2021年湖南省中考数学复习题及答案 (65)
2021年湖南省常德市中考数学试卷(附答案详解)
2021年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为()A. 14B. 2C. 1D. −42.若a>b，下列不等式不一定成立的是()A. a−5>b−5B. −5a<−5bC. ac >bcD. a+c>b+c3.一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为()A. 10B. 11C. 12D. 134.下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a6B. a2+a2=a4C. (a3)2=a5D. a3a2=a(a≠0) 5.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是()A. ②→③→①→④B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ②→④→③→①6.计算：(√5+12−1)⋅√5+12=()A. 0B. 1C. 2D. √5−127.如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P.则下列结论成立的是()A. BE=12AEB. PC=PDC. ∠EAF+∠AFD=90°D. PE=EC8.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是( )A. ②④B. ①②④C. ①②D. ①④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 不等式2x −3>x 的解集是______ ．10. 今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人.用科学记数法表示此数为______ ．11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是______ 班.人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班4587895.812. 分式方程1x +1x−1=x+2x(x−1)的解为______ ．13. 如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，∠BOD =80°，则∠BCD = ______ ．14. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若CD =3，BD =5，则BE 的长为______ ．15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有______ 个.16. 如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为______ .(用含n 的代数式表示)三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：20210+3−1⋅√9−√2sin45°．18.解方程：x2−x−2=0．四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）19.化简：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1．20.如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为(n,√3)，反比例函数y1=k1x 的图象的一支过A点，反比例函数y2=k2x的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为√32．(1)求n的值；(2)求反比例函数y2的解析式．21.某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．(1)求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？22.今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆(如图所示)，星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE=1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF=1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？(最后结果保留一位小数)(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245)23.我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整)．请根据统计图回答下列问题(1)此次抽样调查的人数是多少人？(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．(1)求证：FD是圆O的切线：(2)若BC=4，FB=8，求AB的长．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(−2,0)，(8,0)，(13,10)．(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．26.如图1，在△ABC中，AB=AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT=BN，连接BT．(1)求证：BN=CN；(2)在图1中AN上取一点O，使AO=OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．①求证：△TOM∽△AOC；CM．②设TM与AC相交于点P，求证：PD//CM，PD=12答案和解析1.【答案】A【知识点】倒数【解析】解：4的倒数为14．故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键是注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【知识点】不等式的基本性质【解析】解：A.∵a>b，∴a−5>b−5，故本选项不符合题意；B.∵a>b，∴−5a<−5b，故本选项不符合题意；C.∵a>b，∴当c>0时，ac >bc；当c<0时，ac<bc，故本选项符合题意；D.∵a>b，∴a+c>b+c，故本选项不符合题意；故选：C．根据不等式的性质逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C【知识点】多边形内角与外角【解析】解：根据题意得：(n−2)180°=1800°，解得：n=12．故选：C．n边形的内角和是(n−2)180°，根据多边形的内角和为1800°，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．4.【答案】D【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；C.(a3)2=a6，故本选项不合题意；=a(a≠0)，故本选项符合题意；D.a3a2故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】D【知识点】统计图的选择、统计表、调查收集数据的过程与方法【解析】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；按统计表的数据绘制折线统计图；从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．故选：D．根据折线统计图的制作步骤即可求解．本题是一道统计型题目，解题的关键是熟悉折线统计图的制作步骤．6.【答案】B【知识点】二次根式的混合运算【解析】解：(√5+12−1)⋅√5+12=√5+1−22×√5+12=√5−12×√5+12=(√5)2−124=44=1．故选：B．直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．7.【答案】C【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF=BE，在△AFD和△BEA中，{AF=BE∠DAF=∠ABE=90°AD=BA，∴△AFD≌△BEA(SAS)，∴∠FDA=∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD=90°，∴∠EAB+∠AFD=90°，即∠EAF+∠AFD=90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．根据已知条件结合正方形性质以及全等三角形性质逐一推理即可选出答案．本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，细心推理是解题的关键．8.【答案】B【知识点】勾股数【解析】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13=22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④两个广义勾股数的积是广义勾股数，故④结论正确，∴次正确的是①②④．故选：B．根据广义勾股数的定义进行判断即可．本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．9.【答案】x>3【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：移项得，2x−x>3，合并得，x>3．故答案为：x>3．根据解一元一次不等式的步骤，移项、合并同类项即可．本题考查了解一元一次不等式，是基础题，比较简单，移项时注意要变号．10.【答案】1.41178×109【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：141178万=1.41178×109，故答案为：1.41178×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．11.【答案】甲【知识点】加权平均数、中位数、方差【解析】解：∵甲班的中位数为91分，乙班的中位数为89分，∴甲班的中位数大于乙班的中位数，∴甲、乙两班中优秀人数更多的是甲班，故答案为：甲．根据中位数的意义求解即可．本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的意义．12.【答案】x=3【知识点】分式方程的一般解法【解析】解：去分母得：x−1+x=x+2，解得：x=3，检验：把x=3代入得：x(x−1)=6≠0，∴分式方程的解为x=3．故答案为：x=3．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13.【答案】140°【知识点】圆内接四边形的性质【解析】解：∵∠BAD为BD⏜所对的圆周角且∠BOD=80°，∴∠BAD=12∠BOD=12×80°=40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−40°=140°，故答案为：140°．根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理并能知道圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．14.【答案】4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∵BD=5，∴BE=√BD2−DE2=√52−32=4，故答案为4．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再由勾股定理求得BE的长即可．本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．15.【答案】20【知识点】有理数的混合运算【解析】解：∵16为红珠，14为绿珠，红球和绿球的数量均为正整数，且4，6的最小公倍数为12，∴四种球的总数为12的整数倍，又∵四种球的总数不超过50个，∴四种球的总数最多为48个，此时蓝珠的个数=48−48×16−48×14−8=20(个)．故答案为：20．由红球、绿球占的比较及两种球的数量均为正整数，即可得出四种球的总数为12的整数倍，结合四种球的总数不超过50个，可得出四种球的总数最多为48个，再利用篮球的个数=四种球的总数−红球的个数−绿球的个数−黑球的个数，即可求出结论．本题考查了有理数的混合运算以及因数和倍数，根据各球所占比例及4，6的最小公倍数，找出四种球的总数为12的整数倍是解题的关键．16.【答案】2n(n+1)【知识点】图形规律问题【解析】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4=2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12=2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24=2×3×4，⋅⋅⋅，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)；故答案为：2n(n+1)．根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)．本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．17.【答案】解：20210+3−1⋅√9−√2sin45°=1+13×3−√2×√22=1+1−1=1．【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算【解析】根据公式a0=1(a≠0)、a−n=1a n(a≠0)，以及二次根式的运算法则，正确计算即可．本题主要考查实数的运算相关法则，其中包括公式的运用、二次根式的运算法则以及特殊角度的三角函数，解题的关键在于要熟练运用计算法则．18.【答案】解：分解因式得：(x−2)(x+1)=0，可得x−2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=−1．【知识点】解一元二次方程-因式分解法【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19.【答案】解：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1=[a(a+1)(a+1)(a−1)+5a+9(a+1)(a−1)]⋅a−1a+3 =a2+a+5a+9(a+1)(a−1)⋅a−1a+3=(a+3)2(a+1)(a−1)⋅a−1a+3=a+3a+1．【知识点】分式的混合运算【解析】根据分式的加法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20.【答案】解：(1)S△AOH=12×OH×AH=√32，即，12n×√3=√32，∴n=1，(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图所示：∵AO⊥BO，AB⊥y轴，∴△BOQ∽△OAH，且BQ=AH=√3，∴BQOH =QOHA，即√31=√3，∴QO=3，∵点B位于第二象限，∴B的坐标(−3,√3)，将点B坐标代入反比例函数y2=k2x中，k2=−3×√3=−3√3，∴反比例函数y2的解析式为：y2=−3√3x．【知识点】反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式【解析】(1)将A的坐标为(n,√3)代入三角形AOH的面积计算公式中即可求出n的值；(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，表示出B点坐标，进而求出y2解析式．本题考查反比例函数k的几何意义以及待定系数法求解析式，熟练理解并掌握k的几何意义以及待定系数法求解析式的基本方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y 万元，依题意得：{2x +5y =3.1x +2y =1.3， 解得：{x =0.3y =0.5． 答：销售一台A 型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是0.5万元．(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台， 依题意得：(12+0.3)m +(15+0.5)(22−m)≤300，解得：m ≥121316，又∵m 为整数，∴m 可以取的最小值为13．答：最少需要采购A 型新能源汽车13台．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用【解析】(1)设销售一台A 型新能源汽车的利润是x 万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是y 万元，根据“销售2台A 型车和5台B 型车，可获利3.1万元，销售1台A 型车和2台B 型车，可获利1.3万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台，根据总价=单价×数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】解：作EM ⊥CG 于M ，FN ⊥CG 于N ，由题意得GB =AG +AB =15.8+24.2=40(米)，则FN =GB =40米，在Rt △EDM 中，∠DEM =45°，∴DM =EM =15.8米，∵MG =AE =1.4米，∴DG =DM +MG =15.8+1.4=17.2(米)，∵NG=FB=1.8米，∴DN=17.2−1.8=15.4(米)，在Rt△CNF中，∠CFN=23°，∵tan∠CFN=CNFN≈0.4245，∴CN=0.4245×40≈17.0(米)，∴CD−CN−DN=17.0−15.4=1.6(米)故国旗的宽度CD约为1.6米．【知识点】解直角三角形的应用【解析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM=45°得到DM=EM=15.8米，即可求得DG=17.2米，进而求得DN=15.4米，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD=CN−DN求得即可．本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)；(2)接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%=40%，接种C类疫苗的人数为：200×15%=30(人)；(3)18000×(1−35%)=11700(人)，即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．(4)画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=35．【知识点】用样本估计总体、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】(1)由B类的人数除以所占百分比即可求解；(2)由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；(3)由该小区所居住的总人数乘以A、B、C三类所占的百分比即可；(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】(1)证明：连接OD，由题可知∠ABC═90°，∵AB为直径，∴∠ADB═∠BDC═90°，∵点E是BC的中点，∴DE=12BC=BE=EC，∴∠EDC═∠ECD，又∵∠ECD+∠CBD═90°，∠ABD+∠CBD═90°，∴∠ECD═∠ABD，∵OB和OD是圆的半径，∴∠ODB═∠OBD，∴∠ODB+∠BDE═∠EDC+∠BDE═90°，即∠ODE═90°，故：FE是⊙O的切线．(2)由(1)可知BE═EC═DE═12BC═2，在Rt△FBE中，FE═√FB2+BE2═√82+22═2√17，∴FD═FE−DE═2√17−2，又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO═∠FBE═90°，∠OFD═∠EFB，∴△FDO∼△FBE，∴FDOD =FBBE，即2√17OD=82，求得OD═√17−12，∴AB═2OD═√17−1，故：AB长为√17−1．【知识点】垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系，再利用圆的切线判定定理求证即可；(2)利用相似三角形的对应边成比例，求得目标线段的长度．