合情推理──归纳推理
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
2.1.1合情推理
2、类比推理
考察以下事例中的推理： （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸 的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因， 据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的； （2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构 类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着 丰富的石油；
…
----歌德巴赫猜想
归纳推理的一般步骤： 1.通过观察个别情况发现某些相同性质； 2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。 一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的 一般性命题就越可能为真。
(二)活学活用:
例1 用推理的形式表示等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前 n项和Sn的归纳过程。 解：对等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前1，2，3，4， 5，6项和分别进行计算： S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 1=12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1+3+5+7+9= 25 = 52 1+3+5+7+9+11=36=62
, f (9) 9 2 9 41 131 , f (10) 102 10 41 151
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数。 ----------------------------------------------------------------------
灌南高级中学高二年级下学期数学导学案：合情推理--归纳推理
1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。
合情推理-类比推理
０ ０ ８ ８
１ １ ９
９
２ ２ Ａ
10
３ ３ Ｂ
11
４ ４ Ｃ
12
５ ５ Ｄ
13
６ ６ Ｅ
14
７ ７ Ｆ
15
例如用１６进位制表示Ｅ Ｄ＝１Ｂ，则 例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 １６进位制表示 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ） Ａ．６ Ｂ．７２ Ｃ．５ Ｄ．０ Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理是根据实际和实验的结果 是根据实际和实验的结果， 合情推理是根据实际和实验的结果，个 人的经验和直觉、 人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论 定义、定理、公理等）， ），推测出某些结果 （定义、定理、公理等），推测出某些结果 的推理方式。 的推理方式。 合情推理是社会发展与进步的动力；是 合情推理是社会发展与进步的动力； 社会发展与进步的动力 人类文明与智慧的源泉 是我们认识事物 的源泉， 认识事物的 人类文明与智慧的源泉，是我们认识事物的 重要途径，也是学习数学知识 学习数学知识， 重要途径，也是学习数学知识，研究数学问 的重要方法。 题的重要方法。
am + an = a p + aq
等比数列 {an } 中，若 m + n = p + q ，则
am ⋅ an = a p ⋅ aq
4.正三角形内任意一点到三边距离之和 4.正三角形内任意一点到三边距离之和 是一个定值。 是一个定值。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和 是一个定值。 是一个定值。
课时小结 ： 1.类比推理：两类事物 相同或相似特征 类比推理： 类比推理 对比分析 新的相似特征 2.推理过程：把握第一类事物的全面特征 推理过程： 推理过程 对比分析两类事物的相似特征 类比推测出第二类事物的其他特征 有条件时进行验证或证明 3.启发感悟：探究创新 科学分析 合情推理 启发感悟： 启发感悟
合情推理—归纳推理
随着人工智能应用的广泛，归纳推理的可解释性成为了一个重要问题， 未来将有更多研究关注如何提高归纳推理的可解释性。
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合情推理的结论通常是确定 的，而归纳推理的结论通常 是不确定的，因为归纳推理 是基于有限的事例进行的。
04 合情推理的实际应用
商业决策
01
市场需求预测
通过分析历史销售数据和市场趋 势，推断未来市场需求和产品发 展方向。
竞争分析
ห้องสมุดไป่ตู้02
03
风险评估
通过研究竞争对手的产品、价格、 市场占有率等信息，评估自身竞 争优势和劣势。
归纳推理的定义
归纳推理是从个别到一般的推理过程，即从具体事例出发，通过观察、实验和分析，形成一般性的结 论或规律。
归纳推理的结论不是基于前提必然得出的，而是基于大量实例和经验，通过概括和总结得出的。
归纳推理的特点
1
归纳推理的结论是建立在大量实例和经验基础上 的，因此具有或然性，即结论不一定完全准确。
归纳推理在数学和逻辑学中也具有重要地位， 如在数学中的归纳法，逻辑学中的归纳逻辑等。
归纳推理在人工智能领域也得到了广泛应用， 如机器学习和数据挖掘等。
03 合情推理与归纳推理的联 系与区别
联系
都属于推理范畴
合情推理和归纳推理都是推理的两种基本形式，它们都是从已知事实出发，通过一定的逻辑或经验规则推导出未知事 实的思维方式。
合情推理与归纳推理
目 录
• 合情推理概述 • 归纳推理概述 • 合情推理与归纳推理的联系与区别 • 合情推理的实际应用 • 归纳推理的实际应用 • 合情推理与归纳推理的未来发展
01 合情推理概述
合情推理与归纳推理的关系
合情推理与归纳推理的关系合情推理和归纳推理，这俩词听上去可能有点高深，其实说白了就是咱们日常生活中常用的推理方式。
合情推理，顾名思义，就是要结合情理来分析问题。
想想看，咱们遇到麻烦事儿的时候，常常会根据以往的经验来判断，哦，可能是这样的，这种情况一般会这样发展。
