数列的几种构造法解题
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析精编版)
专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)答案◆构造四:同型构造法【经典例题1】【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n nb na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==. 【经典例题2】【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,.(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==, 21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-. 【经典例题4】【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-，323411b b -=-，434511b b -=-……111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数) 则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。
等比数列三种构造法
等比数列三种构造法
等比数列是由一个首项和公比决定的数列。
为构造等比数列，我们可以采用以下三种方法：
1. 递推法：首项已知的等比数列可以通过首项和公比计算后续项。
具体而言，每一项都是前一项乘以公比的结果，即an = a1×r^(n-1)。
2. 公式法：对于给定的首项、公比和项数，可以使用等比数列的通项公式计算该数列中任意一项的值。
通项公式为an = a1×r^(n-1)。
3. 倍数法：通过将等比数列中每一项除以前一项得到的倍数序列，可以简化计算。
具体而言，如果第n项是前一项的r倍数，那么第n+1项就是前一项的r²倍数，以此类推。
通过计算倍数序列的第n项，我们可以得到等比数列的第n 项。
高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
数列
专题四：数列求通项（构造法）
一、必备秘籍
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如（p，q为常数，pq不等于0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍:注意判断已知条件是否符合
标准形式）
类型1：用“待定系数法”
构造等比数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造1、注意判断题目给的已
等差数列(1)知条件是否符合类型2(1)
的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造
等差数列(2)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(2)的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列
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用构造法求数列的通项公式几种常见方法
用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一． 利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4,即n n b b -+1＝４，nb {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。
3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n .二． 构造形如2n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。
数学构造法构造数列
数学构造法构造数列
数学构造法可以根据一定的规律或条件构造数列，具体的方法包括：
1. 等差数列：给定首项a 与公差d，构造数列a，a+d，a+2d，a+3d，...
2. 等比数列：给定首项a 与公比r，构造数列a，ar，ar^2，ar^3，...
3. 斐波那契数列：给定前两项a1 = 1，a2 = 1，构造数列1，1，2，3，5，8，13，...
4. 幂次数列：给定首项a 与公比b，构造数列a，ab，ab^2，ab^3，...
5. 递推数列：给定前几项，根据某种递推公式构造数列，如杨辉三角中的每个数都是它上方两个数之和。
6. 素数数列：构造素数数列，即只包含素数的数列。
7. 华尔夫数列：由于1/2 + 1/3 = 5/6，所以可以构造数列0, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/8, ...
构造数列的方法有很多种，根据需要选择合适的方法来构造符合特定条件的数列。
构造数列的方法总结
构造数列的方法总结数列是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
构造数列的方法有很多种，下面我将对一些常见的构造数列的方法进行总结和介绍。
首先，最基本的构造数列的方法就是通过给定的通项公式来逐项计算数列中的每一项。
通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式，通过通项公式我们可以很方便地计算出数列中任意一项的值，从而构造出整个数列。
比如，等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项号。
而等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项号。
通过这些通项公式，我们可以轻松地构造出任意长度的等差数列和等比数列。
其次，我们可以通过已知数列的部分项来构造出整个数列。
比如，如果我们知道一个数列的前几项是1, 3, 5, 7, 9，我们可以通过观察这些项之间的规律来构造出整个数列。
这个例子中，我们可以看出这是一个公差为2的等差数列，从而可以很容易地构造出整个数列。
这种方法需要我们对数列中的规律有一定的敏感性和观察力，通过观察已知的部分项来推断出整个数列的规律。
另外，我们还可以通过对数列进行变形来构造出新的数列。
比如，我们可以对一个已知的数列进行加减乘除运算，或者对数列中的项进行平方、开方等操作，从而构造出新的数列。
这种方法需要我们对数学运算有一定的灵活性和创造力，通过对已知数列的变形来构造出新的数列。
此外，我们还可以通过递推关系来构造数列。
递推关系是指数列中的每一项与前面一些项之间的关系式，通过递推关系我们可以逐步地构造出整个数列。
比如，斐波那契数列就是通过递推关系an=an-1+an-2来构造出来的。
递推关系在构造数列时非常常见，它可以帮助我们通过已知的一些项来推导出整个数列。
总的来说，构造数列的方法有很多种，我们可以通过通项公式、已知部分项、数列变形、递推关系等方法来构造出各种各样的数列。
通过对这些方法的灵活运用，我们可以更好地理解和应用数列，为解决实际问题提供更多的思路和方法。
构造法求数列通项公式
