2013-2014学年高二数学1-2导学案：2.1.1合情推理-归纳推理
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
2013-2014学年高二数学1-2导学案：2.1.1合情推理-类比推理
类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是 、 、 、 ，P到这四个面的距离依次是 、 、 、 ，则有_________________。
【课后巩固】
1.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由
到的推理.
新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
【课堂研讨】
例1在 中，两直角边 ， ，斜边 上的高为 ，
(1)、 (2)、 (3)、 （ 分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
(4)、
3.在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程为 。
则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,
球心在 的球的一般方程为_______________________.
课题：2.1.1合情推理——类比推理检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1.类比平面向量基本定理:“如果 是平面 内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 ”，写出空间向量基本定理是：
。
2.三角形的面积为 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为
高中数学《合情推理》导学案
2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．答案(1)a n＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n .[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ [解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n . 拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，S n＝2nn＋1.探究2 几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案] B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2， 化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)． 探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案] T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h 2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt △ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AE .在Rt △ACD 中有1h 21＝1b 2＋1c 2，∴1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.[答案] 1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2 拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 空间图形 直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2＋AC 2＝BC 2.若三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案 S 2△BCD ＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB解析 在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{a n}的通项公式．解由a n＋1＝12－a n和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n}的通项公式为a n＝n－1n.A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13， f (1)＝2，则f (2019)等于( ) A ．13 B ．2 C.132 D.213 答案 C解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2， ∴f (3)＝13f (1)＝132，f (5)＝13f (3)＝2， f (7)＝13f (5)＝132，f (9)＝13f (7)＝2，…，∴f (2019)＝132.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形． 4．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1 B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa ＋yb＋zc＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a si nπ5＋b cosπ5a cosπ5－b si nπ5＝t an8π15，则ba＝()A．4 B.15 C．2 D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a si n π5＋b cosπ5a cos π5－b si nπ5＝a t anπ5＋ba－b t anπ5＝t anπ5＋ba1－ba t anπ5＝t an8π15，类比正切的和角公式，即t an(α＋β)＝t an α＋t an β1－t an αt an β，可知只有当b a ＝t an π3＝3时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.答案 a ＋b <210(a >0，b >0且a ≠b ，a ＋b ＝20)解析 观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________.答案 b 4＋b 8>b 5＋b 7解析 在等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，∴{a n }是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a 4·a 6>a 3·a 7，∴在等比数列{b n }中，b n >0，q >1，则{b n }为各项均为正数的递增数列． 又∵4＋8＝5＋7，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.9．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 43n (n ＋1)解析 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n (n ＋1)． 三、解答题 10．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17，a 5＝a 41＋2a 4＝19. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． B 级：能力提升练11．过△ABC 边AB 上任一点O 分别作OA 1∥AC ，OB 1∥BC ，与BC ，AC 分别交于点A 1，B 1，则OA 1AC ＋OB 1BC 为定值1.试写出类比到空间的结论．解 如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC 的面ABC 上任一点O ，分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，其中A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面的交点，则OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。
