合情推理和演绎推理训练
培养初中学生的合情推理与演绎推理

培养初中学生的合情推理与演绎推理经过观察、猜想、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想得推理。
我们把它们统称为合情推理。
合情推理是指“合乎情理”的推理。
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理也称为逻辑推理。
“三段论”是演绎推理的一般形式,包括:大前提——已知的一般原理;小前提,所研究的特殊情况;结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断。
合情推理和演绎推理的区别有(1)合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理过程,演绎推理是由一般到特殊的推理过程。
(2)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确有待证明;演绎推理的结论是正确的。
(3)数学结论、证明思路的发展主要靠合情推理;演绎推理是证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程。
在解决问题过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路;演绎推理有利于证明结论的正确性。
合情推理与演绎推理的联系有(1)合情推理是根据已有的知识和经验在某种情景和过程中推出可能性的结论的推理。
演绎推理过程中包含合情推理,二者是相辅相承的。
(2)新课程《标准》要求合情推理和演绎推理并举,避免只有演绎推理得出结论,初中几何中已经体现这一点。
学生之间因为学习基础和学习能力存在一定的差异性,初中阶段学生的思维能力是从形象思维向抽象思维过渡的一个时期,所以培养学生合情推理与演绎推理的过程是一个有难度、综合、长期的过程。
1、教师要严格遵守逻辑规律,正确运用思维形式,作出示范,潜移默化地影响学生;2、几何离不开图,在教学中要引导学生学会识别图、画图、分析图形,正确的把图形认识清楚,从图形中找条件和结论,从而解决实际问题。
3、坚持启发式教学,坚持教育的循序渐进的原则。
4、将合情推理与简单演绎推理相结合,培养学生经过直观的操作、观察、归纳等方法获得一些结论,并更多地注重学生推理意识和对推理过程的理解,以及有条理的将推理过程进行口头语言的表达,最后运用几何语言的形式写出证明的过程。
合情推理与演绎推理 课时训练

合情推理与演绎推理基础热身1.[优质试题·鹰潭一模]用“三段论”推理:任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a 的绝对值大于0.你认为这个推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体( )A.各正三角形内的点B.各正三角形的中心C.各正三角形某高线上的点D.各正三角形各边的中点3.观察图K37-1中各正方形图案,则所有圆点总和S n与n的关系式为( )图K37-1A.S n=2n2-2nB.S n=2n2C.S n=4n2-3nD.S n=2n2+2n4.[优质试题·兰州模拟]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,….由以上式子可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=.5.[优质试题·烟台二模]在正项等差数列中有=成立,则在正项等比数列中,类似的结论为.能力提升6.[优质试题·郑州一中调研]“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.优质试题年是“干支纪年法”中的丙申年,那么优质试题年是“干支纪年法”中的( )A.丁酉年B.戊未年C.乙未年D.丁未年7.下面说法正确的是( )①数列{a n}的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式为a n=n;②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理;③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适;④“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.A.①②B.②③C.③④D.②④8.[优质试题·临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学联考]已知[x]表示不大于x的最大整数,设函数f(x)=log2,得到下列结论:结论1:当2<x<3时,f=-1.结论2:当4<x<5时,f=1.结论3:当6<x<7时,f=3.……照此规律,结论6为.9.如图K37-2甲所示,在直角三角形ABC中,AC⊥AB,AD⊥BC,D是垂足,则有AB2=BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥A - BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O 在△BCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有.图K37-2难点突破10.(5分)[优质试题·郑州、平顶山、濮阳二模]设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'(0)(x),f(2)(x)=f'(1)(x),…,f(n)(x)=f'(n-1)(x),则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(优质试(15°)的值是( )题)A. B.-C.0D.111.(5分)[优质试题·江南十校二模]某地突发地震后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.(1)甲轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向.有下列判断:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.课时作业(三十七)1.A[解析]实数0的绝对值等于0,不大于0,大前提错误.2.B[解析]将三角形的边类比为四面体的面,因此三边的中点类比成各正三角形的中心,故选B.3.A[解析]观察各个正方形图案可知其圆点的个数依次为4,8,12,16,…,所以各图案中圆点的个数构成一个首项为4,公差为4的等差数列,因此S n=(n-1)×4+--×4=2n2-2n,故选A.4.n2[解析]第1个式子和为1,第2个式子和为4,第3个式子和为9,第4个式子和为16,故第n个式子和为n2.5.=[解析]结合等差数列和等比数列的性质,类比题中的结论可得,在正项等比数列中,类似的结论为=.6.A[解析]由题意有,优质试题年是丙申年,则优质试题年是丁酉年,故选A.7.D[解析]所给条件无法确定整个数列满足a n=n,①错误;由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,是合情推理,②正确;类比时,平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适,③错误;所给命题满足三段论推理,但其结论确实错误,④正确.故选D.8.当12<x<13时,f(x)max=9[解析]结论1:当2<x<3时,f(x)max=-1=2×1-3.结论2:当4<x<5时,f(x)max=1=2×2-3.结论3:当6<x<7时,f(x)max=3=2×3-3.根据规律,可以归纳得出,结论6:当12<x<13 时,f(x)max=2×6-3=9.故答案为:当12<x<13 时,f(x)max=9.9.=S△BCO·S△BCD[解析]从题中条件不难发现:图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC,图甲中的AD⊥BC对应图乙中的AO⊥平面BCD,因此在类比的结论中,图甲中的边AB对应图乙中的△ABC,图甲中的BC对应图乙中的△BCD,图甲中的BD对应图乙中的△BOC.故有=S△BCO·S△BCD.10.A[解析]由题设可得f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,显然f(n)(x)=f(n+4)(x).又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=0,且优质试题=504×4+1,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(优质试题)= f(1)(15°)=cos 15°=,故选A.11.①③[解析]由题设得,丁所在方向是A方向,如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向,故丙所在方向是D方向,从而乙所在方向是C方向,甲所在方向是B方向,故①③正确.。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2

合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1.(1)观察圆周上n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,你由此可以归纳出什么规律?变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数,则)4(f =____________;当4>n 时,=)(n f .(用n 表示)变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是 .2.由107>85,119>108,2513>219,…若a >b >0,m >0,则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 (填序号).①A ,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理(一)数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中,若010=a ,则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{}n b 中,若19=b ,则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
2、合情推理与演绎推理 教师版

