圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的相交弦长公式是一类运用圆锥曲线的基本问题。
圆锥曲线可
以对比认为是一类极端复杂的二维曲线，而从数学角度出发，计算问题又被抽象为一个常见的的求解类型--求直线与曲线之间的相交点。
针对这种计算问题，已经有多种方法提供解决方案。
当一条直线与圆锥曲线相交时，首先要求出相交点将这条直线和这条曲线相连接，而相交弦长公式则介入此处以帮助理解相交点的交叉构造。
相交弦长公式的具体表达如下：假设L是一条直线，S是圆锥曲线，P是直线L与曲线S所形成的一
条弦，那么这条弦P的长度将可以用一下公式来表示：
P=∫_(α=α_1)^(α_2)∣∣r_α∥dα，其中α_1，α_2为直线L与曲线S之间
的两个起点和终点经度，r_α则是经度α处曲线S的切线方程。
借助相交弦长公式，我们可以得到直线L与曲线S之间的相交长度。
另外，应
用相交弦长公式，还可以用来解决如下两个典型问题：
（1）当某条弦长固定时，求两交点坐标；
（2）当某点在圆锥曲线上，以及其切线方程给出时，求其在直线上的坐标。
此外，相交弦长公式的应用可以不仅仅限于上述这两类求解问题，它可以被扩
展用于求解更复杂的数学模型和更加精确的函数调节问题。
由此可见，这一公式能够为我们解决不少圆锥曲线问题，并为理解复杂场景和真实系统提供强有力的助力。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
(2)设直线与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
时间：二O二一年七月二十九日
一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为 ,半焦距为c>0,焦点 ,设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于两点 求弦长 .
解：连结 ,设 ,由椭圆界说得 ,由余弦定理得 ,整理可得 ,同理可求得 ,则 ；
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距）.
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二、双曲线的焦点弦长
同理 的焦点弦长为
的焦点弦长为 ,所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌握.
圆锥曲线的弦长公式
一、椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程之阿布丰王创作
时间：二O二一年七月二十九日
关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线 代入曲线方程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标 利用韦达定理及弦长公式 求出弦长,这种整体代换、设而不求的思想方法对求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比力而言有点繁琐,若利用圆锥曲线的界说及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.
则 ,由余弦定理可得 , ,
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 A X i, y i , B X2, y ,利用韦达定理及弦长公式7(1 k2)[(x i X2)24x1X2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.、椭圆的焦点弦长2若椭圆方程为丰1(a b 0)，半焦距为c>0,焦点F1( c,0), F2(c,0)，设过F1的直线I的倾斜角为,l交椭圆于两点Ax1,y1 ,B x2, y2,求弦长AB .解：连结F2A, F2B，设|F i A x,|F i B| y，由椭圆定义得卩2円2a x, F2B 2a y，由余弦定理得x2(2c)2 2x 2c cos (2a x)2，整理可得xb2，同理可求a c cos得y —a c cos2 2cl b b 2ab，则A B x y --------------- ------------ —__2 ----- 2b22同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB| 2 2宁2 ( a为长半轴，b为短a c sin半轴，c为半焦距).结论：椭圆过焦点弦长公式:2ab2I ~2 2 2AB a c cps22a b2(焦点在y轴上).(焦点在X轴上),D1二、双曲线的焦点弦长2 2设双曲线冷1a 0,— 0,其中两焦点坐标为F I（ C,0）,F2（C,0），过F I的直线I的a b倾斜角为，交双曲线于两点 A x1, y1 ,B x2, y2 ,求弦长|AB|.b解： (1)当arctan —a arctan —时，（如图2）a直线l与双曲线的两个交点A、由双曲线定义可得『2人2 2X (2c) 2x 2c cos整理可得X|AB|X y—2(2)当0B 在同一支上，连F Q A^B，设I F I A X,|F I BX 2a, F2B(X 2a)2,y2—2a c cosa c cosarcta n—或a直线l与双曲线交点X 2a, F2B—2c cosb arctan—ay,，y 2a，由余弦定理可得(2c)2 2y 2c cos( ) (y 2a)2—2y ----------- ，则可求得弦长a c cos2a—2~2 2 2a c cos时，如图3,A X i,y i ,B X2, y2在两支上，连F?A,F?B设|只円x,2a，由余弦定理可得F I B y,.yAB2 2X (2c) 2x 2c cos2 2 2 2(X 2a)2, y2(2c)2 2y 2c cos (y 2a)2,因此焦点在x 轴的焦点弦长为抛物线的焦点弦长若抛物线/2p x （p0）与过焦点F（号,0）的直线1相交于两点Ax1，y1，Bx2，y2，若I 的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA i 、BB , A i 、F则点A 的横坐标为22xcos，点B 横坐标为1 ycos，由抛物线定义知2 x cosx，2 ycos子y,即x - 1 cosP 1 cosp 1 cosP 2p1 cos 1 cos 22p.2 Sin同理y 22px （p 0）的焦点弦长为|AB |2p.2Sin整理可得，xb 2c cos-,则ab 2b 2|AB I y xc cos a c cos2ab 22cos a22ab~22 2|AB | a2 c cos ''2ab 2~22~b(arcta n —aarcta n —或ab arcta n— ), a arctanba).