高二新课程数学《2.1.1合情推理》导学案2(新人教A版)选修1-2
§2.1.1 合情推理（2）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.~ P38，找出疑惑之处）301.已知，考察下列式子：；；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为.2. 猜想数列的通项公式是.二、新课导学※学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理.※典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※动手试试练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？练2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？三、总结提升※学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※知识拓展试一试下列题目：1. 南京∶江苏A.石家庄∶河北B.渤海∶中国C.泰州∶江苏D.秦岭∶淮河2. 成功∶失败A.勤奋∶成功B.懒惰∶失败C.艰苦∶简陋D.简单∶复杂3.面条∶食物A.苹果∶水果B.手指∶身体C.菜肴∶萝卜D.食品∶巧克力学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（）.A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ （c≠0）”D.“” 类推出“3. 设，，n∈N，则（）.A. B.－C. D.－4.一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.5.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.课后作业1.在等差数列中，若，则有成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式；（3）求。
高中数学选修1-2精品学案7：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理(重点、难点)．2.了解合情推理在数学发现中的作用(重点).知识提炼1．归纳推理和类比推理温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．2．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧重点不同，结论也会不同．思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()(4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D.l ＋r 24．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．5．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________． 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．归纳升华由已知数式进行归纳推理的步骤：(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征；(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(3)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．变式训练(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}，满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{a n}的通项公式a n＝________．类型2图形中的归纳推理典例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31 C．32 D．36变式训练如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有____根；第n个图形中，火柴棒有________根．类型3类比推理典例3已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．归纳升华(1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．(2)平面图形与空间几何体的类比方向．试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．课堂小结1．归纳、推理、证明题的一般解题步骤：(1)列举出几个特殊情形，条件中已给出的此步可省略；(2)观察、分析所给特殊情形找出其共性；(3)归纳猜想出一个一般性的结论，此结论应包含前面的特殊情况；(4)对猜想的结论给出证明．2．类比推理的步骤与方法：(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．——★参考答案★——思考尝试1．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√[解析](1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论不一定正确.(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．(4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 2.[答案]A[解析]观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一个空白，即得结果． 3．[答案]C[解析]三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长， 所以可猜测为S ＝12rl ＝lr2.4．[答案]b 4＋b 8＞b 5＋b 7[解析]将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有b 4＋b 8＞b 5＋b 7.5．[答案](n ＋2)2－n 2＝4n ＋4[解析]由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)[答案]43n (n ＋1)[解析]根据已给出的等式归纳推理求解．通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度中π的系数的分子的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)． (2)解：当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得数列的前n 项都等于下标序号的倒数，因此a n ＝1n.变式训练 (1)解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)[答案]2n －1(n ∈N *)[解析]由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 类型2 图形中的归纳推理 典例2 [答案]B[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 变式训练 [答案]16 3n ＋1[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒3n ＋1根． 类型3 类比推理典例3 解：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明：如图，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2.又因为在Rt△ACD中，易知AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2.所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．变式训练解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，即AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.。
高中数学选修1-2教案3：2.1.1 合情推理教学设计
