高考抽象函数技巧全总结[1]

高考抽象函数技巧全总结

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常

用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211

x f x x =++,求()f x .

解：设

1

x u x =+,则1u x u

=

-∴2()2

111u u f u u

u

-=+=

--∴2()1x f x x

-=

-

2.凑合法：在已知(())()f g x h x =

即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3

3

11()f x x x

x

+

=+

，求()f x

解：∵22

111()()(1)(f x x x x x

x

x

+

=+-+

=11|||1||

x x

x =+

≥

∴23

()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2

ax bx c ++，则

22

(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22

222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩

∴2

13()22

f x x x =

++

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴

()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴

lg(1),0

()lg(1),0

x x f x x x +≥⎧=⎨

--<⎩ 例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x .

解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11

x - ………①中的x ,

∴1()()1

f x

g x x -+-=

--即()f x －1()1

g x x =-

+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数2

1()1

f x x =

-再代入①求出2

()1

x g x x =

-

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式

例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求

()f x

解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++

∵(1)f =1,∴f +()(1)f n f n n =-+ ∴1()(1),2

f x x x x N =

+∈

1.例7 已知(f x +x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证

()f x 为偶函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①

在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴

()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。

2.确定参数的取值范围

例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2

(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2

(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴

2

(1)(1)f m f m -<-

又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴2

2

1111110111

m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩

3.解不定式的有关题目

例9：如果()f x =2

ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小

解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2

ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，

f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于

研究它的单调性。 解：设，∵当

，∴

，

∵

，

∴

，即

，∴f （x ）为增函数。

在条件中，令y ＝－x ，则

，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）

＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，

∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f （x ）对任意

，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f

（x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设

，∵