本题主要考查圆的切线的判定，以及相似三角形的性质，其解题突破口是理清各个角之间的关系．25.【答案】解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得∠EOB=∠DHC=90°，∵AB//CD，∴∠EBO=∠DCH，∴△EBO∽△DCH，∴BOCH =EODH，∵B(−2,0)、C(8,0)、D(13,10)，∴BO=2，CH=13−8=5，DH=12，∴25=EO10，解得：EO=4，∴点E坐标为(0,4)，设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−8)，将E点代入得：4=a ×2×(−8)，解得：a =−14，∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为：y =−14(x +2)(x −8)=−14x 2+32x +4；(2)抛物线的顶点在直线EF 上，理由如下：由(1)可知该抛物线对称轴为直线x =−b 2a =−322×(−14)=3， 当x =3时，y =254，∴该抛物线的顶点坐标为(3,254)，又∵F 是AD 的中点，∴F(8,10)，设直线EF 的解析式为：y =kx +b ，将E(0,4)，F(8,10)代入得，{4=b 10=8k +b 解得：{k =34b =4， ∴直线EF 解析式为：y =34x +4，把x =3代入直线EF 解析式中得：y =254， 故抛物线的顶点在直线EF 上；(3)由(1)(2)可知：A(3,10)，设直线AB 的解析式为：y =k′x +b′，将B(−2,0)，A(3,10)代入得：{0=−2k′+b′10=3k′+b′，解得：{k′=2b′=4， ∴直线AB 的解析式为：y =2x +4，∵FQ//AB ，故可设：直线FQ 的解析式为：y =2x +b 1，将F(8,10)代入得：b 1=−6，∴直线FQ 的解析式为：y =2x −6，当x =0时，y =−6，∴Q 点坐标为(0,−6)，设M(0,m)，直线BM 的解析式为：y =k 2x +b 2，将M 、B 点代入得：{m =b 20=−2k 2+b 2，解得：{k 2=m 2b 2=m， ∴直线BM 的解析式为：y =m 2x +m ，∵点P 为直线BM 与抛物线的交点，∴联立方程组有：{y =m 2x +m y =−14x 2+32x +4， 化简得：(x +2)(x −8+2m)=0，解得：x 1=−2(舍去)，x 2=8−2m ，∴点P 的横坐标为：8−2m ，则此时，S △PBQ =12×MQ ×(|x P |+|x B |)=12×(m +6)×(8−2m +2)=−(m +12)2+1214，∵a =−1<0，∴当m =−12时，S 取得最大值，∴点P 横坐标为8−2×(−12)=9，将x =9代入抛物线解析式中y =−114，综上所述，当△PBQ 的面积最大时，P 的坐标为(9,−114).【知识点】二次函数综合【解析】(1)过点D 作x 轴垂线交x 轴于点H ，利用△EBO∽△DCH 求出E 点坐标，进而根据B 、E 、C 三点坐标即可求出抛物线解析式；(2)求出抛物线顶点坐标以及直线EF 的解析式，代入验证即可判定顶点是否在直线EF 上；(3)根据AB//FQ ，求出点Q 坐标，再设M 为(0,m)通过直线BM 与抛物线的交点表示出P 点坐标，从而可表示出△PBQ 的面积结合二次函数最值问题即可求出面积最大值时点P 的坐标．本题属于中考压轴大题，考查二次函数综合应用，涉及三角形的相似、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数综合性质、能数形相结合并能细心的推理运算是解题的关键． 26.【答案】证明：(1)∵AT//BC ，∴∠ATD =∠BCD ，∵点D 是AN 的中点，∴AD =DN ，在△ATD 和△NCD 中，{∠ATD =∠BCD ∠ADT =∠CDN AD =DN，∴△ATD≌△NCD(AAS)，∴CN=AT，TD=DC，∵AT=BN，∴BN=CN；(2)①∵AT=BN，AT//BN，∴四边形ATBN是平行四边形，∵AB=AC，BN=CN，∴AN⊥BC，∴平行四边形ATBN是矩形，∴∠TAN=90°，∵点M，点N关于AC对称，∴CN=MC，∠ACN=∠ACM，∴AT=CM，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠ACN=90°，∴∠OCA+∠ACM=90°=∠OCM，∴∠OCM=∠TAN，又∵AT=CM，OA=OC，∴△TAO≌△MCO(SAS)，∴OT=OM，∠TOA=∠COM，∴∠TOM=∠AOC，OTOA =OMOC，∴△TOM∽△AOC；②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，∴EM=CM=AT，∴∠MEC=∠MCE，∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∴∠TAN+∠NAC+∠ACM=180°，∴∠TAC+∠ACM=180°，又∵∠AEM+∠CEM=180°，∴∠TAC=∠AEM，∴AT//EM，∴四边形ATEM是平行四边形，∴TP=PM，又∵TD=DC，CM．∴PD//CM，PD=12【知识点】相似形综合【解析】(1)由“AAS”可证△ATD≌△NCD，可得CN=AT=BN；(2)①由轴对称的性质可得CN=MC=AT，∠ACN=∠ACM，由“SAS”可证△TAO≌△MCO，可得OT=OM，∠TOA=∠COM，即可得结论；②将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EM=CM=AT，由角的数量关系可证∠TAC=∠AEM，可得AT//EM，可证四边形ATEM 是平行四边形，可得TP=PM，由三角形中位线定理可得结论．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，证明四边形ATEM是平行四边形是解题的关键．。
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案)
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 5．（3分）下列计算正确的是( )A ．164=±B ．0(2)1-=C ．257+=D ．393=6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是857．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A．B．C．D．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈)A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．（3分）下列命题是真命题的是()A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120︒C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．（3分）不等式组1026xx+<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为()A．B．C．D．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 ．14．（3分）计算：11a a a-+= ． 15．（3分）因式分解：239a ab -= ．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留)π17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A D-段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)++-++-．x y x y x y x x y20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB DE=，//BC EF．求AC DF，//证：ABC DEF∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90∆绕A点逆时针方AEB∠=︒，将Rt ABE向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BC=，求DH的长．BH=，1323．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm．经测量，得到表中数据．双层部分长度()x cm281420单层部分长度()y cm148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm，求L的取值范围．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是8-． 故选：A ．2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯【解答】解：7989900009.89910=⨯，故选：B ．3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 【解答】解：A ．235a a a ⋅=,故此选项不合题意；B ．12210a a a ÷=,故此选项不合题意；C ．326()a a =,故此选项符合题意；D ．32611()24a a =,故此选项不合题意； 故选：C ．5．（3分）下列计算正确的是( )A 4=±B ．0(2)1-=CD 3=【解答】解：16的算术平方根为44，故A 不符合题意；根据公式01(0)a a =≠可得0(2)1-=，故B 符合题意；≠，故C 不符合题意；3，故D 不符合题意；故选：B ．6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是85【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，A 、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B 、数据的中位数为8385842+=，此选项正确，不符合题意； C 、数据的平均数为828283858692856+++++=， 所以方差为222221[(8585)(8385)2(8285)(8685)(9285)]126⨯-+-+⨯-+-+-=，此选项错误，符合题意；D 、由C 选项知此选项正确；故选：C ．7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A ．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈ )A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =米，3sin sin370.65BC BAC AB ∠==︒≈=， 5561033AB BC ∴≈=⨯=（米)， 故选：D ．9．（3分）下列命题是真命题的是( )A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A ．每个多边形的外角和都是360︒，故错误，假命题；B ．正六边形的内角和是720︒，每个内角是120︒，故正确，真命题；C ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D ．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B ．10．（3分）不等式组1026x x +<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：解不等式10x +<得，1x <-,解不等式26x -得，3x -， ∴不等式组的解集为：31x -<-,在数轴上表示为：故选：A ．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，A ∴选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，B ∴选项错误，根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为37， C ∴选项错误， 200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为85100%42.5%200⨯=， 320042.5%1360∴⨯=（人)，D ∴选项正确，故选：D ．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【解答】解：//PM CN ，PMN MNC ∴∠=∠，MNC PNM ∠=∠，PMN PNM ∴∠=∠，PM PN ∴=，NC NP =，PM CN ∴=，//MP CN ，∴四边形CNPM 是平行四边形，CN NP =，∴四边形CNPM 是菱形，故①正确；如图1，当点P 与A 重合时，设BN x =，则8AN NC x ==-，在Rt ABN ∆中，222AB BN AN +=，即422(8)2x x +=-，解得3x =，835CN ∴=-=，4AB =，8BC =， 2245AC AB BC ∴=+=，1252CQ AC ∴==， 225QN CN CQ ∴=-=，225MN QN ∴==，故②不正确；由题知，当MN 过点D 时，CN 最短，如图2，四边形CMPN 的面积最小，此时1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形， 当P 点与A 点重合时，CN 最长，如图1，四边形CMPN 的面积最大，此时15454S =⨯⨯=， 45S ∴正确，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 3x ．【解答】解：根据题意，得30x -，解得，3x ；故答案为：3x ．14．（3分）计算：11a a a-+= 1 ． 【解答】解：原式111a a -+==． 故答案为：1．15．（3分）因式分解：239a ab -= 3(3)a a b - ．【解答】解：239a ab -3(3)a a b =-，故答案为：3(3)a a b -．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留)π【解答】解：圆锥的侧面积234212ππ=⨯⨯÷=．故答案为：12π．17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 500 棵．【解答】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵， 依题意得：600060003(125%)x x-=+，解得：400x =，经检验，400x =是原方程的解，且符合题意，(125%)500x ∴+=．故答案为：500．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为 (233)+ 厘米．【解答】解：由图分析易知：当点P 从O A →运动时，点Q 从O C →运动时，y 不断增大， 当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时3y PQ cm ==，23AC cm ∴=，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，132OA OC AC cm ===， 当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，2y BD cm ==，112OD OB BD cm ∴===， 在Rt ADO ∆中，2222(3)12()AD OA OD cm ++，2AD AB BC DC cm ∴====，如图，当点P 在A D -段上运动，点P 运动到点E 处，点Q 在C B -段上运动，点Q 运动到点F 处时，P 、Q 两点的最短，此时，31322OA OD OE OF AD ⋅⨯====， 2233342AE AF OA OE ==-=-=， ∴当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为：3(3)2233()2cm +⨯=+ 故答案为：(233)+．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)x y x y x y x x y ++-++-．【解答】解：原式22222(44)(4)(4)x xy y x y x xy =+++-+-222224444x xy y x y x xy =+++-+-23x =．20．（6分）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，AB DE =，//AC DF ，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：//AC DF ，CAB FDE ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),又//BC EF ，CBA FED ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),在ABC ∆和DEF ∆中，CAB FDE AB DECBA FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64.8 度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%---=， ∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8︒⨯=︒，故答案为：64.8；（2）50020%100⨯=（吨)，1000.220⨯=（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：()82 123P∴==一男一女．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90AEB∠=︒，将Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BH=，13BC=，求DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，Rt ABE Rt ADF∴∆≅∆，90AEB AFD∴∠=∠=︒，90AFH∴∠=︒，Rt ABE Rt ADF∆≅∆，DAF BAE∴∠=∠,又90DAF FAB∠+∠=︒，90BAE FAB∴∠+∠=︒，90FAE∴∠=︒，在四边形AFHE中，90FAE∠=︒，90AEB∠=︒，90AFH∠=︒，∴四边形AFHE是矩形，又AE AF =，∴矩形AFHE 是正方形；（2）设AE x =．则由（1）以及题意可知：AE EH FH AF x ====,7BH =,13BC AB ==, 在Rt AEB ∆中，222AB AE BE =+，即22213(7)x x =++,解得：5x =,5712BE BH EH ∴=+=+=,12DF BE ∴==,又DH DF FH =+，12517DH ∴=+=．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm ，单层部分的长度为y cm ．经测量，得到表中数据． 双层部分长度()x cm2 8 14 20 单层部分长度()y cm 148 136 124 112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm ，求L 的取值范围．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，由题知14821368k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2152k b =-⎧⎨=⎩， y ∴与x 的函数关系式为2152y x =-+；（2）根据题意知1302152x y y x +=⎧⎨=-+⎩， 解得22108x y =⎧⎨=⎩， ∴双层部分的长度为22cm ；（3）由题知，当0x =时，152y =， 当0y =时，76x =， 76152L ∴．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．