构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点,本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍,供同学们学习时参考;一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A 其中A 为常数形式,根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列,根据等差数列的通项公式,先求出)(n f 的通项公式,再根据)(n f 与n a ,从而求出n a 的通项公式;例1 在数列{}n a 中,1a =12,1n a +=33n n a a +n N +∈,求数列{}n a 通项公式. 解析：由a n+1=33+n na a 得,a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0,两边同除以a n+1 a n 得,=-+n n a a11131,设b n =n a 1,则b n+1- b n =31,根据等差数列的定义知, 数列｛b n ｝是首相b 1=2,公差d=31的等差数列,根据等差数列的通项公式得b n =2＋31n-1=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n评析：本例通过变形,将递推公式变形成为A a a nn =-+111形式,应用等差数列的通项公式,先求出na 1的通项公式,从而求出n a 的通项公式; 例2 在数列｛a n ｝中,S n 是其前n 项和,且S n ≠0,a 1=1,a n =1222-n n S S n ≥2,求S n 与a n;解析：当n ≥2时,a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S得,S n -S n-1=1222-n n S S ,变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得,nS 1-11-n S =2,∴｛nS 1｝是首相为1,公差为2的等差数列∴nS 1=1+2n-1=2n-1, ∴ S n =121-n n ≥2,n=1也适合,∴S n =121-n n ≥1当n ≥2时,a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ,n=1不满足此式,∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(,先求出)(n f 的通项公式,再求出原数列的通项公式,条件变形是难点;二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公式变形成为fn+1=Afn其中A 为非零常数形式,根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列,根据等比数列的通项公式,先求出)(n f 的通项公式,再根据)(n f 与n a ,从而求出n a 的通项公式;例3在数列｛a n ｝中,a 1=2,a n =a n-12n ≥2,求数列｛a n ｝通项公式;解析：∵ a 1=2,a n =a n-12n ≥2＞0,两边同时取对数得,lg a n =2lg a n-1∴1lg lg -n n a a=2, 根据等比数列的定义知,数列｛lg a n ｝是首相为lg2,公比为2的等比数列,根据等比数列的通项公式得lg a n =2n-1lg2=122lg -n∴数列通项公式为a n =122-n评析：本例通过两边取对数,变形成1log 2log -=n n a a 形式,构造等比数列{}log n a ,先求出n a log 的通项公式,从而求出n a 的通项公式;例4在数列｛a n ｝中,a 1=1,a n+1=4a n +3n+1,求数列｛a n ｝通项公式;解析：设a n+1+An+1+B=4a n +An+B,A 、B 为待定系数,展开得a n+1=4a n +3An+3B-A,与已知比较系数得{1333=-=A B A ∴{321==B A ∴a n+1+n+1+32=4a n +n+32,根据等比数列的定义知,数列｛a n +n+32｝是首项为38,公比为q=3的等比数列,∴a n +n+32=38×3n-1∴数列通项公式为a n =38×3n-1-n-32评析：待定系数法是构造数列的常用方法;例5 在数列｛a n ｝中,a 1=1 ,a n+1a n =4n ,求数列｛a n ｝通项公式;解析：∵a n+1a n =4n ∴a n a n-1=4 n-1 两式相除得11-+n n a a =4 ,∴a 1,a 3,a 5……与a 2,a 4 ,a 6 ……是首相分别为a 1,a 2 ,公比都是4的等比数列, 又∵a 1=1,a n+1a n =4n ,∴a 2=4 ∴a n ={nn n n 22144-练习：1.已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n na 11+=+,求n a解：由条件知11+=+n na a n n ,分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ,na n 32=∴ 解：由条件知11+=+n na a n n ,分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ,na n 32=∴ 2. 数列{a n }满足a 1=1,a n =21a 1-n +1n ≥2,求数列{a n }的通项公式; 解：由a n =21a 1-n +1n ≥2得a n －2=21a 1-n －2,而a 1－2=1－2=－1,∴数列{ a n －2}是以21为公比,－1为首项的等比数列∴a n －2=－211-n ∴a n =2－211-n3. 数列{}n a 中,n n n a a a a a +===++122123,2,1,求数列{}n a 的通项公式;解：由n n n a a a +=++1223得,313212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得3132=-=+kh h k ，,解得31,1-==h k 或1,31=-=h k若取31,1-==h k ,则有)(31112n n n n a a a a --=-+++∴}{1n n a a -+是以31-为公比,以11212=-=-a a 为首项的等比数列∴11)31(-+-=-n n n a a由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=11)31()31()31()31(232++-+-++-+--- n n=1311)31(11++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n4. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,对于任意正整数n,都有等式：n n n S a a 422=+成立,求{}n a 的通项an.