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(精编)2020江西省中考数学第专题复习 二次函数综合题(含解析)

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2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。

2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)

《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0）∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴，∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴ 解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1；（2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1，∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1），∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1，∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1）∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ，设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1），∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2，解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0） ②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0），∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3），∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），∵点M （1，4），点B （3，0）∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ，∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ，∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0），∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M 的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似，∵D （2，1），A （1，0），B （3，0），∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，联立， 解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ），∴点A 的坐标为（c ，0），∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴， 解得，或，∵函数图象开口向上，∴a ＞0，∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示，由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ， ∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ， ∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝，∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。

2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题

2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题

二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。

2020中考数学 压轴训练：二次函数综合题(含答案)

2020中考数学 压轴训练：二次函数综合题(含答案)

2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案）1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4).(Ⅰ)求抛物线C的解析式；(Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2.Ⅰ求抛物线C′的解析式；Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标.解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1，Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；(Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)，Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度，ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)，ⅠOD′＝2，k－1＝2，解得k＝3或k=－1，Ⅰ||Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1，即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2；ⅠⅠOD′＝2，ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)．令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)．设点Q 坐标为(1，m )．ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4，Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1.ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)．2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点．(Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式；(Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)．Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范围；Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值．解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－6， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6；(Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0，b 2－4ac ＝(3m －1)2－4×(2m 2－2m )＝(m +1)2，Ⅰx 1＝3m －1－（m ＋1）22＝m －1， x 2＝3m －1＋（m ＋1）22＝2m ， Ⅰ－1≤12x 1－13x 2≤1，Ⅰ－1≤m －12－2m 3≤1，整理得－9≤m ≤3，Ⅰm ＞－1，Ⅰ－1＜m ≤3；Ⅰ若对称轴x ＝3m －12≤1，当x ＝1时，二次函数有最小值－1，此时－1＜m ≤1，代入(1，－1)得：1－(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－5m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝32(舍去)；若对称轴x ＝3m －12≥3，当x ＝3时，二次函数有最小值－1，此时m ≥73，代入(3，－1)得：9－3(3m －1)＋2m 2－2m ＝－1，化简得2m 2－11m ＋13＝0，解得m ＝11＋174或m ＝11－174(舍去)； 若对称轴1＜3m －12＜3，当x ＝3m －12时，二次函数有最小值－1，此时1＜m ＜73，代入(3m －12，－1)，得（3m －1）24－（3m －1）22＋2m 2－2m ＝－1， 化简得m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，(均舍去)综上所述，m 的值为11＋174或1. 3. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和B ，与y 轴的交点为C (0，－3)，其中A (－1，0)．(Ⅰ)求点B 的坐标；(Ⅰ)若抛物线上存在一点P ，使得ⅠPOC 的面积是ⅠBOC 的面积的2倍，求点P 的坐标；(Ⅰ)点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值． 解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，A (－1，0)，Ⅰ点B 的坐标为(3，0)；(Ⅰ)将点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3， ⅠS ⅠBOC ＝12×3×3＝92.ⅠS ⅠPOC ＝2S ⅠBOC ＝9.设点P 的横坐标为xP ，则12×3×|x p |＝9，解得x P ＝±6.Ⅰ点P 的坐标为(6，21)或(－6，45)；(Ⅰ)Ⅰ点B (3，0)，C (0，－3)，Ⅰ直线BC 的解析式为y ＝x －3.设点M (a ，a －3)，则点D (a ，a 2－2a －3)．ⅠMD ＝a －3－(a 2－2a －3)＝－a 2＋3a ＝－(a －32)2＋94，Ⅰ当a ＝32时，线段MD 长的最大值为94.4. 抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)与y 轴相交于点C ，经过点C 作直线CD Ⅰx 轴，交抛物线于点D ，将直线CD 向上平移t 个单位长度，交抛物线于点A 、B (A 在B 的左侧)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E .(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，求抛物线顶点P 的坐标；(Ⅰ)若ⅠACB ＝90°，求t 的值；(Ⅰ)在(Ⅰ)的条件下，当以点A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时，求b 的值．解：(Ⅰ)当b ＝－2，c ＝1时，y ＝12x 2－2x ＋1＝12(x －2)2－1，Ⅰ抛物线的顶点P 的坐标为(2，－1)；(Ⅰ)如解图，连接AC ，BC ，CE ，ⅠⅠACB ＝90°，AE ＝EB ，ⅠCE ＝12AB ，由12＋bx＋c＝c＋t，解得x＝－b±b2＋2t，2xⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，B(－b＋b2＋2t，c＋t)，ⅠAB＝2b2＋2t.ⅠE(－b，c＋t)，C(0，c)，ⅠCE＝b2＋t2.Ⅰb2＋t2＝b2＋2t.解得t＝2或t＝0(舍去)，Ⅰt＝2；第4题解图(Ⅰ)由题意得CD＝AE，ⅠA(－b－b2＋2t，c＋t)，E(－b，c＋t)，且点A在点E的左侧，ⅠAE＝b2＋2t.ⅠC(0，c)，D(－2b，c)，ⅠCD＝|－2b|，Ⅰb2＋2t＝|－2b|，Ⅰ3b2＝2t，Ⅰt ＝2，Ⅰb ＝±233.5. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 经过点(1，－4a )，(4，5a )．(Ⅰ)证明：抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)设抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若ⅠACB ＝90°，求a 的值；(Ⅰ)若点D 和点E 的坐标分别为(0，4)，(4，4)．抛物线与线段DE 恰有一个公共点，求a 的取值范围．(Ⅰ)证明：把点(1，－4a )，(4，5a )代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4a 16a ＋4b ＋c ＝5a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a c ＝－3a， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－2ax －3a ，Ⅰb 2-4ac ＝(－2a )2－4a ·(－3a )＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0，Ⅰ抛物线与x 轴有两个不同的交点；(Ⅰ)解：令ax 2－2ax －3a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，Ⅰ设A ，B 两点的坐标分别为(－1，0)，B (3，0)，令x ＝0，则y ＝－3a ，Ⅰ点C 的坐标为(0，－3a )，ⅠⅠACB ＝90°，ⅠAC 2＋BC 2＝AB 2，ⅠAC 2＝(－1)2＋(－3a )2＝1＋9a 2，BC 2＝32＋(－3a )2＝9＋9a 2，AB 2＝[3－(－1)]2＝16，Ⅰ1＋9a 2＋9＋9a 2＝16，解得a ＝±33.Ⅰa的值为±3 3；(Ⅰ)解：Ⅰ由(Ⅰ)知，抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，Ⅰ抛物线关于直线x＝1对称，Ⅰa的正负不确定，需分类讨论；当a＞0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＜4，解得a＞－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≥4，解得a≥4 5，Ⅰa≥4 5，当a＜0时，如解图Ⅰ，将x＝0代入抛物线解析式得y＝－3a，Ⅰ抛物线与线段DE恰有一个公共点，Ⅰ－3a＞4，解得a＜－4 3，将x＝4代入抛物线解析式得y＝5a，Ⅰ5a≤4，解得a≤4 5，Ⅰa <－43；当抛物线的顶点在线段DE 上时，则顶点为(1，4)，如解图Ⅰ，将点(1，4)代入抛物线得4＝a －2a －3a ，解得a ＝－1.综上所述，a ≥45或a ＜－43或a ＝－1.第5题解图6. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (0，2)，B (2，－2)两点．(Ⅰ)求a ，b 满足的关系式；(Ⅰ)当a ＝－12时，y 值为正整数，求满足条件的x 值；(Ⅰ)若a ＞0，线段AB 下方的抛物线上有一点D ，求ⅠDAB 的面积最大时，D 点的横坐标． 解：(Ⅰ)将A (0，2)，B (2，－2)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝24a ＋2b ＋c ＝－2， Ⅰ4a ＋2b ＋2＝－2，整理得2a ＋b ＝－2，即a ，b 满足的关系式为2a ＋b ＝－2； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2，Ⅰa ＝－12 ，Ⅰb ＝－1，Ⅰ抛物线解析式为y ＝－12x 2－x ＋2＝－12(x ＋1)2＋52，Ⅰy 值为正数，Ⅰ－12(x ＋1)2＋52＞0，Ⅰ(x ＋1)2－5＜0，Ⅰ－5－1＜x ＜5－1，Ⅰy 值为整数，即－12(x ＋1)2＋52为整数，Ⅰ(x ＋1)2是奇数，综上所述，满足条件的x 值为－2或0； (Ⅰ)由(Ⅰ)知，c ＝2，b ＝－2a －2， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝ax 2－(2a ＋2)x ＋2， ⅠA (0，2)，B (2，－2)，Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2， Ⅰ点D 在线段AB 下方的抛物线上， 设点D （m ，am 2－(2a ＋2)m ＋2），如解图，过点D作y轴的平行线DE交AB于点E，ⅠE(m，－2m＋2)，ⅠDE＝－2m＋2－[am2－(2a＋2)m＋2]＝－a(m－1)2＋a，ⅠSⅠDAB＝12DE·(xB－xA)＝－a(m－1)2＋a，Ⅰa＞0，Ⅰ－a＜0，Ⅰ当m＝1时，ⅠDAB的面积最大，此时D点的横坐标为1.第6题解图7. 一次函数y＝34x的图象与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(Ⅰ)求点C的坐标；(II)设二次函数图象的顶点为D.Ⅰ若点D与点C关于x轴对称，且ⅠACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；Ⅰ若CD＝AC，且ⅠACD的面积等于10，求此二次函数的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰy＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，Ⅰ二次函数图象的对称轴为直线x＝2.当x ＝2时，y ＝34x ＝32，ⅠC (2，32)；(Ⅰ)ⅠⅠ点D 与点C 关于x 轴对称，ⅠD (2，－32)，ⅠCD ＝3.设A (m ，34m ) (m <2)，由S ⅠACD ＝3，得12×3×(2－m )＝3，解得m ＝0，ⅠA (0，0).将A (0，0)、 D (2，－32)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中，得⎩⎨⎧c ＝0－4a ＋c ＝－32， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==083c a . Ⅰ此二次函数的解析式为y ＝38x 2－32x ；Ⅰ设A (m ，34m )(m <2)，如解图，过点A 作AE ⅠCD 于E ，第7题解图则AE ＝2－m ，CE ＝32－34m ，∴ AC ＝AE 2＋CE 2＝(2－m )2＋(32－34m )2＝54(2－m )，ⅠCD ＝AC ，ⅠCD ＝54(2－m ).由S ⅠACD ＝10得12×54(2－m )2＝10，解得m ＝－2或m ＝6(舍去)，Ⅰm ＝－2.ⅠA (－2，－32)，CD ＝5.若a ＞0，则点D 在点C 下方，ⅠD (2，－72)，由A (－2，－32)、D (2，－72)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝－72， 解得⎩⎨⎧a ＝18c ＝－3， Ⅰy ＝18x 2－12x －3.若a ＜0，则点D 在点C 上方，ⅠD (2，132)，由A (－2，－32)、D (2，132)得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋c ＝－32－4a ＋c ＝132 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝92， Ⅰy ＝－12x 2＋2x ＋92. 综上，二次函数的解析式为y ＝18x 2－12x －3或y ＝－12x 2＋2x ＋92.8. 已知二次函数y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3(m是常数)的图象与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)．(Ⅰ)如果二次函数的图象经过原点．Ⅰ求m的值；Ⅰ若m＜0，点C是一次函数y＝－x＋b(b＞0)图象上的一点，且ⅠACB＝90°，求b的取值范围；(Ⅰ)当－3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．解：(Ⅰ)ⅠⅠ二次函数的图象经过原点，Ⅰm2－2m－3＝0，解得m1＝－1，m2＝3.ⅠⅠm＜0，Ⅰm＝－1.把m＝－1代入y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3中，得：y＝x2－4x，当y＝x2－4x＝0时，解得x1＝0，x2＝4，ⅠAB＝4.以AB为直径作ⅠP，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与圆相交时，可得ⅠACB＝90°.如解图，一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与ⅠP相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得ⅠPCF＝90°.第8题解图当x＝0时，y＝－x＋b＝b，Ⅰ点E(0，b).Ⅰ当y＝－x＋b＝0时，x＝b，Ⅰ点F(b，0)，ⅠAE＝AF＝b，又ⅠⅠPCF＝90°，ⅠⅠPCF为等腰直角三角形，ⅠPF＝2PC＝22，Ⅰb＝AF＝2＋22，Ⅰb的取值范围为0＜b≤2＋22；(Ⅰ)Ⅰy＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3＝(x＋m－1)2－4，Ⅰ抛物线的对称轴为直线x＝1－m，Ⅰ当1－m≤-3+22，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，Ⅰ(2＋m－1)2－4＝5，解得：m＝2或m＝－4(舍去)；Ⅰ当1－m＞-3+22，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝－3时，函数最大值为5，Ⅰ(－3＋m－1)2－4＝5，解得：m＝1或m＝7(舍去)．综上所述，m＝2或m＝1.9. 已知抛物线y＝a(x－h)2－2(a，h是常数，a≠0)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点．(Ⅰ)若点A(－1，0)，B(5，0)，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若点A(－1，0)，且ⅠABM是直角三角形，求抛物线的解析式；(Ⅰ)若抛物线与直线y＝x－6相交于M、D两点，当CDⅠx轴时，求抛物线的解析式．解：(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，Ⅰ5－h＝h－(－1)，Ⅰh＝2.把A(－1，0)代入y＝a(x－2)2－2，有a(－1－2)2－2＝0，解得a＝29，Ⅰ抛物线的解析式为y＝29(x－2)2－2；(Ⅰ)Ⅰ抛物线与x轴交于A、B两点，顶点M在直线y＝－2上，如解图Ⅰ.Ⅰa＞0.由a(x－h)2－2＝0，得x＝h±2a.Ⅰ|AB|＝(h＋2a)－(h－2a)＝22a.设对称轴x＝h交x轴于点H，则MH＝2.ⅠⅠABM是等腰直角三角形，ⅠAB＝2MH，Ⅰ22a＝4，解得a＝12，把A(－1，0)代入y＝12(x－h)2－2，得12(－1－h)2－2＝0，解得h1＝1，h2＝－3，Ⅰ抛物线的解析式为y＝12(x－1)2－2或y＝12(x＋3)2－2；第9题解图Ⅰ(Ⅰ)如解图Ⅰ，Ⅰ点M(h，－2)在直线y＝x－6上，Ⅰ－2＝h－6，解得h＝4.Ⅰy＝a(x－4)2－2＝ax2－8ax＋16a－2，ⅠC (0，16a －2)，由x －6＝ax 2－8ax ＋16a －2，即ax 2－(8a ＋1)x ＋16a ＋4＝0.解得x 1＝8a ＋1＋12a ＝4＋1a ，x 2＝8a 2a ＝4，把x ＝4＋1a 代入y ＝x －6，得y ＝1a －2，ⅠD (4＋1a ，1a－2)． ⅠCD Ⅰx 轴，Ⅰ点C 与点D 关于直线x ＝h ＝4对称，Ⅰ16a －2＝1a －2，Ⅰa ＝±14，Ⅰ当a ＝－14时，点C 与点D 重合，不合题意，故舍去，Ⅰa ＝14，Ⅰ抛物线的解析式为y ＝14(x －4)2－2.第9题解图Ⅰ10. 已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A (1，3)，B (4，0)两点，点P 是抛物线上A 、B 之间(不与点A 、B 重合)的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 、D .(Ⅰ)求抛物线与直线AB 的解析式；(Ⅰ)当点C 为线段AB 的中点时，求PC 的长；(Ⅰ)设点E 的坐标为(s ，t )，以点P ，C ，D ，E 为顶点的四边形为矩形时，用含有t 的式子表示s ，并求出s 的取值范围．解：(Ⅰ)Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在抛物线上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝3－16＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝0， Ⅰ抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x .Ⅰ点A (1，3)，B (4，0)在直线y ＝kx ＋m 上，Ⅰ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝34k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝4， Ⅰ直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4；(Ⅰ)根据题意，点C 的坐标为(52，32)，且PC Ⅰx 轴，Ⅰ－x 2＋4x ＝32，解得x ＝2－102(舍去)或x ＝2＋102，即点P 的横坐标为x ＝2＋102，第10题解图ⅠPC＝2＋102－52＝10－12；(Ⅰ)设点P的坐标为(x0，y0)，则y0＝－x02＋4x0.根据题意，以点P，C，D，E为顶点的四边形为矩形．如解图，又ⅠE(s，t)，ⅠC(s，y0)，D(x0，t)，Ⅰ点C、D在直线y＝－x＋4上，Ⅰy0＝－s＋4，t＝－x0＋4，即x0＝4－t，Ⅰ点P(x0，y0)在抛物线y＝－x2＋4x上，Ⅰ－s＋4＝－(4－t)2＋4(4－t)，Ⅰs＝t2－4t＋4.又ⅠP是抛物线上A、B之间的一个动点，Ⅰ1<x0<4，即1<4－t<4，Ⅰ0<t<3，Ⅰs＝t2－4t＋4的对称轴为直线t＝2.当0<t<2时，s随t的增大而减小，当2<t<3时，s随t的增大而增大．又Ⅰ当t＝2时，s＝0；当t＝0时，s＝4，Ⅰs的取值范围是0≤s<4.。

