2020考研概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
考研概率论与数理统计公式大全
考研概率论与数理统计公式大全1.概率公式：-概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-概率的乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)-全概率公式：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+...+P(An)P(B，An)-贝叶斯公式：P(Ai，B)=P(B，Ai)P(Ai)/(P(B，A1)P(A1)+P(B，A2)P(A2)+...+P(B，An)P(An))2.随机变量与分布：- 期望：E(X) = ∑(xP(X=x))或E(X) = ∫(xf(x)dx)- 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2- 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]- 标准差：SD(X) = sqrt(Var(X))-二项分布：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)- 泊松分布：P(X = k) = (lambda^k)e^(-lambda) / k!- 正态分布：P(X = x) = (1 / (sqrt(2*pi)*sigma)) * e^(-(x-mu)^2 / (2*sigma^2))3.估计与检验：-极大似然估计：L(θ)=∏(f(x_i;θ))-似然比检验：λ=L(θ)/L(θ0)- 估计的无偏性：E(θ_hat) = θ- 估计的有效性：Var(θ_hat) ≤ Var(θ)- 中心极限定理：对于均值为μ、方差为σ^2的随机变量X，若样本容量n趋于无穷大，则样本均值X_bar的极限分布服从正态分布4.相关与回归：- 相关系数：r = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))-简单线性回归方程：Y=β0+β1X+ε- 最小二乘估计：β1 = Cov(X, Y) / Var(X)- 线性回归预测：Y_hat = β0 + β1X5.抽样分布：- 样本均值分布：X_bar ~ N(μ, σ^2 / n)- 样本比例分布：p_hat ~ N(p, p(1-p) / n)-卡方分布：X^2~χ^2(k)-t分布：T~t(n)-F分布：F~F(m,n)以上是一些概率论与数理统计中常见的公式，希望对你的学习有所帮助。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计公式整理(完整精华版)
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，〔 i 1 ，2 ，…，n 〕，通常叫先验概率。P(Bi / A) ，〔 i 1 ，2 ，…， n 〕，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果〞的概率规律，并作出了
〔17〕伯努 利概型
“由果朔因〞的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ，
x ，
2 其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、
的正态分布或高斯〔Gauss〕分布，记为 X ~ N(, 2) 。
f (x) 具有如下性质：
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。
.
精品文档
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
假设事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互
独立。
必定事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
如果事件 A 的组成局部也是事件 B 的组成局部，〔A 发生必有事件 B 发生〕：
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第1章随机事件及其概率（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件，，…有常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。
（8）古典概型1°，2°。
设任一事件，它是由组成的，则有P(A)==（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A，。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P()=1- P(B)（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有…………。
（14）独立性①两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。
?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式设事件满足1°两两互不相容，，2°，则有。
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第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!n m m P nm -=从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C nm -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
（6）事件的关系与运算②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： ∞=∞==11i ii iAAB A B A =，B A B A =（7）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫⎝⎛11)(i ii iA P A P常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
（8）古典概型1° {}n ωωω 21,=Ω，2°nP P P n 1)()()(21===ωωω 。
设任一事件A，它是由m ωωω 21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωω=)()()(21m P P P ωωω+++ nm =基本事件总数所包含的基本事件数A =（9）几何概型)()()(Ω=L A L A P 。
其中L 为几何度量（长度、面积、第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：§1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
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概率论与数理统计 公式（全）
（13）乘法 公式
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
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概率论与数理统计 公式（全）
指数分布
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
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第［章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三童二维随机变量及其分布个有序对<x,y),则称g 为离散型随机量。
设纟二(X, Y)的所有可能取值为(m )(ij = 12…)， 且事件{纟=a,儿)}的概率为PH ,,称P{ (X, Y)=(兀，儿)}= “沁 J = 1,2,…)为疔=(X, 丫)的分布律或称为X 和丫的联合分布律。
联合分这里內具有下而两个性质:(1) P&0 (i,j=1,2,-)： (2)工工 P'6i J(1)联合离散型分布如果二维随机向量纟(X, Y)的所有可能取值为至多可列设n 个随机变量…、X.相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和的分布密度为“1 S1— -------- H - e 2 u > 0,y (w )= J 2I r I'{2) 0,u < 0.我们称随机变星w 服从自由度为n 的力2分布，记为w 〜 Z 2(n)>英中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。
力2分布满足可加性：设kZ+〃2 +・ • +代）・/-I*分布X ~AW )V ~F S ),可以证明函数T 亠 ylYIn的概率密度为我们称随机变量F 服从第一个自由度为山，第二个自由度为n 2 的F 分布，记为F-f(n b n 2).第四章随机变量的数字特征(1)离散型 连续型t 分布 设X, 丫是两个相互独立的随机变量.且H +I―(-co<r <+oc ).F 分布我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T 〜t(n).设X ~力2(/“)丁~力2(心)，且X 与丫独立，可以证明 尸=土仙的概率密度函数为Yin,t 2 + — n第五章大数定律和中心极限定理特姝情形：若X2,…具有相同的数学期望E(X I )=M , 则上式成为设u 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£ •有lim;?->x伯努利大数左律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳立性。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
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（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
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则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
C
nk N M
,
k
0,1,2, l
C
n N
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
..
..
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
0，
xa, ba
1，
x<a， a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k) 表
..
..