这就是合情推理，特别像咱们平常聊天时，感觉到某个人情绪低落，没必要非得问个究竟，心里就知道大概发生了什么。
这种直觉就源自生活中的观察，真的是“见人说人话，见鬼说鬼话”的道理。
再说归纳推理，这个词听起来就像是个文艺范儿的家伙，给人一种复杂的感觉。
其实归纳推理就是把多个个例归结为一个一般性的结论。
比如，假设你在公园里见到五只小狗，每只都热情得不得了，你心里就琢磨着“哦，这个品种的小狗都特别友好！”这就是归纳推理，简单明了。
你从具体的实例出发，慢慢推到一个普遍的结论，像是从点到面，像极了咱们小时候看书，图文并茂的那种，明白了一个就能推导出更多的道理。
合情推理和归纳推理是如影随形的。
就像两位好朋友，一起玩耍，一个负责找乐子，一个负责分析情况。
合情推理在乎的是情感、语境，归纳推理则偏重于逻辑、事实。
咱们生活中每当遇到新情况，都少不了这两种推理的结合。
比如，你去朋友家做客，看到他们家有只猫特别粘人。
你心里不禁琢磨，难道这只猫对我有特别的好感？这就是合情推理。
不过，回头一想，可能是因为他们家平时就养猫，猫对来的人都这样热情，这就是归纳推理了。
而且啊，生活中这两者的关系往往不是那么清晰。
很多时候，你可能是先用合情推理判断，然后再用归纳推理来确认。
比如，看到一位同事在午餐时总是点沙拉，你心想“她一定很注重健康。
”这就合情推理。
但随着时间推移，发现她每天都是这样，你才开始觉得“哦，看来她的饮食习惯就是这样。
”这时你用到了归纳推理，合情和归纳在这里就像是热锅上的蚂蚁，互相作用，密不可分。
咱们说到这里，可能有人会问，这合情推理和归纳推理能在生活中带来什么好处呢？答案当然是非常实用啊！比如在职场上，合情推理可以帮助你了解同事的情绪，促进沟通。
2.1《合情推理-归纳推理》教案(苏教版选修1-2)
苏教版选修1-2（2-2）新课程教学案合情推理—归纳推理●江苏省睢宁县菁华学校（221200） 卢清莲一、学习要求：1、通过生活中的实例和已学过的数学实例，了解推理、归纳推理的含义；2、能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用；3、通过已学知识感受和体会归纳推理的思维方法，进一步培养创新意识.二、互动课堂：（一）自学评价：1、识记：___________________________的思维过程称为推理.解：从一个或几个已知命题得出另一个新的命题.巧记方法：“推出道理”即“推理”.2、识记：根据一类事物的_________具有某种性质，推出这一类事物的_______都具有这种性质的推理叫归纳推理，简称归纳法.解：部分对象，所有对象；巧记方法：由“特殊”到“一般”的推理.3、已知一数列：2，4，8，16，gg g g g g ，则它的通项公式是____________. 解：2()n a n n N =∈.4、已知一数列：3g g g g g g ，则它的通项公式是____________.解：)n a n N =∈.5、归纳推理的一般步骤是：①___________;②___________;③_____________.解：观察、实验；概括、推广；猜想.6、思考：归纳推理的特点是什么？解：简要地说是：①特殊—一般;②猜测的或然性;③创造性.（二）新课引入：意大利数学家斐波那契（L g Fibonacci ）在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对成年兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就长成了成年兔子，如果不发生死亡，那么由一对成年兔子开始，一年后能有多少对成年兔子呢？在学生无法解决的情况下，提出怎样解决这个问题呢？先深入学习本节知识吧！（三）互动探究：1、见本节开头的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？ 解答：共同点：都是由前提与结论两部分组成.不同点：（1）是由特殊到一般的推理；（2）是由特殊到特殊的推理；（3）是由一般到特殊的推理.2、列举几个归纳推理的的例子，并检查当n =6，7，8，9，10，11时本节开头的推理案例中结论的正确性.由此你能得出什么结论？解答：（1）在一次数学测验中，甲、乙同学都考得及格，由此得出其他同学也考得及格；（2）凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此我们猜想：凸n 有1(3)2n n -条对角线；等等 其中（1）的结论不正确，（2）正确.当n =6时，211n n -+=41；当n =7时，211n n -+=53；当n =8时，211n n -+=67；当n =9时，211n n -+=83；当n =10时，211n n -+=101；当n =11时，211n n -+=121；121不是质数，从而得出结论：对于小于11的自然数n ，211n n -+的值都是质数.（四）经典范例：例1、已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）113(1)1144f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1)94936f a a f =--=⋅-=⋅== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168f a a a f =---=⋅-=⋅= 由此猜想，2()2(1)n f n n +=+ 解题回顾：虽然由归纳推理所得的结论未必正确，但它所具有的特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学发现，科学家的发明是十分有用的.（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题（猜想）；是解决上述问题的根据.例2、解答新课引入问题：解：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳.本题提出的问题就需要我们去观察和分析，我们依次给出各个月的成年兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，g g g ，这就是斐波那契数列，此数列中，11a =，你能归纳出，当3n ≥时，n a 的递推关系吗？从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得，从第3项起，它的每一项等于它前面两项之和，即*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈.（五）追踪训练：1、设1111122334(1)n s n n =++++⨯⨯⨯+g g g ，写出1s =_____,2s =_____,3s =_____,4s =_____,归纳推理出n s =______________. 