2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)

2020年中考数学二次函数真题汇编(带答案)

2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。

设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：二次函数的综合卷(含答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：二次函数的综合卷(含答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：二次函数的综合卷（含答案）1．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，3）．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．（1）求抛物线的解析式；（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．解：（1）∵图象经过点C（0，1），∴c＝1，∵对称轴x＝2，∴k＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），∵AB＝，∴（t﹣2）2+1＝2，∴t＝1或t＝3，∴B（1，0）或B（3，0），∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，∴B（3，0），∴AC＝2，BC＝，∴∠BAC＝90°，∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，∴x＝1或x＝2（舍去），∴Q（1，﹣1）；（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，∴b＝a2﹣a+1，∵P到直线l的距离等于PM，∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，∵a为任意值上述等式均成立，∴，∴，此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，∴定点M（2，1）．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2，tan∠OBC＝．（1）求拋物线的解析式；（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作⊙M，当⊙M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．解：（1）∵BC＝2，tan∠OBC＝，∴OB＝4，OC＝2，∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，∴c＝2，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝2时，y＝3，∴P（2，3），∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵PD平行于y轴，∴D（2，1），∴PD＝2，∵PD平行于y轴，∴∠PDE＝∠OCB，∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°，∴△PDE∽△BCO，∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，∵△BCO的面积为4，∴△PED的面积是4×＝；（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H，∴△MGH∽△COB，∴＝，∵⊙M与直线BC相切，∴MG＝，∴MH＝5，设点M（x，﹣x2+x+2），如图1，设H（x+5，﹣x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴x＝﹣1或x＝5，∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；如图2，点H（x﹣5， x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴方程无解，综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．4．如图，抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．解：（1）在抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），将B（2，0）代入y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4，得，a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）设点D坐标为（x，0），∵四边形DEFH为矩形，∴H（x， x2+x﹣4），∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DE＝FH＝2x+2，∴矩形DEFH的周长C＝2（2x+2）+2（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H（1，﹣），∴HF＝2x+2＝4，DH＝，∴S＝HF•DH＝4×＝10；矩形DEFH（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H（1，﹣），∴G（﹣1，﹣），设直线BH的解析式为y＝kx+b，将点B（2，0），H（1，﹣）代入，得，，解得，，∴直线BH 的解析式为y ＝x ﹣5，∴可设直线MN 的解析式为y ＝x +n ，将点（﹣1，﹣）代入，得n ＝，∴直线MN 的解析式为y ＝x +，当y ＝0时，x ＝﹣，∴M （﹣，0），∵B （2，0），∴将抛物线沿着x 轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ，则MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，∴m 的值为．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l 1：y ＝﹣x +6与直线l 2相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点O 、点A 和点B ，已知点A 到x 轴的距离等于2．（1）求抛物线的解析式；（2）点H 为直线l 2上方抛物线上一动点，当点H 到l 2的距离最大时，求点H 的坐标；（3）如图2，P 为射线OA 的一个动点，点P 从点O 出发，沿着OA 方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP 为边在OA 的上方作正方形OPMN ，设正方形POMN 与△OAC 重叠的面积为S ，设移动时间为t 秒，直接写出S 与t 之间的函数关系式．解：（1）∵点A到x轴的距离等于2，∴点A的纵坐标为2，∴2＝﹣x+6，∴x＝4，∴A（4，2），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；的解析式为y＝kx，（2）设直线l2∴2＝4k，∴k＝，的解析式为y＝x，∴直线l2设点H的坐标为（m，﹣m2+m），于G，如图1，过H作HG∥y轴交直线l2∴G（m， m），∴HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）+1，当m＝2时，HG有最大值，∴点H的坐标为（2，2）；（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E，∴OA＝＝2，tan∠AOE＝，∵∠NOP＝∠BOC＝90°，∴∠HON＝∠AOE，∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，∵OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NH＝NM＝t，S＝×（t+t）t＝t2；当＜t≤2时，过点P作PH⊥x轴，∵∠POH＝∠QON，OP＝t，∴OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NQ＝t，可求P（2t，t），直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t∴G（5t﹣6，﹣5t+12），∴GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，∴MG＝6﹣3t，∵∠MGK＝∠AGP，∴△GPA∽△GKM，∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（6﹣3t）＝﹣t2+40t﹣30；当2＜t≤时，可求N（﹣t，2t），则直线MN的解析式为y＝x+t，∴K（4﹣t， t+2），∵NQ＝t，∴Q（0， t），∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+t﹣2）×t＝﹣t2+10t；当t＞时，S＝S＝×4×6＝12；△OAC6．如图1，小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm．（1）y关于x的函数表达式是y＝4x3﹣24x2+36x，自变量x的取值范围是0＜x＜3 ；（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：①列表：请你补充表格中的数据：x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y0 12.5 16 13.5 8 2.5 0②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图3）描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12cm3，估计正方形边长x的取值范围．（保留一位小数）解：（1）y＝x（6﹣2x）2＝4x3﹣24x2+36x（0＜x＜3），故答案为：y＝4x3﹣24x2+36x，0＜x＜3；（2）①在y＝4x3﹣24x2+36x中，当x＝1时，y＝16；当x＝2时，y＝8，故答案为：16，8；②如图1所示，③如图2所示，（3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过12cm3，正方形边长x的取值范围大概为0.4≤x≤1.7．7．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．8．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A 作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．（1）证明：△＝b 2﹣4ab ＝[﹣3（a ﹣1）]2﹣4a （2a ﹣6）＝a 2+6a +9＝（a +3）2， ∵a ＞0，∴（a +3）2＞0，∴抛物线与x 轴有两个交点；（2）解：令y ＝0，则ax 2﹣3（a ﹣1）x +2a ﹣6＝0， ∴或，∵a ＞0， ∴且x 1＞x 2， ∴x 1＝2，， ∴， ∴t ＝a ﹣5；（3）解：当a ＝1时，则y ＝x 2﹣4，向上平移一个单位得y ＝x 2﹣3，令y ＝0，则x 2﹣3＝0， 得， ∴，， ∵OP ＝1， ∴直线， 联立：， 解得，，， 即，，∴AO ＝，在Rt △AOP 中，AP ＝＝2，过C 作CN ⊥y 轴，过M 作MG ⊥CN 于G ，过C 作CH ⊥x 轴于H ，∵CN ∥x 轴，∴∠GCM ＝∠PAO ，又∵∠AOP ＝∠CGM ＝90°，∴△AOP ∽△CGM ， ∴＝＝， ∴，∵B 到CN 最小距离为CH ，∴MB +GM 的最小值为CH 的长度，∴2MB +MC 的最小值为．9．如图，抛物线y 1＝ax 2+c 的顶点为M ，且抛物线与直线y 2＝kx +1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，3），连结AM 、BM ．（1）a ＝ 1 ，c ＝ ﹣1 ，k ＝ 1 （直接写出结果）；（2）当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为 ﹣1＜x ＜2 （直接写出结果）；（3）在直线AB 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P 坐标．解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A（﹣1，0）、B（2，3）∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2故答案为：﹣1＜x＜2；（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大．如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b由得：x2﹣1＝x+b∴x2﹣x﹣1﹣b＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0 解得：b＝﹣∴y3＝x﹣，∴x2﹣x﹣1+＝0解得：x1＝x2＝∴P（，﹣）∴当点P坐标为（，﹣）时，△ABP的面积最大设y3＝x﹣与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45°∴△ACD为等腰直角三角形∵AC＝﹣（﹣1）＝∴CD＝＝＝∵A（﹣1，0）、B（2，3）∴AB＝＝∴△ABP的面积为：××＝∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，﹣）．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C 为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x， x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，x 1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x， x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t， t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，44t2﹣388t+803＝0，（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP 的面积为s．①求s与m的函数关系式；②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将点A（﹣，0）和点B（，2）代入y＝ax2+bx﹣，得，，解得，，∴抛物线的函数解析式为y＝x2+x﹣；（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣，0），B（，2）代入，得，，解得，k＝，b＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+1，如图1，过点P作x轴的垂线，交AB于点M，设P（m， m2+m﹣），则M（m， m+1），∴PM＝m+1﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+，∴s＝PM（x B﹣x A）＝×（﹣m2+）×（+）＝﹣m2+，∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+；②在s＝﹣m2+中，当m＝0时，s取最大值，∴P（0，﹣），∴CP＝，∵S△ACQ ＝S△ABP，∴S△AQB ＝2S△ABP，∴可使直线AB向上平移3个单位长度，得直线y＝x+4，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣3，∴Q点坐标为（3，4+），（﹣3，4﹣）．12．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝0 ．x……﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……y…… 3 m﹣1 0 ﹣1 0 3 ……（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出一条函数的性质：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）观察函数图象发现：若关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0 ．解：（1）当x＝﹣2时，y＝4﹣2×2＝0；故答案为：0．（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大，③函数有最小值﹣1．故答案为：图象关于y轴对称（答案不唯一）；（4）由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：﹣1＜a＜0．13．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，直接写出点P的坐标和周长最小值；（3）为抛物线上一点，若S＝8，求出此时点Q的坐标．△QAB解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BC交抛物线的对称轴与点P．∵y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），∵点A与点B关于x＝＝1对称，∴PA＝PB．∴AP+PC＝CP+PB．∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．又∵BC为定值，∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．∵BC＝＝3，AC＝＝，∴△PAC的周长最小值为：AC+BC＝+3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝1，b＝﹣3．∴直线AD的解析式为y＝x﹣3．将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2），即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为+3；（3）设Q （x ，y ），则S △QAB ＝AB •|y |＝2|y |＝8， ∴|y |＝4， ∴y ＝±4．①当y ＝4时，x 2﹣2x ﹣3＝4，解得：x 1＝1﹣2，x 2＝1+2，此时Q 点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）；②当y ＝﹣4时，x 2﹣2x ﹣3＝﹣4，解得x 3＝x 4＝1； 此时Q 点的坐标为（1，﹣4）； 综上所述，Q 点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）或（1，﹣4）．14．如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，D 两点，点C 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线，交直线BD 于点P ，当线段PM 的长度最大时，求m 的值及PM 的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为3，若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．解：（1）y ＝﹣x +5，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝5， 故点B 、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+bx +5，将点B 坐标代入上式并解得：b ＝4，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x +5；（2）设M 点横坐标为m （m ＞0），则P （m ，﹣m +5），M （m ，﹣m 2+4m +5），∴PM ＝﹣m 2+4m +5﹣（﹣m +5）＝﹣m 2+5m ＝﹣（m ﹣）2+，∴当m ＝时，PM 有最大值；（3）如图，过Q 作QG ∥y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH ⊥BD 于H ，设Q （x ，﹣x 2+4x +5），则G （x ，﹣x +5），∴QG ＝|﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）|＝|﹣x 2+5x |，∵△BOD 是等腰直角三角形，∴∠DBO ＝45°，∴∠HGQ ＝∠BGE ＝45°，当△BDQ 中BD 边上的高为3时，即QH ＝HG ＝3，∴QG ＝×3＝6， ∴|﹣x 2+5x |＝6，当﹣x 2+5x ＝6时，解得x ＝2或x ＝3，∴Q （2，9）或（3，8），当﹣x 2+5x ＝﹣6时，解得x ＝﹣1或x ＝6，∴Q （﹣1，0）或（6，﹣7），综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为Q 1（2，9），Q 2（3，8），Q 3（﹣1，0），Q 4（4，﹣5）．15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+的图象与x轴交于B（﹣1，0）、C（3，0）两点，点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点．（1）求a，b的值；（2）求证：BF⊥AC．（3）以抛物线的顶点A为圆心，AF为半径作⊙A点E是圆上一动点，点P为EC的中点（如图2）①当△ACE面积最大时，求PB的长度；②若点M为BP的中点，求点M运动的路径长．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝，解得：a＝﹣，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，故b＝；（2）点A的坐标为：（1，2），则AB＝AB＝BC＝4，点F是AC的中点，AF＝AC＝2，∴BF⊥AC；（3）点C（3，0），点B（﹣1，0），设点E（m，n），由AE＝2，根据两点间距离公式得：（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4…①，则点P（，），点M（，），设：x＝，y＝，则m＝4x﹣1，n＝4y，即点M（x，y），将m、n的值代入①式得：（4x﹣1）2+（4y﹣2）2＝4，整理得：（x﹣）2+（y﹣）2＝，即点M到定点（，）的距离等于定值，故点M运动的轨迹为半径为的圆，则点M运动的路径长为（）2π＝．。

最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)

最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)

2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．抛物线y＝ax2＋c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y＝kx＋3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2＋c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；(3)如图2，点P是第二象限的动点，分别连接P A、PB，并延长交直线y=－2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．2．如图，已知抛物线2=++与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交△轴于C，0.5y x bx cD两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接P A，过点P作PQ△P A交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由．4．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：△ACD是直角三角形；(3)判断△ACB和△OAD的数量关系，并说明理由；(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．5．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图△，点P 为直线AC 下方抛物线上的点，连接P A ，PC ，△BAF 的面积记为S 1，△P AC 的面积记为S 2，当S 2＝38S 1时．求点P 的横坐标；(3)如图△，连接CD ，点Q 为平面内直线AE 下方的点，以点Q ，A ，E 为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE 与CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．7．如图1，已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点N ，线段MN 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE （如图2），设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作PQ △x 轴，垂足为Q ．连接PE ，请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标．8．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)△求点A ，B ，C 的坐标；△求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM △AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．10．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度（0n >）与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若2AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．11．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．(1)求n 的值及抛物线的解析式；(2)(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．△点E 在线段OA 上运动，若BPD △与ADE 相似，求点E 的坐标；△若抛物线的顶点为Q ，AQ 与CB 的延长线交于点H ，点E 在x 轴的正半轴上运动，若PBD CBO H ∠+∠=∠．请求写出m 的值．12．如图1，平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－12x －2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过点A 、点C ，且与x 轴交于另一点B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使△PMB 与△AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线113y x=-+过点B，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABD CBE∠=∠；(3)是否存在点1O，使点1O到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点1O坐标，若不存在，请说明理由．(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q，F为线段BQ上一点（不含端点），连接AF，一动点P从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案）15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使△CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ，点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD 交BC 于点E ，若AE ＝2ED ，求点D 的坐标；(3)直线y ＝kx ﹣2k +1与抛物线交于M ，N 两点，取点P （2，0），连接PM ，PN ，求△PMN 面积的最小值．17．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线223y x=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线226y x bx=-++经过点A，与x轴的另一个交点为C，交y轴于点D．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)点M是y轴上的点，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PMD△与BOC相似，且点M与点O为对应点，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=-2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ，连接BE ，与直线AC 相交于点F ，当EF =12BF 时，求sin△EBA 的值．(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M ，使以M ，N ，E ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)△求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．△当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2．(1)215322y x x =++(3)在点P （1，6）3．(1)y =x 2－4x +3(2)点D 的坐标是（0，0）或（73，0） (3)相交，交点的坐标是（2，1）或（2，2）4．(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3；顶点D 的坐标为（-1，4）；(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似，F 点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．5．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)6．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28．(1)(M(2)2y x x =(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．(1)△A (3，0)，B (3，3)，C (0，3)；△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（0≤m ≤3）；3410．(1)A （1，0），B （4，0），C （0，﹣4）(2)D （83，209） (3)93m n =-11．(1)n =3，y =-x 2+2x +3．(2)△（1，0）或（2，0）．△m =5或73．12．(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；△存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）13．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 14．(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,，使点P 到A ，B ，C ，D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点P 在整个运动过程中用时最少15．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4816．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)（1，4）或（2，3）17．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）18．(1)2246y x x =-++；(0,6)D(2)存在，点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19．(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6；(2)sin△EBA ； (3)M 的坐标为（2，-10）或（-4，-10）或（0，6）．20．(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-，CE ；△m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．。

中考数学专题复习二次函数综合(四)

中考数学专题复习二次函数综合(四)

