数列构造法 (2)
等比数列三种构造法
等比数列三种构造法
等比数列是由一个首项和公比决定的数列。
为构造等比数列，我们可以采用以下三种方法：
1. 递推法：首项已知的等比数列可以通过首项和公比计算后续项。
具体而言，每一项都是前一项乘以公比的结果，即an = a1×r^(n-1)。
2. 公式法：对于给定的首项、公比和项数，可以使用等比数列的通项公式计算该数列中任意一项的值。
通项公式为an = a1×r^(n-1)。
3. 倍数法：通过将等比数列中每一项除以前一项得到的倍数序列，可以简化计算。
具体而言，如果第n项是前一项的r倍数，那么第n+1项就是前一项的r²倍数，以此类推。
通过计算倍数序列的第n项，我们可以得到等比数列的第n 项。
构造数列总结
构造数列林森本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。
一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。
1．(为常数)，可构造等比数列求解．例1已知数列满足，（），求通项．解由，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴．注：一般地，递推关系式(p、q为常数，且p≠0，p≠1)可等价地改写成，则{}为等比数列，从而可求．2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。
如(为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解．例2（1）已知数列{a n}中，，，求通项．（2）已知数列满足，，求通项．解（1）由条件，得，令，则，即，又，，∴数列为等比数列，故有，即，∴．（2）由条件，得，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，故．3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解．例3已知数列满足，（），求．解令，则，∴，代入已知条件，得，即，令，，解得=－4，=6，所以，且，∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解．法一、构造等差数列求解：例4在数列中，（1）若，其中，求数列的通项公式；（2）若，求通项．解（1）由条件可得，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故，∴．（2）由条件可得：，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴．法二、构造等比数列求解：例5已知数列满足，，求数列的通项公式．解设，将已知条件代入此式，整理后得，令，解得，∴有，又，且，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，∴，故．二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解．例6在数列中，，，，求．解由条件可得，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，故==…=== ．例7已知数列满足，，（），求．解由已知可得：，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，∴，即，亦即，又，∴数列是首项为2、公差为6的等差数列，∴，∴．三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解．例8已知数列中，，（），求．，解由已知，得，设，则，故是以为首项，1为公差的等差数列，∴，即．例9已知数列，其中，且，求通项a n．解由条件得：，设，则，令，解得，于是有，∴数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列，∴，即，代入b n＝，得．例10若数列中，，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式．解由，得，令，则有，故，∴数列{}是以为首项，3为公比的等比数列，∴=，∴，当n时，由（）得，∴．四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解．如满足（A，B，C，D为常数，且）的数列，可令特征方程为，变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公差为的等差数列。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
高中数学数列构造法讲解
高中数学数列构造法讲解
高中数学数列构造法是一种常用的数学分析方法，它可以帮助我们通过对数列的结构、变化规律及其特点等进行分析推导，理解数列的内在本质，从而解决问题。
首先，我们需要明确数列的定义，即数列是一组有序的数，每个数都是一定规律地从前一个数变化而来。
其次，构造数列时，我们要确定数列的元素，确定数列的有序规律，并通过对数列的初始值、变化规律等参数的推导，推断其他数列的变化特点。
接下来，我们要研究的是如何构造数列。
首先，要明确数列的变化规律，即每一项的变化规律。
比如，等差数列的变化规律是每一项减去前一项的结果为一定的常数，等比数列的变化规律是每一项乘以前一项的结果为一定的常数。
其次，我们要确定数列的初始值，即每一项变化的起始值。
若数列的变化规律已经确定，则可以从初始值出发，根据变化规律一步步推导出其他数列的变化特点。
接着，我们要根据数列的变化规律，推导出数列的参数，即每一项变化的参数，如等差数列的公差，等比数列的公比等。
最后，我们要求出数列的总和，确定数列的范围，计算出数列的各项之和，从而解决实际问题。
总之，通过高中数学数列构造法，我们可以通过分析数列的结构、变化规律及其特点等，从而解决实际问题，深入理解数列的内在本质。
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==⋅+,求n a .【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==,21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-.【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A.28 B.128C.28- D.128-【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数)则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。
构造等差数列方法
构造等差数列方法构造等差数列是指根据给定的首项和公差，依次将首项加上公差，得到一系列的数。
等差数列在数学中有广泛的应用，并且有许多不同的构造方法。
下面将介绍几种常见的构造等差数列的方法。
1. 首项和公差最常见的构造等差数列的方法是通过给定首项和公差来生成数列。
首项是指等差数列中的第一个数，公差是指相邻两个数之间的差。
根据首项和公差，可以使用递推关系式来生成等差数列中的其他项。
递推关系式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示等差数列中第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