解：n n n S a a 422=+⇒112142---=+n n n S a a , ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,∵01≠+-n n a a ,∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的等差数列,且24211121=⇒=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+=1通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解;一般地,形如a 1+n =p a n +qp ≠1,pq ≠0型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=pa n +k 与原式比较系数可得pk －k =q ,即k=1-p q,从而得等比数列{a n +k }; 2通过分解系数,可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解;这种方法适用于n n n qa pa a +=++12型的递推式,通过对系数p 的分解,可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++,比较系数得q hk p k h =-=+,,可解得k h ,;3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,联想出一种适当的辅助模型,进行命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式. 1构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法. 2构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 3构造商式与积式构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法; 4构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.。
数列的几种构造法解题
数列几种构造法解题数列的构造法，我这里仅仅表示的是a 1与 a n 之间的常见关系，还有很多需要补充的。
n以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。
例1，a n 1 2a nn - 1 .等比数列， a n a 1 q n - 12例2.a n1a n2等差数列， a n a 1 （n1）d2n - 1例3。
a n 1 2a n1构造等比数列 a n 1x （2a n x ）展开解得 x 1，所以 a n 1整体是等比数列所以 a n1 （a 11）2n - 1 化简可得 a n2n1例 4，1） a n 12a n3n解 1，直接构造法：构造 a n1x3n 1展开解得 x 1所以 a n - 3n（ a 1所以 a n3n - 2n解 2，间接构造（2a n x3n ）- 3） 2n - 1首先同除以 3 na n12a n 1可以得到3n3na n 1x2 a nx ）构造（3n 13n3展开解得 xa n3整体是等比数列3。
所以3n1a n3a 12n 12n即(3）( )3n3n 13 0 31化简即可得 a n 3n - 2n2）a n 1 2a n 2n同除以 2 n得到 a n 1 a n12n2n - 1可以得到a na 1 （ n - 1） 1n2n - 120所以 a nn2n - 1例5，a n+ 1 = 2a n + 3 n构造 a n 1m（ n 1） t（2a n mn t ），展开解得 m3， t3所以 a n3n3是等比数列，即a n 3n3（a133） 2n - 1所以 an72n - 13n3综合例 6已知a12，a n 12a n3n n，试求 a n的通项公式。
解：构造 a n 1m3n 1x（n1）y（2a n m3n xn y）展开化简依次可以解得 m1，x1，y1所以 a n3n n 1 （ a1 - 3111） 2n 12n 1所以 a n3n2n 1 - n 1。
构造法求数列的两种秒杀办法
构造法求数列的两种秒杀办法
构造法求数列的两种秒杀办法
今天我们来说一下构造法的7种形式，这里面构造它的7种形式当中的前两种就可以用代定系数了，当然第1种也可以用不动点法，第2种就是配凑也可以，或者说构建新数列.第3种是去倒数构造，第4种是特征根法，第5种是累加或累乘法，第6种是取对数法，第7种是不动点法。
不管是哪一种方法，我们一定要记住它构造之前的递推公式的形式，然后再进行构造。
不动点法的形式有很多，所以我们这里面不需要周记，我们只需要把我们常用的第7种形式记一记就可以了。
特征根法，我们只需要记住它的公式，然后我们会怎么去套用这个公式，再一个也有同学们问我就是第2种和第3种怎么不讲一讲，那么第2种比较典型的代表例子，就是等差中项，第3种我们是用于判断的，而不是用于求解的。
构造法求数列通项的八种技巧
构造法求数列通项的八种技巧好啦，咱今天就来唠唠“构造法求数列通项的八种技巧”这个有趣的话题，嘿嘿！
你们想想，数列就像一群调皮的小精灵，总是跳来跳去，让我们摸不着头脑。
而构造法呢，就像是我们手里的魔法棒，可以把这些小精灵变得乖乖听话。
第一种技巧就像是给小精灵搭了个特别的房子，让它们按照我们设计的规则住进去。
第二种嘛，就好像给小精灵们穿上了特制的衣服，一下子就把它们的特点凸显出来啦。
有时候啊，看着那些复杂的数列，真觉得头疼，但是一用这些构造法技巧，哇塞，就好像突然找到了破解谜题的钥匙，那种感觉，别提多爽啦！
第三种技巧呢，像是给小精灵们摆了个特别的队形，一下子就让我们看清它们的排列规律啦。
第四种技巧则好像给小精灵们加了点魔法调料，让它们变得与众不同，然后我们就能顺藤摸瓜找到通项啦。
哎呀呀，每一种技巧都有它独特的魅力，就像我们生活中的各种小窍门一样。
用对了技巧，那解决数列问题就跟玩游戏似的，充满了乐趣。
有时候我觉得自己就像个数列探险家，拿着这些构造法的魔法棒，在数列的世界里尽情闯荡。
碰到难题也不怕，嘿嘿，我有我的八大技巧呢！
比如说，遇到一个特别刁钻的数列，乍一看毫无头绪，但是我不慌，我拿出我的构造法工具包，一个一个技巧试过去，总能找到合适的那个。
有时候甚至会被自己的聪明才智给惊呆，哈哈！
总之啊，这八种技巧就是我们求解数列通项的秘密武器。
学会了它们，我们就能在数列的海洋里畅游，不怕那些难题的挑衅啦！哈哈，大家一起加油，拿着构造法去攻克那些数列的难关吧！让我们在数学的世界里快乐冒险！。
数列构造法
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。
解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3. 已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，
，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。
所以。
即，故为所求。
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数列构造法
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。
解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3. 已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，
，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。
所以。
即，故为所求。
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数列构造法