同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式2ab 2~2|AB | a22 (0arcta nP 或c sin a2ab 2 b ———2 ----- (arcta n — c sin a aarcta a b arcta n —).a),其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距,为AB 的倾斜角.B i 为垂足，设I F A X ,|FB2py(p 0)的焦点弦长为AB2p ,，所以抛物线的焦点弦长为cos2P (焦点在X轴上),sin2p (焦点在y轴上).cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握|AB圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P i(x i,y i)R(X2,y2),且P1P2斜率为K,则|P i P2| = |X i-X2| 寸—或|P i P2| = |y i-y2| i/K2) {K=(y?-y i)/(x2-x i)}J 2 2=讥1 k )[(x i X2) 4x1X2]二、双曲线：设直线与双曲线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且PP2斜率为K，则|P I P2|=|X i-X2| ~K2)或|P i P2|=|y i-y2| 2i/K ) {K=(护-y i)/(x2-x i)}2 2k )[(X i X2) 4X i X2]三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x,y i),B(X2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x i+X2+p 或|AB|=2p/(sin2 ){为弦AB 的倾斜角}或|AB|2P—匕三(k为弦AB所在直线的斜率)1 k(2)设直线与抛物线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且P i P2斜率为K,贝U|P i P2|=|x i-X2| K2)或|P i P2|=|y i-y2| \ {K=(y>-y i)/(x2-x i)} = J(1 k2)[(X i X2)24x1X2]。
圆锥曲线弦长公式精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯圆锥曲线弦长公式对于直线与圆锥曲线订交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为对于 x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这类整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线订交弦长是十分有效的，但是对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这类方法对比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各样曲线的焦点弦长公式就更加简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连接，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二.双曲线的焦点弦长设双曲线，此中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点 A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长（ 2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则所以焦点在 x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式三此中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线订交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、B两点分别向 x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种状况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，特别简单明确，应予以掌握。
一。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB .解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabABαα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF-，过F1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211yxByxA求弦长|AB|.解：（1）当ababarctanarctan-<<πα时，（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF==，由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx+=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos2⋅+=cabx，αcos2⋅-=caby，则可求得弦长;cos2coscos222222αααcaabcabcabyxAB-=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤ababarctanarctan0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F ==则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα .cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b ac ab a ba b c a ab AB 或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角. 三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线的弦长公式