【解答】（1）证明：连结OD ，如图所示：AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，90BDO ADO ∴∠+∠=︒， 又OB OD =，CDA B ∠=∠， B BDO CDA ∴∠=∠=∠，90CDA ADO ∴∠+∠=︒，OD CD ∴⊥，且OD 为O 半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：连结OE ，如图所示：30BDE ∠=︒，260BOE BDE ∴∠=∠=︒，又E 为BD 的中点，60EOD ∴∠=︒，EOD ∴∆为等边三角形，2ED EO OD ∴===，又120BOD BOE EOD ∠=∠+∠=︒，180********DOC BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，在Rt DOC ∆中，60DOC ∠=︒，2OD =，tan tan6032CD CD DOC OD ∴∠=︒== 23CD ∴= 25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【解答】解：（1）过点A 作x 轴的垂线，交MN 于点E ，交OB 于点F ，由题意得：2OQ t =，3OP t =，63PB t =-，(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，3OF FB ∴==，4AF =，22345OA AB ==+，//MN OB ，OQM OFA ∴∠=∠，OMQ AOF ∠=∠，OQM AFO ∴∆∆∽， ∴OQ QM AF OF =， ∴243t QM =， 32QM t ∴=， ∴点M 的坐标是3(,2)2t t ． （2）//MN OB ，∴四边形QEFO 是矩形，QE OF ∴=，332ME OF QM t ∴=-=-， OA AB =，ME NE ∴=，263MN ME t ∴==-，MNP BNP MNBP S S S ∆∆∴=+四边形1122MN OQ BP OQ =⋅+⋅⋅11(63)2(63)222t t t t =-⋅+⋅-⋅ 2612t t =-+26(1)6t =--+，点P 到达点B 时，P 、Q 同时停止，02t ∴，1t ∴=时，四边形MNBP 的最大面积为6．（3）63MN t =-，63BP t =-，MN BP ∴=，//MN BP ，∴四边形MNBP 是平行四边形，∴平分四边形MNBP 面积的直线经过四边形的中心，即MB 的中点，设中点为(,)H x y ， 3(,2)2M t t ，(6,0)B ， 133(6)3224x t t ∴=⋅+=+， 202t y t +==． 334x y ∴=+， 化简得：443y x =-， ∴直线l 的解析式为：443y x =-． （4）OA AB =，AOB PBN ∴∠=∠，又OAP BPN ∠=∠， AOP PBN ∴∆∆∽，∴OA OP BP BN=， ∴535632t t t =-， 解得：1118t =．63MN t =-，AE AF OQ =-，332ME t =-， 112563186MN ∴=-⨯=， 112542189AE =-⨯=， 31125321812ME =-⨯=， 22222525125()()12936AM ME AE ∴=+=+=． 设点N 到OA 得距离为h ，1122AMN S MN AE AM h ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴125251125269236h ⋅⋅=⋅⋅， 解得：103h =． ∴点N 到OA 得距离为103．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±， 当2x =±时，42y x ==±， 故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为y x =，物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ， 则25ax x c x ++=，则△2540ac =-=，即4ac =，1a >，故4c <；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a++=， 解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =， 解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-， 故点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242()E M MH x x HE a a a =-=---==， 故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ， 过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++,3PN m =-,PM m t =-,223CM m m t =-++-, 90NPB MPC ∠+∠=︒,90MPC CPM ∠+∠=︒, NPB CPM ∴∠=∠,90CMP PNB ∠=∠=︒,PC PB =,()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得1m =1-或32，故点P 的坐标为，3)2或3(2，15)4或(1+，3)2．。
2021年中考数学复习——几何探究型问题(有答案)
2021年中考数学复习——几何探究型问题班级姓名1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。
（1）=+PMPEPQPF（2）若MNPMPN•=2，则=NQMQ2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB=，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE OC⊥于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①PB PD=；②BC的长为43π；③45DBE∠=︒；④BCF PFB△∽△；⑤CF CP⋅为定值．3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，120ABC∠=︒，60MBN∠=︒，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG AE=，连接BG，先证明BCG BAE△≌△，再证明BFC BFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA BC=，180BAD BCD∠+∠=︒，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70 ，试求此时两舰艇之间的距离．4.（2020年湖南常德中考）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE 交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．5.（2020年湖南湘潭中考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：67286708，则表示的数是________．6. 2020年湖南怀化中考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，60BCD ∠=︒．求⊙O 的半径．7. （2020年湖南省衡阳市中考）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．8. （2020年湖南岳阳中考）如图1，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，动点P ，Q 分别从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB 上沿C A →，A B →的方向运动，当点Q 运动到点B 时，,P Q 两点同时停止运动，设点P 运动的时间为()t s ，连接PQ ，过点P 作PE PQ ⊥，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE ．（1）如图2，当5t s =时，延长EP 交边AD 于点F ．求证：AF CE =；（2）在（1）的条件下，试探究线段,,AQ QE CE 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，当94t s >时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分AFP ∠，求AF CE的值．9. （2020年湖南株洲中考）如图所示，BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE △≌△．（1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．教师用：2021年中考数学——几何探究型问题1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M 、N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F 。
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)湖南省永州市2021年中考数学试卷一、多项选择题（每个子题3分，共24分）。
1.（3分）（2022？永州）A.B.的倒数是（）2021c．d．2021考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．解答：解：∵（）×（2021）=1，∴的倒数为2021．故选d．点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．2．（3分）（2021?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求键顺序正确的是（）a．c．．考点：计算器―数的开方分析：根据计算器上的键的功能，是先按最后按6，即可得出答案．解答：解：是先按，再按8，是先按2nd 键，再按则+的顺序先按，最后按6，，再按8，按+，按2nd键，按，最后按6，+的近似值b．，再按8，是先按2nd键，再按，故选a．点评：此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．3．（3分）（2021?永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）a、 B.c.d.试验场地：中心对称图；简单几何的三视图分析：首先判断每个图形的主视图，然后结合中心对称性的定义进行判断；b、主视图是一个三角形，它不是一个中心对称的图形，所以这个选项是正确的；c、主视图是一个圆形，是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；d、主视图是一个正方形，而正方形是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；所以选择B.评论：这个问题考察了三个视图的知识和简单几何的中心对称性。
判断中心对称图形就是找到对称中心，旋转180度后与原始图形重合。
4.（3点）（2022？永州）如图所示，在以下条件下可以确定L1‖L2线为（）∠1=∠2∠1+∠3=180°∠3=∠5a．c．d．考点：平行线的判定．分析：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可．解答：解：a、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；b、∵∠5=∠3，∠1=∠5，∴∠1=∠3，即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；c、∵∠1+∠3=180°，∴l1∥l2，故本选项正确；d、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；故选c．点评：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．5．（3分）（2021?永州）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）∠1=∠5b。
湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题05 一元二次方程(含答案解析)
专题05 一元二次方程一、单选题1．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．2．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】本题根据题目所给新定义将方程12x =☆变形为一元二次方程的一般形式，即20ax bx c ++=的形式，再根据根的判别式24b ac ∆=-的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x =☆得：22x x -=整理得：220x x --=根据根的判别式2141(2)90∆=-⨯⨯-=>可知该方程有两个不相等实数根．故选D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据∆的值来判断根的情况，注意0∆>时有两个不相等的实数根；0∆=时有一个实数根或两个相等的实数根；∆<0时没有实数根． 3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个【答案】D【分析】直线y x m =-+不经过第一象限，则m =0或m ＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线y x m =-+不经过第一象限，∴m =0或m ＜0，当m ＝0时，方程变形为x +1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m ＜0时，方程210mx x ++=是一元二次方程，且△=2414b ac m -=-，∵m ＜0，∴-4m ＞0,∴1-4m ＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．二、填空题4．（2021·湖南中考真题）一元二次方程2x 3x 0-=的根是_______．【答案】12x 0,?x 3== 【详解】四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．注意识别使用简单的方法进行求解，此题应用因式分解法较为简捷，因此，212x 3x 0x(x 3)0x 0x 30x 0,?x 3-=⇒-=⇒=-=⇒==，．5．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于x 的方程2120x kx --=的一个根为3，则k 的值为______．【答案】1-【分析】将3x =代入方程可得一个关于k 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将3x =代入方程2120x kx --=得：233120k --=，解得1k =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 6．（2021·湖南娄底市·中考真题）已知2310t t -+=，则1t t+=________．【答案】3．【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．【详解】 解：22111t t t t t t t++=+=，又∵2310t t -+=，∴213t t +=， 则2113=3t t t t t t++==， 故答案为：3．【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 7．（2021·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________．【答案】254 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，∴()2540m ∆=--=，解得：254m =， 故答案是：254． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则0∆=，是解题的关键． 8．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．【答案】9【分析】直接利用根的判别式进行判断即可．【详解】解：由题可知：“△=0”，即2640k -=；∴9k =；故答案为：9．【点睛】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．三、解答题9．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=【答案】12x =，21x =-【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．详解：由原方程，得：（x +1）（x ﹣2）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．（2021·湖南永州市·中考真题）若12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则1212,b c x x x x a a+=-⋅=．现已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ． （1）若2,4m n ==-，求,p q 的值；（2）若3,1p q ==-，求m mn n ++的值．【答案】（1）1,8p q ==-；（2）-1．【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系得到2,q mn p m n p+=-=． （1）把2,4m n ==-，代入2,q mn p m n p+=-=，即可求出,p q 的值； （2）把3,1p q ==-，代入2,q mn p m n p +=-=，得到,2133m n mn +=-=-．利用整体代入即可求解． 【详解】 解：∵已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ，∴2,q mn p m n p+=-=． （1）当2,4m n ==-时，2,28q p p-=-=-， 解得1,8p q ==-，经检验，1,8p q ==-是方程的根，∴1,8p q ==-；（2）当3,1p q ==-时，,2133m n mn +=-=-． ∴21133m mn n m n mn ++=++=--=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到2,q mn p m n p+=-=是解题关键． 11．（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，由题意得：210(1)12.1x +=，解得：110%x=，221 10x=-（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷及答案解析