解：12；23；34；45；1n n +. 2、已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（A ）A. 3B. -3C. 6D. -6解：3213a a a =-=，4323a a a =-=-，5436a a a =-=-，6543a a a =-=-，7653a a a =-=，8766a a a =-=，故{}n a 是以6项为一个周期的数列，所以333a a =.3、观察：1(1201)12⨯-⨯=，1(2312)22⨯-⨯=，1(3423)32⨯-⨯=，1(4534)42⨯-⨯=，g g g g g g .你能做出什么猜想？ 解： []1(1)(2)(1)12n n n n n ++-+=+. 三、拓展延伸：通过计算215，225，235，245，g g g ，你能很快算出21995吗？分析：2152251001(11)25==⨯⨯++；2256251002(21)25==⨯⨯++；24520251004(41)25==⨯⨯++；由此，归纳出21995100199(1991)25=⨯⨯++.解题回顾：首先考察得出个位上的数字为5的自然数的平方数的末两们是25，只需要探索其百们以上的数的规律，并归纳，猜想出结论.四、总结回顾：1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理.通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.五、课外练习与检测1、下面的几个推理是归纳推理的是（C ）①教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；②由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是180o ，归纳出所有三角形的内角和都是180o ；③由圆的性质得出球的有关性质.A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③2、平面上有(3)k k ≥条直线，其中1k -条直线互相平行，剩下一条与它们不平行，则这k 条直线将平面分成区域的个数为（C ）.A. kB. k +2C. 2kD. 2k +23、设2222121234(1)n n s n -=-+-++-gg g ，通过计算1s ，2s ，3s ，4s ，g g g 可以猜测n s 等于（D ） A. (1)2n n + B. (1)2n n +- C. (1)(1)2n n n +- D.1(1)(1)2n n n -+- 4、设等差数列{}n a 的公差是d ，那么21a a d =+；3212a a d a d =+=+；4313a a d a d =+=+；g g g g g g由此猜想等差数列的通项公式是n a =________.解：观察d 的系数与序号的关系可得： 1(1)n a a n d =+-.5、设0()sin f x x =，/10()()f x f x =，/21()()f x f x =，g g g ，/1()()n n f x f x +=.n N ∈，则2005()f x =__________________________.解：//10()()sin cos f x f x x x ===；//21()()cos sin f x f x x x ===-；//32()()(sin )cos f x f x x x ==-=-；//43()()(cos )sin f x f x x x==-=；//541()()sin cos ()f x f x x x f x ====；62()()f x f x =，g g g ，44()()n f x f x +=，故可知()n f x 是以4为周期的函数.所在20051()()cos f x f x x ==.6、设2()41f n n n =++，*n N ∈，计算(1)f ，(2)f ，(3)f ，(4)f ，g g g ，(10)f 的值，同时作出归纳推理，并验证猜想是否正确.解：2(1)114143f =++=，2(2)224147f =++=，2(3)334153f =++=，2(4)444161f =++=，2(5)554171f =++=，2(6)664183f =++=，2(7)774197f =++=，2(8)8841113f =++=，2(9)9941131f =++=，2(10)101041151f =++=.因为43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.所以归纳为：当n 取任何非负整数时，2()41f n n n =++都是质数.因为2(40)4040414141f =++=⨯，所以(40)f 是合数.因此上面的归纳是错误的.。
归纳推理合情推理教学课件
以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理
这种前提为真时，结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 对比上面的 1、3 这两个推理，你能发 现它们的相同点和不同点吗？
看下面的例子，试写出一般性结论
1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 一元一次方程有一个根 一元二次方程最多有两个根 一元三次方程最多有三个根
什么是归纳推理？
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出该类事物的所有对象都具有这种性 质的推理, 称为归纳推理(简称归纳). “归纳出了归纳”
汉诺塔问题
如图，有三根针和套在一根针上的若干 金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上。
(1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
生活中经常看到的一些现象
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家， 我们会想到什么？ 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青， 我们又会想到什么？
什么是推理？
推理
根据一个或几个已知的事实（或假设） 来确定一个新的判断的思维方式就叫推 理。 从结构上说，推理一般由前提和结论两 部分构成的。
下面哪些是推理？
归纳推理
合情推理（1）
华罗庚爷爷讲的小故事:
有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明。 他采用如下的方法: 事先准备好两顶白帽 子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让 他们闭上眼睛。老师给他们戴上帽子，并 把剩下的那顶帽子藏起来。最后让学生睁 开眼睛，看着对方的帽子,说出自己所戴帽 子的颜色。 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿， 然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”。 聪明的各位, 想想看, 他们是怎么知道的？
高中数学合情推理与演绎推理
合情推理是从已知的 结论推测未知的结论， 发现与猜想的结论都 要经过进一步严格证 明．
演绎推理是由一般到 特殊的推理，它常用 来证明和推理数学问 题，注意推理过程的 严密性，书写格式的 规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是 高考的热点，归纳、类比推理大多数出现 在填空题中，为中、低档题．演绎推理大 多数出现在解答题中，为中、高档题 目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的 创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落 实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考 体 验
· 明 考 情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α） －sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】 共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命 题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的 前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实 的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的， 但是错误的前提可能导致错误的结论．
合情推理—归纳推理
……
10个不小于6的偶数都等于两个奇质数
之和。 2021/4/9
3
3.归纳推理:由某类事物的部分对象
具有某些特征，推出该类事物的全部
对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理称为
归纳推理。
简之：由部分到整体，由个别到一般
的推理。
4.部分到整体
由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳
§2.1 合情推理与演绎推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子
⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
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⑵张三今天没有来上课。 我们会推断—张三生病啦；
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
出“一切金属都导电”；
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我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮请不起律师的穷人打官司。” （16）我听老李说完这些，沉默了 许久，最后，我发自内心地说了一句：“后生可畏啊！” （17）电话那头老李肯定地重复道：“后生可畏！” （选自《新华文摘》2016年第13期，有删改） （1）文中写到常远的哪些经历？请按顺序补充完整 ﹣﹣﹣被迫备考律师﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣帮助穷人打官司 （2）读文中 划线句子，完成题目 ①简析第一段中划线句子的描写手法及其表达效果 ②第十二段中划线句子为什么说“我”对常远的名字熟悉而又陌生 （3）联系内容分析，常远的哪些品质让“我”和老李觉得“后生可畏”？ （4）小说主人公是常远，作者却以大部分内容写“我”和老李，这样写有什么 好处？ 代谢：12、（1）想当摇滚乐手 继续备考律师 承揽死难矿工索赔 （2）①这个句子运用了神态与动作描写，形象生动地表现出看书备考的常远心不在焉，为下文“我”和老李对年轻人的感慨作铺垫； ②因为在报上看到常远的名字与事迹之前，我对他的爱好及经历已有所了解，所以说“ 熟悉”；但我所知道的常远是一个不务正业，与父母反叛，不愿作律师的青年，现在他不仅当上了律师，还自愿免费为穷苦人打官司，让我惊讶，所以说“陌生”． （3）①他个性鲜明，有主见．父亲让他当律师，而他却根据自己的爱好选择当一名摇滚乐手．②他有社会责任感，勇于担当．他 到青海茫崖矿区演出，了解到矿工生活状况后，就决定回来考律师，为请不起律师的穷人打官司．③他不计名利，有奉献精神．矿难发生，他带领律师团队，义务为矿工打官司． （4）①“我”和老李的对话构成小说的基本框架．先写我们“上辈人”对他的不满，再写对他的佩服，先抑后扬， 波澜起伏，曲折有致．②通过“我”和老李的叙述侧面描写了常远这个有个性、敢于担当的人物形象，真实可信，给人以宽广的想象空间．③通过“我”和老李的态度变化，表现了要正确看待年轻人这一主题． （2017山东枣庄）8．（15分）阅读下面文章，完成下面各题 嘱托 格?鲍姆特 就在 彼得动身前往华沙参加一九五五年世界青年联欢节的前一晚，有人来敲门。原来是一位邻居。他从衣兜里掏出一个红色的小包包，然后摆在桌面上，摊开来。里头是一张相片、一封信和一张字条。 他讲述了有关这个红小包的一段经历﹣﹣ 一九三九年，第二次世界大战爆发后，德国法西斯的第 一个目标就是波兰。这样，大批的波兰人被弄到德国去。那时候，这位邻居正在一家锯木厂当工人，他曾答应帮助一个波兰囚犯实现他的托付。 一天，锯木厂的一个工棚失火了。人们都在交头接耳，心里明白是囚徒们干的好事，他们想用这样的方式把斗争进行下去。一群身穿黑制服的党卫队员 朝工厂一拥而入，带走了许多做苦工的囚犯。 当党卫队员冲进邻居工作的那个车间时，他正与那位囚犯在干活，这位波兰人迅速地从裤兜里摸出一个红色的小包包，塞到德国工人的手里，“老婆和孩子……多替我问候﹣﹣要是战争完蛋了。”他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话，党卫队就 把他带走了，作为对这次纵火的报复。 