) 1,∵当 x时,0f (x ) 1∴当 x0 时,x 0 ,则 ()( ) ( )( )(0)11ff x x fx f xf xf (x )f (x )【 反 馈 检 测 5答 案 】（ 1） 见 解 析 ； （ 2） 证 明 见 解 析 ； （ 3）1010 2x且x0,x.2228【反馈检测 5详细解析】(1)令xx1 f (1) f (1) f (1) f (1) 012令x 1x 2 1 f [(1)(1)] f (1) f (1) 0 2 f (1) f (1) 0令是偶函数x 1 x x 2 1 f [x (1)] f (x ) f (1) f (x ) f (x ) f (x )xx(2) 0( ) ( ) ( A ) ( ) ( ) ( ) ( ) 设xxf x f x f x 1 f x f x f 1 f x12122222xx22xxxf ( 1 )xx11 x 1时，f (x ) 0 f ( 1 ) 0f (x ) f (x ) 01212xxx222函数在（0，+）上是增函数 (3)令xx2 f (22) f (2) f (2) 2 f (4) 212(2 1) 2 (4) ( )是偶函数 在（0，+ ）上时增函数 f x 2 ff xx 0 10 10 22x 1 0x 且x 0, x.2222|2x 1|<42【反馈检测 6答案】C【 反 馈 检 测 6详 细 解 析 】 因 为 f (x ) 是 奇 函 数 且 在 R 上 是 增 函 数 ， 所 以 在 x0 时 ，f (x ) 0 ，g (x ) xf (x ) x f (x ) xf (x ) g （x)，所以 g (x ) xf (x )是 R 上的偶函数.当 x0 时， g (x ) x f (x ) xf (x ) f (x ) xf (x ) 因为 f (x ) 0 x 0 f (x ) 0所以 f (x ) xf (x ) 0 g (x) 0所以 g (x ) 在[0,) 上是增函数，a gg， 20.82 ，又 4 5.1 8，则 2 log 5.13，(log 5.1)(log 5.1)222所以即020.8log 5.13，所以g(20.8)g(log 5.1)g(3)，所以b a c，故选C．22【反馈检测7答案】f(2005)200520039∴ f (x ) 是以 4为周期的周期函数 又∵ f (2) 2004∴f (2005) f (20041)1 f(2004) 1 f (2004) 1 f (0) 1 f (0)=1 2004 12004 ==-2005 2003∴ f (2005)=-2005200310。
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u=-∴2()2111u u f u uu-=+=--∴2()1x f x x-=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x解：∵22111()()(1)(f x x x x xxx+=+-+=11|||1||x xx =+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩ 例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x ,∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴f +()(1)f n f n n =-+ ∴1()(1),2f x x x x N =+∈1.例7 已知(f x +x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4) 五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f （x ）为增函数。
在条件中，令y ＝－x ，则，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f（x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。
∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，则，∴。
若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。
同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。
如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g （b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y ＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。
分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，∴在定义域中。
∵，∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。
设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。
f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
15、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。