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣3B．﹣1C．πD．4【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4，∴最大的数是4，故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（）A．1.004×106B．1.004×107C．0.1004×108D．10.04×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：10040000＝1.004×107．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6a C．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a3•a2＝a5,故此选项符合题意；B．2a+3a＝5a,故此选项不合题意；C．a8÷a2＝a6,故此选项不合题意；D．（a2）3＝a6,故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF 的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠AGE＝100°，∴∠DHF＝∠CHG＝100°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【分析】直接由圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝2＞0，b＝1＞0，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限．8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26， ∴这组数据的众数为23cm ，中位数为24cm ，故选：C ．【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）A ．19B ．16C ．14D ．13 【分析】列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 6 1（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种， ∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19， 故选：A ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．【点评】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2﹣2021x＝x(x﹣2021)．【分析】直接提取公因式x,即可分解因式．【解答】解：x2﹣2021x＝x(x﹣2021)．故答案为：x(x﹣2021)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为45°．【分析】利用垂径定理可得AC＝BC=12AB=12×4=2,由OC＝2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．【解答】解：∵OC⊥AB,∴AC＝BC=12AB=12×4=2,∵OC＝2,∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为12．【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB＝BC，即可求出BC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE＝AE＝EB=12 AB，∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为﹣1．【分析】把x＝3代入方程得出9﹣3k﹣12＝0，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4．【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为50．【分析】利用共抽取作品数＝A等级数÷对应的百分比求解，即可求出一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．【解答】解：∵30÷25%＝120（份），∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120﹣30﹣28﹣12＝50（份），故答案为：50．【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。
2021年湖南省中考数学真题分类汇编专题5四边形(解析版)
2021湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题5 四边形一、选择题1．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】A.【解析】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．二、填空题2．（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．【答案】∠ABC =90°或 AC=BD ．【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：∠ABC =90°或 AC=BD ．故答案为：∠ABC =90°或 AC=BD ．3．（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 ．【答案】9．【解析】解：∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，∴DE = 12AD = 12BC ，DO =12BD ，AO=CO ， ∴OE =12CD ， ∵△BCD 的周长为 18，∴BD +DC +B=18，∴△DEO 的周长是 DE +OE +DO =12（BC +DC +BD ）=12×18=9， 故答案为：9． 4．（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a =6，弦c =10，则小正方形ABCD 的面积是 .【答案】4．【解析】解：∵勾a ＝6，弦c ＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4.故答案是：4.5．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．【答案】2．【解析】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．6．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④．【解析】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．三、解答题7．（2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】见解析．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．8．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．9．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．10．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF ＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．【答案】（1）见解析；（2）12．【解答】解：（1）在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积＝12×4×1＝2．所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．11．（2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝12，∴BF＝12AD＝12BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝12，解得，FG＝2．12．（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝12，求正方形OEFG的边长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD ∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝12，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为2．13．（2019湖南郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）△DEF是等边三角形，理由见解析；（3）DG2+GF2＝GE2．【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，∴△A1DE≌△A1DF（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，∴△DGG'是等边三角形，∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G'GF＝90°，∴G'G2+GF2＝G'F2，∴DG2+GF2＝GE2，14．（2019湖南益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA＝3；（3）当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，cos∠OAD＝．【解析】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为（2，3+2）；（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，12xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3（负值舍去），∴OA＝3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM ＝∠ONM ＝90°，∠CMD ＝∠OMN ，∴△CMD ∽△OMN ，∴＝＝，即＝＝， 解得MN ＝，ON ＝，∴AN ＝AM ﹣MN ＝，在Rt △OAN 中，OA ＝＝， ∴cos ∠OAD ＝＝． 15．（2019湖南岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C ′处．点P 为直线EF 上一动点（不与E 、F 重合），过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和N ，以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN ．（1）如图1，求证：BE ＝BF ；（2）特例感知：如图2，若DE ＝5，CF ＝2，当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3）类比探究：若DE ＝a ，CF ＝b ．①如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）【答案】（1）见解析；（2）2；（3）①QN ﹣QM ＝22a b -，证明见解析；②QM ﹣QN ＝22a b -．【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴12•BF•EH＝12•BE•PM+12•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴12BE•PM﹣12•BF•PN＝12•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM。
2021年湖南省株洲市中考数学真题(解析版)
2021年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．若a的倒数为2，则a＝（）A．B．2 C．﹣D．﹣22．方程﹣1＝2的解是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝63．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（）A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多5．计算：＝（）A．﹣2B．﹣2 C．﹣D．26．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．不等式组的解集为（）A．x＜1 B．x≤2C．1＜x≤2D．无解8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（）A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞010．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：（2a）2•a3＝．12．因式分解：6x2﹣4xy＝．13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝．14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是．15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝．16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：中药黄芪焦山楂当归80 60 90销售单价（单位：元/千克）销售额（单位：元）120 120 360则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为千克．17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是．18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ ＝24°，则∠DCP＝度．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．（1）求线段FG的长度；（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：（男性身体属性与人数统计表）身体属性人数瘦弱 2偏瘦 2正常 1偏胖9肥胖m（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U 的最大值．25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．①求证：△AOC≌△DOB；②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．2021年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．若a的倒数为2，则a＝（）A．B．2 C．﹣D．﹣2【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：∵a的倒数为2，∴a＝．故选：A．2．方程﹣1＝2的解是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：﹣1＝2，移项，得＝2+1，合并同类项，得＝3，系数化成1，得x＝6，故选：D．3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．【解答】解：∵∠DCE＝132°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝48°，故选：B．4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（）A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断A，B，C，D选项即可．【解答】解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加；故A正确，不符合题意；B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故B错误，符合题意；C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意；D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D正确，不符合题意；故选：B．5．计算：＝（）A．﹣2B．﹣2 C．﹣D．2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2．故选：A．6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，设可以换得的粝米为x升，则＝，解得：x＝＝18（升），答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．故选：C．7．不等式组的解集为（）A．x＜1 B．x≤2C．1＜x≤2D．无解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，解不等式﹣x+1＞0，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜1．故选：A．8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠F AB＝120°,∠IAB＝108°, ∴∠F AI＝∠F AB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°,故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（）A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0【分析】由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得与x轴两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围．【解答】解：∵OP＝1，P不在抛物线上，∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），x＝1时，y＝a+b+c＜0，当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，由图象知x1x2＝＜0，∴ac＜0，∴ac（a+b+c）＞0，即M＞0，故选：D．10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意列出h和角度之间的关系式即可判断．【解答】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，故①正确；②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜2.814米即可通过该闸口，故②正确；③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜3.132米即可通过该闸口，故③不正确；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：（2a）2•a3＝4a5．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．故答案为4a5．12．因式分解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．【分析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．【解答】解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．故答案为：2x(3x﹣2y)．13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝7．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：1078万＝10780000＝1.078×107，则n＝7．故答案为：7．14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝．故答案为：．15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝4．【分析】由矩形的性质可得AB＝2OD＝4，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，∴AB＝DE＝2OD＝4，∵AB＝AC，∴AC＝4，故答案为4．16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：中药黄芪焦山楂当归销售单价（单位：元/80 60 90千克）销售额（单位：元）120 120 360则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 2.5千克．【分析】利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售数量，再求出三者的算术平均数即可得出结论．【解答】解：黄芪的销售量为120÷80＝1.5（千克），焦山楂的销售量为120÷60＝2（千克），当归的销售量为360÷90＝4（千克）．该中药房的这三种中药的平均销售量为＝2.5（千克）．故答案为：2.5．17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是k＜0．【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题．【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，又∵0＜x1＜x1+1时，y1＜y2，∴函数图象在二四象限，∴k＜0，故答案为k＜0．