广东省汕头市潮阳南侨中学人教版高中数学选修2-2课件：211合情推理-归纳推理(共49张PPT)
高中数学人教课标版选修2-2《合情推理》课件
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数. 结论：当n取任何正整数时， 因为当n=40时， 面的归纳推理得到的猜想不正确. 点拨：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，需要 进行严格的证明或通过举反例推翻其一般性. 的值都是质数. 所以 是合数.因此，上
知识回顾
地球
行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 温度适合生物的生存 有生命存在
火星
行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 可能有生命存在
问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理 的过程.并回答下面两个问题： 1. 为什么圆可以和球类比？ 2. 圆和球类比的规律是什么
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
●活动二 梳理小结，掌握类比推理的逻辑含义 类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简称类比.
类比推理的特点： 1. 类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征， 所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征. 3. 类比推理是以旧的知识做基础，推测新的结果，具有发现的功能.
合情推理
名师：罗毅
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
由等差数列的定义推导其通项公式是怎么实现的．
平面向量的运算与空间向量的运算有什么共性．
椭圆和圆的哪些几何性质是相似的．
检测下预习效果：
点击“随堂训练” 选择“《合情推理》预习自测”
知识回顾
(人教版)高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
分析法
1．分析法的定义 从要证明的结_论__出__发____，逐步寻求使它成立的充_分__条__件____， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转 化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之 间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的 语言．
3．已知a，b，c∈ R且不全相等， 求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca. 证明： 证法一：(分析法) 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0， 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
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高中数学(人教选修2-2)配套课件第二章 2.1 2.1.1 合情推理
自测 自评
2．下面使用的类比推理中恰当的是( )
A．“若 m·2＝n·2，则 m＝n”类比得出“若 m·0＝n·0，则 m＝n”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
栏 目 链
接
D．“(pq)n＝pn·qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
栏 目 链 接
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行
简单的推理．
栏
目
链
2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1 ． 归 纳 推 理 是 由 _某_类__事_物__的__部_分__对__象____ 具 有
式或探求数列的前 n 项和公式．
跟踪 训练
1．(2013·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所
示：
栏 目 链 接
按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴的根数
为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
跟踪 训练
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图
中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火
解析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111. 故选B.
答案：B
基础 梳理
2．归纳推理包括不__完__全_归__纳_法___和_完__全_归__纳__法__．
3 ． 由 ____两__类__对_象__具_有__某__些_类__似_特__征______________
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理》知识讲解
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理问题导学一、归纳推理及其应用活动与探究1(1)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的一个通项公式．(2)观察下列各式：1＝1，1＋11＋2＝43， 1＋11＋2＋11＋2＋3＝64， 1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85． 由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．迁移与应用1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．302．(2012陕西高考，理11)观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为____________________．(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n 取具体值1,2,3,4，…，然后求得a 1，a 2，a 3，a 4，…的值或S 1，S 2，S 3，S 4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．(3)对于图形中的归纳推理问题，这类问题一般涉及某固定图形的个数，可从图形的变化规律入手求解，也可转化为数列问题求解．二、类比推理及应用活动与探究2(1)若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地有：若数列{C n }(n ∈N *)是等比数列，且C n ＞0，则数列d n ＝__________(n ∈N *)也是等比数列．(2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①___________________________________________________________； 充要条件②___________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件)迁移与应用1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形三条边的边长，r 为三角形内切圆的半径．利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________．3．我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大．将这个结论类比到空间，可以得到的结论是___________________________．(1)对于数列中的类比问题，除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外，还可以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广，与其他相关数列问题进行类比．(2)进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处和不同之处，找到可以类比的两个量，然后加以推测，最好能加以证明，以保证类比的正确性．(3)平面与空间的类比是一种常见的类比，一般地：平面图形中的点与空间图形中的线(线段)相类比；平面图形中的线与空间图形中的线或平面相类比；平面图形中的周长与空间图形中的表面积相类比；平面图形中的面积与空间图形中的体积相类比．平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体相类比；平面中的圆与空间中的球相类比等．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)全部对象 个别事实 (2)部分 整体 个别 一般预习交流1 (1)提示：不一定．归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，其推理的结论必然带有一定的猜测性，即由归纳推理得到的结论可能是正确的，也可能是错误的．(2)答案：123 454 3212．(1)另一类对象也具有这些特征 (2)特殊 特殊预习交流2 提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．(1)已有的事实 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想预习交流3 提示：(1)前提为真时结论可能为真的推理，是一种或然性推理．(2)是根据已有的事实、正确的结论、试验和实践结果以及个人经验推测某些结果的推理过程．(3)结论往往超出前提所控制的范围．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)先写出这个数列的前几项，再根据写出的项，归纳出通项公式．(2)观察给出的4个式子的特点，等式左边的部分注意从分式的项数、每个分式的分母找变化规律，等号右边的分数从分子、分母两个方面进行归纳．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14； …通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n． (2)通过观察上面给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． 