《合情推理》教学设计●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。
为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。
数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a =b ⇒a 2=b 2;等等。
(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。
等差数列 等比数列a n -a n -1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=-a n =a 1+(n -1)d a n =a 1⋅q n -1a n =211+-+n n a a (n ≥2,n ∈N) a n 2=11-+⋅n n a a (n ≥2,n ∈N) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f -设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。
人教版高中数学全套教案导学案2.1.1合情推理
第二章第1节 合情推理与演绎推理一、 合情推理课前预习学案一，预习目标：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
二，预习内容：（1） 从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论（2） 已知数列{}a n的每一项均为正数，a 1=1，1221+=+a an n （n=1，2，……），试归纳数列{}a n的一个通项公式。
（3） 根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论 （4） 类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
二、学习过程：例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n 条直线相交，最多有几个交点？例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中的正六边形地板砖有多少块？小结归纳推理的特点：例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。
小结类比推理的特点：当堂检测：1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______2、在等差数列{}a n中，na a a cn n+∙∙∙++=21也成等差数列，在等比数列{}b n中，dn=____________________ 也成等比数列课后练习与提高11 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 11、 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 82、 下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是(A)编1 (B) 编2 (C) 编3 (D) 编44、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括里填上适当的数 （1）1，5，9，13，17，（ ）；（2）223+，338+，4415+，5524+，（ ）．5、从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论是 ．第三次第二次第一次开始鼠猴猫兔鼠猴猫兔鼠猴猫兔兔猫猴鼠42424242133131312.1合情推理一、教材分析数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。
高二数学 选修1-2教案：2.1合情推理与演绎推理(一)
§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【练习与测试】：（基础题）x…中的x等于（）1）数列2,5,11,20,,47,A．28 B．32 C．33 D．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） 4） （A A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
高二数学 教案 2.1.1合情推理学案人教版_选修1-2 2.1.1合情推理(三)
◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（）
A．很好B．较好C．一般D．较差
二、当堂检测
1、下列关于归纳推理的说法中，错误的是（ ）。
A、归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B、归纳推理是由特殊到一般的一种推理过程
C、归纳推理得出的结论具有偶然性、不一定正确 D、归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
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2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（ ）。
（1）各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
（2）各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
（3）各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等。
第3课时
2.1.1合情推理（三）
学习目标
1．加深对归纳推理和类比推理的理解，知道合情推理的方法和步骤，提升思维水平。
学习过程
一、学前准备
1、什么是合情推理？合情推理包括哪两类？
2、合情推理在数学研究中的作用？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P21～P24，找出疑惑之处）
1、定义：合情推理就是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
解：
2．由数列1，10，100，1000，……，猜测这个数列的第n项可能是________________________。
3．圆的面积 ，周长 ，两者满足 ，类比此关系写出球的公式的一个结论是_____________________________________________________________________________________。
2.1.1合情推理导学案
2.1．1合情推理学习目标1．了解合情推理的含义；2．体会合情推理在数学发现中的作用。
一.课前导学1. 推理:的思维过程。
2. 归纳推理(归纳)：从事实中推演出结论。
3. 类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似和相同，推演出它们在也相似或相同。
4. 合情推理：根据的事实、正确的结论、试验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
5. 合情推理包括推理和推理。
6. 推理过程：二．预习自测归纳猜想例1：观察下图，我们可以发现1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝23 1+3+5+7＝16＝24， 1+3+5+7+9＝25＝25，由上述结论，你能得出怎样的结论？变式训练：意大利数学家裴波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月可以度成大兔子。
如果一发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢?[分析]：依次给出各个月的大兔子的对数，并一起推算到无穷尽的月数，可得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…这就是裴波那契数列，该数列中12a a 1==，你能归纳出当n ≥3时n a 的递推关系式吗？例2：已知数列{}n a 中，1a 1=，且nn 1na a (n 1,2,3)1a +==+ ，试归纳出这个数列的通项公式。
[分析]：数列的通项公式是的对应关系，为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项。
当n =1时， 当n =2时 当n =3时观察可得，该数列通项公式为变式训练：已知数列{}n a 的每一项均为正数，22111,1(1,2,)n n a a a n +==+= ，试归纳出数列{}n a 的的一个通项公式。