弦长公式实战演示（高二第20期）龚学谦在直线与圆锥曲线相交的位置关系中，涉及弦长的题型很多，这里介绍一个弦长公式，供同学们在有关题型的求解证明中应用。
一、公式的形成已知直线l ：y =k x +m 和圆锥曲线C ：f (x ,y )=0,若直线l 与圆锥曲线C 交于两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去y 所得的一元二次方程为a x ²+b x +c=0,则A 、B 两点的横坐标x 1,x 2满足方程。
于是x 1+x 2= -b a ,x 1x 2=c a ,判别式Δ=b²-4ac. 从而|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+[(kx 1+m)-(kx 2+m)]2 =(1+k 2)(x 1-x 2)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)[(-b a )2-4×c a ]= (1+k 2)Δ|a|于是有圆锥曲线的弦长公式⑴：|AB|= (1+k 2)Δ|a| 同理：设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去x 所得的一元二次方程为a y ²+b y +c=0,可得圆锥曲线的弦长公式⑵：|AB|= (1+k 2)Δ|a|二、公式的应用举例⒈已知曲线和弦的中点，求弦长例1 已知抛物线y ²=6x ,过点P(4,1)作一弦与抛物线相交于A 、B ，使P 恰为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程和弦AB 的长。
分析：设出直线AB 方程，由根与系数关系，中点公式，弦长公式求解。
解：设过P 点的直线AB 方程为y -1=k(x -4)(k ≠0),由方程组⎩⎨⎧y 2=6x y-1=k(x-4)中消去x 得k y ²-6y +6-24k=0,⑴ 由中点公式及根与系数的关系得- -62k = y 1+y 22=1，解之k=3, 故弦AB 所在的直线方程为y -1=3(x -4),即y =3x -11,这时，方程⑴化为y ²-2y -22=0.由弦长公式得 |AB|=|13|)22(14)2)[(31(22⋅-⋅⋅--+=23032 点评：显然，由方程组消去y 比消去x 好，但要注意用弦长公式⑵求解弦长。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b 代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标 A x i , y i ,B X 2, y ，利用韦达定理及弦长公式 ^/(1 k 2)[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷.一、椭圆的焦点弦长2 2若椭圆方程为X2y2 1(a b 0)，半焦距为c>0,焦点F i ( c,0), F 2(C ,0)，设过F ia b的直线I 的倾斜角为,l 交椭圆于两点A x i , y i ,B X 2，y 2 ,求弦长AB .解：连结F 2A F 2B ，设|F i A| x,|F i B| y ，由椭圆定义得 旧円2a x’RB 2a y ，半轴，c 为半焦距)由余弦定理得x 2(2C )2 2X 2C cos(2a x)2，整理可得xb 2 ac cos ，同理可求b 2 b 2 ac cos，则 AB x ya c cosb 2 ac cos2ab 2~222~；a c cos 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB2ab 22 2.2a c sin(a 为长半轴，b 为短结论：椭圆过焦点弦长公式:AB2ab 2 222a c cos2ab 2 22.2a c sin(焦点在x 轴上), (焦点在y 轴上).* V二、双曲线的焦点弦长2 2设双曲线冷二1 a 0,b 0,其中两焦点坐标为F, c,0）, F2（C,0），过F i的直线I的a b倾斜角为，交双曲线于两点Ax i，y i ,B X2，y2，求弦长|AB|.b解： (1)当arctan —aarctan —时，（如图2）aX2(2C)22X 2C cos (X 2a)2, y2(2C)2 2y 2c cos( ) (y 2a)22ab22 2 2 a c cos直线I与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连F Q A^B，设|FiA X,|F I B由双曲线定义可得F2A X 2a, F2B y 2a，由余弦定理可得整理可得xa c cosy ----------------- ，则可求得弦长a c cos时，如图3,b arctan —aarcta nb或a直线I与双曲线交点A X1,y1 ,B X2,y2在两支上，连F2AF2B,设F“A X, F“B y,a c cos c cos2则F 2A2a, F 2B y 2a ，由余弦定理可得x 2 (2c)2 2x 2c cos (x 2a)2, y 2 (2c)2 2y 2c cos (y 2a)2, 整理可得, b 2 b 2 ccos a,yc cos ABb 2 b 2 y xccos a c cos 2ab 2 2 2 . cos a 因此焦点在x 轴的焦点弦长为 2ab 2~2 2 2 a c cos 「2ab 222c cosa 2(0(arcta n —a arcta n—或a arcta nb ), a b arcta n — a).同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式 2ab 2 AB a2 . 2(0c sin 2ab 22 . 2 2 c sin a arcta n b或 a (arcta n — a b arcta n — a arcta n^).a),其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距, 为AB 的倾斜角.