个性化教学辅导教案——进门测评分_____(老师根据学生情况放题,可放学生上次错题)1、判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角和是180°×(4-2),…,所以n边形的内角和是180°×(n-2),使用的是类比推理.()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)归纳推理是由个别到一般的推理.()【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征,应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√2、类比a(b+c)=ab+ac,则下列结论正确的是()A.log a(x+y)=log a x+log a yB.sin(x+y)=sin x+sin yC.a x+y=a x+a yD.a·(b+c)=a·b+a·c【解析】由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时,才能用类比推理,而A、B、C中的两对象没有相似特征,故不适合应用类比推理.【答案】 D3、判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式.()(2)演绎推理的结论是一定正确的.()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()【解析】(1)正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提、小前提和结论.(2)错误.在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下,其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.【答案】(1)√(2)×(3)×合情推理归纳推理1.归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.(2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理和合情推理1.类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征数、式中的归纳推理2(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[变式训练](1)(陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ,V ,E 所满足的等式是________. (2)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …按照以上排列的规律,则第n(n≥3)行从左向右数第3个数为________.解析:(1)观察表中数据,并计算F +V 分别为11,12,14,又其对应E 分别为9,10,12, 容易观察并猜想F +V -E =2.(2)前(n -1)行共有正整数[1+2+…+(n -1)]个,即n2-n2个,因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎫n2-n 2+3个,即为n2-n +62. 答案:(1)F +V -E =2 (2)n2-n +62图形中的归纳推理[例2] (1)有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A .26B .31C .32D .36(2)把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图),则第七个三角形数是________.[解析](1)法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6+5×(6-1)=31.故选B.(2)第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+7=28.答案:(1)B(2)28[类题通法]解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:(1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系.(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化.[变式训练]某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形图.n级分形图中共有________条线段.解析:分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3=(3×2-3)条线段,二级分形图有9=(3×22-3)条线段,类比推理解:如图所示,在四面体P-ABC 中,S1,S2,S3,S 分别表示△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC 的面积,α,β,γ依次表示面PAB ,面PBC ,面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S =S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.型四:从平面到空间的类比[典例] 三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,并填写下表:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心[解] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面.三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.具体见下表:三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的14,且平行于第四个面 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心演绎推理把演绎推理写成三段论的形式三段论在证明几何问题中的应用演绎推理在代数中的应用[例3]已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1),求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.[证明]如果在(-1,+∞)上f′(x)>0,那么函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数,(大前提)∵a>1,∴f′(x)=axln a+3+>0,(小前提)∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(结论)[类题通法]使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.(2)证明中常见的错误:①条件分析错误(小前提错).②定理引入和应用错误(大前提错).③推理过程错误等.[变式训练]已知a,b,m均为正实数,b<a,用三段论形式证明ba<b+ma+m.证明:因为不等式两边同乘一个正数,不等号不改变方向,(大前提) b<a,m>0,(小前提)所以,mb<ma.(结论)因为不等式两边同加上一个数,不等号不改变方向,(大前提)mb<ma,(小前提)所以,mb+ab<ma+ab,即b(a+m)<a(b+m).(结论)因为不等式两边同除以一个正数,不等号不改变方向,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以,++m<++,即ba<b+ma+m.(结论)易错题:混淆三段论的大小前提而致误[典例]定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数.证明:令x=y=0,则有f(0)+f(0)=2f(0)×f(0).又因为f(0)≠0,所以f(0)=1.令x=0,则有f(-y)+f(y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),因此,f(x)是偶函数.以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的三段论,其中大前提是:________________________________________________________________________.[解析]通过两次赋值先求得“f(0)=1”,再证得“f(-y)=f(y)”,从而得到结论“f(x)是偶函数”.所以这个三段论推理的小前提是“f(-y)=f(y)”,结论是“f(x)是偶函数”,显然大前提是“若对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数”.[答案]若对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数[易错防范]解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式:大前提——小前提——结论,其中大前提是一个一般性的命题,即证明这个具体问题的理论依据.因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案.本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误.[成功破障]所有眼睛近视的人都是聪明人,我近视得很厉害,所以我是聪明人.下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________.①我是个笨人,因为所有的聪明人都是近视眼,而我的视力那么好.②所有的猪都有四条腿,但这种动物有八条腿,所以它不是猪.③小陈十分高兴,所以小陈一定长得很胖,因为高兴的人都长得很胖.④所有尖嘴的鸟都是鸡,这种总在树上待着的鸟是尖嘴的,因此这种鸟是鸡.解析:根据④中的推理可得:这种总在树上待着的鸟是鸡,这显然是错误的.①②③不符合三段论的形式.答案:④1.下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bnD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c答案:D2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为( )A .a1a2a3…a9=29B .a1+a2+…+a9=29C .a1a2…a9=2×9D .a1+a2+…+a9=2×9解析:选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有a1+a2+…+a9=2+2+…+29个=2×9. 3.