类比猜想例3：类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质。
变式训练：试将平面上的圆与空间中的球进行类比。
合情推理例4：汉诺塔是源于印度一个古老传说的益智玩具：有三根针和套在一根针上的若干金属盘片。
苏教版高中数学选修1-2导学案设计：2.1.1-合情推理(无答案)
苏教版高中数学选修1-2导学案设计：2.1.1-合情推理(无答案)1 / 42.1.1合情推理（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】能利用归纳方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 【教学重点】合情推理的含义，利用归纳方法进行简单的推理． 【教学难点】用归纳进行推理，做出猜想及归纳推理的正确性． 【教学过程】一、引入：1． 称为推理． 2．通过对本节引言的三个推理案例的预习，思考几个推理各有什么特点？二、新授内容：我们看几个类似的推理实例：1．（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的． （2）三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒． （3）221222221,,,331332333+++<<<+++L ，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数）． 这种 的推理，称为归纳推理.(简称：归纳) 2．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想．例1．已知数列{}n a 的每一项均为正数，11=a ，)(1*221N n a a n n ∈+=+，试归纳数列{}n a 的一个通项公式．【变式拓展】数列{}n a 的第1项11=a 且nnn a a a +=+11)(*N n ∈，试归纳数列的通项公式．第 2 页 共 4 页ICME －7 图甲O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6 A 7 A 8图乙例2．如图第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来 )(*N n ∈．则第n +2个图形中共有 个顶点．【变式拓展】仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．例3．从222112343345675=++=++++=L ，，，中， 归纳出一般结论为 ．【变式拓展】设010()sin ()()f x x f x f x '==，，211()()()()n n f x f x f x f x n N +''==∈L ，，，，则2014()f x ＝ ．三、课堂反馈：1．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====L ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA L L 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝_________．2．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：（1）在首项为1a 、公差为d 的等差数列{}n a 中，1110a a a d ==+，2111a a d a d =+=+，3212a a d a d =+=+，4313a a d a d =+=+，L结论： ．（2）2222111321+3531+35+74=+=+=+=L ，，，， 反思：苏教版高中数学选修1-2导学案设计：2.1.1-合情推理(无答案)3 / 4结论： ．3．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形 的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,L 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定 摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层 之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；(4)_____f =．4．观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：1111211131111422263261242612205=+=++=+++=L ，，，， ．5．观察直线上的n 个点，发现2个点可以确定1条线段，3个点可以确定3条线段，4个点可以确定6 条线段，5个点可以确定10条线段，由此可以归纳出n )(*N n ∈个点可确定 条线段．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则=10a ．2．观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ① 4330sin 30sin 30sin 30sin 022=⋅++； ② 4320sin 40sin 20sin 40sin 022=⋅++． ．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=oooooo（2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=oooooo。
高中数学选修1-2教案6：2.1.1 合情推理(二)教学设计
2.1.1 合情推理（二）教学目标1．知识与技能目标通过对已学知识的回顾，进一步理解推理这种基本的分析问题的方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去．2．过程与方法目标类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越密切，从而类比得出的结论就越可靠．3．情感、态度与价值观(1)正确认识合情推理在数学中的重要作用，培养学生养成认真观察事物，发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题、分析问题、解决问题．(2)认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的意识．重点难点重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理，提出猜想．教学过程引入新课我们先看几个推理的实例：1．工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿，发明了锯．2．人类仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理，发明了潜水艇．3．利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理．提出问题1：这些推理是归纳推理吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：学生根据上节所学归纳推理的定义，很快就可以得出答案．活动结果：以上推理不是归纳推理．提出问题2：这三个推理过程有何共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后再分小组讨论．学情预测：以实例1为例，学生的思路有可能是这样的：草叶是齿形的；草叶能割破手；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的．这是学生应该能想到的，但对这种思维方式共同点的总结存在一定的难度．活动结果：将两类不同事物进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，以此创造和谐积极的学习氛围．探究新知我们再看几个类似的推理实例．例1 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．例2 根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a＝b⇒a＋c＝b＋c; (1)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(2)a＝b⇒ac＝bc; (2)a＞b⇒ac>bc；(3)a＝b⇒a2＝b2等等. (3)a＞b⇒a2＞b2等等．