18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ ＝24°，则∠DCP＝21度．【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠DDB 和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，∴∠DDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，∴∠CDP＝∠DDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，∵AD＝DP，CD＝AD，∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．故答案为：21．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+×﹣＝2+﹣＝3．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣,当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．【分析】（1）由矩形的性质可得DC∥AB，可得结论；（2）由平行四边形的性质可得DB∥EF，可证∠ABD＝∠F，由锐角三角函数可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，又∵DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）∵四边形DEFB是平行四边形，∴DB∥EF，∴∠ABD＝∠F，∴tan∠ABD＝tan F＝，∴，又∵BF＝2，∴BG＝．22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．（1）求线段FG的长度；（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．【分析】（1）在Rt△FGH中，由FG＝2FH，可得结论．（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）∵GM∥P A，∴∠FGH＝∠FBP＝30°，∵FH⊥GM，∴∠FHG＝90°，∴FG＝2FH＝（米）．（2）∵EF＝4米，FG＝米．∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：（男性身体属性与人数统计表）身体属性人数瘦弱 2偏瘦 2正常 1偏胖9肥胖m（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的男性人数即可；（2）根据计算公式求出该女性的BMI数值即可；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，根据抽取人数为55计算出m的值，即可求解．【解答】解：（1）9+1＝10（人），答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10；（2）BMI＝＝＝20,答：该女性的BMI数值为20；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：≥17，这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：n+4+9+8+4≥27，∵2+2+1+9+m+n+4+9+8+4＝55，∴m+n＝16，由条形统计图得n＜4，,m＝13时，n＝3，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝；m＝14时，n＝2，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝．答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为或．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U 的最大值．【分析】（1）先求出点A的横坐标，再代入直线y＝2x中求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k；先求出点C的纵坐标，代入直线y＝2x中求出点D 的横坐标，即可得出结论；（2）根据点C的纵坐标求出点E的坐标，进而求出CE＝，进而得出S1＝，由（1）知，A（1，2），D（t，t），求出DE＝﹣t，进而得出S2＝S△ADE＝t2﹣t+﹣1，进而得出U＝S1﹣S2＝﹣（t﹣1）2+，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，∴点A的横坐标为1，∵点A在直线y＝2x上，∴y＝2×1＝2，∴点A（1，2），∴B（0，2），∵点A在函数y＝上，∴k＝1×2＝2，∵OC＝t，∴C（0，t），∵CE∥x轴，∴点D的纵坐标为t，∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，∴x＝t，∴点D的横坐标为t；（2）由（1）知，k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，由（1）知，CE∥x轴，∴C（0，t），∴点E的纵坐标为t，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴x＝，∴E（，t），∴CE＝，∵B（0，2），∴OB＝2．∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝由（1）知，A（1，2），D（t，t），∴DE＝﹣t，∵CE∥x轴，∴S2＝S△ADE＝DE（y A﹣y D）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，∵点C在线段OB上（不含端点），∴0＜t＜2，∴当t＝1时，U最大＝．25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ECF＝90°，可得结论．（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，可得结论．②利用相似三角形的性质求出AC，再求出CM，CG，可得结论．【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，∴EF2＝EC2+CF2，∴∠ECF＝90°，∴OC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线．（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，∴∠DAC＝∠EOB，∵∠DCA＝∠EBO，∴△ACD∽△OBE．②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，∴OB：OE＝3：2，∵△ACD∽△OBE，∴＝，∴＝＝，∵AD＝4，∴AC＝6，∵M是AC的中点，∴CM＝MA＝3，∵EG∥OA，∴＝＝，∴CG＝2，∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．①求证：△AOC≌△DOB；②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；（2）①由x1+x2＝﹣得到x2＝﹣c＝OC，进而求解；②证明∠CBD＝∠AFO，而tan∠CBD＝＝＝，tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，即可求解．【解答】解：（1）当若a＝，b＝c＝﹣2时，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，则+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，∴△AOC≌△DOB（AAS）；②∵∠OCA＝∠CAF+∠CF A，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，∴∠CBD＝∠AFO，∵OB＝OC，故∠OCD＝45°，∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，则DE＝CD＝﹣（c+）＝CE，则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣c+（﹣c+），则tan∠CBD＝＝＝，而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，解得ca＝﹣2，而＝＝﹣ac＝2，故的值为2．。
湖南省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编--专题11 二次函数(解答题)(解析版)
专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2124y x x -=+； （2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2bx =-时，1y 取得最小值， 因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥， 解得4m ≥，则实数m 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-， 解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ， 即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）． 【分析】 （1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ， 则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -， 当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-， 化成顶点式为2111()24w x =--， 由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-； （2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩， 则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-， 将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =， 则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-， 联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 设点Q '的坐标为(,)Q m n '， 则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭， 设直线AQ '的解析式为33y k x b =+， 将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩， 解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =， 即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】 （1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时， 则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ， 解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时， 则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩， 解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩， 解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++； （2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。
2021年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2021年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣D．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×1054．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27 B．12 C．7 D．55．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝C．＝±2 D．a2•a3＝a66．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是个．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（）x+y；（2）+＝．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动，根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝ ，b ＝ ；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．（10分）如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，AE ∥BF ．（1）求证：△AEC ≌△BFD ．（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A 、B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A 种经济作物年总产值20万元，B 种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A 、B 两种经济作物应各种植多少亩？24．（10分）已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝，求景观桥CD 的长度．25．（12分）如图1，AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AE ，交AE 的延长线于点D ．组别频数 频率 A 组（60.5～70.5）a 0.3 B 组（70.5～80.5）30 0.15 C 组（80.5～90.5）50 b D 组（90.5～100.5） 60 0.3（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣D．【知识考点】相反数；绝对值．【思路分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．【解题过程】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．【总结归纳】本题考查绝对值的定义、相反数的定义．。
2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式(附答案解析)
2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b22．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105 3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×1084．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3 5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6 7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4 8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2 10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝．15．（2021•怀化）比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n的式子表达）18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．23．（2021•怀化）计算：．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b2【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】整式；二次根式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；C．，故C选项符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．2．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：5万＝50000＝5×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：98990000＝9.899×107，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3【考点】算术平方根；立方根；零指数幂．【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式a0＝1(a≠0)的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：＝＝，故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；整式；数感；运算能力．【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣1）•＝×＝×＝＝＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；分式的混合运算．【专题】计算题；整式；分式；运算能力．【分析】根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；D、1+，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 5.5×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．【解答】解：55000000＝5.5×107，故答案为：5.5×107．【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是x＞0．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，解得：x＞0．故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为4×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：400000＝4×105．故答案为：4×105．【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝0．【考点】二次根式的化简求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】把x+的值代入计算即可．【解答】解：∵x+＝，∴x+﹣＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15．（2021•怀化）比较大小：＞（填写“＞”或“＜”或“＝”）．【考点】算术平方根；实数大小比较．【专题】实数；数感．【分析】先估算出12，再除以2即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴＜1，即＞，故答案为：＞．【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，∴x≥．故答案为：x≥．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【考点】数学常识；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是m2﹣m．