这一结论的证明如下：由于11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝2n n ＋1． 迁移与应用 1．B 解析：由已知图形的规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28．2．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 解析：由前几个不等式可知1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＜2n －1n． 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116． 活动与探究2 思路分析：(1)等差与等比类比，和与积类比，倍数与乘方类比，由此猜想．(2)运用类比，由平面到空间，由四边形到四棱柱，四棱柱为平行六面体时其底面是平行四边形．答案：(1)n C 1C 2C 3…C n(2)两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等(答案不唯一)迁移与应用 1．C 解析：连结四面体内切球的球心与四面体的各个顶点，由分割法求体积的原理知V ＝13S 1h 1＋13S 2h 2＋13S 3h 3＋13S 4h 4＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)．2．b 2n －1n 解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n． 3．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大解析：平面图形的周长类比到空间应该是空间图形的表面积；平面图形的面积类比到空间应该是空间图形的体积；平面中的矩形、圆类比到空间中的图形应该是长方体、球．当堂检测1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案：A 解析：由图可知，三白二黑，为一周期进行排列，∵36＝5×7＋1，则第36颗珠子与第一颗颜色相同，为白色．2．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a b a b c c c+=+(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C3．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④答案：C 解析：①是类比推理，②和④是归纳推理，它们都是合情推理．4．在平面上，若两个正方形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间中，若两个正方体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案：1∶8 解析：由于正方体的体积等于棱长的立方，因此当两个正方体棱长比为1∶2时，体积比为1∶23＝1∶8．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22n na a +(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式． 答案：解：在{a n }中，a 1＝1，1212223a a a ==+，232212224a a a ===+，3432225a a a ==+，…， ∴{a n }的通项公式21n a n =+．。
高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、2-1-1-1
3．已知 x>0，由不等式 x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3，…，
启发我们可以得到推广结论：x＋xan≥n＋1(n∈N＋)，则 a 等
于
()
A．n2
B．nn
C．2n－1
D．(2n)2
• [答案] B
[解析] 由 x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3， 可推广 x＋xb3＝3x＋3x＋3x＋xb3≥4，知 b＝33， 所以对于结论 x＋xan＝nx＋nx＋…＋nx＋xan≥n＋1 知 a ＝nn，故应选 B.
• 2．1 合情推理与演绎推理 • 2．1.1 合情推理
• 1．理解合情推理的概念，掌握归纳推理的方 法．
• 2．掌握归纳法的步骤，体会归纳推理在数学发 现中的作用．
• 本节重点：合情推理、归纳推理概念的理解． • 本节难点：运用归纳推理进行一些简单的推理．
• 由某类事物的 该类事物的 或者由 全部对象
• [n分之析间]的规写律出．a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数
• [解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1， • a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， • a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， • a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. • 猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a.(n≥2)
• [点评] 以上归纳推出一般性结论的方法称作不
完全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定 正确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
【高中数学选修2-2】2.1.1合情推理 精品优选公开课件
：河内塔（Tower of Hanoi）
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
合情推理.
练 .在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为
三们角可形以内得任 到一 结点 论,:P到相p应a三边的p距b 离分p别c 为p1a,pb,pc,我 ha hb hc
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
A
B
pbPppac
C
pa pb pc 1 ha hb hc
高中数学优质课件精选人教版选修2-2课件章末高效整合2
• 即a3＋b3＞a2b＋ab2.
反证法
• 【点拨】 对反证法的认识
• (1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论 基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题， 它反映了“正难则反”的思想．
• (2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的 角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增 加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓 思路．因此对于直接论证较为困难的时候，往 往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中
知能整合提升
• 一、合情推理和演绎推理
• 1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据 已有的事实，经过观察、分析、比较、联想， 再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推 理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一 般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎 推理是由一般到特殊的推理．
• 2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不 一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提 和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定 正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用 的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成 的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而 演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合 情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
• [思维点击] 利用反证法，作出否定结论的 假设，寻找矛盾．
[规范解答] 证明：假设 a，b，c，d 都是非负实数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴a，b，c，d∈[0,1]， ∴ac≤ ac≤a＋2 c，bd≤ bd≤b＋2 d， ∴ac＋bd≤a＋2 c＋b＋2 d＝1， 这与已知 ac＋bd＞1 相矛盾，所以原假设不成立，即证得 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
[规范解答] 证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2＜( a＋ a－1)2，
广东省汕头市潮阳南侨中学人教版高中数学选修2-2课件：23数学归纳法(共17张PPT)
1。 k +1
根据（1）和 （2），可 根据（1）和（2），可知
知不论有多少块骨牌， 对任意的正整数n，猜想
都能全部倒下。
都成立。
（四）提炼概念
一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列 步骤进行：
（1） 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0 ∈N* )
时命题成立;
（2） 【归纳递推】假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命
可以猜想
Sn
n. 3n 1
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时，左边
S1
1， 4
右边 n 1 1 ，
3n 1 311 4
猜想成立.