提出问题：这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适当加以指导．活动结果：共同特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．设计意图从大量的实例出发，让学生充分体会类比推理的含义和类比推理的构成，使类比推理概念的形成自然、生动，训练和培养学生的抽象概括和表达能力．理解新知教师举例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．教师适时介入全班引导，提醒学生注意类比的对象是什么？平面内直角三角形的性质是什么？反映的是哪些几何量之间的关系？给出空间四面体性质应从哪些方面进行类比？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至于偏离主题，教师应及时地加以引导．活动结果：猜想：S2＝S21＋S22＋S23.类比推理的几个特点：1．类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以已有的旧的认识为基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；3．类比的结果是猜测，不一定可靠，但它却有发现的功能．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对类比推理的理解程度，使学生加深对关键词、重点词的理解，掌握类比推理的特点，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固类比推理的定义．运用新知例1 计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如用16进位制表示E＋D＝1B，则A×B等于()A．6E B．72C．5F D．0B思路分析：类比十六进位制是逢16进1的规律，找到本题所规定的进位制的规律．【解析】因为用16进位制表示E＋D＝1B，所以A×B＝6E，应选A.【答案】A点评：类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想，即证明结论．2试将平面上圆的性质与空间中球的性质进行类比．思路分析：从已掌握的平面上圆的基本性质出发，逐步类比推测出空间中球的性质，圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆球弦←→ 截面圆直径←→ 大圆周长←→ 表面积面积←→ 体积解：点评：通过例题让学生进一步熟悉进行类比推理的一般过程，同时体会类比推理的特点和作用．虽然猜想的正确性还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一个方向．设计意图选择开放性命题加以练习，让全班同学做．在学生学习类比推理方法和步骤的同时，完成对类比推理的再认识．教师：我们上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理，就其所进行的推理过程可以概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想可见，上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．提出问题：合情推理所得的结论有时是正确的，有时是错误的，那么我们为什么还要进行合情推理呢？活动设计：学生先独立思考，然后进行讨论．活动成果：合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子：例3 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片(小在上，大在下)．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？思路分析：我们分别从1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．解：当n＝1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号(13)表示，共移动了1次．当n＝2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：(1)把第1个金属片从1号针移到2号针；(2)把第2个金属片从1号针移到3号针；(3)把第1个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为(12)(13)(23)，共移动了3次．当n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n＝2的情形，移动的顺序是：(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；(2)把第3个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中(1)和(3)都需要借助中间针．用符号表示为(13)(12)(32)；(13)；(21)(23)(13)，共移动了7次．当n＝4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；(2)把第4个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面3个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为(12)(13)(23)(12)(31)(32)(12)；(13)；(23)(21)(31)(23)(12)(13)(23)，共移动了15次．至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构成的数列为1,3,7,15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1.由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n 次，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N )．①点评：通过研究上述n ＝1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：(1)把上面(n －1)个金属片从1号针移到2号针； (2)把第n 个金属片从1号针移到3号针； (3)把上面(n －1)个金属片从2号针移到3号针．这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动(n －1)个金属片和移动一次第n 个金属片的任务．而移动(n －1)个金属片需要移动两次(n －2)个金属片和移动一次第(n －1)个金属片，移动(n －2)个金属片需要移动两次(n －3)个金属片和移动一次第(n －2)个金属片……如此继续下去，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ∈N )，且n >1.从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠． 变练演编前面我们类比平面内直角三角形的勾股定理，给出了对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．得到猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：三角形四面体 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半 在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，则AB AC ＝BD DC在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C(正弦定理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则(1)r ＝2Sa ＋b ＋c；(2)R ≥2r变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结果一一列举，并让学生之间互相判断合理性．活动结果：变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：设计意图通过变练演编，使学生对类比推理的方法和步骤的掌握更加牢固，同时培养学生善于发现问题，探求新知识、发现事物之间的质的联系的良好品质．课堂小结1．知识收获：了解类比推理和合情推理的含义； 2．方法收获：利用类比进行简单推理的方法和步骤；3．思维收获：合情推理是进行猜测发现结论，探索和提供思路的常用思维方法．布置作业1．