中考数学专题复习二次函数综合（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为()3,0，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)C y ax a =-≠与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧）．（1）求点,A B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点(2,2),(22,5)P Q a a +，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =．抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．y x与抛6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y x ax a的顶点为A，直线32=-+物线交于点,B C(点B在点C的左侧)．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在,B C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．①当0a=时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；①如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =-->与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当1m =时，求图形W 内的整点个数；①若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．(1)当m =3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (1，2)．试说明抛物线总经过点A ；(3)已知点B (0，2)，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点(0,2)．（1）求c 的值；（2）当2a =时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点(2,0),(1,0)A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+=+y x bx c 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB=2OD ．（1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴；①求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(,1)D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C 的坐标；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，过点M 作x 轴的垂线l 与直线AC 交于点N ，若4MN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x =1，求出点A 和点B 的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P （m ，2），Q (－m ，2m －1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向左平移b 个单位，再向上平移23b -个单位，得到点B ．（1）求点B 的坐标（用含b 的式子表示）；（2）当抛物线经过点()0,2，且0b >时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．（1）1k =-，(0,3)C ；（2）243y x x =-+，()2,1-；（3）342a ≤< 【解析】【分析】（1）将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，并且经过点()3,0B ，代入求得k 值，且C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，3y kx =+也经过C 点，代入可求出C 点坐标；（2）已知B 、C 两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线1C 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A 、E 两点的坐标分别代入抛物线2C 的解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线2C 与线段AE 有一个公共点时a 的范围．【详解】（1）解：将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，①直线3y kx =+经过点()3,0B ，①330k +=，则1k =-．C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，且3y x =-+经过点(0,)C c ，代入得：3c =，则C 点坐标为()0,3．（2）解：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0B 和点()0,3C ，①23y x bx =++，①9330b ++=， 4b =-，①抛物线1C 的函数表达式为243y x x =-+，①2(2)1y x =--，①顶点D 的坐标为()2,1-．（3）解：①点E 是点D 关于原点的对称点，①点E 的坐标为()2,1-．当22y ax =-经过点()2,1E -时，34a =，则2324y x =-， 当22y ax =-经过点1,0A 时，2a =，则222y x =-，结合下面图象可知a 的取值范围是342a ≤<．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．2．（1）(0,0),(4,0)A B ，2x =；（2）32a ≥，或102a -≤<，或32a ≤- 【解析】【分析】（1）与x 轴的交点纵坐标为0，然后计算0y =时的x 值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为2b x a =-求解即可； （2）由抛物线的顶点坐标(2,4)a -和抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a -．分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）24(4)y ax ax ax x =-=-，当y=0时，(4)=0-ax x①120,4x x ==①抛物线与x 轴交于点(0,0),(4,0)A B ．抛物线24y ax ax=-对称轴为直线：422axa-=-=．（2）()22244(2)4y ax ax a x x a x a=-=-=--，抛物线的顶点坐标为：(2,4)a-．令5y a=，得245=0--ax ax a，(5)(1)0a x x-+=，解得1x=-，或5x=，①当5y a=时，抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a-．①当0a>时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且(22,5)Q a a+位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时225+≥a，解得32a≥．①当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点(22,5)Q a a+位于点P的左侧，（i）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时42-≤a，解得12a≥-．（ii）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时221+≤-a，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a-≤<，或32a≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．3．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】 本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．4．（1）对称轴1x =-；（2）31D y a =-+；（3）当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【解析】【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴2b x a =-计算即可； （2）根据4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B ，把(1,0)代入22y ax ax c =++得20a a c ++=，则有3c a =-，可得C 点坐标为(0,3)a -，再根据平移，可得D 纵坐标； （3）分两种情况：当0a >和当0a <对抛物线的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线22y ax ax c =++的对称轴为：2122b a x a a=-=-=-（2）4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B把(1,0)代入22y axax c =++得：20a a c ++=① 3c a =-①C 点坐标为(0,3)a -，(0,31)D a ∴-+，31D y a =-+（3）如图示，①当0a >时 将点(4,4)P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--，45a = ∴结合函数图象，可得当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点； ①如下图示，当0a <时，抛物线的顶点为(1,4)a --，结合函数图象，可得当44a -=时，抛物线与线段PD 只有一个交点，①1a =- ，综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．5．(1)A 的坐标为(0，3a )(2)抛物线与x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)﹣1≤a ＜0或1≤a ＜3【解析】【分析】（1）计算x =0时，y =3a ，即可得到点A 的坐标；（2）令y ＝0得ax 2﹣4ax +3a ＝0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a﹣2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围．(1)解：①抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，①A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，①a（x-1）（x-3）=0，解得：x1＝1，x2＝3，①抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，①P（﹣1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键．6．（1）A（a，0）；（2）①4；①21a-<<-【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；①由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a=-+=-，①可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①①a=0，①抛物线表达式为：2y x，令23x x=+，解得：x1=1132-，x2=1132+，①113212--<<-，113232+<<，①区域W内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；①由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，①a＜0，①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a =-+=-，①抛物线的顶点在x 轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，()211a =--， 解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，()220a =-， 解得：a=2（舍）或2-，第三个整点为（0，1），代入抛物线，()210a =-， 解得：a=1（舍）或-1，综上：a 的取值范围是：21a -<<-.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C -；（2）①1个；①12m <≤．【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =-可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；①先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =--的对称轴为212m x m-=-= 令0x =得：1y =-则点C 坐标为(0,1)C -；（2）①当1m =时2221(1)2y x x x =--=--，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点(1,1)-；①将抛物线221y mx mx =--化为顶点式2(1)1y m x m =---则抛物线的顶点坐标为(1,1)m --，且图象经过定点(0,1)C -结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)--因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2-和抛物线顶点为()1,3-当抛物线顶点为()1,2-时，12m --=-，解得1m = 当抛物线顶点为()1,3-时，13m --=-，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）①，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．8．（1）点B 的坐标为()0,3． 223y x x =--+． （2）33a -≤<或5a =．【解析】【分析】（1）令x=0可求出y 的值，从而得到点B 的坐标；把点A 坐标代入223y mx mx =++求出m 的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a 的取值范围即可.【详解】（1）①223y mx mx =++的图象与y 轴交于点B ，①点B 的坐标为()0,3．①223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,， ①将()30A -,代入223y mx mx =++可得9630m m -+=． ①1m =-．①该函数的表达式为223y x x =--+．（2）①将二次函数223y mx mx =++的图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ，①F 的端点为A ，B ，并经过抛物线223y mx mx =++的顶点C （其中C 点坐标为()1,4-）． ①可画F 如图1所示．①二次函数22y x x a=++的图象的对称轴为1x=-，且与F只有一个公共点，①可分别把A，B，C的坐标代入解析式22y x x a=++中．①可得三个a值分别为3-，3，5．画示意图如图2所示．①结合函数图象可知：二次函数22y x x a=++的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是33a-≤<或5a=．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．9．(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m =3或0<m <32或-3<m <0． 【解析】【分析】(1)把m =3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)把x =1代入解析式，y 总等于2，与m 无关，即可判断抛物线总经过点A (1，2)；(3)根据题意可以得到点C 的坐标，分顶点在线段BC 上、抛物线过点B (0，2)、抛物线过点C (3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到a 的取值范围．【详解】(1)把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得：223653(1)2y x x x =-+=-+，①抛物线的顶点坐标是(1，2)； (2)当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=，①点A (1，2)，①抛物线总经过点A ；(3)①点B (0，2)，由平移得C (3，2)．① 当顶点在线段BC 上，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A (1，2)在线段BC 上，此时，m =3；① 当抛物线过点B (0，2)时，将点B (0，2)代入抛物线表达式，得：212m -=，①m =32>0， 此时抛物线开口向上(如图1)，①当0<m<32时，抛物线与线段BC只有一个公共点；①当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：()991212m m m--+-=，①30m=-<，此时抛物线开口向下(如图2)，①当30m-<<时，抛物线与线段BC只有一个公共点，综上，m的取值范围是m=3或0<m<32或-3<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（1）2；（2）顶点坐标为(1,0)-；（3）212a<+【分析】（1）把(0,2)代入解析式可得答案；（2）把2a=代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过(2,0)-时a的值，从而根据图像可得结论．【详解】解：（1）抛物线22y ax a x c=++与y轴交于点(0,2)，2c∴=．（2）当2a=时，抛物线为2242y x x=++．∴顶点坐标为(1,0)-．（3）当0a>时，①当2a=时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点．①当12a=+时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点．结合函数图象可得212a<+．当0a<时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是212a<+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（1）①1x=-；①228=+-y x x；（2）2b<-或23b>．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；①根据题意求出B 点坐标为（2，0），代入抛物线解析式2+=+y x bx c 可得出答案；（2）求出E （-b 22+，0），点D 的坐标为（-2b ，0）．①当b ＞0时，得出点A 的坐标为（-2b ，0），点B 的坐标为（b ，0），则-2b ＜-b 22+，解不等式即可；①当b ＜0时，点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0），则0＜-b 22+，解出b ＜-2． 【详解】解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①21221b x a =-=-=-⨯． ①①抛物线的对称轴为直线1x =-，①点D 的坐标为（-1，0），OD=1．①OB=2OD ，① OB=2．①点A ，点B 关于直线1x =-对称，①点B 在点D 的右侧．① 点B 的坐标为（2，0）．①抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），① 440c ++=．解得8c =-．①抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， 当y=0时，202+=+b x ① 2=-2+b x ① E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-，①点D的坐标为（2b-，0）．①当0b>时，2bOD=．①OB=2OD，① OB=b．① 点A的坐标为（2b-，0），点B的坐标为（b，0）．当2b-<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得23b>．①当0b<时，0b->．①2bOD=-．①OB=2OD，① OB=-b．①抛物线2+=+y x bx c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，① 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．当0<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b<-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．12．（1）抛物线的对称轴为直线2x =；（2）点C 的坐标为()3,0；（3）a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【解析】【分析】（1）将点(,1)D m 代入3y x =-+，求得m ，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =-，代入23(0)y ax bx a a =++≠，令0y =，可解得C 点坐标； （3）表示出点A ，点M 的坐标，根据//MN y 轴，得EN EG OA OC=，表示出EN ，进而得MN 长度表示，用4MN ≥，解出a 的取值范围即可．【详解】 （1）直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(),1D m ，2m ∴=．∴抛物线的对称轴为直线2x =．（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =- ①243(0)y ax ax a a =-+≠，令0y =，则2430ax ax a -+=，即(3)(1)0a x x --=解得123,1x x ==由于点B 在点C 左侧①点C 的坐标为()3,0．（3）抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为()0,3a ．点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点M 的坐标为()4,3a ．①当0a >时，如图1．//MN y 轴，EN EG OA OC ∴=，即133EN a =． EN a ∴=．①34MN a a a =+=若4MN ≥，即44a ≥，得1a ≥．①当0a <时，如图2．同理可得|3|||4MN a a a =+=-若4MN ≥，即44a -≥，得1a ≤-．综上所述，a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握对称轴的表示与计算，函数图象与x 轴交点的计算，及平行于y 轴的线段长度的表示，及一元一次不等式的计算是解题的关键． 13．（1）点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m ≤－2 或m ≥1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x =1可得2(1)m --＝1，求出m=2，得2y x 2x 3=-++，求出与x 轴的交点坐标，根据点A 在点B 左侧即可求得点A ，点B 的坐标；（2）根据点Q 在点D 上方或与点D 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点得22123m m -≥-+，结合图象求解即可．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：x ＝2b a-＝2(1)m --＝1 ①m ＝2①抛物线为：2y x 2x 3=-++将y ＝0代入，得2023x x =-++解得：1x ＝－1，2x ＝3，①点A 在点B 左侧①点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，（2）m ≤－2 或m ≥1将x m =代入23y x mx =-++，得3y =①抛物线过定点C （m ，3）①点P （m ，2）①点P 在点C 下方，如图，将x m=-代入23y x mx=-++，得223y m=-+，则2(23)D m m--+，①点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点①22123m m-≥-+整理得220m m+-≥设22y m m=+-，画图象如图：当y=0时，22=0m m+-，解得，1=2m-，2=1m，①抛物线22y m m=+-与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）①当2m≤-或m1≥时，220m m+-≥所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是2m≤-或m1≥．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14．（1）(0，3-b 2)；（2）222y x x =-++；（3）-1≤b≤1【解析】【分析】（1）先求出点A 坐标，再根据平移规律即可求出点B 坐标；（2）把（0，2）代入2221y x bx b =-+++，结合b>0即可求出b ，问题得解；（3）把B 坐标代入抛物线解析式，求出b ，分b ＞1，b=1，-1＜b ＜1，b=-1，b ＜-1，画出函数图象，即可求解．【详解】解：(1)由题意得抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴为22b x b =-=-， ①点A 坐标为（b ，0），①点B 坐标为（0，3-b 2）(2)把（0，2）代入2221y x bx b =-+++中，解得b=±1.①b>0，①b=1.①抛物线的表达式：222y x x =-++；(3)当抛物线过点B 时，抛物线AB 有一个公共点，①221=3b b +-①=1b ±，如图：当b ＞1时，抛物线与线段AB 无交点；当b=1时，抛物线与线段AB 有一个交点；当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．①若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论．答案第24页，共24页。