通过不断代入不同的n值，就可以得到等差数列中的其他项。
2. 公式法公式法是另一种构造等差数列的方法。
根据等差数列的性质，可以得到以下公式：an = a1 + (n - 1) * dSn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和。
通过这两个公式，可以轻松地计算出等差数列中的任意一项的值和前n项和的值。
3. 递归法递归法是一种比较特殊的构造等差数列的方法。
递归是指在定义中使用了自身的定义。
在构造等差数列时，可以使用递归方法。
递归公式如下：an = a(n-1) + d其中，a(n-1)表示等差数列中的第n-1项的值，an表示等差数列中的第n项的值，d表示公差。
通过依次递归计算，就可以得到等差数列中的其他项。
4. 差序法差序法是通过数列前后相邻两项的差构造等差数列的方法。
首先，找到等差数列中的任意一项和它前一项的差值。
然后，分别找到最小项和最大项与其前一项的差值。
根据这两个差值的差（即公差），可以构造等差数列。
总结起来，构造等差数列的方法有：首项和公差法、公式法、递归法和差序法。
在实际应用中，根据具体的题目要求和已知信息，选择适合的方法来构造等差数列。
无论采用哪种方法，都需要明确已知条件和所要求的结果，然后应用相应的方法逐步推导，最终得到等差数列中的其他项或前n项和的值。
构造法求递推数列的通项公式
巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。
本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。
解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。
故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。
例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。
解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。
构造法求数列通项公式
精心整理构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53+n评析：na 1的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，nS 1-11-n S =2，∴｛nS 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴nS 1=1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式，∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
(完整版)高中数学构造法求数列通
构造法求数列通项例题分析型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例1、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列， ∴11111(1)()1()22n n n a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nnn n q a p q a q， 令nnna b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 na n )+1，令b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =nn 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ． 答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例1、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--， ∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B+-=，解得A =－4，B=6， 所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+，∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462nn a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n n n-+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A =－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n -+=69912·()．(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法例1、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
用构造法求数列的通项公式
用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( )A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n 解法1：121+=+n n a a 又211=+a{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。
例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。
解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。
112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时显然n=1时满足上式小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。
解：2132--+=n n n a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………② ①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
求数列的通项公式常见类型与方法
求通项an
答案：an n2
练习3：已知数列an,bn满足a1 2, b1 3,且
an
bn
3
5 2
an1
2
5 3
bn1
1, (n
5 an1 5 bn1 2,
2).令cn
an
bn ,
求数列cn 的通项公式。 答案：cn 3n 2
类型三：已知a1且满足an qan1 kqn , n 2, 求通项an
例3：根据前几项写出符合下列条件数列的一个通项公式。 1.
2. 0.3，0.33，0.333， （逐项依次多数字3）
答案：(1)an (1)n
(2n
1)
(n
n 1) 2
(2)an
3 9
(1
1 10
n
)
三、根据数列前n项和求数列通项公式
，要分 n=1和n≥2两种情况来求，然后验证两种情形可否用统 一解析式表示，若不能统一，则用分段函数的形式表示。