【考点】有理数的混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力；创新意识．【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【解答】解：由题意得：2100+2101+2102+ (2199)＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.（用含n的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；几何直观；应用意识．【分析】根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）．【解答】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）；故答案为：2n（n+1）．【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝3．【考点】立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据立方根的定义即可得出答案．【解答】解：∵a3＝27，∴a＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键，即：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x 叫做a的立方根．记作：．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×＝1﹣2+2+2＝3．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．23．（2021•怀化）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1＝1﹣2+9+2+1＝11．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【考点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正确进行分母有理化是解题的关键．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，由题意得：x≠1，x≠±3，当x＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则、分式的分母不为0是解题的关键．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝＝＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣，当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝，当a＝时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，还要注意运算顺序．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（+1）÷＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．。
2021年中考数学复习-图形面积问题(解析版)
图形面积问题【典例1】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】：宽6米，长10米【解析】：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．【典例2】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】：（1）四边形EFGH 是正方形x（2）当CE =CF =0.1米时，总费用最省．【解析】：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+ )24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．【典例3】某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m ²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】：（1）y=200)10(22+--=x （2）187.5【解析】：)240(x x y -=)20(22x x --= 200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．【典例4】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 【答案】：（1）25（2）25 【解析】：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．【典例5】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？【答案】：（1） （2）15,225【解析】：（1）根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时， 答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．【典例6】如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面积为cm 2 【解析】：（1）设正方形的边长为cm ， 则． 即． 解得（不合题意，舍去），． 剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 则与的函数关系式为：．即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2． 若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为： x x x x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：x x x x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2． 【典例7】某中学为初一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】解：根据题意，得y ＝20x(1802－x)，整理得 y ＝－20x 2＋1800x ＝－20(x 2－90x ＋2025)＋40500＝－20(x －45)2＝40500.∵－20＜0，∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40500，即当底面的宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大为40500cm 3.【典例8】 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，这个三角形的面积S 最大？最大面积是多少？(参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)有最小(大)值4ac －b 24a) 【答案】解: (1)S ＝12x ·(40－x)＝－12x 2＋20x ； (2)S ＝－12x 2＋20x ＝－12(x 2－40x)＝－12[x 2－40x ＋(－20)2－(－20)2]＝－12[(x －20)2－400]＝－12(x －20)2＋200.∵a ＝－12＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当x ＝20时，S 最大值＝200，即当x ＝20时，这个三角形的面积S 最大，最大面积为200cm 2.【典例9】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m 2)．(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25m 时，占地面积y 最大；(2)∵y ＝x ·50－x －22＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积最大，即饲养室长x 为26m 时，占地面积y 最大；∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．。
2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案
2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）﹣2的相反数是（） A．2B．﹣2 C．2﹣1 D．﹣2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A．1B．2C．8D．113．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＞0 D．k＜05．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）第1页（共18页）A． B． C． D．8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号并且规定：=a×d﹣b×c，例如：称为2×2阶行列式，=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=的解可以利用2×2阶行列式表示为：﹣4．二元一次方程组；其中D=，Dx=，Dy=．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组（） A．D=C．Dy=27=﹣7B．Dx=﹣14时，下面说法错误的是D．方程组的解为二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）﹣8的立方根是． 10．（3分）分式方程﹣=0的解为x= ．11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为千米．12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是（只写一个）．14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为．视力x 4.0≤x＜4.3 第2页（共18页）频数 204.3≤x＜4.6 4.6≤x＜4.9 4.9≤x≤5.2 5.2≤x＜5.5 40 70 60 10 15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．18．（5分）求不等式组的正整数解．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．（k2≠0）20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．第3页（共18页）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）第4页（共18页）23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD 的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x 轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求第5页（共18页）M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC．第6页（共18页）2021年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．【解答】解：﹣2的相反数是：2．故选：A． 2．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10，故选：C． 3．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误， ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D． 4．【解答】解：由题意，得 k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B．第7页（共18页）5．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A． 6．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3故选：D． 7．【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D． 8．【解答】解：A、D=B、Dx=C、Dy==﹣7，正确；，=﹣2﹣1×12=﹣14，正确； =2×12﹣1×3=21，不正确；==2，y===﹣3，正确；D、方程组的解：x=故选：C．第8页（共18页）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2． 10．【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：1 11．【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108． 12．【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，所以这组数据的中位数为1，故答案为：1． 13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6． 14．【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，第9页（共18页）则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：故答案为：0.35． 15．=0.35．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°． 16．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．【解答】解：原式=1﹣（2=1﹣2=﹣2． 18．第10页（共18页）﹣1）+2﹣4，+1+2﹣4，【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．【解答】解：原式=[==x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣． 20．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=∴k2=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y2=．∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，（k2≠0）的图象过点A（4，1），×（x﹣3）2+]×（x﹣3）2∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函第11页（共18页）数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分） 21．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：解得：．，答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90．∵k=﹣10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元． 22．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7．第12页（共18页）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分） 23．【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=补全条形统计图如下：×100%=28%，（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；第13页（共18页）（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= 24．（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，【解答】证明：∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，=．∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．第14页（共18页）七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分） 25．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y=2x+n，把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，，解得，解方程组得，则N（t，t），∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =?4?t﹣?t?t =﹣t2+2t=﹣（t﹣3）2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，第15页（共18页）。
2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程(含答案解析)