2020年中考数学复习二次函数和一元二次方程专题练习(部分有答案)

2020年中考数学复习二次函数和一元二次方程专题练习(部分有答案)

2020年中考数学复习二次函数与一元二次方程专题练习一、单选题1．将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a <C ．5a <D ．5a >2．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤43．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =6．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根； C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+> 7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3 8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点 9．已知抛物线265y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则cos CAB ∠的值为（ ）A ．12BC ．2D 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤二、填空题 11．已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程22140x b x ++=的两实根为3x 、4x ，且23143x x x x -=-=，则二次函数的顶点坐标为____________． 12．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____．13．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．14．已知：y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =--+的图象与坐标轴只有两个不同的交点A 、B ，P 点坐标为(3,2)，则PAB △的面积为_____．15．对于实数a ，b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩；若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．16．已知二次函数24y x x k =-+的图像与x 轴交点的横坐标是1x 和2x ，且128x x -=，则k =________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_______．18．若抛物线y=x 2+bx-3的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程250x bx +-=的解为_______． 19．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0无实数解，则抛物线y ＝﹣x 2﹣bx +c 经过____象限．20．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．三、解答题21．已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上（1）求m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式．22．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．25．若一次函数y =mx +n 与反比例函数y =k x同时经过点P(x ，y)则称二次函数y =mx 2+nx -k 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．（1）判断y =2x -1与y =3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m ，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y =2020x 存在“共享函数”y=(m+t)x 2+(10m−t)x−2020，求m 的值．（3）若一次函数y =x +m 和反比例函数y =213m x+在自变量x 的值满足m ≤x ≤m +6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．26．在二次函数的学习中，教材有如下内容：例1 函数图象求一元二次方程212202x x --=的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数2122y x x =--，列表并作出它的图象（图1）．观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为0.8-和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为10.8x ≈-，2 4.8x ≈，利用二次函数2y ax bx c =++的图象求出一元二次方程20ax bx c ++=的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解．小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探宄方程32210x x -+=的近似解，做法如下：小聪的做法：令函数3221y x x =-+，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解． 小明的做法：因为0x ≠，所以先将方程32210x x -+=的两边同时除以x ，变形得到方程212x x x -=-，再令函数212y x x =-和21y x=-，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x -+=的近似解（精确到0.1）．27．阅读材料：若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 也在抛物线1L 上（点A 与点B 不重合），我们称这样的两条抛物线1L 、2L 互为“友好”抛物线，如图1．解决问题：如图2，已知物线238:24L y x x =-+与y 轴交于点C ．（1）若点D 与点C 关于抛物线3L 的对称轴对称，求点D 的坐标；（2）求出以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的解析式；（3）直接写出3L 与4L 中y 同时随x 增大而增大的自变量x 的取值范围．28．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．B11．325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．k ＜413．1a <或1a >14．1或1215．2.25或016．－1217．13x18．121,5x x =-=19．三、四．20．7221．（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4． 22．（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.23．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．24．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）15．25．（1）存在共享函数，共享点的坐标为(1,3)--，3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2m =；（3）2429y x x =+-或2(9155y x x =---26．选择小明的作法，10.6x ≈-，21.0x ≈，3 1.6x ≈ 27．（1）点D 坐标为(4，4)（2）抛物线4L 的解析式为22(4)4y x =--+（3）24x ≤≤28．（1）y ＝14x 2+12x ﹣2；（2）58；（3）M 坐标为（205+）或（﹣285，45）．。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题及答案解析

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题及答案解析

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题及答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.2．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩ ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝2∵x ＞0∴x ＝2．∴P （2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

2020-2021中考数学二次函数综合经典题及答案解析

2020-2021中考数学二次函数综合经典题及答案解析

2020-2021中考数学二次函数综合经典题及答案解析一、二次函数1．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14 ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x +a ﹣3，当a ＝0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ． （1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y ＝a 上方的部分沿直线y ＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）﹣3＜a ≤0； 【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．4．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

2020中考数学一轮专项复习《二次函数》压轴题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《二次函数》压轴题综合提升卷(含详细解答)