课本习题2.1 A 组 第5题．2．实习作业：登陆网站，选择两例用类比推理得到的猜想并探究其来源．补充练习基础练习1．下列哪个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 2．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ×3＝b ×3，则a ＝b ”类比推出“若a ×0＝b ×0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系：________.4．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“－”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a －a ； (2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a －b ，则有b －a ； (3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a －b ，b －c ，则有a －c .则称“－”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：__________.5．若图(1)有面积关系S′△ΡΑ′Β′S′△ΡΑΒ＝ΡΑ′·ΡΒ′ΡΑ·ΡΒ，则图(2)有体积关系V P—A′B′C′V P—ABC＝__________.【答案】 1.C 2.C3.b 4＋b 8>b 5＋b 74.集合相等；充要条件；非零向量共线5.P A′·PB′·PC′P A·PB·PC拓展练习6．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立． (1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行．解：(1)一个平面若和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立；(2)若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面平行，此结论不成立．设计说明【设计思想】 从已学知识入手，以学生熟知的生活实例和数学实例为载体，引导他们概括、提炼类比推理的含义和类比推理的方法．【设计意图】 给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境，感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律，同时让学生感受到只要做个有高中数学选修1-2心人，发现规律并非难事．【设计特点】自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，通过创造和谐积极的学习气氛，让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用类比推理的过程.11。
苏教版数学高二-【数学选修1-2】2.1《合情推理与演绎推理》导学案(2)
★链接高考★
9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设 的两边AB、AC互相垂直，则 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则”
（3）类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。
【典型例题】
例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征
（1）平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆；
（2）平面内不共线的3个点确定一个圆
（3）圆的周长和面积可求
（4）在平面直角坐标系中，以点 为圆心，r为半径的圆的方程为
【解析】：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；
2.1.2合情推理与演绎推理(2)
1、C 2、D 3、D 4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面
6、
7、在等比数列 中，若 ， ，则
8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。9、 + + =
2.1.2合情推理与演绎推理(2)
类比推理
高二数学 教案 2.1.1合情推理导学案人教版_选修2-2 2.1.1合情推理(二)
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1．若数列 是等差数列，对于 ，则数列 也是等差数列。 类比上述性质，若数列 是各项都为正数的等比数列，对于 ，则 =
时，数列 也是等比数列。
等比数列
若 ， ，则
，
2．半径为R的圆的面积 ，周长 若将R看作 上的变量，则 可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
类比，对于半径为R的球，若将R看作 上的变量，则____________________，可用语言叙述为：__________。
3．已知O是 内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于 ，则 。
2．由 ，得：
将以上各式两边分别相加,得：
即：
类比上述求法：试求出 的值.
解：
实数的加法
实数的乘法
例2．（课本P74例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
解：
◆反馈练习
1．试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：⑴ ；⑴
⑵ ；⑵
⑶ ；⑶
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
2．平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 ．类比“平面向量基本定理”，写出空间向量基本定理．
2．春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？为什么？
高中数学选修1-2教案：2.1.1第二课时合情推理(二)
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
2013-2014学年高二数学教案：第二章 2.1合情推理与演绎推理3 (新人教A版选修1-2)
§2.1.2演绎推理教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。
2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．教学过程：学生探究过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出猜想二．问题情境。
观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tan α是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动：1.所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电←――结论2.一切奇数都不能被2整除←————大前提(2100+1)是奇数，←――小前提所以，(2100+1)不能被2整除.←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α是三角函数,←――小前提所以，tan α是周期函数。
←――结论三，建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；（小前提）是二次函数函数12++=x x y ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. 四，数学运用例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM.由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是，根据“三段论”得，2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数． 结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x y在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2x y =是指数函数， ——小前提 所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．思考: 合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．巩固练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题作业：第35页 练习 第5题 。