二、根据前几项，利用不完全归纳法猜想数列通 项公式
根据前几项写数列通项公式应掌握几种规律：一是符号
规律，若各项符号为正、负相间时，则必有 1n 或
1n1因式；二是乘方规律，即每一项都与同一个数的
乘方有密切关系；三是等差、等比规律。找规律时，要 看给出的项的分子或分母有什么变化规律，可以适当变 形，使它们的结构变得一致，再看和n的关系，用含有 n的式子表示出来。
an (an an1) (an1 an2 ) (a2 a1) a1
形如已知 ，且
( 是可求积的数列）的形式均可用累商法（迭乘法）。
a . .a 恒等式2
n
an an1
an1 an2
a2
a1
构造数列的方法总结
构造数列的方法总结数列是数学中最基本的概念之一，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
构造数列的方法多种多样，下面将就几种常见的方法进行总结和探讨。
递推法：递推法是最常见的构造数列的方法之一。
递推法的基本思想是通过确定数列前几项之间的递推关系，从而不断地推导出后面的项。
例如斐波那契数列，它的递推关系是每一项都等于前两项之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。
通过这个递推关系，我们可以得到斐波那契数列的任意一项。
求通项公式：求解数列的通项公式是构造数列的一种高级方法。
通项公式可以直接给出数列的任意一项，而无需计算前面的项。
要求数列的通项公式，通常需要从数列中发现一定的规律，并运用代数方法进行推导。
例如等差数列的通项公式是An = A1 + (n - 1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。
特殊构造法：特殊构造法是一种灵活的数列构造方法，根据数列所要满足的特定条件，通过选择合适的数值和操作来构造出所需的数列。
例如杨辉三角，它是一种特殊的数列构造法，根据每个数等于它上方两个数之和的规律，可以逐行构造出杨辉三角的每一个数。
生成函数法：生成函数法是一种数理统计中常用的数列构造方法，它将数列看作是一个形式为函数的无穷级数。
通过对数列的生成函数进行求解，可以得到数列的各个项。
例如，斐波那契数列的生成函数是F(x) = 1/(1-x-x^2)，通过对这个生成函数进行展开，就可以得到斐波那契数列的每一项。
从几何问题中构造数列：数列构造方法还可以与几何问题相结合，通过几何问题的特点来构造数列。
例如，规则的图形阵列，通过对图形阵列的规律进行观察，可以确定数列的递推关系，从而构造数列。
通过以上几种方法，我们可以构造出各种各样的数列。
数列不仅仅是数学理论中的一个概念，它还广泛应用于实际生活和科学研究中。
在实际生活中，数列可以用来描述人口增长、货币贬值等现象；在科学研究中，数列可以用来描述物质的分布、自然界的规律等。
用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法
用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法分类,求解方法重庆市綦江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。
所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。
下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。
一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。
1.构造等差数列例1、（2022湖北）已知数列{an}的前n项和Snan()12n12(n为正整数），令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。
解：a11,b121a1122n1∵Snan()12，∴Sn1an1()n22nn1n∴2an1an()等式两边都乘以2得2an12an1，12n即bn1bn1，∴数列{bn}是以1为首项公差为1的等差数列，bn2an=n∴annn2n例2、数列an中，若a12，an1an，则a4（）13anA．21683B．C．D．191554分类,求解方法解：an1an13an11,313anan1anan又1111,是首项为公差3的等差数列。
a12an21156n52(n1)33n,anan2226n5a422所以选A645192.构造等比数列例3、(2022上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN 证明：{an1}是等比数列并求{an}的通项公式证明：当n1时，a1S115a185，a114,a1115当n2时，Sn1n15an185,∴anSnSn115an5an16an5an11，an15(an11)65的等比数列。
怎么利用构造法求数列的通项公式
怎么利用构造法求数列的通项公式用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1则an=()a．2nb．2n+1c．2n-1d．2n+1解法1：an+1=2an+1∴an+1+1=2an+2=2(an+1)又a1+1=2an+1+1an+1+1}就是首项为2公比为2的等比数列an+1=2⋅2=2,∴an=2-1,所以选c概括总结：若数列{an}满足用户an+1=pan+q(p≠1,q为常数），则而令an+1+λ=p(an+λ)去结构等比数列，并利用对应项成正比谋λ的值，求通项公式。
例2：数列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an，则an=解：an+2-an+1=2(an+1-an)a2-a1=2∴{an-an-1}领衔项为2公比也为2的等比数列。
an-an-1=2an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1显然n=1时满足上式∴an=2-1小结：先构造{an-1-an}等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，基准3：未知数列{an}中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2,(n≥3)谋这个数列的通项公式。
求解：an=2an-1+3an-2∴an+an-1=3(an-1+an-2)又a1+a2=7,{an+an-1}构成首项为7，公比为3的等比数列，则an+an-1=7⨯3………………………①又an-3an-1=-(an-1-3an-2)，a2-3a1=-13，{an-3an-1}形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则an-3an-1=(-13)⋅(-1)………………………②n-1n-1+13⋅(-1)①⨯3+②4an=7⨯3小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
构造法求数列通项的八种技巧
构造法求数列通项的八种技巧好啦，咱今天就来唠唠“构造法求数列通项的八种技巧”这个有趣的话题，嘿嘿！
你们想想，数列就像一群调皮的小精灵，总是跳来跳去，让我们摸不着头脑。
而构造法呢，就像是我们手里的魔法棒，可以把这些小精灵变得乖乖听话。
第一种技巧就像是给小精灵搭了个特别的房子，让它们按照我们设计的规则住进去。