2020中考数学一轮专项复习《二次函数》压轴题综合提升卷1．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．2．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．4．（10分）如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．5．（10分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣3，0），B （l ，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足S △P AO ＝2S △PCO ，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．6．（10分）如图（1）已知矩形AOCD 在平面直角坐标系xOy 中，∠CAO ＝60°，OA ＝2，B 点的坐标为（2，0），动点M 以每秒2个单位长度的速度沿A →C →B 运动（M 点不与点A 、点B 重合），设运动时间为t 秒． （1）求经过B 、C 、D 三点的抛物线解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为AC 中点时，若△P AM ≌△PDM ，求点P 的坐标；（3）当点M 在CB 上运动时，如图（2）过点M 作ME ⊥AD ，MF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，设矩形AEMF 与△ABC 重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）如图（3）点P 在（1）中的抛物线上，Q 是CA 延长线上的一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，求点P 的坐标．7．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点．①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标；（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．8．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求出二次函数表达式；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标．9．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CP＝EP，求点P的坐标；（3）△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO1C1．当旋转后的△BO1C1有一边在直线BD上时，求△BO1C1不在BD上的顶点的坐标．10．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y＝﹣x﹣1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．11．（10分）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A ，C （点A 在点C 的左侧），与y 轴交于点B ，顶点为D ．点Q 为线段BC 的三等分点（靠近点C ）．（1）点M 为抛物线对称轴上一点，点E 为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当△MQC 的周长最小时，求△CME 面积的最大值；（2）在（1）的条件下，当△CME 的面积最大时，过点E 作EN ⊥x 轴，垂足为N ，将线段CN 绕点C 顺时针旋转90得到点N ’，再将点N ′向上平移个单位长度得到点P ，点G 在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H ，使点D ，P ，G ，H 构成菱形．若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（10分）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2+k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝4，与y 轴交于C 点，E 为抛物线的顶点，∠ECO ＝135°． （1）求二次函数的解析式；（2）若P 在第四象限的抛物线上，连接AE 交y 轴于点M ，连接PE 交x 轴于点N ，连接MN ，且S △EAP ＝3S △EMN ，求点P 的坐标；（3）过直线BC 上两点P ，Q （P 在Q 的左边）作y 轴的平行线，分别交抛物线于N ，M ，若四边形PQMN 为菱形，求直线MN 的解析式．13．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y 轴于点C，且经过点D（﹣6，﹣6），连接AD，BD．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）14．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，直线DE的解析式为y＝x﹣2，BD＝OA＝DO；（1）求抛物线的解析式；（2）点F在第四象限的抛物线上，FG∥x轴，交直线DE于点G，若点F的横坐标为t，线段FG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，FG经过点C，连接DF，点H在第四象限直线DF右侧的抛物线上，连接HA，点M在线段DF上，DM＝2MF，DK⊥AH，MK∥AH，直线DK、直线MK相交于点K，连接GK，当∠GKD＝135°时，求线段HA的长．15．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），连接AC．求证：△ACD是直角三角形．参考答案1．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，故a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6；同理可得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）点A、C、E的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），则AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，故AC2+CE2＝AE2，则△ACE为直角三角形；（3）①设点D、G、H的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；当DG＝HK时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，当x＝﹣2时，DG＝HK＝GH＝1，故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（﹣2，3）；②CG＝＝；AE＝＝2，故AE＝2CG．2．解：（1）点C（0，），则直线y＝﹣x+n＝﹣x+，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），故﹣6a＝，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，设点P（m，﹣m2+m+），则点G（m，﹣m+），则PH＝PG cosα＝（﹣m2+m++m﹣）＝﹣m2+m；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（1，）；②当点Q在x轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时，△QAB∽△BAC，则＝，由勾股定理得：AC＝5，AQ＝＝＝10，过点Q作QH⊥x轴于点H，由△HAQ∽△OAC得：＝＝，∵OC＝，AQ＝10，∴QH＝6，则AH＝8，OH＝18﹣2＝6，∴Q（6，﹣6）；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣，则直线AQ的表达式为：y＝﹣x﹣2…②，联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，﹣），＝，而＝，故≠，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，即点Q的为：（﹣4，﹣）、（5，﹣）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（1，）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．3．解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），∴PG＝NH，MG＝MH．设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3），∵P（0，b），GM＝MH，∴y G+y H＝2y M，即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，∵b＞3，∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．①当D′在点H（4，﹣5）上方时，2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，∴﹣≤t≤1；②当点D′在点H（4，﹣5）下方时，同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6，∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．4．解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，即A（0，﹣1）．∵B为抛物线上的一点，BC⊥x轴，C（9，0），∴B点的横坐标为9，纵坐标为，即B（9，2）．设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，将A（0，﹣1），B（9，2）代入上式并解得：直线AB的函数解析式为；（2）设线段MN的长为L，由抛物线和直线AB的解析式，得：＝＝．故线段MN长度的最大值为；（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要MN＝BC，由点B、C的坐标可知BC＝2，∴，解得：x＝1或x＝8．故当点Q的坐标为（1，0）或（8，0）时，四边形MNCB是平行四边形．5．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（l，0）两点，∴解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3）∴OA＝OC＝3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3）∵S △P AO ＝2S △PCO ，∴×3×|﹣x 2﹣2x +3|＝2××3×|x |，∴x ＝±或x ＝﹣2±，∴点P （，﹣2）或（﹣，2）或（﹣2+，﹣4+2）或（﹣2﹣，﹣4﹣2）； （3）若BC 为边，且四边形BCFE 是平行四边形，∴CF ∥BE ，∴点F 与点C 纵坐标相等，∴3＝﹣x 2﹣2x +3，∴x 1＝﹣2，x 2＝0，∴点F （﹣2，3）若BC 为边，且四边形BCEF 是平行四边形，∴BE 与CF 互相平分，∵BE 中点纵坐标为0，且点C 纵坐标为3，∴点F 的纵坐标为﹣3，∴﹣3＝﹣x 2﹣2x +3∴x ＝﹣1±，∴点F （﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；若BC 为对角线，则四边形BECF 是平行四边形，∴BC 与EF 互相平分，∵BC 中点纵坐标为，且点E 的纵坐标为0，∴点F 的纵坐标为3，∴点F （﹣2，3），综上所述，点F 坐标（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．6．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AO ＝2，∠AOC ＝90°，且∠CAO ＝60°，OA ＝2，∴OC ＝2，∴点C （0，2），点D （﹣2，2），设抛物线解析式为y ＝a （x +1）2+c ，代B （2，0），C （0，2）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+＝，（2）∵M为AC中点，∴MA＝MD，∵△P AM≌△PDM，∴P A＝PD，∴点P在AD的垂直平分线上∴点P纵坐标为，∴∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣∴点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）（3）如图2，∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，∴△ACB是等边三角形，由题意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．∵四边形AEMF是矩形，∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，∴△CMH是等边三角形，∴CM＝MH＝2t﹣4，∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+当t＝时，S最大＝，（4）∵S△ABP＝4×d＝2d，又S△BPQ＝2d∴S△ABP ＝S△BPQ，∴AQ∥BP设直线AC解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得∴∴直线AC解析式为：y＝x+2，设直线BP的解析式为y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得0＝2+n，∴b＝﹣2∴直线BP解析式为：y＝x﹣2，∴＝x﹣2，∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，∴P（﹣8，）．