高二数学 选修1-2教案：2.1合情推理与演绎推理(三)
§2.1 合情推理与演绎推理（三）【练习与测试】：1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．因为指数函数xa y =是减函数，而xy 2=是指数函数，所以xy 2=是减函数.A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是3．因为相似三角形面积相等，而△ABC 与△A 1B 1C 1面积相等，所以△ABC 与△A 1B 1C 1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．推理形式错误 4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行， 又∵直线⊆l 平面α，直线⊆m 平面β，直线⊆n 平面β，且l ∥m ， ∴α∥β.A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论错误D ．以上都错误 5．函数()()R x x f y ∈=为奇函数，()()()()22,211f x f x f f +=+=，则()=5f （ ）． A ．0 B ．1 C ．25D ．5 6．下面给出一段证明： ∵直线⊆l 平面α， 又∵α∥β，∴l ∥β.这段证明的大前提是 ． 7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论． ∵ ．（大前提） 又∵P A ⊥BC ，AB ⊥BC ， P A ∩AB=A ． （小前提）∴ ．（结论） CBAP8．用“三段论”证明：通项公式为dn c a n +=的数列{}n a 是等差数列. 9．用“三段论”证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，则AB=DC ． 10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写． 11．证明函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．设a ＞0,b ＞0,a +b =1,求证：8111≥++abb a ．参考答案1～5：BADAC6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面 7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC ⊥平面P AB8．证：如果数列{}n a 满足：d a a n n =-+1（常数），那么数列{}n a 是等差数列 （大前提） ∵数列{}n a 中有d dn c n d c a a n n =+-++=-+)()1(1（常数）， （小前提） ∴通项公式为dn c a n +=的数列是等差数列． （结论） 9．证：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ．∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提） 又∵四边形ABED 中DE ∥AB ，AD ∥BE ， （小前提） ∴四边形ABED 是平行四边形． （结论） ∵平行四边形的对边相等． （大前提） 又∵四边形ABED 是平行四边形， （小前提） ∴AB ＝DE ． （结论） ∵两直线平行，同位角相等． （大前提） 又∵AB ∥DE ， （小前提） ∴∠DEC ＝∠B ． （结论） ∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提） 又∵∠B ＝∠C ，∠DEC ＝∠B （小前提） ∴∠DEC ＝∠C ． （结论） ∵三角形中等角对等边． （大前提） 又∵△DEC 中有∠DEC ＝∠C ， （小前提） ∴DE ＝DC ． （结论） ∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提） 又∵AB ＝DE ，DE ＝DC （小前提） ∴AB=DC ． （结论）10．证：函数)(x f y =若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1、x 2，若x 1＜x 2，则有)(1x f ＜)(2x f ，则)(x f y =在该给定区间内是增函数． （大前提）任取x 1、x 2∈（－∞，1］，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝（－x 12+2x 1）－（－x 22+2x 2）＝（x 2－x 1）（x 1+x 2－2） 又∵x 1＜x 2≤1，∴x 2－x 1＞0，x 1+x 2＜2，即x 1+x 2－2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2））＜0，即f (x 1) ＜f (x 2) ． （小前提）∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． （结论） 11．证：任取x 1、x 2∈［1，+∞］，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝（－x 12+2x 1）－（－x 22+2x 2）＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2）） 又∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1+x 2＞2，即2－（x 1+x 2）＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝（x 1－x 2）（2－（x 1+x 2））＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ．∴函数f (x )=－x 2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．证：∵a +b =1，且a ＞0,b ＞0,⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=++b b a ab a b a ab b a b a ab b a 2112111118442242422=+=⨯⨯+≥⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=b a a b b a a b b a a b。
2013年高二数学选修1-2课件2-1-1《合情推理》
• 2．1 合情推理与演绎推理
• 1．知识与技能 • 了解合情推理的含义． • 2．过程与方法
• 能利用归纳推理和类比推理进行简单的推 理．
• 体会并认识合情推理在教学发现中的作 用．
• 本节重点：合情推理的定义及归纳推理和 类比推理的定义．
• 本节难点：归纳和类比推理的基本方法．
• 1．对归纳推理的理解
• 若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1 • (1)求a2，a3，a4，a5； • (2)归纳猜想通项公式an. • [解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，
得
• a2＝3＝22－1，
• a3＝7＝23－1，
• a4＝15＝24－1，
• a5＝31＝25－1.
n
*
• (3)猜测一般性结论：在一般情况下，如果
• 3．对类比推理的理解
• 类比推理是在两类不同的事物之间进行对 比，找出若干相同或相似之处之后，推测 在其他方面也可能存在相同或相似之处的 一种推理模式．
• 类比推理的关键在于明确指出两类对象在 某些方面的相似特征．
• 4．类比推理的一般步骤
• (1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
对象的
类比，推出另一类对象也具
有特殊到特殊的 推 理 称 为 类 比 推 理 ( 简 称 )．简言之，类推理和类比推理都是根已据有的事实
，观察经、过分析、比较、联想
归纳，、类再比 进
行 猜想 ，然后提出 的 推 理 ． 我 们
把它们称为合情合推乎理情．理 通俗地说，合情推
• (4)分成两列数：奇数位的数为
• 32,16，( ),4,2.