一、构造等差数列法例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
则①即为为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
中，，求
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首
＝，解得
可构造为形如的等比数列。
已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比的等比数列，于是，故
3. （
可构造为形如的等比数列。
已知数列，其中，且
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
在数列中，。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为
所以
即，故为所求。
数列构造法
一、构制等好数列法之阳早格格创做
例1. 正在数列{an}中，，供通项公式an.
解：对于本递推式二边共除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{bn}为尾项是，公好是的等好数列，果而，代进②式中得.
故所供的通项公式是
二、构制等比数列法
1. 定义构制法
利用等比数列的定义，通过变更，构制等比数列的要领.
例2. 设正在数列{an}中，，供{an}的通项公式.
解：将本递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{bn}是以b1＝
为尾项，公比为2的等比数列，于是，代进④式得：＝，解得为所供.
2. （A、B为常数）型递推式
可构制为形如的等比数列.
例3. 已知数列，其中，供通项公式.
解：本递推式可化为：，则数列是以
为尾项，公比为3的等比数列，于是，故.
3. （A、B、C为常数，下共）型递推式
可构制为形如的等比数列.
例4. 已知数列，其中，且，供通项公式an.
解：将本递推变形为，设bn＝. ①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为尾项，公比是－3的等比数列.
所以，即，代进①式中得：
为所供.
4. 型递推式
可构制为形如的等比数列.
例5. 正在数列中，，供通项公式.
解：本递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，尾项
，公比为.
所以.
即，故为所供.。
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析精编版)
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)答案◆构造六:取对数构造法【经典例题1】【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222log log n na a +=,122log 2log n na a +=,设2log na nb =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1a b ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21na n --,1212n n a --=.【经典例题3】【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n n n n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12n a n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233log log n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比【经典例题1】【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n nn n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122n n a a -=-,所以21n n a =-.【经典例题2】【解析】由()2+12+11211+333n n n n n n n a a a a a a a +++=⇒-=--,故{}1n n a a +-是以211a a -=为首项,13- 为公比的等比数列,即11111133n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯,接下来就是叠加法啦,1121...131n n n a a a a -+⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎬⎪-=⎪⎪⎭全部相加,利用等比数列求和得:+11331443n n a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,1731443n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【经典例题3】【解析】 由()2+12+11522333n n n n n n n a a a a a a a +++=⇒-=--,故{}1n n a a +-是以2123a a -=为首项,23为公比的等比数列,即123nn n a a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭,接下来就是叠加法,121 (232)3nn n a a a a +⎫⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎬⎪⎪-=⎪⎭全部相加,利用等比数列求和得:+112223n n a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,12323n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【经典例题4】【解析】看到这道例题,当我们希望通过构造{}1n n a a +-为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造{}1n n a pa +-成等比来解决.设原等式()211n n n n a pa pa q a +++=--,打开得到()21n n n a p q a pqa ++=+-,对应项系数相等,44p q pq +=⎧⎨-=-⎩解得22p q =⎧⎨=⎩,所以构造{}12n n a a +-为首项为2,公比为2的等比数列,所以12=2n nn a a +-,即12=+2n nn a a +,这就回到了熟悉的1n n n a pa q +=+型.下面的操作就看你们的了.【经典例题5】【解析】通过构造{}1n n a pa +-成等比来解决.设原等式()211n n n n a pa pa q a +++=--,打开得到()21n n n a p q a pqa ++=+-,对应项系数相等,7323p q pq ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得213p q =⎧⎪⎨=⎪⎩或132p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造{}12n n a a +-首项为23-,公比为13的等比数列或构造113n n a a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.