7．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2…①；（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF＝＝m2+1，而点P到直线l的距离为：m2+1，则⊙P与直线l的位置关系为相切；②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最小，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线FQ的函数表达式为：y＝x+1…②，联立①②并解得：x＝2，故点P的坐标为：（2，3）；（3）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），则BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切．8．解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y＝﹣x2+x+4；（2）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0）．又∵A（0，4），C（8，0），∴AB＝＝2，B C＝8﹣（﹣2）＝10，AC＝＝4，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴＝，∴＝，BM＝＝，MN＝＝，AM＝AB﹣BM＝2﹣＝＝AM•MN∵S△AMN＝××＝﹣（n﹣3）2+5，当n＝3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．（3）由（2）知，AC＝4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线交AC于P，交x轴于N，∴△AOC∽△NPC．∴＝，即＝．∴CN＝5．∴此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．9．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得b＝2，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，（2）过点P作PH⊥x轴于H，PG⊥y轴于G，连接PB，设P（m，﹣m2+2m+3），易知C（0，3），∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PC＝PB，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠PCG＝∠PBC，又∵P C＝PB，∴Rt△PCG≌Rt△PBH（AAS），∴PG＝PH，∴m＝﹣m2+2m+3，解得：m＝．∴P为（）或（）；（3）如图2，当BC1在直线BD上时，过点O1作O1M⊥OB，由y＝﹣x2+2x+3可得D（1，4）．∴DC＝，BC＝3，DB＝2，∴DC2+BC2＝BD2，∴△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，∵∠DBC+∠CBO1＝∠CBO1+∠ABO1＝45°，∴∠ABO1＝∠DBC，∴△MBO1∽△CBD，∴，即，∴BM＝，，∴点O1的坐标为（3﹣），如图3，当BO1与BD重合时，过点B作x轴的垂线BN，过点C1作C1N⊥BN于点N，易证△NBC1∽△CBD，∴，∴，∴BN＝，NC1＝，则C1的坐标为（3+）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），∴．解得．抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，当CD为平行四边形的对角线时，设点E的坐标为（x，x2﹣4x+3），则CD中点的坐标为（1，1），该点也为EF的中点．即：x2﹣4x+3＝2×1，解得：x＝2±，E的坐标为（2+，2）或（2﹣，2）；如图2，当CD为平行四边形的一条边时，设点F坐标为（m，0），点D向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点C，同样点F向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点E（m﹣2，4），将点E坐标代入二次函数表达式并解得：m＝4±，则点E（2+，4）或（2﹣，4）；故点E的坐标为（2+，2）或（2﹣，2）或（2+，4）或（2﹣，4）；（3）抛物线沿着过点（0，2）且垂直与y轴的直线翻折后，顶点坐标为（2，5），则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+5＝﹣x2+4x+1．设点E的坐标为（x，﹣x2+4x+1），则点F（x，﹣x﹣1），EF＝﹣x2+4x+1﹣（﹣x﹣1）＝﹣x2+x+2．设直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点Q．MN＝EF•cos∠QFG＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+．由二次函数性质可知，MN的最大值为．11．解：（1）令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），C（3，0），令x＝0，得y＝3，∴B（0，3），如图1，过Q作QF⊥x轴于F，∵QF ∥OB ，∴△CQF ∽△CBO ，∴∵点Q 为线段BC 的三等分点（靠近点C ），∴∴，∴QF ＝CF ＝1，∴Q （2，1），∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴D （1，4），抛物线对称轴x ＝1连接AQ 交抛物线对称轴于M ，则M （1，），此时△MQC 周长最小．设直线CM 解析式为y ＝kx +b ，则，解得：；∴y ＝﹣x +1，设E （t ，﹣t 2+2t +3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E 作EN ⊥x 轴于N ，EN 交CM 于S ，则，S （t ，﹣t +1），∴ES ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +1）＝﹣t 2+t +2，∴＝﹣t 2+t +2＝﹣（t ﹣）2+， ∵﹣1＜0，∴当t ＝时，S △CME 最大值＝，（2）存在．如图2，由（1）知CN ＝OC ﹣ON ＝3﹣＝，由旋转得CN ′＝CN ＝，CN ′⊥x 轴， 由题意得CP ⊥x 轴，CP ＝CN ′+N ′P ＝2，∴P （3，2）∴DP ＝，∵四边形DPHG 是菱形，∴DG ＝PH ＝DP ＝2，PH ∥DG ，∴H （3，2﹣2）， 如图3，∵四边形DPHG 是菱形，∴DG ＝PH ＝DP ＝2，PH ∥DG ，∴H（3，2+2）．如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称，∴H（﹣1，2）．如图5，过点P作PG⊥直线x＝1于G，作DH⊥直线x＝1，过P作PH⊥DH于H，∵PH＝DG＝DH＝PG＝2，∠PGD＝90°∴四边形DPGH是菱形，∴H（3，4）综上所述，点H的坐标为（3，2﹣2）或（3，2+2）或（﹣1，2）或（3，4）．12．解：（1）过点E作ED⊥y轴于点D，如图1∴∠CDE＝90°∵二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象对称轴为直线x＝1∴x E＝1，y E＝k，即DE＝1，OD＝k∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4∴A（﹣1，0），B（3，0）∵∠ECO＝135°∴∠DCE＝45°∴CD＝DE＝1∴OC＝OD﹣CD＝k﹣1，即y C＝k﹣1把点A（﹣1，0），C（0，k﹣1）代入二次函数解析式得：解得：∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）过P作PF⊥x轴于点F，如图2∵A（﹣1，0），E（1，4）∴OA＝DE＝1，OD＝4在△AOM与△EDM中，∴△AOM≌△EDM（AAS）∴AM＝EM，OM＝DM＝OD＝2∴S△AMN ＝S△EMN∵S△EAP ＝3S△EMN∴S△NAP ＝S△EAP﹣S△AMN﹣S△EMN＝3S△EMN﹣2S△EMN＝S△EMN＝S△AMN∴PG＝OM＝2∵点P在第四象限∴y P＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣2解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去）∴点P坐标为（1+，﹣2）（3）∵四边形PQMN为菱形∴PQ∥MN，PN＝PQ＝MQ＝MN∴点M、N必须同时在直线BC的上方或下方过点P作PH⊥QM于点H，如图3∵B（3，0），C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，y随x的增大而减小∴PQ不可能在y轴左侧设P（p，﹣p+3），Q（p+t，﹣p﹣t+3）（p＞0，t＞0）∴PH＝t，HQ＝﹣p+3﹣（﹣p﹣t+3）＝t∴PQ＝t∵点M、N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上∴N（p，﹣p2+2p+3），M（p+t，﹣（p+t）2+2（p+t）+3）∴PN＝|﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）|＝|﹣p2+3p|，MQ＝|﹣（p+t）2+2（p+t）+3）﹣（﹣p﹣t+3）|＝|﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t|且两绝对值号里的式子同正同负∴﹣p2+3p＝﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t＝|t|解得：，（舍去）（舍去）（舍去）∴﹣p+3＝∴点P坐标为（，）13．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝a（x﹣2）（x+3），将点D坐标代入上式并解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣x2﹣x+…①，则点C（0，）；（2）由题意得：AB＝5，AD＝10，BD＝3，①△ABD∽△AMN，∠BAD＝∠MAN，直线AD所在直线的k值为，则直线AM表达式中的k值为﹣，则直线AM的表达式为：y＝﹣（x﹣2），故点M（0，），又∵，即AN＝＝5，故点N（﹣3，0）；②当△ABD∽△NMA时，∠BAD＝MNA∠，∠BAD＝∠MAN，∴AD∥MN，在△ABD中，AD＝10，AB＝5，BD＝3，cos∠BDA＝＝，则tan∠BAD＝＝tan∠MAN，∵，故AM＝，AN＝5，故点M（﹣3，0）、点N（﹣3，0）；综上，故点M（0，）、点N（﹣3，0）或M（﹣3，0）、点N（﹣3，0）；（3）如图所示，连接PH，由题意得：tan∠PQH＝，则cos∠PQH＝，则直线AD的表达式为：y＝x﹣，设点P（x，﹣x2﹣x+），则点H（x，x﹣），则QH＝PH cos∠PQH＝PQ＝（﹣x2﹣x+﹣x+）＝﹣x2﹣x+，∵﹣＜0，故QH有最大值，当x＝﹣2时，其最大值为．14．解：（1）y＝x﹣2与x轴交点D（2，0），∴OD＝2，∵BD＝OA＝DO，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴x2+x+c＝0时，﹣1+3＝﹣，∴a＝﹣1，∴y＝x2﹣2x+c；将点A（﹣1，0）代入，c＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）F（t，t2﹣2t﹣3），∵FG∥x轴，∴G（t2﹣2t﹣1，t2﹣2t﹣3），∵点F在第四象限的抛物线上，∴FG＝t﹣（t2﹣2t﹣1）＝﹣t2+3t+1＝d，∴d＝﹣t2+3t+1，0＜t＜3；（3）FG经过点C，∴F（2，﹣3），∵D（2，0），∴DF＝3，∵DM＝2MF，∴M（2，﹣2），（3）连接AG，以A为圆心AD为半径做圆，∵∠GKD＝135°，∴∠GAD＝90°，由（2）知，点F（2，﹣3），G（﹣1，﹣3），∵DM＝2MF，∴M（2，﹣2），∴AG＝AD＝3，∴点G在圆A上，∴AN垂直平分DK，∵AN∥KM，∴∠DKM＝90°，∴以N为圆心DN为半径作圆，K，M在圆N上，∴N是DM中点，∴N（2，﹣1），设AN所在直线解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣，直线AN与抛物线的交点为：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣，∴x＝或x＝，∴H（，﹣）或H（，﹣）∵点H在第四象限直线DF右侧的抛物线上，∴H（，﹣），∴AH＝；15．解：（1）依题意，抛物线经过A（2，0），C（0，﹣4），则c＝﹣4将点A代入得0＝4a+×2﹣4，解得a＝抛物线的解析式是y＝x2+x﹣4（2）设P点的坐标是（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4）∴PF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣x∵四边形OCPF是平行四边形∴OC＝FP，OC∥PF∴﹣x2﹣x＝4即2x2+21x+40＝0解得x1＝﹣8 x2＝﹣2.5∴P点的坐标为（﹣8，﹣4），（﹣2.5，﹣）（3）当y＝0时，﹣x﹣4＝0，得x＝﹣8，即D（﹣8，0）当x＝0时，0﹣4＝y，即C（0，﹣4）当y＝0时，x2+x﹣4＝0解得x1＝﹣10 x2＝2，即B（﹣10，0），A（2，0）∴AD＝10∵AC2＝22+42＝20CD2＝82+42＝80∴AD2＝AC2+CD2∴∠ACD＝90°△ACD是直角三角形。