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率，
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An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
（15）全概 公式
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A)
件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
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一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式：1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。
2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。
4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。
5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。
7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。
二、数理统计的常用公式：1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为μ=∑(某i)/n。
2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。
3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。
4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。
5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。
6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。
7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。
概率论与数理统计常用公式整理
概率论与数理统计常用公式整理1. 概率论公式(1)概率定义：对于随机事件A，概率P(A)的定义为：P(A) = N(A) / N，其中N(A)为事件A发生的次数，N为试验总次数。
(2)加法定理：对于两个事件A和B，有：P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
(3)乘法定理：对于两个独立事件A和B，有：P(A ∩B) = P(A) ×P(B)。
(4)条件概率：对于事件A和B，且P(A) > 0，条件概率P(B|A)定义为：P(B|A) = P(A ∩B) / P(A)。
(5)全概率公式：对于一组互斥事件A1, A2, ..., An，且它们的并集构成了样本空间，有：P(B) = Σ[P(B|Ai) ×P(Ai)]，其中Σ表示求和。
(6)贝叶斯公式：对于一组互斥事件A1, A2, ..., An，且它们的并集构成了样本空间，有：P(Ai|B) = [P(B|Ai) ×P(Ai)] / P(B)。
2. 数理统计公式(1)样本均值：对于样本x1, x2, ..., xn，样本均值定义为：x̄= (x1 + x2 + ...+ xn) / n。
(2)样本方差：对于样本x1, x2, ..., xn，样本方差定义为：s^2 = [(x1 - x̄)^2+ (x2 - x̄)^2 + ... + (xn - x̄)^2] / (n - 1)。
(3)样本标准差：对于样本x1, x2, ..., xn，样本标准差定义为：s = √[s^2]。
(4)期望值：对于随机变量X，其期望值定义为：E(X) = Σ[x ×P(X =x)]，其中Σ表示求和。
(5)方差：对于随机变量X，其方差定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
(6)协方差：对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X- E(X))(Y - E(Y))]。
概率论与数理统计公式整理(超全版)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( A)
1 , 2 n ，
P(1 ) P( 2 ) P( n ) 1 。 n
A 的概率。
（8）古典概型
设任一事件
P(A)=
(1 ) ( 2 ) ( m ) = P(1 ) P( 2 ) P( m )
A ，它是由 1 , 2 m 组成的，则有
A B ，它
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相
（6）事件的关系与运算 容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
f ( x)dx 1
。
P( X x) P( x X x dx) f ( x)dx
积分元 似。
f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4） 分布函 数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
来表示。
A，B，C，„表示事件，它
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
）组成的集合。通常用大写字母
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x
（5）八大 分布
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F (x2) ；
概率论与数理统计 公式（全）
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
（2）加法 和乘法原 理
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。
0-1 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理一、概率论公式：1.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)和P(B)表示事件A和B的概率，P(B，A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3.全概率公式：P(A)=∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，B(i)表示互斥事件组，且它们的概率之和为14.贝叶斯公式：P(B(j)，A)=P(A，B(j))×P(B(j))/∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，P(B(j)，A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。
5.期望值公式：E(X)=∑[x×P(X=x)]其中，X为一个随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X等于x的概率。
6.方差公式：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示X的期望值。
二、数理统计公式：1.样本均值公式：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中，x1、x2、..、xn为样本中的观测值，n为样本容量。
2.样本方差公式（无偏估计）：样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式（无偏估计）：样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式：Z=(X-μ)/σ其中，X为一个正态随机变量，μ为其均值，σ为其标准差，Z为标准正态分布的变量。
5.正态分布的累积分布函数：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
6.样本之间的协方差公式：Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中，X、Y为两个随机变量，x(i)、y(i)为X、Y的观测值，X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值，n为样本容量。
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否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k ) 表
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A)P(B / A)
（13）乘法 公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
（15）全概 公式
（16）贝叶 斯公式
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P( A) P(B1)P( A | B1) P(B2)P( A | B2) P(Bn)P( A | Bn) 。
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n
种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事
概率
P( A)
1
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件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
P( X
k)
C
k M
C
nk N M
C
n N
k 0,1,2,l
, l
min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
P( X k ) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
2°
。
（3）离散 P( X x) P(x X x dx) f (x)dx
与连续型
随机变量 的关系
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
1
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（4）分布 函数
足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有
P
i 1
Ai
i 1
P( Ai)
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A 的概率。
（8）古典 概型
1° 1, 2 n ，
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
1
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称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 k n) 次的概率，
C Pn(k)
k n
pk qnk
，k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
5° P( X x) F (x) F (x 0) 。
对于离散型随机变量， F (x) pk ； xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) f (x)dx 。
（5）八大 0-1 分布 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F (b) F (a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F (x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
设事件 B1 ， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1 ， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，…， n ，
n
2°
A
i 1
Bi
，
P( A)
0，
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，
必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
1
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泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2 ， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X P(X
xk )
|
x1, x2,, xk, p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ， k 1,2, ，
pk 1
（2） k 1
。
（2）连续 型随机变 量的分布 密度
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何
（ 9 ） 几 何 概型。对任一事件 A，
概型
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
L()
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
1° 0 F (x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F () lim F (x) 0 ， F () lim F (x) 1；
x
x
4° F (x 0) F (x) ，即 F (x) 是右连续的；
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1 ，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i 1 ，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
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（17）伯努 利概型
“由果朔因”的推断。
重复排列和非重复排列（有序） （3）一些
对立事件（至少有一个） 常见排列
顺序问题
（4）随机 试验和随 机事件