观察式子: 1+122<32, 1+122+132<53, 1+122+132+142<74,…, 则可归纳出第n -1个式子为( ) A .1+122+132+…+1n2<12n -1B .1+122+132+…+1n2<12n +1C .1+122+132+…+1n2<2n -1nD .1+122+132+…+1n2<2n2n +1解析:选C 观察可得第n -1个式子为:不等式的左边为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1i2的前n 项的和,右边为分式2n -1n.4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A .289B .1 024an=1+2+3+…+n=+.解析:大前提:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形. 小前提:△ABC 的三边长依次为3,4,5,满足32+42=52.结论:△ABC 是直角三角形. 答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8.若不等式ax2+2ax +2<0的解集为空集,则实数a 的取值范围为________. 解析:①a =0时,有2<0,显然此不等式解集为∅.②a≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,4a2-8a≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0,0≤a≤2,所以0<a≤2.综上可知,实数a 的取值范围是[0,2]. 答案:[0,2]9.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是正方形,E ,F ,G 分别是棱B1B ,D1D ,DA 的中点.求证:(1)平面AD1E ∥平面BGF ; (2)D1E ⊥AC.证明:(1)∵E ,F 分别是B1B 和D1D 的中点, ∴D1F 綊BE ,∴四边形BED1F 是平行四边形, ∴D1E ∥BF.又∵D1E ⊄平面BGF ,BF ⊂平面BGF , ∴D1E ∥平面BGF.∵F ,G 分别是D1D 和DA 的中点, ∴FG 是△DAD1的中位线, ∴FG ∥AD1.又∵AD1⊄平面BGF ,FG ⊂平面BGF , ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E =D1, ∴平面AD1E ∥平面BGF. (2)连接BD ,B1D1,∵底面ABCD 是正方形, ∴AC ⊥BD.∵D1D ⊥AC ,BD∩D1D =D , ∴AC ⊥平面BDD1B1. ∵D1E ⊂平面BDD1B1, ∴D1E ⊥AC.10.在数列{}an 中,a1=2,an +1=4an -3n +1,n ∈N*. (1)证明数列{}an -n 是等比数列. (2)求数列{}an 的前n 项和Sn.(3)证明不等式Sn +1≤4Sn ,对任意n ∈N*皆成立. 解:(1)证明:因为an +1=4an -3n +1, 所以an +1-(n +1)=4(an -n),n ∈N*. 又a1-1=1,所以数列{}an -n 是首项为1,且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知an -n =4n -1,于是数列{}an 的通项公式为an =4n -1+n. 所以数列{}an 的前n 项和Sn =4n -13++2.(3)证明:对任意的n ∈N*, Sn +1-4Sn =4n +1-13+++2-44n -13++2=-12(3n2+n -4)≤0.所以不等式Sn +1≤4Sn ,对任意n ∈N*皆成立.1、归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:2.三段论推理的根据,从集合的观点来讲,若集合M的所有元素都具有性质P,S 是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.3.演绎推理最常用的模式是三段论,在大前提和小前提正确,推理形式也正确时,其结论一定是正确的.——出门测评分_____1.我们把4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n个正方形数是()A.n(n-1)B.n(n+1)C.n2D.(n+1)2【解析】观察前4个正方形数,恰好是序号加1的平方,所以第n个正方形数应为(n+1)2.【答案】 D2.如图2-1-6所示,着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项,则这个数列的一个通项公式为()图2-1-6A .a n =3n -1B .a n =3n C .a n =3n -2n D .a n =3n -1+2n -3【解析】 ∵a 1=1,a 2=3,a 3=9,a 4=27,猜想a n =3n -1.【答案】 A3.演绎推理中的“一般性原理”包括( )①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验. A .①② B .①③ C .②③D .①②③【解析】 演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”. 【答案】 A4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A +∠B =180°B .某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C .由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n =12⎝⎛⎭⎫a n -1+1a n -1(n ≥2),通过计算a 2,a 3,a 4猜想出a n 的通项公式【解析】 A 是演绎推理,B ,D 是归纳推理,C 是类比推理. 【答案】 A5.用三段论证明命题:“任何实数的平方大于0,因为a 是实数,所以a 2>0”,你认为这个推理( )A .大前提错误B .小前提错误C .推理形式错误D .是正确的【解析】 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”,小前提是“a 是实数”,结论是“a 2>0”.显然结论错误,原因是大前提错误.【答案】 A1.给出下面一段演绎推理:有理数是真分数,……………………………大前提 整数是有理数,……………………………小前提 整数是真分数.……………………………结论 结论显然是错误的,是因为( ) A .大前提错误 B .小前提错误 C .推理形式错误D .非以上错误解析:选A 推理形式没有错误,小前提也没有错误,大前提错误.举反例,如2是有理数,但f1(x)=x-+21,f2(x)=x-+22,f3(x)=x-+23,f4(x)=x-+24,fn(x)=x-+2n.答案:x-+2n即-+=54,解得m=10.(1)写出一个数列,用它表示当m 分别是2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数;(2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式;(3)求a10,并说明a10表示的实际意义;(4)已知an =9 900,an 是数列第几项?解:(1)当m =2时,表示一个2行3列的士兵方阵,共有6人,依次可以得到当m =3,4,5,…时的士兵人数分别为12,20,30,….故所求数列为6,12,20,30,….(2)因为a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…,所以猜想an =(n +1)(n +2),n ∈N*.(3)a10=11×12=132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n +1)(n +2)=9 900,所以n =98,即an 是数列的第98项,此时方阵为99行100列.10.已知椭圆具有以下性质:已知M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为kPM ,kPN ,那么kPM 与kPN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1(a >0,b >0)写出类似的性质,并加以证明. 解:类似的性质为:已知M ,N 是双曲线x2a2-y2b2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两个点, 点P 是双曲线上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为kPM ,kPN ,那么kPM 与kPN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下:设点M ,P 的坐标为(m ,n),(x ,y),则N 点的坐标为(-m ,-n).∵点M(m ,n)在已知双曲线x2a2-y2b2=1上, ∴m2a2-n2b2=1,得n2=b2a2m2-b2. 同理y2=b2a2x2-b2.。
高考数学一轮复习专题训练—合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理考纲要求1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的,但所得结论是错误的.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.2.如图,根据图中的数构成的规律,得a表示的数是()A.12 B.48 C.60 D.144答案 D解析由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.所以a=12×12=144.3.在等差数列{a n}中,若a10=0,则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b9=1,则存在的等式为________.答案b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,且n∈N*)解析根据类比推理的特点可知:等比数列和等差数列类比,在等差数列中是和,在等比数列中是积,故有b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,且n∈N*).4.(2020·贵阳一模)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确答案 A解析大前提是“对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么x=x0才是函数f(x)的极值点,所以大前提错误.故选A.5.(2021·郑州质检)某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位,在竞选结果出来前,甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测:甲说:丙或丁竞选成功;乙说:甲和丁均未竞选上;丙说:丁竞选成功;丁说:丙竞选成功.