• 可见前面括号中应填入8；偶数位的数为
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成立。上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
【课后巩固】 1 、
2
2 2 3 3 4 4 2 , 3 3 , 4 4 , 若 3 3 8 8 15 15
8
。
b b 8 , ， a a
（ a N , b N ）则 a =
，b =
2、 sin 30 sin 90 sin 150
2 0 2 0 2 0
3 3 2 0 2 0 2 0 ， sin 5 sin 65 sin 125 2 2
观察上述两等式的规律，写出一个一般性的命题，并加以证明。
2 例 1、已知数列｛ an ｝的每一项都是正数， a1 =1,且 a 2 n1 an 1, n 1,2,
试归纳出数列｛ an ｝的一个通项公式。
1
例 2、观察下列式子，归纳出一般的结论： 13 =12 13+23= (1 2) 2 13+23 +33= (1 2 3) 2 13+23 +33+43= (1 2 3 4) 2 结论： … … …
例 3、 观察下面等式,并归纳出一般结论
1 1 2 3 6 1 12 2 2 2 3 5 6 1 12 2 2 3 2 3 4 7 6 1 12 2 2 3 2 4 2 4 5 9 6 12
2 2 2 2 结论： 1 2 3 n
课题：2.1.1 合情推理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 （1） 、理解归纳推理的思想； （2） 、能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。 【课前预习】 一、问题情境 1、瑞雪兆丰年：今年下几场大雪，明年就会有大丰收 2、一叶知秋：从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体 3、统计初步中通过样本估计总体：通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验， 进而对整体做出推断。 二、建构新知： 1、前提：当 n=0 时，n2-n+11=11 当 n=1 时，n2-n+11=11 当 n=2 时，n2-n+11=13 当 n=3 时，n2-n+11=17 当 n=4 时，n2-n+11=23 11、11、13、17、23、31 都是质数 结论：对于所有的自然数 n， 的值都是质数 2、前提：
2、根据给出的数塔猜测：123456× 9+7=
1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111
3、32-12=8× 1 52-32=8× 2 72-52=8× 3 92-72=8× 4 由此得到的一般性结论是:
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ× Ｂ＝
4
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 , , , 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4
结论： 3、根据一个或几个已知命题得出一个新命题的思维过程就称为 （3） 、推理包括： 和演绎推理 4、数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想 6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, …… 猜想：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个 的和 歌德巴赫猜想的过程：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 6、归纳推理：由个别事实推演出一般结论的推理,称为归纳推理 【课堂研讨】
3
3、在平面上，若两个正三角形的边长之比为 1：2，则它的面积之比为 1：4，在空间 中，若两个正四面体的棱长之比为 1：2，则它的体积之比为
4、 计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制， 采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共 １６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表； 十六进位 十进位 十六进位 十进位 ０ ０ ８ ８ １ １ ９ ９ ２ ２ Ａ １０ ３ ３ Ｂ １１ ４ ４ Ｃ １２ ５ ５ Ｄ １３ ６ ６ Ｅ １４ ７ ７ Ｆ １５
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第 1 课时 合情推理检测案 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【课堂检测】 1、下面归纳出的一般结论，并判断所得的结论正确吗？
f ( x) ( x 1)(x 2)(x 3) ( x 100) 8 f (2) 8, f (3) 8 ， f (4) 8 f (n) 8, n N