一九四六年夏天，这位邻居发了一封信给囚犯的太太，她的地址就写在那张纸条上。可是，他并没有得到回音。一年半之后，他又试图再投一信﹣﹣然而，一切依旧是徒劳的。现在好了，终于有了这一天，他可以托人将这个小包包直接带到波兰去。这位邻 居把小红包郑重地递给彼得。 彼得注视着这张相片。相片上是一位妇女，手里抱着一个大约两岁左右的小姑娘。信呢，不言而喻是遇害者留给他家属的最后诀语。在那个小小的纸片上，用大大的字迹写着这样一个地址：“Z和M?尼波耶夫斯卡华沙斯巴索夫斯基大街十八号”。 “一定的，我会去 找她的，并将事情的一切转告她，这件事您完全可以信赖我。”彼得说。 那时候，当这位邻居把这个小红包交给他的时候，彼得觉得一切都很简单：只要去到华沙，把事情一讲，东西一交，不就完了嘛！然而，当彼得后来抵达那条街的时候，十八号的门牌怎样找也找不到。在那块空地上，从前 确实有过十二至二十六号门牌的房子，现在只见一群孩子在空地上踢着足球。在警察所，彼得也得不到一点答复。她们现在究竟住在哪儿呢？这个，彼得反而横下一条心，非找到她们不可了。 来到华沙，彼得有一种难以形容的求知的渴念，他见得越多，什么活动都想参加一下的要求就更大。 大约在联欢节开始后一个星期，他的朋友们建议他去与一些波兰小伙子和姑娘相会一下。开头他想不太好吧，但朋友们干脆连拉带扯地把他推拥走了。跳舞的时候，每个人都得找个舞伴，这时在彼得而前就站着一位姑娘，她羞赧地望着他，并且邀请他跳舞。就这样，德国、波兰的小伙子和姑娘 们相聚在一起。他们尽力地用手势比划着交谈，大伙笑着，欢快地跳着。 自这个晚上邂逅相遇后，彼得与玛留莎每天都要相会。 世界青年联欢节的最后一天终于到来了，整个华沙城都陷入一片欢腾之中，在大广场上，阿拉伯青年与瑞典青年，中国青年与黑人青年，伊朗青年与德国青年都在纵 情地载歌载舞地狂欢，然后他们慢慢地拥向火车站。 彼得伴随玛留莎在火车站站台上来来回回地溜达，广播员用广播催促大家赶快上车，彼得才恋恋不舍地攀上了车厢，将身子从车窗里探出来。他们相互凝视着，一时无言以对。 “地址，”玛留莎突然想起来，她的喊声就象呼救那样。 彼得摸 出笔记本，撕下一页，将他的地址记在上面。这时，他一下子才想起了那个小红包，于是赶忙把它掏出来。 “玛留莎，请帮助找一找，”他说，然后把这个小红包按在她的手心上。 “打开看看！”他大声说，他见她一时还未领悟他的意思。 她打开这个小红包，念起来了。火车慢慢地挪动了。 玛留莎脚下象是生了根似的，粘住了。她几乎要被那些跟着火车而跑的人撞倒。“玛留莎，”彼得喊了她一声。玛留莎抬起头来一望，开始随火车跑起来，接着她停下脚来，摆着手，手里的那块红包纸就象一方告别的红头巾。彼得还在望着她，一时间留给他最深的印象是，她整个脸庞都叫泪水 湿透了。 “为什么她哭得这样厉害？”彼得思忖着，这时他已缩在一个角落里。“我将给她写信，”他�
高考数学合情推理与演绎推理
推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般推理。
归纳推理一般步骤：•通过观察个别情况发现某些一样性质•从一样性质中推出一个明确表述一般命题〔猜测〕•证明2、类比推理由两个〔两类〕对象之间在某些方面相似或一样，推演出他们在其他方面也相似或一样；或其中一类对象某些特征，推出另一类对象也具有这些特征推理称为类比推理〔简称类比〕．类比推理是由特殊到特殊推理．类比推理一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述相似特征；•用一类对象特征去推测另一类对象特征，从而得出一个猜测；•检验猜测。
3、演绎推理从一般性原理出发，推出某个特殊情况下结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊推理；“三段论〞是演绎推理一般模式，包括•大前提---一般原理；•小前提---所研究特殊情况；•结论-----据一般原理，对特殊情况做出判断．题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察以下等式，猜测出一个一般性结论，并证明结论真假。
解析：猜测：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边 注；注意观察四个式子共同特征或规律〔1〕构造一致性,〔2〕观察角“共性〞〔1〕先猜后证是一种常见题型〔2〕归纳推理一些常见形式：一是“具有共同特征型〞，二是“递推型〞，三是“循环型〞〔周期性〕题型二 用类比推理猜测新命题例2：正三角形内切圆半径是高13，把这个结论推广到空间正四面体，类似结论是______.解析：原问题解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体内切球半径是高41 注：〔1〕不仅要注意形式类比，还要注意方法类比〔2〕类比推理常见情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间类比等〔3〕在平面与空间类比中，三角形对应三棱锥〔即四面体〕，长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
2.1.1合情推理(二)
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4、在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
圆
球
弦 截面圆 . . 大圆 直径 周长 表面积 面积 体积 探究：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说 明推理的过程。 6
利用圆的性质类比得出求的性质
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称 鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
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类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
19
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
20
小结
3
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
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火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
则四面体的内切球半径 R ________________ .