构造一: 1121332n n n a a -+⎛⎫⎪⎝⎭-=-,即1121323n n n a a +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭,这就回到了熟悉的1nn n a pa q +=+型,设1111233n n n n a a λλ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,待定系数法得25λ=-,则数列12153n n a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为111213535a -⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭,公比为2的等比数列,所以112132535n n n a --⎛⎫⎛⎫-⋅=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即112125335n n n a --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭+. 构造二: 11132n n n a a -+=-,即11132n n n a a +-=+ ,设()111223n n n n a a λλ-++⋅=+⋅,待定系数法得35λ=-,则数列1325n n a -⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭是首项为11132255a --⋅=,公比为13的等比数列,所以113212553n n n a --⎛⎫-⋅=⋅ ⎪⎝⎭,即112125335n n n a --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭+. 【秒杀例题1】【解析】217233n n n a a a ++=-,对应的特征方程为:27233x x =-,解得两根为12x =,213x =,设所求数列通项公式为22123n n n a A B --⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭,把11a =,243a =代入上面的通项公式中,建立方程组解A ,B ,即 1100112341233A B A B --⎧⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩,解得65215A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入化简得112125335n n n a --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭+. 【秒杀例题2】【解析】2144n n n a a a ++=-,对应的特征方程为:244x x =-,解得两根为212x x ==,设所求数列通项公式为()22n n a n A B -=+,把11a =,24a =代入上面的通项公式中,建立方程组解A ,B ,即()()1012422A B A B -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩解得20A B =⎧⎨=⎩,代入化简得12n n n a -=⋅. 【练习1】【答案】12n n a -∴=【解析】()22311≥-=-+n a a a n n n ,()112n n n n a a a a +-∴-=-, 即112n nn n a a a a +--=-,12211,2,1,a a a a ==∴-=∴数列{1n a +-}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,112n n n a a -+∴-=, 由累加法可得,22111222n n n a a a --=-=++++=()111122112n n --⨯-=--,()1*2.n n a n -∴=∈N【练习2】【答案】【解析】(1)当2n =时,4231458S S S S +=+,即43534151242a ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3581124⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭解得:478a =; (2)证明:()()2444428541112112≥-=-+-∴≥+=++-++-++n S S S S S S n S S S S n n n n n n n n n n即()24412≥=+++n a a a n n n ,31221544164444n n n a a a a a a +++=⨯+==∴+=()21211111111142422214242222n n n n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----===----12=∴数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项,公比为12的等比数列; (3)由(2)知,112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2112a a -为首项,公比为12的等比数列, 1111. 22n n n a a -+⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪∴⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项,4为公差的等差数列,2(1)44212n na n n ∴=+-⨯=-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即 1(42)(21)2n n a n n ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭112n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∴数列{}n a 的通项公式是11(21). 2n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【练习3】【答案】【解析】(1)证明:2122n n n a a a ++=-+,2112n n n n a a a a +++∴-=-+,又21211a a -=-=,∴数列{}1n n a a +-是以1为首项、2为公差的等差数列,即数列{}n b 是等差数列;(2)由(1)可知112(1)21n n a a n n +-=+-=-,12(1)1n n a a n -∴-=--,122(2)1n n a a n ---=--21211a a -=⋅-,累加得,12[12(1)]n a a n -=++⋯+-(1)n --(1)212n n n -=⋅-+221n n =-+, 2212122n a a n n n n ∴=+-+=-+∴数列{}n a 的通项公式222n a n n =-+.◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)【经典例题1】【解析】根据数列不动点得性质,令1n n a a x +==,方程251(1)03x x x x -=⇔-=+,故1是数列{}n a 的不动点,尝试在递推式两边同时减去1,得到()141511133n n n n n a a a a a +---=-=++. 注意到左右两边分别出现了11n a --和1n a -这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列{}1n a -,当然也可以直接变形：()()()1141314111131414114n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---+-+-=⇔===++----也即1111114n n a a +=+--,因此数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1,公差为14的等差数列,累加得 11(3)14n n a =⋅+-,因此47133n n a n n +=+=++.【经典例题2】【解析】根据数列不动点得性质,令1n n a a x +==,同样地,考虑方程42(1)(2)01x x x x x -=⇔--=+,这时候数列{}n a 有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：()131421111n n n n n a a a a a +---=-=++ ()122422211n n n n n a a a a a +---=-=++. 两式相除得11113222n n n n a a a a ++--=⋅--,因此数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2,公比为32的等比数列,累乘得 113222n n n a a --⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭,因此83324332n nn n na ⋅-⋅=⋅-⋅.【经典例题3】【解析】 考虑方程4(1)(2)023x x x x x +=⇔-+=+,故1和2-是数列{}n a 的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去1和2-,分别得到：111224133n n n n n a a a a a +--=-=-+++.()1524222323n n n n n a a a a a ++++=+=++ 两式相除得11111252n n n n a a a a ++--=-⋅++,因此数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为25,公比为15-的等比数列,累乘得 1121255n n n a a --⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭,因此(5)4(5)2nn n a ---+=.【经典例题4】【解析】首先对等式进行一定的变形,等式两边同除1n +,得1214n n n a a nn a n+-=++,等式右侧上下同除n ,使两侧结构相同,1212144nn n n n a a a n n a n a n n+--==+++,令n n a b n =,则+1214n n n b b b -=+,考虑方程221(+1)04x x x x -=⇔=+,故1-是数列{}n a 的不动点,在递推式两边同时减去1-,得到：()()()1131241311111==4413131113n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b +++++++=+=⇔=+++++++-.所以数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以23为首项,13为公差的等差数列, 即1113n n b +=+,311n b n =-+,21n a nn n -=+,得到()21n n n a n -=+.【经典例题5】【解析】事实上,2111122nn n n na a a a a +⎛⎫+=⋅+= ⎪⎝⎭,这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢? 同样尝试求它的不动点:11(1)(1)02x x x x x ⎛⎫=⋅+⇔-+= ⎪⎝⎭,因此1和1-是数列{}n a 的两个不动点,变形得到： ()()222211111111,112222n nn n n n n n n na a a a a a a a a a ++-+++-=-=+=+= 两式相除得2111111n n n n a a a a ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭,又 11131a a +=-,迭代得到211131n n n a a +++=- 由此解得数列的通项公式 11223131n n n a --+=-.由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构,更易于处理。
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数列几种构造法解题
数列的构造法，我这里仅仅表示的是n 1a 与+n a 之间的常见关系，还有很多需要补充的。
以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。
1-n 1-n 1n n
1n 2q
a a 等比数列，a 2a ，1例=•==+.
1
-n 2d ）1n （a a 等差数列，2a 2.a 例1n n 1n =-+=+=+
1
2a 化简可得2）1a （1a 所以整体是等比数列1a ，所以1x 展开解得）x a （2x a 构造等比数列1
a 2a 。
3例n n 1
-n 1n n n 1n n 1n -=+=++=+=++=++ 1-n n
011-n 1-n n n 1n n n
n 1n n
n n 110111
1n 1n n n n 1n n n
n n 1
-n 1n n n n 1n 1n n
n 1n 2n a 所以n
1）1-n （2a 2a 可以得到
12a 2a 得到
2同除以22a a ）22-3a 化简即可得3
2)32(）33a (33a 即整体是等比数列33a 。
所以3x 展开解得）3
a （32x 3a 构造13a 23a 可以得到
3首先同除以，间接构造
2解2-3a 所以2）3-a （3-a 所以1
x 展开解得）
3x a （23x a 构造，直接构造法：
1解32a a ）1，4例n •==•+==-+==-=-=---=+=++==•=-=+=++=++-----+++++n n
n n n n n n n x
3n 327an 所以2）33a （33n a 即是等比数列，
3n 3a 所以3
t ，3m 展开解得），
t mn a （2t ）1n （m a 构造
n 3+2a =a ，5例1-n 1
-n 1n n n 1n n 1+n --•=•++=++++==++=+++•+
综合例6的通项公式。
a ，试求n 3a 2a ，2a 已知n n n 1n 1++==+
1n -23a 所以22
）113-a （1n 3a 所以1y ，1x ，1m 展开化简依次可以解得）y xn 3m a （2y ）1n （x 3m a 解：构造1n n n 1n 1n 11n n n n 1n 1n -+==•++=++-==-=+++=++++---++。