数列构造法 (2)

构造法求数列的通项公式

在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。

构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。

1、构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例1设各项均为正数的数列的前n项和为S

n

，对于任意正整数n ，都有等式：成立，求的通项a n.

解：，∴

，∵，∴.

即是以2为公差的等差数列，且.

∴

例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.

解：∵

当n≥2时，

令，则，且

是以为公比的等比数列，

∴.

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.

例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式a n.

解：由题设得.

∵，，∴.

∴

.

.

例4数列中，，且，（n∈N*），求通项公式a n.

解：∵

∴（n∈N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例5数列中，，前n 项的和，求.

解：

，

∴

∴

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

，设，则

解：两边取对数得：，

，，，

∴

例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.

解：∵，两边取倒数得.

可化为等差数列关系式.

∴

.