《合情推理——归纳推理》教学设计
《合情推理——归纳推理》教学设计发表时间：2011-07-01T11:35:36.680Z 来源：《学园》2011年5月第9期供稿作者：刘红霞[导读] 设计意图：我想借助学生所举的例子进行变题，学生完成归纳，让学生感知：特殊→一般。
刘红霞江苏省靖江高级中学合情推理——归纳推理是数学选修2－2（苏教版）第二章第一节的内容，笔者设计的教学过程共分为以下四个环节：一创设情境，提出问题情境1：从一个盒子里摸出来的第一只是白粉笔，第二只是白粉笔，甚至第三只、第四只、第五只都是白粉笔的时候。
我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是白粉笔？” 情境2：再来看几组类似的例子例1：蛇是用肺呼吸的、鳄鱼是用肺呼吸的、海龟是用肺呼吸的、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，从而我们猜想：爬行动物都是用肺呼吸的。
例2：三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°，凸五边形的内角和是540°，从而我们猜想：所有的凸几边形的内角和是（n－2）×180°。
例4：金属能导电，铜是金属，从而我们猜想铜能导电。
问题1：你认为什么是推理？问题2：观察例1、例2、例4这三个推理在结构上有什么共同点？设计意图：首先我利用可操作性，再现课本中，华罗庚的实验，再利用这样几个学生熟悉的例子，在教学过程中让学生经历数学化、自己构建数学推理和归纳推理的概念，并体会归纳推理的特点：部分到整体、特殊到一般、感性到理性，即体现归纳推理的思维过程。
二小组讨论，合作交流四人一组，小组讨论。
设计意图：这部分主要是先让学生自己举生活中和学科的例子，初步体会归纳推理的基本流程。
三具体应用，解决问题我设计了四部分，基础练习→提高练习→巩固练习→思维拓展，由浅入深，螺旋上升。
1．基础练习设计意图：我想借助学生所举的例子进行变题，学生完成归纳，让学生感知：特殊→一般。
2．提高练习我想让学生在有趣的活动中学习推理，进而总结归纳推理的步骤，所以我设计了这样两个游戏题。
合情推理归纳推理
多角度思考问题
变换思考角度
尝试从不同的角度、立场或背景出发思考问 题，打破思维定势，发现新的思路和方法。
对比分析
对相似或不同的事物进行对比分析，找出它 们之间的异同点、联系和规律，为合情推理
和归纳推理提供依据。
不断练习和总结
要点一
大量练习
通过大量的练习，逐渐掌握合情推理和归纳推理的技巧和 方法，提高推理的准确性和效率。
Байду номын сангаас
要点二
及时总结
在练习过程中及时总结经验教训，发现自身的不足和问题 ，不断改进和提高。同时，将学到的知识和方法应用到实 际生活和工作中，不断检验和完善自己的推理能力。
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如果在被研究现象出现的两个或两个 以上的场合中，只有一个情况是共同 的，那么这个共同情况就与被研究的 现象之间有因果联系。
如果在被研究现象出现和不出现的两 个场合中，只有一个情况不同，其他 情况完全相同，而且这个唯一不同的 情况在被研究现象出现的场合中存在 ，在被研究现象不出现的场合中不存 在，那么这个唯一不同的情况就与被 研究现象之间有因果联系。
经验验证原则
推理的结论应该能够通过经验验证，符合实际情 况和常识。
合情推理的常用方法
1 2
归纳推理
从个别性知识推出一般性结论的推理方法，包括 简单枚举归纳、科学归纳和类比归纳等。
演绎推理
从一般性原理出发，通过逻辑推理得出特殊情况 下的结论，包括三段论、假言推理和选言推理等。
3
类比推理
根据两个或两类对象在某些属性上的相似，推断 它们在其他属性上也可能相似的一种推理方法。
如果被研究现象发生变化时，只有一 个情况也发生变化，那么这个情况就 与被研究现象之间有因果联系。
高考作文写作指导：合情推理——类比归纳论证(附：范文及点评)
高考作文写作指导：合情推理——类比归纳论证（附：范文及点评）议论文运用逻辑思维来思考、判断、推理，逻辑推理包括演绎推理与合情推理。
（一）演绎推理所谓“演绎推理”就是从一般性、普遍性的结论出发，经过严密的逻辑论证，得到一个特殊的个体性结论，也就是说，演绎推理是从一般到特殊的推理。
《师说》（唐朝韩愈）中的一段话，连用了两个演绎推理（两个三段论）人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。
生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。
吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。
第一个三段论：大前提：人人有惑（“人非生而知之者，孰能无惑”）小前提：有惑要从师学习（“惑而不从师，其为惑也，终不解矣”）。
结论：我们要从师学习以解惑（“道之所存，师之所存也”）。
第二个三段论：大前提：我们要从师学习以解惑（第一个三段论的结论）小前提：无论是年龄比我们大的还是比我们小的，他们都有可能懂得一些我们还不懂又值得我学习的道理（“生乎吾前，其闻道也固先乎吾”“生乎吾后，其闻道也亦先乎吾”“吾师道也”）。
结论：我们既要向年龄比我们大的人学习道理，也要向年龄比我们小的人学习道理（“……吾从而师之……吾从而师之”“夫庸知其年之先后生于吾乎”）如：下面是历史学家顾颉刚《怀疑与学问》一文的片段，它的论证结构运用的也是“三段论”演绎推理。
“学者先要会疑。
”——程颐“在可疑而不疑者，不曾学；学则须疑”——张载学问的基础是事实和根据。
事实和根据的来源有两种：一种是自己亲眼看见的，一种是听别人传说的。
譬如在国难危急的时候，各地一定有许多口头的消息，说得如何凶险，那便是别人的传说不一定可靠；要知道实际的情形，只有靠自己亲自去视察。