若这四人中有且只有两人预测的正确,则成功竞选学生会主席职位的是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案 D解析若成功竞选的是甲,则甲、乙、丙、丁四人的预测均错误,故不合题意;若成功竞选的是乙,则甲、丙、丁三人的预测错误,乙的预测正确,故不合题意;若成功竞选的是丙,则甲、乙、丁三人的预测正确,丙的预测错误,故不合题意;若成功竞选的是丁,则甲、丙两人的预测正确,乙、丁两人的预测错误,符合题意.故选D.6.(2020·桂林模拟)已知函数f(x)满足f(1)=f(2)=1,且对任意n∈N*恒有f(n+2)=f(n+1)+f(n),观察下列等式:f(1)+f(2)=2=3-1,f(1)+f(2)+f(3)=4=5-1,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=7=8-1,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=12=13-1,可推测f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n+1)=________.答案f(n+3)-1解析根据题意可得f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5,f(6)=8,f(7)=13,因为f(1)+f(2)=2=3-1=f(4)-1,f(1)+f(2)+f(3)=4=5-1=f(5)-1,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=7=8-1=f(6)-1,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=12=13-1=f(7)-1,可推测f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n+1)=f(n+3)-1.故答案为f(n+3)-1.考点一归纳推理角度1与图形变化有关的推理【例1】中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位数用横式表示,以此类推.例如6 613用算筹表示就是,则8 335用算筹可表示为()答案 B解析各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位数用横式表示,则8 335用算筹可表示为.故选B.角度2与数字或式子有关的推理【例2】 已知32+27=2327,33+326=33326,34+463=43463,……,3 2 021+mk=2 0213m k ,则k +1m 2=________.答案 2 021解析 由已知32+27=2327,33+326=33326,34+463=43463,……,可归纳出3n +n n 3-1=n 3nn 3-1, 又因为32 021+mk =2 0213m k,所以m =2 021,k =2 0213-1, 所以k +1m 2=2 0213-1+12 0212=2 021.感悟升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n =6时,该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )A .81B .121C .364D .1 093(2)观察下列等式:⎝⎛⎭⎫sin π3-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π3-2=43×1×2; ⎝⎛⎭⎫sin π5-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π5-2+⎝⎛⎭⎫sin 3π5-2+⎝⎛⎭⎫sin 4π5-2 =43×2×3; ⎝⎛⎭⎫sin π7-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π7-2+⎝⎛⎭⎫sin 3π7-2+…+⎝⎛⎭⎫sin 6π7-2=43×3×4; ⎝⎛⎭⎫sin π9-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π9-2+⎝⎛⎭⎫sin 3π9-2+…+⎝⎛⎭⎫sin 8π9-2=43×4×5; …… 照此规律,⎝⎛⎭⎫sin π2n +1-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π2n +1-2+⎝⎛⎭⎫sin 3π2n +1-2+…+⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n +1-2=________. 答案 (1)C (2)4n n +13解析 (1)由图可知,每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1,所以,n =1时,a 1=1; n =2时,a 2=3+1=4; n =3时,a 3=3×4+1=13; n =4时,a 4=3×13+1=40; n =5时,a 5=3×40+1=121; n =6时,a 6=3×121+1=364,故选C. (2)观察前4个等式,由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n +1-2+⎝⎛⎭⎫sin 2π2n +1-2+…+⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n +1-2=43×n ×(n +1)=4n n +13.考点二 类比推理【例3】 (1)在平面上,设h a ,h b ,h c 是△ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为P a ,P b ,P c ,我们可以得到结论:P a h a +P b h b +P ch c =1.把它类比到空间中,则三棱锥中的类似结论为________.(2)已知命题:在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0),△ABC 的顶点B 在椭圆上,顶点A ,C 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e 1,则sin A +sin C sin B =1e 1,现将该命题类比到双曲线中,△ABC 的顶点B 在双曲线上,顶点A ,C 分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0),双曲线的离心率为e 2,则有________.答案 (1)P a h a +P b h b +P c h c +P dh d =1(2)|sin A -sin C |sin B =1e 2解析 (1)设h a ,h b ,h c ,h d 分别是三棱锥A -BCD 四个面上的高,P 为三棱锥A -BCD 内任一点,P 到相应四个面的距离分别为P a ,P b ,P c ,P d ,于是可以得出结论:P a h a +P b h b +P c h c +P dh d =1.(2)因为△ABC 的顶点B 在双曲线x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)上,顶点A ,C 分别是双曲线的左、右焦点,所以有|BA -BC |=2a 2, 所以1e 2=2a 22c 2=|BA -BC |AC,由正弦定理可得BC sin A =AC sin B =AB sin C ,所以|sin A -sin C |sin B =1e 2.感悟升华 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;实数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.【训练2】(2020·赣州一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为________.答案x+2y-z-4=0解析将平面中的运算类比到空间中的运算得:经过点B(2,3,4)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为(-1)×(x-2)+(-2)×(y-3)+1×(z-4)=0,化简得x+2y-z-4=0,即平面的方程为x+2y-z-4=0.考点三演绎推理【例4】(2020·河南六校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.根据上述调查结果,下列结论错误的是()A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟答案 D解析设该校报考“北约”联盟,“华约”联盟,“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A,B,C,D,报考自主招生的总学生为U,则由题意,知A∩B=∅,B⊆C,D∩C=∅,∁U D=B,∴A⊆D,B=C,B∩D=∅.选项A,B∩D=∅,正确;选项B,B=C,正确;选项C,A⊆D,正确,故选D.感悟升华解决逻辑推理问题的两种方法:(1)假设反证法:先假设题中给出的某种情况是正确的,并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾,则证明此假设是错误的,再重新提出一个假设继续推理,直到得到符合要求的结论为止.(2)枚举筛选法:即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举,然后对各种情况逐个检验,排除一些不可能的情况,逐步归纳梳理,找到正确答案.【训练3】(1)(2019·全国Ⅱ卷)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙(2)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.答案(1)A(2)①6②12解析(1)由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,故若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选A.(2)设男学生人数为x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >z ,2z >x ,且x ,y ,z 均为正整数.①当z =4时,8>x >y >4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. ②x >y >z >x 2,当x =3时,条件不成立,当x =4时,条件不成立,当x =5时,5>y >z >52,此时z =3,y =4.∴该小组人数的最小值为12.基础巩固一、选择题1.已知数列{a n }中,a 1=1,n ≥2时,a n =a n -1+2n -1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ) A .a n =3n -1 B .a n =4n -3 C .a n =n 2 D .a n =3n -1答案 C解析 a 1=1,a 2=4,a 3=9,a 4=16,猜想a n =n 2.2.