高中物理竞赛经典方法 2.隔离法

二、隔离法方法简介隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。

隔离法在求解物理问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。

赛题精讲例1：两个质量相同的物体1和2紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如图2—1所示，如果它们分别受到水平推力F 1和F 2作用，且F 1＞F 2 ， 则物体1施于物体2的作用力的大小为（ ）A ．F 1B ．F 2C ．12F F 2+D ．12F F 2- 解析：要求物体1和2之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。

先以整体为研究对象，根据牛顿第二定律：F 1－F 2 = 2ma ①再以物体2为研究对象，有N －F 2 = ma ②解①、②两式可得N =12F F 2+，所以应选C 例2：如图2—2在光滑的水平桌面上放一物体A ，A 上再放一物体B ，A 、B 间有摩擦。

施加一水平力F 于B ，使它相对于桌面向右运动，这时物体A 相对于桌面（ ）A ．向左动B ．向右动C ．不动D ．运动，但运动方向不能判断解析：A 的运动有两种可能，可根据隔离法分析设AB 一起运动，则：a =A BF m m + AB 之间的最大静摩擦力：f m = μm B g以A 为研究对象：若f m ≥m A a ，即：μ≥A B B A m m (m m )g +F 时，AB 一起向右运动。

若μ＜A B B A m m (m m )g+ F ，则A 向右运动，但比B 要慢，所以应选B例3：如图2—3所示，已知物块A 、B 的质量分别为m 1 、m 2 ，A 、B 间的摩擦因数为μ1 ，A 与地面之间的摩擦因数为μ2 ，在水平力F 的推动下，要使A 、B 一起运动而B 不至下滑，力F 至少为多大？解析： B 受到A 向前的压力N ，要想B 不下滑，需满足的临界条件是：μ1N = m 2g 。

设B 不下滑时，A 、B 的加速度为 a ，以B 为研究对象，用隔离法分析，B 受到重力，A 对B 的摩擦力、A 对B 向前的压力N ，如图2—3甲所示，要想B 不下滑，需满足：μ1N ≥m 2g ，即：μ1m 2a ≥m 2g ，所以加速度至少为a =1g μ 再用整体法研究A 、B ，根据牛顿第二定律，有：F —μ2(m 1 + m 2)g = (m 1 + m 2)g = (m 1 + m 2)a所以推力至少为：F = (m 1 + m 2)(11μ+ μ2)g 例4：如图2—4所示，用轻质细绳连接的A 和B 两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A 与B 之间的细绳上有弹力吗？解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现在细绳有无形变无法确定。

所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了，应结合物体的运动情况来分析。

隔离A 和B ，受力分析如图2—4甲所示，设弹力T 存在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，所以有： mg A sin α = T + f A ①mg B sin α + T = f B ②设两物体与斜面间动摩擦因数分别为μA 、μB ，，则：f A = μA N A = μA m A gcos α ③f B = μB N B = μB m B gcos α ④由以上①②③④可解得：T = m A g (sin α—μA cos α)和T = m B g (μB cos α—sin α)若T = 0 ，应有：μA = tan α ，μB = tan α由此可见，当μA = μB 时，绳子上的弹力T 为零。

若μA ≠μB ，绳子上一定有弹力吗？我们知道绳子只能产生拉力。

当弹力存在时，应有：T ＞0 ，即：μA ＜tan α ，μB ＞tan α 所以只有当μA ＜μB 时绳子上才有弹力。

例5：如图2—5所示，物体系由A 、B 、C 三个物体构成，质量分别为m A 、m B 、m C 。

用一水平力F作用在小车C 上，小车C 在F 的作用下运动时能使物体A 和B 相对于小车C 处于静止状态。

求连接A 和B 的不可伸长的线的张力T 和力F 的大小。

（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计）解析：在水平力F 作用下，若A 和B 能相对于C静止，则它们对地必有相同的水平加速度。

而A 在绳的张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F 只能水平向右，可用整体法来求，而求张力必须用隔离法。

取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力(m A + m B + m C )g ，推力F 和地面的弹力N ，如图2—5甲所示，设对地的加速度为a ，则有： F = (m A + m B + m C )a ①隔离B ，以地为参考系，受重力m B g 、张力T 、C 对B 的弹力N B ，应满足：N B = m B a ，绳子的张力T = m B g ②隔离A ，以地为参考系，受重力m A g ，绳的张力T ，C 的弹力N A ，应满足；N A = m A g ③T = m A a ④当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度：a =B Am m g 代入①式可得：F =B A B C A m (m m m )g m ++ 例6：如图2—6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘，盘中有一物体质量为m ，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L ，今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL 后停止。