做学问也是一样，最要紧最可靠的材料是自己亲见的事实根据；但这种证据有时候不能亲自看到，便只能靠别人的传说了。
我们对于传说的话，不论信不信，都应当经过一番思考，不应当随随便便就信了。
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《合情推理─归纳推理》的评课朱辉华师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。
所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。
虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。
现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。
师：视频中显示的主人公是谁呀？生：曹操！师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？生：诸葛亮！师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，……老师和学生一起进一步分析，得到：⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭(1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。
象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。
教师下面介绍了“推理”的概念。
并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。
思考1：试根据以下前提进行猜想。
①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。
③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。
④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。
师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。
生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。
即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
这里面哪些是关键词？生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。
师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。
这种推理在生活及学习中极为常见。
大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。
师：实际上，在近代有得多著名科学猜想。
如费马大、小定理、费马素数猜想、黎曼猜想、四色定理以及角俗猜想等等都与归纳推理有着千丝万缕的关系。
我们不妨看一下下面的“哥德巴赫猜想”。
对于等式：3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30，…，哥德巴赫经过观察没有得到有用的结果，后经过“局部整容”，即改变数学结构的呈现方式：10＝3＋7,20＝3＋17,30＝13＋17，…，他发现这些偶数能拆成两个奇质数之和。
通过更多特例的检验，从6开始，没有出现反例，于是他就大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和，即可以表示成122n p p =+*(,n N n ∈≥3)，这个猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。
是“明珠”，大家都想要，我国数学家王元、陈景润等都在此问题上作出了杰出的成绩，其中后者更最接近“明 珠”的结论，即122n p p =+。
在学生对此猜想进行若干尝试之后，教师结合相应软件对猜想进行了实例展析。
师：我们从“哥德巴赫猜想”的产生与尝试解决的历程，可以学到什么？生：首先应大胆猜想；其次是在必要时应改变数学结构的呈现形式。
生：还有，在学习过程中应抓住机遇并反复尝试，才能对事物的内部规律有所发现。
师：很漂亮！另外，哥德巴赫猜想是否正确？（学生表示未加以完全证明之前，不能说其是正确的）那就说明通过归纳推理得到的结论是……生：可能是正确的，也可能是不正确的！师：哥德巴赫猜想、四色定理、牛顿发现万有引力以及门捷列夫发现元素周期律等等充分说明应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论！用一个成语表示，就是“一叶知秋”，即通过一些具体的、有限的事例能够推知一般的规律。
下面的同学发会心的微笑。
师：下面请同学们运用刚才所学的知识解决如下题组一的有关问题。
①对于数列1,3,5,7,,L 由此你猜想出第n 个数是_________________。
②观察图，可以发现一般性结论：_________________。
21342+==，213593++==，21357164+++==，213579255++++==③对任意的正整数n ，猜想12n -与2(1)n +的大小关系。
学生对于前面两个小题的解决不成问题，而有相当多的同学对于最后一个问题却产生了错误，即认为：对于*n N ∈，总有122(1)n n -<+。
针对这种情况，教师先与同学们一起进行验证，结果同学们终于发现上面的结论存在着问题。