观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,(cos x )′=-sin x ,由归纳推理得:若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),记g (x )为f (x )的导函数,则g (-x )=( ) A .f (x ) B .-f (x ) C .g (x ) D .-g (x )答案 D解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g (-x )=-g (x ).3.(2020·合肥一模)2019年10月1日,为了庆祝中华人民共和国成立70周年,小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”“国富民强”“兴国之路”,为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了问话,得到回复如下:小明说:“鸿福齐天”是我制作的;小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的;小金说:“兴国之路”不是我制作的.若三人的说法有且仅有一个是正确的,则“鸿福齐天”的制作者是()A.小明B.小红C.小金D.小金或小明答案 B解析依题意,三个人制作的所有情况如下所示:12345 6鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确,则均不满足;若小红的说法正确,则4满足;若小金的说法正确,则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红,故选B.4.(2021·安徽六校测试)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形由正n+2边形扩展而来,其中n∈N*,则第n个图形的顶点个数是()A.(2n+1)(2n+2) B.3(2n+2)C.2n(5n+1) D.(n+2)(n+3)答案 D解析(1)由已知中的图形可以得到:当n=1时,图形的顶点个数为12=3×4,当n=2时,图形的顶点个数为20=4×5,当n=3时,图形的顶点个数为30=5×6,当n=4时,图形的顶点个数为42=6×7,……由此可以推断:第n个图形的顶点个数为(n+2)(n+3),故选D.5.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|P A|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S1,S2,S3猜想出数列{a n}的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故应选B.6.“对数函数是非奇非偶函数,f(x)=log2|x|是对数函数,因此f(x)=log2|x|是非奇非偶函数”,以上推理()A.结论正确B.大前提错误C.小前提错误D.推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f(x)=log2|x|是对数函数,但是这个小前提是错误的,因为f(x)=log2|x|不是对数函数,它是一个复合函数,只有形如y=log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数.故选C.7.若等差数列{a n}的前n项之和为S n,则一定有S2n-1=(2n-1)a n成立.若等比数列{b n}的前n项之积为T n,类比等差数列的性质,则有()A.T2n-1=(2n-1)+b n B.T2n-1=(2n-1)-b nC.T2n-1=(2n-1)b n D.T2n-1=b2n-1n答案 D解析 在等差数列{a n }中,a 1+a 2n -1=2a n , a 2+a 2n -2=2a n ,…,故有S 2n -1=(2n -1)a n , 在等比数列{b n }中,b 1b 2n -1=b 2n ,b 2·b 2n -2=b 2n ,…,故有T 2n -1=b 1b 2…b 2n -1=b 2n -1n. 8.(2020·昆明质检)斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在数学上,斐波那契数列{a n }定义为:a 1=1,a 2=1,a n +2=a n +a n +1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据a n +2=a n +a n +1可得a n =a n +2- a n +1,所以a 1+a 2+…+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n +2-a n +1)=a n +2-a 2=a n +2-1,类比这一方法,可得a 21+a 22+…+a 210=( )A .714B .1 870C .4 895D .4 896答案 C解析 将a n +1=a n +2-a n 两边同乘a n +1,可得a 2n +1=a n +2a n +1-a n +1a n ,则a 21+a 22+…+a 210=a 21+(a 2a 3-a 2a 1)+(a 3a 4-a 2a 3)+…+(a 10a 11-a 9a 10)=1-a 2a 1+a 10a 11=1-1+55×89=4 895.故选C. 二、填空题9.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,根据以上式子可以猜想:1+122+132+…+12 0202<________. 答案4 0392 020解析 由题意得,不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数,分子是一个以3为首项,2为公差的等差数列中的项,可以推出1+122+132+…+1n 2<2n -1n ,所以1+122+132+…+12 0202<2 020×2-12 020=4 0392 020. 10.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为________.答案 55解析 由2=1+1,3=1+2,5=2+3知,从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55.11.若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)外,过P 0作椭圆的两条切线,切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2+y 0yb 2=1,那么对于双曲线,则有如下命题:若P (x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)外,过P 0作双曲线的两条切线,切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 答案x 0x a 2-y 0y b 2=1 解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的切点弦方程为x 0x a 2-y 0yb2=1.12.如下分组的正整数对:第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},……,则第40组的第21个数对为________. 答案 (22,20)解析 由题意可得第1组数对中的各数的和为3,第2组数对中各数的和为4,第3组数对中各数的和为5,第4组数对中各数的和为6, ……第n 组数对中各数的和为n +2,且各个数对中无重复数字, 可得第40组数对中各数的和为42, 则第40组的第21个数对为(22,20).能力提升13.天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立70周年时为( ) A .“丙酉”年 B .“戊申”年 C .“己申”年 D .“己亥”年答案 D解析 中华人民共和国成立70周年时为2019年,从1949到2019共有71个数,若把天干排成一列,记为{a n },且a 1=“己”,则a 71=a 7×10+1=a 1=“己”;若把地支排成一列,记为{b n },且b 1=“丑”,则b 71=b 5×12+11=b 11=“亥”.所以中华人民共和国成立70周年时为“己亥”年,故选D.14.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+…中“…”代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1x =x求得x =5+12.类比上述过程,3+23+2…=( ) A .3 B .13+12C .6D .2 2答案 A解析 由已知代数式的求值方法:先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根), 令3+23+2…=m (m >0),则两边平方得,3+23+23+2…=m 2,即3+2m =m 2,解得m =3或m =-1(舍去).故选A. 15.(2021·武汉模拟)观察下列数表: 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …设数100为该数表中的第n 行,第m 列,则mn =________. 答案 114解析 观察数表可知第n 行的数的个数为a n =2n -1,则前n 行的所有数的个数之和S n =1-2n1-2=2n -1,数表中的数是由正偶数排列而成的,而数100是第50个数,令2n -1=50,解得5<n <6,则100在这个数表中的第6行,S 5=31,则100在这个数表中的第19列,即n =6,m =19,所以mn =6×19=114.16.(2021·豫南九校质量考评)已知函数f (x )=1x +1x +1+1x +2,由f (x -1)=1x -1+1x +1x +1是奇函数,可得函数f (x )的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g (x )=x +2x +1+x +3x +2+…+x +7x +6的图象关于点________对称.答案 ⎝⎛⎭⎫-72,6 解析 由题意得g (x )-6=x +2x +1-1+x +3x +2-1+x +4x +3-1+x +5x +4-1+x +6x +5-1+x +7x +6-1=1x +1+1x +2+1x +3+1x +4+1x +5+1x +6, 则g ⎝⎛⎭⎫x -72-6=1x -72+1+1x -72+2+1x -72+3+1x -72+4+1x -72+5+1x -72+6=1x -52+1x -32+1x -12+1x +12+1x +32+1x +52, 令g ⎝⎛⎭⎫x -72-6=h (x ), ∴h (-x )=1-x -52+1-x -32+1-x -12+1-x +12+1-x +32+1-x +52=-h (x ),∴h (x )是奇函数,∴函数g (x )=x +2x +1+x +3x +2+…+x +7x +6的图象关于点⎝⎛⎭⎫-72,6对称.。