2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=5162．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5 3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．94．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥145．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．20226．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝9319．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝6010．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝4511．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 ． 13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 ．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 ． 16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 ．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ． 18．若关于x 的方程2x 2+x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 19．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +n ﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n 的值是 ．20．如果（m +2）x |m |+x ﹣2＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为 ． 21．已知a ，b 是方程x 2+3x ﹣1＝0的两根，则a 2b +ab 2的值是 ．22．若a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则a 3﹣a 2+5b ﹣2＝ ． 23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． 24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= ．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝ ．26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为．28．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．29．已知关于x的方程x2﹣mx+1＝0的一个根为1，那么m的值是．30．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．33．已知关于x的方程2x2﹣5x+k＝0的一个根是1，求k的值和另一个根．34．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？42．解下列方程（x﹣2）2﹣9＝0．43．解方程：x2+5＝6x．44．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=516【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2−12x=14，x2−12x+（14）2=14+（14）2，（x−14）2=516．故选：D．2．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x ﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．故选：A．3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．9【解答】解：方程x2+6x+9＝0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9．故选：D．4．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥14【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤1 4．故选：B．5．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．2022【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．6．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1=−k 2，解得：x2＝1，k＝2，则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．故选：A．7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，而a，b是不为0的常数，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A ．（1+n ）2＝931B ．n （n ﹣1）＝931C ．1+n +n 2＝931D ．n +n 2＝931【解答】解：由题意，得 n 2+n +1＝931， 故选：C ．9．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程： 60（1﹣x ）2＝40． 故选：B ．10．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝45【解答】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x ﹣1）＝45．故选：A ．11．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】解：△＝42﹣4k ＝16﹣4k ， ∵12﹣3k ＜0， ∴k ＞4，∴16﹣4k ＜0，即△＜0， ∴方程无实数根． 故选：C ．二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 4 ． 【解答】解：根据题意得k ≠0且△＝k 2﹣4k ＝0， 解得k ＝4． 故答案为4．13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 m ≥﹣2且m ≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得m +1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m +1）×（﹣1）≥0， 解得m ≥﹣2且m ≠﹣1． 故答案为m ≥﹣2且m ≠﹣1．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 m ≤5且m ≠4 ．【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=1−4×(14m −1)≥0且14m −1≠0，解得：m ≤5且m ≠4， 故答案为：m ≤5且m ≠4．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 x ＝﹣1 ． 【解答】解：把x ＝1代入方程得：c ＝1， 方程为x 2﹣1＝0，即x 2＝1， 开方得：x ＝1或x ＝﹣1， 则另一根为x ＝﹣1． 故答案为：x ＝﹣1．16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 x 1＝2，x 2＝4 ． 【解答】解：（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2， （x ﹣3）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0， （x ﹣2）（x ﹣3﹣1）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3﹣1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝4． 故答案为：x 1＝2，x 2＝4．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．【解答】解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．18．若关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于−18．【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣m）＝0，解得：m=−1 8，故答案为：−1 8．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n的值是﹣3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，∴m≠0，△＝（﹣2）2﹣4m（n﹣3）＝0，解得：mn﹣3m＝1，除以m得：n﹣3=1 m，∴1m−n＝﹣3，故答案为：﹣3．20．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为2．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得m＝±2，m≠﹣2，∴m＝2，故答案为：2．21．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是3．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3．22．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝3．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，∴a 2﹣a ＝5，a +b ＝1，∴a 3﹣a 2＝5a ，∴a 3﹣a 2+5b ﹣2＝5a +5b ﹣2＝5（a +b ）﹣2＝5×1﹣2＝3．故答案为：3．23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞98 ．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×2＜0且k ≠0，解得k ＞98，故答案为：k ＞98．24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= −34 ． 【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣4，所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−4=−34． 故答案为−34．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝b±√b 2+4ac 2a ．【解答】解：∵ax 2﹣bx ﹣c ＝0，∴△＝b 2+4ac ，∵对于任意实数b ，b 2≥0，ac ＞0，∴b 2+4ac ＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．∴x =b±√b 2+4ac 2a ． 故答案为：b±√b 2+4ac 2a ．26．已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则式子3m 2+6m ﹣mn 的值为 4 ．【解答】解：∵m 是方程x 2+2x ﹣1＝0的根，∴m 2+2m ﹣1＝0，∴m 2+2m ＝1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2（m 2+2m ）﹣mn ＝2×1﹣mn ＝2﹣mn ，∵m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，∴mn ＝﹣1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 x （x +12）＝864 ．【解答】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为（x +12）步．依题意，得：x （x +12）＝864．故答案为：x （x +12）＝864．28．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是94 ．【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ＝0，解得k =94．故答案为94． 29．已知关于x 的方程x 2﹣mx +1＝0的一个根为1，那么m 的值是 2 ．【解答】解：当x ＝1时，方程x 2﹣mx +1＝0为12﹣m +1＝0，即2﹣m ＝0，解得m ＝2，故答案为：2．30．已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x 的方程a （x +c ﹣2）2+b ＝0的两根分别为 3，0 ．【解答】解：方法一：∵方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，∴a （﹣2+c ）2+b ＝0或a （1+c ）2+b ＝0，∴（﹣2+c ）2=−b a 或（1+c ）2=−b a ，∴﹣2+c +1+c ＝0，解得，c＝0.5，∴（﹣2+0.5）2=−b a，∴−ba=94，∵a（x+c﹣2）2+b＝0，∴（x+0.5﹣2）2=9 4，解得，x1＝3，x2＝0，故答案为：3，0．方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，故答案为：3，0．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．【解答】解：∵x2﹣x＝1，∴x2﹣x﹣1＝0，∴x1+x2＝1、x1x2＝﹣1，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．33．已知关于x 的方程2x 2﹣5x +k ＝0的一个根是1，求k 的值和另一个根．【解答】解：将x ＝1代入原方程，得：2×12﹣5×1+k ＝0，解得：k ＝3，∴原方程为2x 2﹣5x +3＝0，∴方程的另一个根为52−1=32． 34．已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．【解答】（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣（m ﹣1），c ＝﹣m ，∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣m ）＝m 2+2m +1＝（m +1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：将x ＝1代入原方程，得：12﹣（m ﹣1）×1﹣m ＝0，解得：m ＝1，∴原方程为x 2﹣1＝0，∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40）．（1）请用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解答】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x ）＝（180﹣3x ）件．（2）①依题意，得：（x ﹣20）（180﹣3x ）＝900，整理，得：x 2﹣80x +1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴y＝1，x＝1，∴x+2y＝1+2＝3；（2）∵a﹣b＝6，即a＝b+6，代入得：b（b+6）+c2﹣4c+13＝0，整理得：（b2+6b+9）+（c2﹣4c+4）＝（b+3）2+（c﹣2）2＝0，∴b+3＝0，c﹣2＝0，解得b＝﹣3，c＝2，则a＝3，则a+b+c＝3﹣3+2＝2．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2+5）＞0，即﹣8m﹣16＞0，解得：m＜﹣2，则|1−m|+√m2+4m+4＝|1﹣m|+|m+2|＝1﹣m﹣m﹣2＝﹣2m﹣1．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2=−2 3．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2=−2 3．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2√3，∴x1＝﹣2+2√3，x2＝﹣2﹣2√3；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a元，由题意得：（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，解得：a1＝21，a2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．42．解下列方程（x ﹣2）2﹣9＝0．【解答】解：∵（x ﹣2）2﹣9＝0，∴（x ﹣2）2＝9，∴x ﹣2＝±3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，解得，x 1＝5，x 2＝﹣1．43．解方程：x 2+5＝6x ．【解答】解：x 2+5＝6x ，x 2﹣6x +5＝0，（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣5＝0，x 1＝1，x 2＝5．44．如图1，有一张长40cm ，宽20cm 的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm ，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm 2，求纸盒的高．【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm ），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm ）．答：纸盒底面长方形的长为17cm ，宽为14cm ．（2）设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是150cm 2，依题意，得：(40−2x)2×（20﹣2x ）＝150，化简，得：x 2﹣30x +125＝0，解得：x 1＝5，x 2＝25．当x ＝5时，20﹣2x ＝10＞0，符合题意；当x ＝25时，20﹣2x ＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤94且k≠0，∵x1+x2=−3k，x1x2=1k，而x1+x2+x1x2＝4，∴−3k+1k=4，解得k＝1，经检验，k＝1为分式方程的解，∴k的值为1．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．【解答】解：（1）当k＝﹣7时，方程为x2﹣17x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，此时直角三角形的两直角边分别为3，4，所以斜边为√32+42=5，所以Rt△ABC的周长为3+4＝5＝12；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，即一元二次方程x2+kx+12＝0的两根相等，则△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4√3，因为两直角边的和为﹣k＞0，所以k＝﹣4√3，所以两直角边为2√3，2√3，所以斜边为2√3×√2=2√6，所以△ABC的周长为2√3+2√3+2√6=4√3+2√6．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3=−32；（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，解得x＝﹣12；（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，∴a的值为﹣4．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．【解答】解：（1）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4，即x1＝4，x2＝﹣4；（2）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2=−1 2．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．【解答】解：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2=2 3；（2）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x=5±√37 2×3，x1=5+√376，x2=5−√376．第21 页共21 页。
湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题02 整式和因式分解(含答案解析)