教师随之利用几何画板软件对这两种函数的图像进行了比较，得到了正确的结论。
师：我们也可以在数学史上找到一些利用归纳推理而导致错误的例子，如著名的费马素数猜想。
于是，教师向同学们介绍了费马素数猜想的起源与解决过程以及希尔伯特的“23个问题”等猜想对数学发展的重大促进作用。
并与同学们一起总结了归纳推理的基本过程与若干特点。
师：虽然归纳推理具有从特殊到一般以及创造性的特点，但由于其还具有或然性的特点，所以著名的数学教育家波利亚先生说过：“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的”。
那么现在有一个重大的问题：既然归纳推理有这样的“先天不足”，那么我们还有必要经常使用它来分析问题，甚至于解决问题吗？生：我认为有必要，因为虽然它有缺点，但也具有鲜明的特点，即具有创造性，我们能够运用它发现出一些对我们有用的、隐藏于内部的规律！这时候，另有同学插嘴说：“人都有缺点，何况是一种数学推理方法呢！我人；较要忍受它的缺点，发扬它的优点！”同学们发出一阵欢笑。
师：由于归纳推理的结果是带有或然性的，我们可以用一句著名的广告语，即…… 生：（异口同声）一切皆有可能！然后教师让同学们独立思考、分析题组二（这里略去），强调数列通项公式的猜想应注意各项之间的共同特征以及项与序号n 之间的关系；再师生结合几何画板软件讨论、分析了有关吴文俊教授与“机器证明”的有关史实。
师：以前我们大多数同学都接触过“河内塔游戏”，现在请大家阅读之后，思考一下怎样通过归纳推理来分析这一问题。
（“河内塔”问题在此略去，详见人教版选修1－229P 页）同学们比较熟练地分别解决了1至3个金属片的移动次数问题。
师：我们不但应进行数值上的归纳，而且也应该进行数学方法上的归纳。
那现在我们分别考虑一下2个金属片移动与1个金属片移动、3个金属片移动与2个金属片移动之间存在着何种联系？结合游戏软件让同学们动手操作，在解决了4个金属片移动的问题后，通过教师的引导，同学们归纳出：移动n 个金属片的任务，可以转化成移动两次(1)n -个金属片和移动一次第n 个金属片的任务，即121n n a a -=+，并且归纳得出21n n a =-。
师：这个结论是我们猜想的结果，是不是正确的？能不能通过上面的分析过程加以证明呢？生：可以通过递推公式11121nn a a a -=⎧⎨=+⎩加以证明。
教师与同学们不约而同地鼓起掌来，然后大家对这个游戏的操作与推理过程进行了数学思想方法层面上的总结，强调了转化与归纳思想在数学中的应用。
最后，师生对这节课内容进行了相应地梳理，教师布置作业也正好下课了。
对这节新授课教学的若干分析1．本案例从教学设计上看，案例构思合乎新课程理念，颇具匠心新课标指出：“教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认识水平”。
正是基于这种理念，并考虑到数学推理在日常生活、军事政治等方面的广泛应用，本节课采用了同学们耳熟能详的《三国演义》中“草船借箭”视频，并且精心选取、合成了能反映人物心理变化与战场实景的片断。
这种素材不仅紧扣本节课的主题，引出了“推理”的数学概念，而且极大的调动了学生的注意力与积极性，取得了良好的效果。
其次，由于“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理”，所以在本节课的授课过程中，教师“因地制宜”地、非常贴切地利用“局部整容”、“一叶知秋”以及“一切皆有可能”等比喻来展示所对应的数学的特征或其形式的变化特点。
这种设计使得原本让人感觉生涩、抽象的数学变得较为浅显易懂，并且在形式上呈现出幽默风趣、言简意赅的物色，使“数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”，这从现场学生的反应情况以及笔者课后的调查情况中得到了充分映证。
另外，“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”。
显而易见，本节课不仅在具体内容上把哥德巴赫猜想、费马素数猜想以及“河内塔游戏”等数学文化蕴含其中，而且还涉及到四色定理、机器证明以及著名的“23个数学问题”等数学文化。
通过这些内容的学习和“洗礼”，使学生了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；养成求知、求实、大胆猜想以及勇于探索的情感和态度。
最后，新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
……使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。
在本节课的授课过程中，不仅在归纳推理举例时让学生们积极参与，而且在解决问题遇到困难时，两次让学生自身通过几何画板软件演示从而突破难点。
而在“河内塔游戏“的解决过程中充分调动学生的积极性，利用游戏软件让师生、生生互动，不但在金属片的移动次数的数值上进行规律上的归纳，而且还在教师n 个金属片的移动过程的关系。
从而达到数的协助下，归纳出n个金属片的移动过程与1学思想方法认识上的飞跃，使学生实现了主动建构数学知识之目的。
2．本案例从整体上来看，还存在着几点尚待探讨的困惑首先，从本节课的整体效果以及听课师生的课后反应来看，大都持肯定态度。
但是笔者发现此节课有超过一半时间以上的授课、讨论等内容与数学无关或者说只是存在表面形式上的关系，由于“推理”这一部分内容与生活或者其它学科存在着密切的关系，所以师生讨论的范围并不囿于数学学科的范畴，这也无可置疑，但在另一方面也产生无法预料的副作用，即数学味不浓，有“去数学化”之嫌。
例如一学生举出化学中酸与碱反应这一方面的例子，导致教师的反应明显迟钝，只好采取淡化的方法，阻断了学生再向物理、生物等学科方面联想的念头。
笔者显然对授课教师做出这种选择持肯定态度。