(精编)2020江西省中考数学第专题复习 二次函数综合题(含解析)

(精编)2020江西省中考数学第专题复习 二次函数综合题(含解析)

二次函数综合题(必考1道，9或12分)类型一 与图形规律有关的探究问题(2019.23，2016.23，2014.24，2013.24)1.(2018江西样卷)已知抛物线C n ：y n ＝－12x 2＋(n －1)x ＋2n (其中n 为正整数)与x 轴交于A n ，B n 两点(点A n 在B n 的左边)，与y 轴交于点D n .(1)填空：①当n ＝1时，点A 1的坐标为________，点B 1的坐标为________； ②当n ＝2时，点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________；(2)猜想抛物线C n 是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，并说明理由； (3)①判断△A 2D 2B 4的形状；②猜想∠A n D n B n 2的大小，并给予证明．2.(2019南昌模拟)如图①，抛物线C：y＝x2经过变换可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得到抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：(1)填空：a1＝________，b1＝________；(2)求出C2与C3的解析式；(3)按上述类似方法，可得到抛物线C n：y n＝a n x(x－b n)与正方形OB n A n D n(n≥1)．①请用含n的代数式直接表示出C n的解析式；②当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由．第2题图3.(2019江西黑白卷)如图，抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)若抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m过点(1，0)，求抛物线y1的解析式；(2)当△AOC∽△COB时，求点C的坐标；(3)当m＝－3时，过点(－2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P，抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y n与直线l交于点R，当四边形P ARB的面积为70时，求n的值．第3题图4.(2019抚州模拟)如图，已知∠OBB1＝30°，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过A n－1、B n、A n三点的抛物线称为y n.(1)写出A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)求出抛物线y1和y2的解析式；(3)若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019的形状，并说明理由；(4)若抛物线y n和y n＋1的对称轴分别交x轴于点C n和C n＋1，连接B n－1C n并延长交y n＋1的对称轴于点D，请判断△B n－1B n＋1D的形状(不需证明)，求出B n＋1D的长，并说明理由．第4题图5.(2018章贡模拟)已知抛物线C1：y1＝a(x－1)2＋k1(a≠0)交x轴于点M(－2，0)和点A1(b1，0)，抛物线C 2：y 2＝a (x －12b 1)2＋k 2交x 轴于点M (－2，0)和点A 2(b 2，0), 抛物线C 3：y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，…，按此规律，抛物线C n ：y n ＝a (x －12b n －1)2＋k n 交x 轴于点M (－2，0)和点A n (b n ，0)(其中n 为正整数)，我们把抛物线C 1，C 2，C 3，…，C n 称为系数a 的抛物线族．(1)直接写出b 1的值；(2)线段A n －1A n 的长为________； (3)探究如下问题：(用含a 的代数式表示)①抛物线C 3的顶点坐标为(________，________)；②依此类推第n 条抛物线C n 的顶点坐标为(________，________)；(4)抛物线C 10的顶点为N ，是否存在△MNA 10是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．6.(2019江西样卷六)已知以直线x ＝1为对称轴的抛物线y 1与x 轴交于点A 1(d ，0)和A 2，顶点为B 1，以直线x ＝2为对称轴的抛物线y 2与x 轴交于点A 2和A 3，顶点为B 2，…，以直线x ＝n 为对称轴的抛物线y n与x 轴交于点A n 和A n ＋1，顶点为B n ，我们把这样的抛物线y 1，y 2，…，y n 对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数．(1)当0<d <1时：①填空：A 1A 2＝______，A 2A 3＝______，A 3A 4＝______；(用含d 的代数式表示)②若d ＝0.4，“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上，当n 的值为多少时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形？(2)当0<d <1时，已知“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的开口方向都向下，且△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n A n ＋1B n 均为直角三角形．①请求出“整对称轴”二次函数y 1，y 2的解析式，并猜想出二次函数y 2019的解析式(可以含d )； ②请通过画草图分析直线y ＝12与抛物线y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数．第6题图类型二与图象变换有关的探究问题(2019.23，2017.22，2011.24，2010.24)1.(2019江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，且顶点为B(0，1)．(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设点F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.①抛物线M1的顶点B1的坐标为________；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．第1题图2.(2019江西定心卷)已知抛物线C1：y＝ax2－2ax－3 (a≠0)．(1)当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为________；②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为__________；(2)无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变，求m 的值和EF的长；(3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2019江西样卷二)如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为点M、N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是________；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点．①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？4.(2017江西样卷二)已知抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：(1)设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为________；(2)现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，试求抛物线C2的解析式；(3)现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B.①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？②在最初的状态下，若向下平移m(m＞0)个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．5.(2019江西模拟)将抛物线y＝－(x＋1)2向右平移2个单位，再向上平移4个单位得抛物线m，抛物线m交x轴于A，B(点A在B的左侧)两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D.(1)求抛物线m的解析式及点D的坐标，在如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图；(2)P是抛物线上一动点，点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；(3)M是抛物线上一动点，当M点在抛物线m的对称轴右侧时，过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N′.是否存在点M，使N′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．第5题图6.(2019江西黑白卷)已知抛物线L1：y1＝ax2－2的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP＝5 5.(1)求抛物线L1的函数解析式；(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1∶4两个部分，求直线AC的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线L1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线L2，点M为抛物线L2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？第6题图类型三 二次函数性质的探究问题(2015.23，2012.23)1.(2019北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a(a ≠0)与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a)，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．2.(2019江西样卷一)已知抛物线y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1.(1)若该抛物线经过点P (1，4)，试求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)求此抛物线的顶点坐标(用含m 的代数式表示)，并证明：不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l 上．(3)直线l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．3.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)．(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)当c＝10时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．4.(2017江西样卷一)已知抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0.(1)下列说法你认为正确的序号是________；①抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0，5k)；②抛物线L1和L2开口都向上；③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线；④当k＜－1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点．(2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN＝2EF？如存在，求出实数k的值；如不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线l1的顶点是P(－2，4)，且经过点O(0，0)、A(t，0)，平行于y轴的直线m与x轴交于点B(b，0)，与抛物线l1交于点M.(1)求t的值及抛物线l1的解析式；(2)当BM＝4时，求b的值；(3)把抛物线l1绕点(0，1)旋转180°，得到抛物线l2.①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．第5题图类型四与新定义有关的探究问题(2014.24)1.我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)求抛物线y＝x2－2关于原点O(0，0)的“衍生抛物线”的解析式；(2)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的“衍生抛物线”为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的“衍生抛物线”为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的“衍生抛物线”为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的“衍生抛物线”为y n，其顶点为A n…(n为正整数)．求A n A n 的长(用含n的式子表示)．＋12.(2019南昌模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.(1)已知抛物线①y＝－x2－2x，②y＝(x－3)2＋3，③y＝(x－2)2＋2，④y＝x2－x＋错误!，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________(请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图①，当m＝1，n＝2时，证明：AC＝BD；(3)如图②，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BD C.①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，请求出m的值．第2题图参考答案类型一 与图形规律有关的探究问题1.解：(1)①(－2，0)，(2，0)；②(－2，0)，(4，0)；(2)经过，定点为(－2，0)；解法一：∵当x ＝－2时，y ＝－12×(－2)2＋(n －1)×(－2)＋2n ＝－2－2n ＋2＋2n ＝0，结果与n 无关， ∴必经过点(－2，0)；解法二：y n ＝－12x 2＋nx －x ＋2n ＝－12x 2＋(x ＋2)n －x ， 令x ＋2＝0，即x ＝－2.y n ＝0与n 无关．∴必经过点(－2，0)；解法三：令y n ＝0，即x 2－2(n －1)x －4n ＝0，(x ＋2)(x －2n )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2n ，∴定点为(－2，0)；(3)①△A 2D 2B 4的形状为直角三角形；②猜想∠A n D n B n 2＝90°.