合情推理与演绎推理答案 知识点+例题 全面分类

[例2] 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n 个图案中有白色地面砖________块.24+n[巩固] 如图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按相同的排列规则进行排列,记第n 个图形包含的小正方形个数为)(n f ,则(1)_______)5(=f ;(2)____________)(=n f .41,1222+-n n[例3] 已知:23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒,23125sin 65sin 5sin 222=︒+︒+︒.通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.[巩固] 有以下三个不等式:22222)5491()59)(41(⨯+⨯≥++;22222)12826()122)(86(⨯+⨯≥++;22222)71010220()7102)(1020(⨯+⨯≥++.请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性结论,并证明你的结论.二、类比推理1.定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理;简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.[例3] 椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,圆的标准方程为)0(222>=+r r y x ,及12222=+ry r x ,类比圆的面积2r S ⋅=π推理得椭圆的面积.________=S ab π[巩固] 我们知道:过圆)0(222>=+r r y x 上一点(0x ,0y )的切线方程为200r y y x x =+,类似地,过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点(0x ,0y )的切线方程为_________________.12020=+by y a x x[例4] 公差为3的等差数列}{n a 中,n S 是}{n a 的前n 项和,则数列1020S S -,2030S S -,3040S S -也成等差数列,且公差为300;类比以上结论,相应地,在公比为4的等比数列}{n b 中,n T 是}{n b 的前n 项积,试得出类似结论并证明.[巩固] 从三角形内部任意一点向各边引垂线,其长度分别为1d ,2d ,3d ,且相应各边上的高分别为1h ,2h ,3h ,求证:1332211=++h d h d h d .类比以上性质,给出空间四面体的一个猜想,并给出证明.1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论;简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.2.三段论:三段论是演绎推理的主要形式,常用的格式为:)是(是是P S P S M S M S P M P M ---)()(三段论包含了3个命题:第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理; 第二个命题叫小前提,它指出了一个特殊现象;这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题结论.例:(1).所以,铜能导电铜是金属,所有的金属都能导电,,(2).5237552375550的倍数是所以,,的个位数是的倍数,的正整数必是或个位数是3.合情推理与演绎推理的比较:(1)从推理形式上看,归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理所得的结论看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.[例1] 按三段论式推理,进行如下推理.大前提:所有的车子都有四个轮子.小前提:自行车是车子. 结论:______________________. 自行车有四个轮子知识模块2演绎推理 精典例题透析[巩固1]“3xy=是奇函数,3xy=∴的图象关于原点对称.”以上推理的大前提是_________________________. 奇函数的图象都关于原点对称[巩固2]“因134682的数字之和等于24是3的倍数,故134682能被3整除”这一推理的大前提是__________________________.数字之和能被3整除的正整数一定是3的倍数[巩固3] 将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式,其大前提为_______________________________.平行四边形的对角线互相平分[例2] 用三段论证明:直角三角形两锐角之和为090.[巩固1] 用三段论证明:通项为)(为常数,qpqpnan+=的数列}{na是等差数列.[巩固2] 用三段论的形式写出下列演绎推理.(1)若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不想等,则该两角不是对顶角;(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等.题型一:归纳推理[例] 设f(x)=13x+3,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.解f(0)+f(1)=130+3+131+3=11+3+13+3=3-12+3-36=33,知识模块3经典题型同理,由等体积法知4SR =HS ,所以R =14H .7.(2013·陕西)观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 …照此规律,第n 个等式可为____________________________. 答案 (n +1)(n +2)…(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第n 个等式左边为(n +1)(n +2)…(n +n ),由已知的三个等式右边的变化规律,得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积,即2n ×1×3×…×(2n -1). 8.已知等差数列{a n }的公差d =2,首项a 1=5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)设T n =n (2a n -5),求S 1,S 2,S 3,S 4,S 5;T 1,T 2,T 3,T 4,T 5,并归纳出S n 与T n 的大小规律. 解 (1)∵a 1=5,d =2,∴S n =5n +n (n -1)2×2=n (n +4).(2)∵T n =n (2a n -5)=n [2(2n +3)-5]=4n 2+n . ∴T 1=5,T 2=4×22+2=18,T 3=4×32+3=39, T 4=4×42+4=68,T 5=4×52+5=105.S 1=5,S 2=2×(2+4)=12,S 3=3×(3+4)=21, S 4=4×(4+4)=32,S 5=5×(5+4)=45. 由此可知S 1=T 1,当2≤n ≤5,n ∈N 时,S n <T n .归纳猜想:当n =1时,S n =T n ;当n ≥2,n ∈N 时,S n <T n .9.在Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC 于D ,求证:1AD 2=1AB 2+1AC 2,那么在四面体ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.解 如图所示,由射影定理 AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC , AC 2=BC ·DC ,∴1AD 2=1BD ·DC =BC 2BD ·BC ·DC ·BC =BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2=AB 2+AC 2,∴1AD 2=AB 2+AC 2AB 2·AC 2=1AB 2+1AC2. 猜想,四面体ABCD 中,AB 、AC 、AD 两两垂直,AE ⊥平面BCD , 则1AE 2=1AB 2+1AC 2+1AD2. 证明:如图,连接BE 并延长交CD 于F ,连接AF .∵AB⊥AC,AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴1AE2=1AB2+1AF2.在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴1AF2=1AC2+1AD2,∴1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.10.已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是______________________.答案正方形的对角线相解析根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系,所以结论是正方形的对角线相等.11.如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2,则三角形面积之比1122OM NOM NSS∆∆=OM1OM2·ON1ON2.如图(2),若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2,点Q1、Q2和点R1、R2,则类似的结论为______________________.答案111222O PQ RO P Q RVV--=OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2解析考查类比推理问题,由图看出三棱锥P1-OR1Q1及三棱锥P2-OR2Q2的底面面积之比为OQ1OQ2·OR1OR2,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为OP1OP2,故体积之比为111222O PQ RO P Q RVV--=OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2.12.数列{a n}的前n项和记为S n,已知a1=1,a n+1=n+2n S n(n∈N*).证明:(1)数列{S nn}是等比数列;(2)S n+1=4a n.证明(1)∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=n+2n S n,∴(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.故S n+1n+1=2·S nn,(小前提)故{S nn}是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)能力提升训练。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案