(2)假设n=k（k 1, k 时N, ） 猜想成立，即
11 1 1 4 4 7 710
（3k
1 2)(3k
1)
k 3k 1
那么
11 1 1 4 4 7 7 10
练习: 1 1 1 13 (n 2, n N*). n 1 n 2 2n 24
证明:(1)当n=2时, 左边=
1 1 1 1 14 13 , 2 1 2 2 3 4 24 24
不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时，不等式成立,即有
1 1 1 13 , k 1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 (k 1) 1 (k 1) 2 2k 2k 1 2k 2
k
1 1
k
1
2
1 2k
(
1 2k 1
1 2k
2
k
1 1
)
练习: 1 1 1 13 (n 2, n N*). n 1 n 2 2n 24
人教版高中数学选修2-2课件 2.1.1合情推理
规律方法：归纳推理和类比推理的共同点：
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类 比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推 理． 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．
19
►变式训练 4.观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此规律， 第n个等式可为____________．
24
【易错剖析】三角形中的内角类比到空间中可以是 线面角，也可以是面面角，这里面面角应该合理些； 三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值 相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦 值相乘，而不是棱长与角的余弦值相乘．这些类比 的不确定性，要根据实际情况认真分析．
25
20
解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连 乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连 乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘 式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘 式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差 的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规 律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)． 答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－ 1)
21
析疑难 提能 力
22
类比不当致误. 【典例】 如图所示，在△ABC中，射影定理 可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出 对空间四面体性质的猜想．
23
解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2， S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面 PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现 形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ
人教A版高中数学选修2-2课件2010-04-08合情推理_归纳推理.pptx
陈氏定理 2n p1 p2 p3
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数
猜想：22n 1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
归纳推理的 一般步骤
观察分析
发现规律 大胆猜想
225 1 4294967297 641 6700417
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
你能举出归纳推理 的例子吗?
浙江省地图
每幅地图可以用 四种颜色着色， 使得有共同边界 的相邻区域着上 不同色.
1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时， 发现了四色猜想. 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上， 用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.
推出凸n边形内角和为 (n 2) 180.
3.地球上有生命，火星具有一些与地球类 类比
似的特征，推出火星上也有生命.
推理
演绎4.因为所有人都会死，苏格拉底是人，
推理 所以苏格拉底会死.
——归纳推理
某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所学校 做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下:
2
点依次记作A1, B1,C1,在直线 l2上任取三个点依
次记作A2 , B2 ,C2.连接 A1B2, A2B1,记交点为P;连
接A1C2, A2C1 ,记交点为R;连接B1C2, B2C1,记交点
为Q.你能发现什么规律呢?
A1
B1
C1
l1
PR
Q
A2
B2
C2
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当n 2时,a2 当n 3时,a3
1 1; 11 2
1
2 1 1
1; 3
当n
4时,a4
1
3 1 1
3
1. 4
2
观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒
数.由此猜想,这个数列的通项公式为an
1. n
在例1中,我们通过归纳得到 了关于数列通项公式的一个 猜想 .虽然 猜想是否正确还 有 待 严 格 的 证 明, 但 这 个 猜 想可以为我们的研究提供 一种方向.
2从运算律的角度考虑,加法和乘法都满足交换
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
试将平面上的圆与空间的球进行类比
B
B
P
A
AP
B
B
C
C
A
A
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的
运算性质.
分析 实数的加法和乘法都是由两个数参与运算,
都满足一定的运算律,都存在逆运算,而且"0" "1" 分
别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以
从上述4个方面来类比这两种运算.
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
2 由此推测有
f (2n) n 22(n N )
2
2
2.1.1合情推理（二)
类比推理
在创造发明中， 人们经常应用 类比
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠 业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具： 它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
练一练：
f (n) 1 1 1 1 1 (n N ）计算得到：
234
n
f (2) 3 , f (4) 2, f (8) 5 , f (16) 3, f (32) 7 ,
归纳推理：由部分到整体、由个别到一般 的推理。
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是__2_n__1__.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中
有
个点.
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断.
即1+3+5+……+（2n-1） = n2
例1
已知数列an的第1项a1
1, 且an1
an 1 an
n 1,2, ,试归纳出这个数列的通项公式.
分析 数列的通项公式表示的是数列 an的第n
项an与序号之间的对应关系.为此, 我们先根据已知 的递推公式, 算出数列的前几项.
解 当n 1时,a1 1;
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
例题1：
1=1
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
……
由上述事实能得出怎样 的结论？
解： 猜想：前n个连续正奇数 的和等于n2 .
古时候一个地主有4个儿 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？
小宝
问题情境：
当看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个 判断：天要下雨了。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
球的性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等
与圆心距离不相等的两弦不相 等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面面积相等
与球心距离不相等的两截面面 积不相等,距球心较近的面积较 大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的 圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性 都是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的性质
圆的周长 C 2R
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
类比推理：由特殊到特殊的推理。
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
以点(x0,y0,z0)为球心, 径的球的方程为
r为半
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
练习
(2005年广东)如图（1）有面积关系： SPAB PA • PB SPAB PA • PB
则图（2）有体积关系： VP－ABC PA • PB • PC VP-ABC PA• PB • PC
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).