然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）A ．(1 +L L ∆)mg B ．(1 +L L ∆)(m + m 0)g C ．L L ∆mg D ．L L ∆(m + m 0)g 解析：确定物体m 的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法。

选整体为研究对象，在没有向下拉盘时有：KL = (m + m 0)g ①在向下拉伸ΔL 又放手时有：K ΔL = (m + m 0)a ②再选m 为研究对象：F N －mg = ma ③解得：F N = (1 +L L∆)mg 应选A 。

此题也可用假设法、极限法求解。

例7：如图2—7所示，AO 是质量为m 的均匀细杆，可绕O 轴在竖直平面内自动转动。

细杆上的P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP 长度是杆长的14，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于 。

解析：求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。

求挡板对圆柱体的作用力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解。

以杆为研究对象，受力如图2—7甲所示，根据力矩平衡条件：mg l2cosθ = F34l ，解得：F =23mgcosθ。

根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与F大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力F正交分解，如图2—7—乙，在水平方向有：2 3mgcosθsinθ =13mgsin2θ即挡板对圆柱体的作用力为13mgsin2θ。

例8：如图2—8所示，质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中，盒从h高处（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来。

解析：盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起跳时可隔离盒研究。

在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：v =2gh。

碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x处，小球的速度又减为0 ，则在此过程中，对小球有：1 2mv2 = mgx + 212kx2把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：2kx＞Mg ，代入上式可解得：h =Mg2k(1 +M2m)例9：如图2—9所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。

今有一冲量作用在质点A ，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度。

解析：要想求此瞬间质点D的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于A 、B 、C 、D相关联，所以用隔离法，对B 、C 、D分别应用动量定理，即可求解。

以B 、C 、D分别为研究对象，根据动量定理： 对B 有：I A －I B cos60°= m B u ①I A cos60°－I B = m B u 1 ②对C 有：I B －I D cos60°= m C u 1 ③I B cos60°－I D = m c u 2 ④对D 有：I D = m D u 2 ⑤由①~⑤式解得D 的速度：u 2 =113u 例10：有一个两端开口、粗细均匀的U 形玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为p 0的大气中，两个竖直支管的高度均为h ，水平管的长度为2h ，玻璃细管的半径为r ，且r =h 。

今将水平管内灌满密度为ρ的水银，如图2—10所示。

1．如将U 形管两个竖直支管的开口分别密封起来，使其管内空气压强均等于大气压强，问当U 形管向右做匀加速移动时，加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为53h ？ 2．如将其中一个竖直支管的开口密封起来，使其管内气体压强为1个大气压。

问当U 形管绕以另一个竖直支管（开口的）为轴做匀速转动时，转数n 应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为53h （U 形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜） 解析：如图2—10—甲所示，U 形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运动，所以A 管内气体体积减小、压强增大，B 管内气体体积增大、压强减小，水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度。

若U 形管以A 管为轴匀速转动时，水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度。

1．当U 形管以加速度a 向右运动时，对水平管中水银柱有：F 1－F 2 = ma ，即：(p A + ρg h 3)S －p B S =53hS ρ⋅a ① 对A 中气体有：p 0hS = p A (h －h 3)S ，解得： p A =32p 0 ②对B 中气体有：p 0hS = p B (h +h 3)S ，解得： p B =34p 0 ③将②、③式代入①式可得：a =09p 4gh 20h+ρρ2．如图2—10—乙，若U 形管以A 管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有：F 2—F 1 = ma 。

若转速为n ，则有：(p B ′+ ρg h 3)S －p 0S = m ⋅(2πn)2⋅76h ① 对B 中气体有：p 0hS = p B ′(h －h 3)⋅S ，解得： p B ′=32p 0 ②将②式代入①式可解得转速：n =09p 6gh 1h 140+ρπρ例11：如图2—11所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，内部横截面的面积S = 0.01m 2 ，中间用两个活塞A 与B 封住一定质量的理想气体，A 、B 都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A 的质量可不计，B 的质量为M ，并与一倔强系数k = 5×103N/m的较长的弹簧相连。