三、抛物线的焦点弦长若抛物线y 2 2px(p0)与过焦点F 与0)的直线l 相交于两点AX/S 2」2，若l 的倾斜角为，求弦长|AB|. 解：过A 、B 两点分别向 x 轴作垂线AA 、BB , A 、B 为垂足，设I FA X ,|FB则点A 的横坐标为px cos ，点B 横坐标为f ycos ，由抛物线定x cosy cos p2 y,P 1 cosp 1 cosp 1 cos2p1 cos 1 cos 22p.2 sin同理y22px(p 0)的焦点弦长为AB fsinx22py(p 0)的焦点弦长为AB —挙，，所以抛物线的焦点弦长为cos2p (焦点在X轴上),|AB| si2焦点在y轴上).cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握圆锥曲线的弦长公式、椭圆：设直线与椭圆交于P i(x i,y i),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，贝U|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| • (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(X i X2)24x1X2]、双曲线：设直线与双曲线交于P1(X1,y1),P2(X2,y2),且P1P2斜率为K，贝U|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| •. (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(x1 X2)24x1X2]三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p 或|AB|=2p/(sin2 ) { 为弦AB 的倾斜角}或A B| 2P -k2(k为弦AB所在直线的斜率)1 k⑵设直线与抛物线交于P1(X1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|X1-X2| (1 K2)或|P1 P2|=|y1-y2p. (1 1/K 2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}1 k2)[(x1 X2)24x1X2]。
弦长公式圆锥曲线
弦长公式圆锥曲线弦长公式圆锥曲线（Chord Length Formulae for Conic Sections）是一种非常有用的计算圆锥曲线的工具，主要用来确定圆锥曲线的弦长。
它可以解决以下诸多圆锥曲线问题：一、关于圆锥曲线的基本定义：1. 圆锥曲线是由一个定点（聚焦点）和一条半径线构成的曲线；2. 圆锥曲线可以分为凸锥曲线和凹锥曲线；3. 圆锥曲线按它所经过的面来分类，包括圆柱曲线、圆台曲线、双曲线及一般椭圆曲线；4. 圆锥曲线的弦长是一条经过圆锥曲线两端的线段的长度。
二、弦长公式圆锥曲线的应用：1. 设计制造机械零件：弦长公式圆锥曲线可以用来确定零件的凸度，为生产过程提供参数支持；2. 运用测量设备来精确测量圆锥曲线：弦长公式圆锥曲线可以用来测量凸度，以及凹锥曲线的半径；3. 用于勘测：弦长公式圆锥曲线可以用来准确测算地平线线的弯曲度、地表面形状，以此全面精确调查勘测活动；4. 用于分析航空飞船飞行状态：也可以用来模拟飞行轨迹，分析飞行状态，为航空制造过程提供数据支持。
三、弦长的计算公式：1. 圆柱曲线：弦长公式为L=2aθ；2. 圆台曲线：弦长公式为L=2a(θ+sinθ)；3. 双曲线：弦长公式为L=2a(2K-θ+sinθ)；4. 一般椭圆曲线：弦长公式为L=2a底位积K。
四、弦长公式圆锥曲线的优缺点：优点：1. 准确可靠：弦长公式圆锥曲线采用数值计算方式，能够精确计算出弦长；2. 简便易用：公式逻辑简单，计算繁琐的步骤少，使用方便；3. 广泛的应用场景：用于机械零件制造、测量设备精准测量圆锥曲线；缺点：1. 公式较复杂：有四种不同类型的弦长公式，需要根据具体应用场景灵活切换使用；2. 计算量较大：使用弦长公式圆锥曲线计算时，需要用较长时间来确定正确的弦长，在大量数据比较时耗时较大。
直线与圆锥曲线相交的弦长公式20111201
直线与圆锥曲线相交的弦长公式基本知点：设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。
则弦长公式为： d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(a k Δ+=Δ||)1(2a k +。
焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
例1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长解析：a=3,b=1,c=22，则F （-22，0）。
由题意知：)22(31:+=x y l 与1922=+y x 联立消去y 得：01521242=++x x 。
设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x ，41521=⋅x x ，223221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， 所以|AB|=21518324)(32||3112122121=-=-+⋅=-⋅+x x x x x x例2．中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程 解析：设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由F 1（0，50）得5022=-∴b a 把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a 。
设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：22221912b a b x x +=+，又AB 的中点横坐标为21，2196222221=+=+∴b a b x x 223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a 故所求椭圆的方程为：1257522=+y x 。
弦长公式是什么
弦长公式是什么
