合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理目标要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．考查角度[合情推理]1．(2014·课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．解：由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙没去过C 城市，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.【答案】 A2．(2013·陕西高考)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．【答案】 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.【答案】 1 000[命题规律预测]考向一 归纳推理【例1】 (2014·陕西高考)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________．由f n ＋1(x )＝f (f n (x ))分别求出f 2(x )，f 3(x )，然后观察f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )中等式的分子与分母系数间的关系，猜想f 2 014(x )的表达式．解：f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x. 【答案】 f 2 014(x )＝x 1＋2 014x常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．[对点练习]如图11-2-1所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动，在第一秒钟内它由原点运动到点(0,1)，然后按图中所示在与x轴、y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是()图11-2-1A．(44,25)B．(45,25)C．(25,45) D．(24,44)【解析】质点到达点(1,1)处，走过的单位长度是2，接下来质点运动的方向与y轴方向相反；质点到达点(2,2)处，走过的单位长度是6＝2＋4，接下来质点运动的方向与x轴方向相反；质点到达点(3,3)处，走过的单位长度是12＝2＋4＋6，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反；质点到达点(4,4)处，走过的单位长度是20＝2＋4＋6＋8，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；……猜想：质点到达点(n ，n )处，走过的单位长度是2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)，且n 为偶数时，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；n 为奇数时，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反．所以2 000秒后是指该质点到达点(44,44)后，继续移动了20个单位，由图中规律可得该质点沿与x 轴相反的方向前进了20个单位，即该质点所处位置的坐标是(24,44)．【答案】 D考向二 类比推理【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.(2)(2014·南昌模拟)在平面上，若两个正三角形的边长为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．(1)类比等差和等比数列的性质求解；(2)类比平面图形与空间图形的内在联系求解．解：法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －am n －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m 可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m d c ，所以b m ＋n ＝b m q n ＝c ·n －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m .法二：设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，在等差数列中，a n ＝a 1＋(n －1)d 1，在等比数列中，b n ＝b 1q n －1，因为a m ＋n ＝nb －ma n －m，所以b m ＋n ＝n －m d n c m . (2)∵两个正三角形是相似三角形，∴它们的面积比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.【答案】 (1)n －m d nc m (2)1∶8类比推理的分类及处理方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．[对点练习]在平面上，设h a、h b、h c是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a，P b，P c，我们可以得到结论：P ah a＋P bh b＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．解：设h a，h b，h c，h d分别是三棱锥A—BCD四个面上的高，P 为三棱锥A—BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为P a，P b，P c，P d.于是我们可以得到结论：P ah a ＋P bh b＋P ch c＋P dh d＝1.【答案】P ah a＋P bh b＋P ch c＋P dh d＝1考向三演绎推理【例3】数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n＋2 nS n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .按照“三段论”的模式给予求解．证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n (小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)．(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)演绎推理的结构特点：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[对点练习]如图11-2-2所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD ＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．图11-2-2证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎬⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . 【例】 (2014·临沂模拟)如图11-2-3所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015等于( )图11-2-3A ．1 005B ．1 006C ．1 007D ．2 015解：观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.此处在求解时常因找不出a4n－3与a4n－1的关系，导致结论错误．又2 013＝4×504－3,2 015＝4×504－1，∴a2 013＝504，a2 015＝－504，a2 014＝1 007，∴a2 013＋a2 014＋a2 015＝1007.【答案】 C(1)正确书写数列{a n}的前n项，为归纳探索项与项间的关系作出铺垫．(2)仔细观察数列{a n}中各项的特征，明确“a2n＝n，a4n－3＋a4n－1＝0”是解题的关键所在．[对点练习](2014·荆州模拟)如图11-2-4是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依次类推，则(1)按网络运作顺序第n行第1个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…)是________；(2)第63行从左至右的第3个数字应是________．图11-2-4解：设第n 行的第1个数字构成数列{a n }，则a n ＋1－a n ＝n ，且a 1＝1，∴a n ＝n 2－n ＋22，而偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1 954，从左至右的第3个数字是从右至左的第61个数字，从而所求数字为1 954＋60＝2 014.【答案】 n 2－n ＋222 014 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)，由此归纳出{a n }的通项公式解：A、D是归纳推理，B是类比推理；C运用了“三段论”是演绎推理．【答案】 C2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．【答案】 D3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解：∵f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，∴上述推理过程中小前提不正确．【答案】 C4．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”猜想关于球的相应命题为()A ．半径为R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为2R 2B ．半径为R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为3R 3C ．半径为R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为43R 39D ．半径为R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为83R 39解：正方形类比到空间的正方体，即半径为R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，此时正方体的棱长a ＝2R 3，故其体积是⎝ ⎛⎭⎪⎫2R 33＝83R 39.故选D. 【答案】 D合情推理与演绎推理练习一、选择题1．如图11-2-5是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )图11-2-5解：该五角星对角上的两盏花灯依次按顺时针方向亮两盏，故下一个呈现出来的图形是A.【答案】 A2．数列2,5,11,20,32，x，…中的x等于()A．28B．32C．33D．47解：由数与数间的关系，我们发现相邻两数间依次相差“3,6,9,12,15，…”．故x＝32＋15＝47.【答案】 D3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解：由前四个等式我们发现第n个等式左边共有2n－1项，故为n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.【答案】 B4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1]()A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2解：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)【答案】 A5．(2014·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋p x n ≥n ＋1，取值p 等于( ) A ．n n B ．n 2 C ．n D ．n ＋1解：∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p 位置出现的数恰好是不等式左边分母x n 的指数n 的指数次方，即p ＝n n .【答案】 A6．(2014·长春模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.【答案】 B二、填空题7．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解：观察分析、归纳推理．观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.【答案】F＋V－E＝28．(2014·安徽高考)如图11-2-6，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C 的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.图11-2-6解：根据题意易得a1＝2，a2＝2，a3＝1，的等比数列，∴{a n}构成以a1＝2，q＝22∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 【答案】 149．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.【答案】 8πr 3三、解答题10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34. (2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.11．(2014·阜阳模拟)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2.。