第二种嘛，就好像给小精灵们穿上了特制的衣服，一下子就把它们的特点凸显出来啦。
有时候啊，看着那些复杂的数列，真觉得头疼，但是一用这些构造法技巧，哇塞，就好像突然找到了破解谜题的钥匙，那种感觉，别提多爽啦！
第三种技巧呢，像是给小精灵们摆了个特别的队形，一下子就让我们看清它们的排列规律啦。
第四种技巧则好像给小精灵们加了点魔法调料，让它们变得与众不同，然后我们就能顺藤摸瓜找到通项啦。
哎呀呀，每一种技巧都有它独特的魅力，就像我们生活中的各种小窍门一样。
用对了技巧，那解决数列问题就跟玩游戏似的，充满了乐趣。
有时候我觉得自己就像个数列探险家，拿着这些构造法的魔法棒，在数列的世界里尽情闯荡。
碰到难题也不怕，嘿嘿，我有我的八大技巧呢！
比如说，遇到一个特别刁钻的数列，乍一看毫无头绪，但是我不慌，我拿出我的构造法工具包，一个一个技巧试过去，总能找到合适的那个。
有时候甚至会被自己的聪明才智给惊呆，哈哈！
总之啊，这八种技巧就是我们求解数列通项的秘密武器。
学会了它们，我们就能在数列的海洋里畅游，不怕那些难题的挑衅啦！哈哈，大家一起加油，拿着构造法去攻克那些数列的难关吧！让我们在数学的世界里快乐冒险！。
等比的数列构造法公式
等比的数列构造法公式在咱们学习数学的奇妙世界里，等比数列可是个相当有趣的家伙。
今天就来好好聊聊等比数列的构造法公式。
先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：2，4，8，16，32……每一项和前一项的比值都一样，这就是等比数列啦。
那等比数列的构造法公式到底是啥呢？其实就是通过已知条件来构造出我们需要的等比数列，从而解决问题。
给您举个例子吧。
有一次我去逛超市，看到巧克力在打折。
有一种巧克力，第一天的价格是 10 块钱，第二天变成 20 块，第三天 40 块，就这么一直涨下去。
这其实就是一个简单的等比数列，每天价格都是前一天的 2 倍。
那如果要算第 n 天的价格，咱们就可以用等比数列的构造法公式。
假设首项是\(a_1\)，公比是\(q\)，那么第\(n\)项\(a_n\)就等于\(a_1 \times q^{n-1}\)。
在这个巧克力的例子里，\(a_1 = 10\)，\(q = 2\)，所以第\(n\)天的价格就是\(10 \times 2^{n - 1}\)块钱。
再比如说，有一道数学题：已知一个等比数列的第三项是 18，第五项是 54，求这个等比数列的通项公式。
这时候，咱们就可以用构造法公式来解决。
先根据已知条件求出公比\(q\)，因为\(a_5 = a_3 \times q^2\)，所以\(q^2 = \frac{a_5}{a_3} = \frac{54}{18} = 3\)，那\(q = \sqrt{3}\)或者\(q = -\sqrt{3}\)。
如果\(q = \sqrt{3}\)，又已知\(a_3 = 18\)，而\(a_3 = a_1 \times q^2\)，所以\(a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{18}{3} = 6\)，那么通项公式\(a_n =6 \times (\sqrt{3})^{n - 1}\)。
要是\(q = -\sqrt{3}\)，同样的方法可以算出\(a_1 = 6\)，通项公式就是\(a_n = 6 \times (-\sqrt{3})^{n - 1}\)。
数列构造法
一、构造等差数列法之迟辟智美创作
例1. 在数列{an}中，，求通项公式an.
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{bn}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得.
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 界说构造法
利用等比数列的界说，通过变换，构造等比数列的方法.
例2. 设在数列{an}中，，求{an}的通项公式.解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{bn}是以b1＝
为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：＝，解得为所求.
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列.
例3. 已知数列，其中，求通项公式.
解：原递推式可化为：，则数列是以
为首项，公比为3的等比数列，于是，故.
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列.
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式an.
解：将原递推变形为，设bn＝. ①
得②
设②式可化为，比力得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列.
所以，即，代入①式中得：
为所求.
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列.
例5. 在数列中，，求通项公式.
解：原递推式可化为，比力系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为.
所以.
即，故为所求.。
数列构造公式
常见的数列构造法公式：2an=a(n-1)+n+1。
数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
整数（integer）是正整数、零、负整数的集合。
整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。
在整数系中，零和正整数统称为自然数。
-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。
整数不包括小数、分数。
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构造法求数列的通项公式
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。
这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1设各项均为正数的数列的前n项和为S
n
，对于任意正整数n ，都有等式：成立，求的通项a n.
解：，∴
，∵，∴.
即是以2为公差的等差数列，且.
∴
例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.
解：∵
当n≥2时，
令，则，且
是以为公比的等比数列，
∴.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式a n.
解：由题设得.
∵，，∴.
∴
.
.
例4数列中，，且，（n∈N*），求通项公式a n.
解：∵
∴（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5数列中，，前n 项的和，求.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
，设，则
解：两边取对数得：，
，，，
∴
例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
∴
.。