专题02 整式和因式分解一、单选题1. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】A选项, , 不符合题意；B选项, , 不符合题意；C选项, , 符合题意；D选项, , 不符合题意．故选: C.【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加；同底数幂相除, 底数不变, 指数相减；幂的乘方, 底数不变, 指数相乘；积的乘方, 等于把积的每一个因式的积的乘方, 再把所得的幂相乘．2. （2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法的计算法则分别计算即可. 【详解】解: A., 此选项正确；B., 此选项错误；C., 此选项错误；D., 此选项错误；故选: A.【点睛】本题考查零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法, 熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键.3．（2021·湖南中考真题）已知, 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得.【详解】A., 此项错误, 不符题意；B., 此项错误, 不符题意；C., 此项正确, 符合题意；D., 此项错误, 不符题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．4. （2021·湖南娄底市·中考真题）下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据幂的乘方, 底数不变, 指数相乘;同底数幂相乘, 底数不变指数相加;合并同类项法则. 对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、, 因为不属于同类项, 不能进行加减合并, 故A错误；B.,故B正确；C., 故C错误；D., 故D错误．故选: B.【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项, 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5. （2021·湖南张家界市·中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】直接利用合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可.【详解】解: A, 不能合并同类项, 故选项错误, 不符合题意；B, , 故选项错误, 不符合题意；C, , 故选项正确, 符合题意；D, , 故选项错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法, 解题的关键是: 熟练掌握合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．6. （2021·湖南常德市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项.【详解】A.原计算错误, 该选项不符合题意；B.原计算错误, 该选项不符合题意；C.原计算错误, 该选项不符合题意；D.正确, 该选项符合题意；故选: D.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项, 熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键．7. （2021·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后, 再进行判断即可得到答案.【详解】解: A., 故选项A计算错误, 不符合题意；B., 故选项B计算错误, 不符合题意；C., 此选项计算正确, 故符合题意；D.故选项D计算错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式, 熟练掌握运算法则是解答此题的关键．8. （2021·湖南长沙市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得.【详解】A., 此项正确；B., 此项错误；C., 此项错误；D., 此项错误；故选: A.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．9. （2021·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】逐一分析各选项, 利用对应法则进行计算即可判断出正确选项.【详解】解: A选项中: , 因此错误；B选项中: , 因此错误;C选项中: , 因此正确；D选项中: , 因此错误；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容, 解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．二、填空题10. （2021·湖南株洲市·中考真题）计算: __________.【答案】.【分析】根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法, 底数不变, 指数相加, 计算即可．【详解】解: .故答案: .【点睛】本题考查单项式乘以单项式, 熟练掌握单项式乘以单项式法则, 同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11. （2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：______.x x【答案】(2021)【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解, 熟练掌握提公因式法是解题关键．12. （2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()232x x y -【分析】直接提出公因式即可完成因式分解.【详解】解: ;故答案为: .【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解, 解决本题的关键是找到它们的公因式, 提出公因式后再检查分解是否彻底即可, 本题为基础题, 考查了学生对基础知识的掌握与运用．13. （2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解: ______.【答案】.【详解】解: .故答案为: .【点睛】此题考查了运用公式法因式分解, 熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．14. （2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：______.【答案】()()x y x y x -+【分析】提公因式与平方差公式相结合解题.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查因式分解, 涉及提公因式与平方差公式, 是重要考点, 难度较易, 掌握相关是解题关键． 15. （2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()33a a b -【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解:故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解, 熟练掌握因式分解的方法是关键16．（2021·湖南中考真题）若x, y 均为实数, , , 则______；_______．【答案】20211【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可.【详解】解: ∵,∴, ,4347(43)(47)202120212021xy xy x y y x y x x y +⋅=⨯=⨯=，故答案为: 2021；∵=4)3(4347202147xy xy xy xy =⋅⨯，即20212021xy x y +=，∴xy x y =+， ∴111x y x y xy++==， 故答案为: 1.【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点, 熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键.17．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：, , , ……, 已知按一定规律排列的一组数：, , , ……, , 若, 用含的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将, , , ……, 用含的代数式表示, 再计算的和, 即可计算的和.【详解】由题意规律可得：.∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②②-①, 得 ∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=100(21)m -故答案为: . 【点睛】本题考查规律问题, 用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格, 其中第一个图形有个正方形, 所有线段的和为4, 第二个图形有个小正方形, 所有线段的和为12, 第三个图形有个小正方形, 所有线段的和为24, 按此规律, 则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1.2.3和4个图案找出普遍规律, 进而得出第n 个图案的规律为Sn=4n+2n ×(n -1), 得出结论即可.【详解】解: 观察图形可知:第1个图案由1个小正方形组成, 共用的木条根数第2个图案由4个小正方形组成, 共用的木条根数第3个图案由9个小正方形组成, 共用的木条根数第4个图案由16个小正方形组成, 共用的木条根数…由此发现规律是:第n 个图案由n2个小正方形组成, 共用的木条根数故答案为: 2n2+2n.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类, 熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．三、解答题19. （2021·湖南衡阳市·中考真题）计算: .【答案】23x【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则, 计算合并同类项即可【详解】解:22222=+++-+-x y y x y x xy4x4442=.3x【点睛】本题考查了完全平方公式, 平方差公式, 单项式乘以多项式, 合并同类项, 熟练掌握公式, 准确合并计算是解题的关键.20. （2021·湖南中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 7.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式, 再计算整式的加减法, 然后将代入求值即可得.【详解】解：原式,25=+，x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键.21. （2021·湖南长沙市·中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 1.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式, 再计算整式的加减, 然后将的值代入即可得.【详解】解：原式,=-，2x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟练掌握整式的运算法则是解题关键．。
2021年湖南省湘西州中考数学试卷及其答案
2021年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．D．﹣2．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣43．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．447．（4分）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.38．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（）A．9πB．πC．πD．π9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（﹣）2＝．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．13．（4分）因式分解：a2﹣2a＝．14．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．（4分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为．16．（4分）若式子+1的值为零，则y＝．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝.（用含n的式子表达）三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．20．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？26．（16分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．D．﹣【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．故选：B．2．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：﹣1+3＝+（3﹣1）＝2，故选：A．3．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；D、1+，故此选项不符合题意；故选：C．5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．故选：B．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．44【解答】解：∵点E是AC的中点，∴AE＝EC＝AC，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴，∴CD＝2EF＝11，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴菱形ABCD的周长＝4×11＝44，故选：D．7．（4分）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．8．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（）A．9πB．πC．πD．π【解答】解：如图连接OA，OB，则OA＝OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB＝＝3，∴OA＝OB＝3，∴弧AB的长L＝＝＝，故选：C．9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）【解答】解：分情况讨论：①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，∴点M的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x+12中，得y＝2，∴点M坐标为（10，2）；③若M为直角顶点，如图，作MB⊥x轴，则∠OBM＝∠MBA＝90°，∠OMB+∠AMB＝90°，∵∠AMB+∠MAB＝90°，∴∠OMB＝∠MAB，∴△OMB∽△MAB，∴＝，∴MB2＝OB•AB，∴（﹣x+12）2＝x（10﹣x），解得x＝8或9，∴点M坐标为（8，4）或（9，3），综上所述，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（﹣）2＝．【解答】解：（﹣）2＝．故答案为：．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为4×105．【解答】解：400000＝4×105．故答案为：4×105．13．（4分）因式分解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．14．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，∴x≥．故答案为：x≥．15．（4分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为﹣1．【解答】解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴m+n＝﹣＝3，mn＝＝2，∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）若式子+1的值为零，则y＝0．【解答】解：由题意得：+1＝0．∴＝﹣1．∴y﹣2＝﹣2．∴y＝0．当y＝0时，y﹣2≠0．∴该分式方程的解为y＝0．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是40°．【解答】解：如图分别延长EB 、DB 到F ，G ，由于纸带对边平行，∴∠1＝∠4＝20°，∵纸带翻折，∴∠3＝∠4＝20°，∴∠DBF ＝∠3+∠4＝40°，∵CD ∥BE ，∴∠2＝∠DBF ＝40°．故答案为：40°．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a 1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a 2＝3，…，则第n 个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n 的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n 个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n ﹣1）+n ＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．20．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞，解不等式②，得x≤1，在数轴上表示不等式的解集为：，所以不等式组无解．21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，即∠ECD＝∠BCA，由旋转可得CA＝CE，在△BCA和△DCE中，，∴△BCA≌△DCE（SAS）．∴AB＝ED．（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，又CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝70°，∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了50名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E【解答】解：（1）该校此次调查共抽取的学生数为：10÷20%＝50（名），故答案为：50；（2）选择C舞蹈的人数为：50﹣8﹣10﹣12﹣14＝6（名），补全条形统计图如下：（3）2000×＝240（名），答：估计该校有240名学生参加舞蹈活动．23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：设CH为xm，由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，∴BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，∵AH﹣BH＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x＝10（+1）≈27.3，答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；（2）解：连接BC，如图，∵∠DAC＝∠OAC，∴tan∠DAC＝tan∠CAB＝，在Rt△DAC中，∵tan∠DAC＝＝，∴CD＝×8＝6，∴AC＝＝＝10，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAB＝＝，∴BC＝×10＝，∴AB＝＝．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：，解得，答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；（2）由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；1.5（22﹣a）≥2a，解得a≤，又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，∴a的值为0，2，4，6，8．（3）由（2）得w＝50a+16500，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝8时，w有最大值，w＝50×8+16500＝16900（元）．最大答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．26．（16分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（3）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，此时P（，）．（4）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，∴N1（3，4）．当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．。