弦长=2Rsina，R是半径,a是圆心角；弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，
c=2RsinC；
(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得弦长
圆(x-4)^2+y^2=16与直线y=(根号3)x的一个交点恰为原点O(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4)^2+y^2=16
被直线y=(根号3)x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠AOB=60°，∠OAB=90°，OB=2R，所以
OA=2Rcos∠AOB=2Rcos60°=R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x 所截得的弦长为4。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
弦长公式二、证明弦长= = 其中为直线斜率，（ , ），（ , ）为直线与曲线的两交点证明方法如下：假设直线为：圆的方程为：，假设相交弦为AB，点A为（ , ）点B为（ , ）则有把，分别代入，则有：证明的方法也是一样的证明方法二这是两点间距离公式因为直线所以将其代入得到弦长公式二=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2=-2px，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚=2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2=-2py，过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三编辑d = = = = ..........................................................1式关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
d = ......................................................................................2式在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的b^2-4ac ，a为二次项系数。
补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。
2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分即可。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式（原创版）目录1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.圆锥曲线弦长公式的简化方法正文一、圆锥曲线概述圆锥曲线是一个广泛的数学概念，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
这些曲线可以通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到。
圆锥曲线在数学和几何学中有着广泛的应用，其中一种应用就是求解弦长问题。
二、圆锥曲线弦长公式的推导求解圆锥曲线弦长公式的通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。
具体来说，对于椭圆，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$，其中$k$为椭圆的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。
对于双曲线，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2 + 4x_1x_2}$，其中$k$为双曲线的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。
对于抛物线，其弦长公式为：$d = sqrt{1 + k^2} sqrt{(x_1 + x_2)^2- 4x_1x_2}$，其中$k$为抛物线的离心率，$x_1$和$x_2$为弦的两个端点的横坐标。
三、圆锥曲线弦长公式的应用圆锥曲线弦长公式在求解直线与圆锥曲线相交弦长问题中具有重要作用。
例如，在解决天文学中的恒星距离问题时，可以利用椭圆弦长公式计算恒星之间的距离。
在工程领域，如计算机图形学和机器人学中，圆锥曲线弦长公式也有广泛应用，如计算两个圆锥曲线的交点等。
四、圆锥曲线弦长公式的简化方法虽然通用的圆锥曲线弦长公式较为复杂，但针对特定类型的圆锥曲线，可以推导出更简洁的弦长公式。
例如，在处理焦点在 x 轴上的椭圆时，可以得到如下弦长公式：$d = sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$。
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圆锥曲线弦长公式
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得
，整理可得，同理可求得，则弦长
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二
. 双曲线的焦点弦长
设双曲线，其中两焦点坐标为
，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得
整理可得，同理，则可求得弦长
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，
整理可得，则
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长
若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4）
解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得
即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。
一。