12.1.1 合情推理(1)---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义;2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一:考察下列示例中的推理问题1:.1.哥德巴赫猜想:哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971,, …… 猜测:问题2:铜、铁、铝、金、银等金属能导电,归纳出:问题3:因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-,四边形的内角和是180(42)︒⨯-,五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理:有某类事物的部分对象具有的特征,推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之:,归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)。
典型例题例1观察下列等式:1+3=4=22,1+3+5=9=23, 1+3+5+7=16=24,1+3+5+7+9=25=25, ……你能猜想到一个怎样的结论?变式1 观察下列等式:1=11+8=9,1+8+27=36,1+8+27+64=100, …… 你能猜想到一个怎样的结论?例2.已知数列{}n a 的第一项11a =,且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =,试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时,我们是怎么样推导首项为1a ,公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的?例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?三、总结提升学习小结1.归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).知识拓展四色猜想:1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是().A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈(),猜想(f x)的表达式为().A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+,观察下列立方和:13,13+23,13+23+33,13+23+33+43,……试归纳出上述求和的一般公式。
张合情推理与演绎推理

回忆
1.什么是归纳推理?
部分
整体
பைடு நூலகம்
特殊
一般
2.归纳推理旳一般环节:
(1)经过观察个别情况发觉某些相同性质;
(2)从已知旳相同性质中推出一种明确体现旳 一般性命题(猜测).
情景引入:
1、据说春秋时代鲁国旳公输班(后人称 鲁班,被以为是木匠业旳祖师)一次去林 中砍树时被一株齿形旳茅草割破了手,这 桩晦气事却使他发明了锯子.
一、引例
1.当我们看到乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现 象时,会得到 即将下雨 旳判断
2、有一小贩在卖一篮草莓,我先尝了一种,觉得甜, 又尝了一种,也是甜旳,再尝了一种,还是甜旳, 所以我觉得: 这一篮草莓都是甜
旳 推理:从一种或几种已知命题得出另一种
新命题旳思维过程
合情推理 推理
演绎推理
蛇、鳄鱼、海龟、
观察下列等式
6=3+3, 12=5+7 ,
8=3+5, 14=7+7,
10=3+7,16=5+11 …
1000=29+971,
任何一种不不大于6旳偶数 都等于两个奇质数旳和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
1002=139+863 …
经过更多特例旳检验, 从6开始,没有出现反例.
注意:归纳推理有可能是错旳!
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 f(x1) < f(x2)成立旳函数f(x),是区间D上旳增函数.
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
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合情推理和演绎推理训练————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:推理与证明★知识网络★第1讲 合情推理和演绎推理★知识梳理★ 1.推理根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。
三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。
★重难点突破★重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别推理推证合情演绎归类直接间接数学综分反与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1:观察:715211+<; 5.516.5211+<; 33193211-++<;….对于任意正实数,a b ,试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 .点拨:圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短(222||ab AB ≥) 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3:定义[x]为不超过x的最大整数,则[-2.1]=点拨:“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]=-3★热点考点题型探析★考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。
23135sin 75sin 15sin 020202=++;23150sin 90sin 30sin 020202=++;23165sin 105sin 45sin 020202=++;23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性”[解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明:左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型(2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性)[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式: 2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m的值为___ .[解析]3m 的分解中,最小的数依次为3,7,13,…,12+-m m ,…,由7312=+-m m 得9=m2. (2008惠州调研二理)函数()f x 由下表定义:若05a =,1()n n a f a +=,0,1,2,n =,则2007a = 4 . [解析]50=a ,21=a ,12=a ,43=a , ,54=a ,n n a a =∴+4,432007==a a点评:本题为循环型3. (2008深圳调研)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”,则(5)f = ;()(1)f n f n --= .(答案用数字或n 的解析式表示)[解析])1(4)1()(,41)5(-=--=n n f n f f4. (2008揭阳一模)设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x =( )A. sin x -B. cos x -C. sin xD. cos x[解析]x x f cos )(0=,x x f sin )(1-=,x x f cos )(2-=,x x f sin )(3=,x x f cos )(4=,)()(4x f x f n n =+,2008()f x =x x f cos )(0=题型2 用类比推理猜想新的命题[例1 ] (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法,即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==,类比问题的解法应为等体积法, h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高41 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比(2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等[例2 ] 在ABC ∆中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中,三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直,且与底面所成的角分别为γβα,,,则1cos cos cos 222=++γβα” 证明:设P 在平面ABC 的射影为O ,延长CO 交AB 于M ,记h PO =由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥,从而PM PC ⊥,又α=∠PMC PC h PCO =∠=sin cos α,PA h =βcos ,PBh =γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅=-)cos 21cos 21cos 21(3161γβα 1)cos cos cos (=++∴h PB PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα 【名师指引】(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面上的角对应空间角等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等【新题导练】5. (2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间,有两个棱长均为a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .[解析]解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部分的体积为83a 6. (2008梅州一模)已知ABC ∆的三边长为cb a ,,,内切圆半径为r (用的面积表示ABC S ABC ∆∆),则ABC S ∆)(21c b a r ++=;类比这一结论有:若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ,则三棱锥体积=-BCD A V[解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题(二))在平面直角坐标系中,直线一般方程为0=++C By Ax ,圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.[解析] 0Ax By Cz D +++=;2222000()()()x x y y z z r -+-+-=8. 对于一元二次方程,有以下正确命题:如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数,方程01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数集上的解集分别是A 和B ,则“212121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件. 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果,并加以证明.解:(3)如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数,不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ,则“212121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件.可以举反例加以说明.9.已知等差数列的定义为:在一个数列中,从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数,那么这个数叫做等差数列,这个常数叫做该数列的公差.类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义: ;已知数列{}n a 是等和数列,且21=a ,公和为5,那么18a 的值为____________.这个数列的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________.[解析]在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和;318=a ;=n S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-为偶数为奇数n n y n n ,25,215 考点2 演绎推理题型:利用“三段论”进行推理[例1 ] (07启东中学模拟)某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分,S 的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出a be d c <<<<<0,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S 的值增加最多,那么该指标应为 .(填入e d c b a ,,,,中的某个字母)【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律[解析] 因e d c b a ,,,,都为正数,故分子越大或分母越小时, S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S 的值增长越多,a b e d c <<<<<0 ,所以c增大1个单位会使得S 的值增加最多【名师指引】此题的大前提是隐含的,需要经过思考才能得到[例2 ] (03上海)已知集合M是满足下列性质的函数f (x )的全体:存在非零常数T ,对任意x ∈R ,有f (x +T )=T f (x )成立.(1)函数f (x)= x 是否属于集合M?说明理由;(2)设函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)的图象与y=x 的图象有公共点,证明: f (x)=ax ∈M ;(3)若函数f (x )=sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.【解题思路】函数f (x )是否属于集合M,要看f (x )是否满足集合M的“定义”,[解](1)对于非零常数T,f (x+T)=x +T, T f (x )=Tx. 因为对任意x ∈R,x +T= T x 不能恒成立,所以f (x )=.M x ∉(2)因为函数f (x)=a x (a>0且a ≠1)的图象与函数y=x 的图象有公共点,所以方程组:⎩⎨⎧==xy a y x有解,消去y得a x =x , 显然x =0不是方程ax =x的解,所以存在非零常数T,使a T=T.于是对于f (x )=a x有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.(3)当k=0时,f(x )=0,显然f (x )=0∈M.当k ≠0时,因为f(x )=sin kx ∈M,所以存在非零常数T ,对任意x ∈R ,有f (x +T )=T f (x )成立,即si n(kx +k T)=T sin kx .因为k ≠0,且x ∈R ,所以kx ∈R,k x+k T ∈R ,于是sin kx ∈[-1,1],s in(kx +k T) ∈[-1,1],故要使sin(kx+k T)=T sinkx .成立,只有T=1±,当T=1时,sin (kx +k )=s in kx 成立,则k =2mπ, m ∈Z .当T=-1时,sin (kx -k)=-sin kx 成立,即si n(k x-k +π)= s inkx 成立,则-k+π=2m π, m ∈Z ,即k =-2(m -1) π, m ∈Z .实数k的取值范围是{k |k= m π, m ∈Z}【名师指引】学会紧扣“定义”解题【新题导练】10. (2008珠海质检理)定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b 的夹角,若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= .[解析]=+*∴>=+<=+=|)(|21,sin ),3,3(),3,1(v u u v u u v u v 23 11. (2008深圳二模文)一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点,最后又回到A (如图所示),其中:AB BC ⊥,////////AB CD EF HG IJ ,////BC DE ////FG HI JA .欲知此质点所走路程,至少需要测量n 条线段的长度,则n =( B )A.2B.3 C .4 D .5[解析]只需测量GH BC AB ,,3条线段的长12. (2008惠州调研二)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ).A. 4,6,1,7B. 7,6,1,4 C . 6,4,1,7 D. 1,6,4,7[解析] 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+16418327252d d c c b b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====7146d c b a ,选C 13.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ,规定:(,)(,)a b c d =,当且仅当,a c b d ==;运算“⊗”为:(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+;运算“⊕”为:(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++,设,p q R ∈,若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=,则(1,2)(,)p q ⊕=………( )A .(4,0)B .(2,0) C.(0,2) D.(0,4)-解:由题意,⎩⎨⎧=+=-0252q p q p ,解得⎩⎨⎧-==211p ,所以正确答案为(B). 点评:实际上,本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算.我们可以把该题还原为:已知复数z 满足5)21(=+z i ,则=++z i )21(_____________.★抢分频道★基础巩固训练1、对于集合A,B,定义运算}|{B x A x x B A ∉∈=-且,则)(B A A --=( )A .B B.A C.B A ⋃ D . B A ⋂[解析]D [用图示法]2、命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理ﻩC.使用了“三段论”,但大前提错误 D .使用了“三段论”,但小前提错误[解析]大前提是特指命题,而小前提是全称命题,故选C3、(华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试(三))给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):①“若b a b a R b a =⇒=-∈0,则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,,则复数、、、”类比推出 “d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22,则、、、”③“若b a b a R b a >⇒>-∈0,则、、”类比推出“若b a b a C b a >⇒>-∈0,则、”④“若111||<<-⇒<∈x x R x ,则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ,则” 其中类比结论正确....的个数有ﻩﻩﻩ( ) ﻩA .1 B .2 C .3ﻩD .4[解析] 类比结论正确的只有①4、如图第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,…)。