证明：当x ＝0时，y n ＝2n ，∴D n (0，2n )．∵B n (2n ，0)，∴B n 2(2n 2，0)．在△A n D n O 中，tan ∠A n D n O ＝A n O D n O ＝22n ＝1n， 在△OD n B n 2中，tan ∠OB n 2D n ＝OD n OB n 2＝2n 2n 2＝1n， ∴∠A n D n O ＝∠OB n 2D n .∵∠A n D n O ＋∠D n A n B n 2＝90°，∠OB n 2D n ＋∠OD n B n 2＝90°，∴∠A n D n O ＋∠OD n B n 2＝90°.∴∠A n D n B n 2＝90°.2.解：(1)1，2；【解法提示】当y 1＝0时，a 1x (x －b 1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 1，∴A 1(b 1，0)．由正方形OB 1A 1D 1得，OA 1＝B 1D 1＝b 1，∴B 1(b 12，b 12)，D 1(b 12，－b 12)． ∵B 1在抛物线C 上，则b 12＝(b 12)2， 化简后为b 1(b 1－2)＝0，b 1＝0(不符合题意，舍去)，b 1＝2，∴D 1(1，－1)．把D 1(1，－1)代入y 1＝a 1x (x －b 1)中得：－1＝－a 1，∴a 1＝1.(2)当y 2＝0时，a 2x (x －b 2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 2，∴A 2(b 2，0)．由正方形OB 2A 2D 2得，OA 2＝B 2D 2＝b 2，∴B 2(b 22，b 22)，D 2(b 22，－b 22)． ∵B 2在抛物线C 1上，则b 22＝(b 22)2－2×b 22， 化简后为b 2(b 2－6)＝0，b 2＝0(不符合题意，舍去)，b 2＝6，∴D 2(3，－3)．把D 2(3，－3)代入C 2的解析式中，得－3＝3a 2(3－6)，∴a 2＝13， ∴抛物线C 2的解析式为y 2＝13x (x －6)＝13x 2－2x . 当y 3＝0时，a 3x (x －b 3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 3，∴A 3(b 3，0)．由正方形OB 3A 3D 3得，OA 3＝B 3D 3＝b 3，∴B 3(b 32，b 32)，D 3(b 32，－b 32)． ∵B 3在抛物线C 2上，则b 32＝13(b 32)2－2×b 32， 化简后为b 3(b 3－18)＝0，b 3＝0(不符合题意，舍去)，b 3＝18，∴D 3(9，－9)．把D 3(9，－9)代入C 3的解析式中，得－9＝9a 3(9－18)，∴a 3＝19， ∴抛物线C 3的解析式为y 3＝19x (x －18)＝19x 2－2x ； (3)①C n 的解析式为y n ＝13n －1x 2－2x (n ≥1)； ②由①可得，抛物线C 2018的解析式为y 2018＝132017x 2－2x ， 抛物线C 2019的解析式为y 2019＝132018x 2－2x ， ∴两抛物线的交点为(0，0)．如解图，由图象得，当x ≠0时，y 2018＞y 2019.第2题解图3.解：(1)把(1，0)代入y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中，得1－(2m ＋4)＋m 2＋4m ＝0， 解得m ＝1或－3，当m ＝1时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5；当m ＝－3时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2＋2x －3；∴抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5或y 1＝x 2＋2x －3；(2)令y 1＝0，有x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m ＝0，即(x －m )[x －(m ＋4)]＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋4，∴点A 的坐标为(m ，0)，点B 的坐标为(m ＋4，0)．令y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中x ＝0，则y 1＝m 2＋4m ， ∴C (0，m 2＋4m )．∵△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OC OB. 当A 、B 在y 轴左侧时，OA ＝－m ，OB ＝－m －4，OC ＝m 2＋4m ，∴－m m 2＋4m ＝m 2＋4m －m －4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)；当A 、B 在y 轴异侧时，OA ＝－m ，OB ＝m ＋4，OC ＝－m 2－4m ，∴－m －m 2－4m ＝－m 2－4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝－1，即点C 的坐标为(0，－1)；当A 、B 在y 轴右侧时，OA ＝m ，OB ＝m ＋4，OC ＝m 2＋4m ，∴m m 2＋4m ＝m 2＋4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)．综上所述，当△AOC ∽△COB 时，点C 的坐标为(0, 1)或(0，－1)；(3)当m ＝－3时，y 1＝[x －(m ＋2)]2－4＝(x ＋1)2－4，令y 1＝0，得(x ＋1)2－4＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝－2时，y 1＝(－2＋1)2－4＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．∵y 1向右平移n －1(n 为正整数)个单位得到抛物线y n ，∴y n ＝[x ＋1－(n －1)]2－4＝(x ＋2－n )2－4，∴当x ＝－2时，y n ＝(x ＋2－n )2－4＝n 2－4.∴点R 的坐标为(－2，n 2－4)．∵S 四边形P ARB ＝S △P AB ＋S △RAB ＝12×3×4＋12×4×(n 2－4)＝70， 解得n ＝±6.∵n 为正整数，∴n ＝6.4.解：(1)A 1(1，0)、A 2(3，0)、A 3(7，0)、B 1(12，32)、B 2(2，3)、B 3(5，23)； (2)设抛物线y 1的解析式为y 1＝ax (x －1)，把B 1(12，32)代入y 1，中，解得a ＝－23， ∴y 1＝－23x 2＋23x .同理可得y 2＝－3x 2＋43x －33；(3)四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形，由折叠性质可知，△A 2018B 2019A ′2019是等边三角形，∵△A 2018A 2019B 2019是等边三角形，∴A ′2019B 2019＝B 2019A 2019＝A 2018A 2019＝A 2018A ′2019，∴四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形；(4)△B n －1B n ＋1D 是等边三角形．由题意可得：B n －1(3×2n －3－1，2n －33)、B n ＋1(3×2n －1－1，2n －13)， 过点B n －1作B n －1E ⊥B n ＋1D 交B n ＋1D 于点E ，∵△B n －1B n ＋1D 是等边三角形∴B n －1E ＝3DE .∴B n －1E ＝3×2n －1－1－(3×2n －3－1)＝9×2n －3.∴DE ＝33×2n －3.∴B n ＋1D ＝2DE ＝33×2n －2.5.解：(1)4；【解法提示】∵抛物线C 1∶y 1＝a (x －1)2＋k 1(a ≠0)，交x 轴于点M (－2，0)和点A 1(b 1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(4，0)，∴b 1＝4.(2)2；【解法提示】同(1)可知，b 2＝6，b 3＝8，b 4＝10，…，按此规律得b n ＝2n ＋2，∴A n －1A n ＝b n －b n －1＝2n ＋2－[2(n －1)＋2]＝2.(3)①3，－25a ；②n ，－(n ＋2)2a ；【解法提示】①∵y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，b 2＝6，∴0＝a (－2－3)2＋k 3，∴k 3＝－25a ，∴抛物线C 3的顶点坐标为(3，－25a )；②∵b n －1＝2n ，∴第n 条抛物线的对称轴为直线x ＝n ，∴0＝a (－2－n )2＋k n ，∴k n ＝－(n ＋2)2a ，∴第n 条抛物线C n 的顶点坐标为[n ，－(n ＋2)2a ]．(4)存在，理由如下：∵抛物线C 10∶y 10＝a (x －10)2－144a ，顶点坐标N 为(10，－144a )，点A 10的坐标为(22，0)， ∴|MA 10|＝24.∵△MNA 10是等腰直角三角形，∴|－144a |＝12×24. 解得a ＝±112. ∴存在a ＝±112使△MNA 10为等腰直角三角形． 6.解：(1)①2－2d ，2d ，2－2d ；②∵顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上， ∴当x ＝n 时，y ＝15n . 由①可知，当n 为奇数时，A n A n ＋1＝2－2d ，当n 为偶数时，A n A n ＋1＝2d .∴当d ＝0.4时，只要满足15n ＝12A n A n ＋1＝12(2－2d )＝0.6，或15n ＝12A n A n ＋1＝12×2d ＝0.4时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形． 解得n ＝3或n ＝2.(2)①∵△A 1A 2B 1是直角三角形，A 1A 2＝2－2d ， ∴抛物线y 1的顶点B 1的坐标为(1，1－d )． 设二次函数y 1的解析式为y 1＝a 1(x －1)2＋1－d ， ∵抛物线y 1过点A 1(d ，0)，将A 1的坐标代入得a 1＝1d －1， ∴二次函数y 1的解析式为y 1＝1d －1(x －1)2＋1－d . 同理，∵△A 2A 3B 2是直角三角形，A 2A 3＝2d ， ∴抛物线y 2的顶点B 2的坐标为(2，d )． 设二次函数y 2的解析式为y 2＝a 2(x －2)2＋d ，∵抛物线y 2过点A 2(2－d ，0)，将A 2的坐标代入得a 2＝－1d ，∴二次函数y 2的解析式为y 2＝－1d(x －2)2＋d .猜想二次函数y 2019的解析式为y 2019＝1d －1(x －2019)2＋1－d .②通过以上探究，画出草图，可知：当0<d <12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2020个；当d ＝12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2019个；当12<d <1时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2018个．类型二与图形变换有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线M的顶点为B(0，1)，∴可设抛物线M的函数表达式为y＝ax2＋1.∵抛物线M经过点A(－1，0)，∴a×(－1)2＋1＝0，解得a＝－1.∴抛物线M的函数表达式为y＝－x2＋1；(2)①(2t，－1)；②由①可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t，－1)，∴抛物线M1的函数表达式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)．当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0，解得t1＝－1，t2＝0.当抛物线M1经过点B(0，1)时，(0－2t)2－1＝1，解得t＝±2 2.如解图，结合函数图象分析，∵t＞0，当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0＜t≤2 2.第1题解图2.解：(1)①(1，－4)；【解法提示】当a＝1时，抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－4)；②y＝－x2＋2x＋3；(2) 将y＝ax2－2ax－3变形，得y＝ax(x－2)－3，∴抛物线C1总经过定点(2，－3)．∵y＝ax2－2ax－3与y轴交于点(0，－3)，且EF的长度不变，∴当y＝－3时，EF的长为2，即当m＝－3时，线段EF的长恒为2；(3)存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形．理由如下：易得抛物线C1：y＝ax2－2ax－3的顶点坐标为(1，－a－3) .由(2)知EF＝2，点E、F均在直线y＝－3上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于EF对称，即P、Q在EF的两侧，故要使E，F，P，Q四点构成的四边形为正方形，需满足PQ＝2，即点P到直线y＝－3的距离为1，∴|(－a－3)－(－3)|＝1，∴|－a|＝1，解得a＝1或a＝－1.3.解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3；(2)四边形AMDN是矩形；(3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1，∴当x＝－3或1时，y＝1.故抛物线L1恒经过定点(－3，1)或(1，1)；y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1，∴当x＝5或1时，y＝－1.故抛物线L2恒经过定点(5，－1)或(1，－1)；②∵抛物线L1经过定点(－3，1)或(1，1)与抛物线L2经过定点(5，－1)或(1，－1)，设E为(－3，1)，F为(1，1)，G为(5，－1)，H为(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形，如解图，另设平移的距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得42＝22＋(4－x)2，解得x＝4±23，故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－2 3.第3题解图4.解：(1)(－1，0)；【解法提示】观察表格可知，抛物线上的点(－3，－4)与点(1，－4)关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴顶点P的坐标为(－1，0)．(2)设抛物线C1的解析式为y1＝a(x＋1)2，把(－2，－1)代入得到a＝－1，∴抛物线C1的解析式为y1＝－(x＋1)2.将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为(－1，0)，a＝1，∴抛物线C2的解析式为y2＝(x＋1)2；(3)①抛物线C2向下平移过程中，对称轴为直线x＝－1，当A、B之间的距离为6时，可知A(－4，0)，B(2，0)，∴此时抛物线C2的解析式为y＝(x＋4)(x－2)．即y＝(x＋1)2－9，∴抛物线C2至少向下平移9个单位，才能使点A、B之间的距离不小于6个单位；②m ＝14n 2.【解法提示】抛物线C 2向下平移m (m ＞0)个单位后的解析式为y ＝(x ＋1)2－m ， 令y ＝0，解得x ＝－1±m ，∴A (－1－m ，0)，B (－1＋m ，0)． ∴n ＝AB ＝2m . ∴m ＝14n 2.5.解：(1)依题意得抛物线m 的解析式为y ＝－(x －1)2＋4， ∴C (0，3)，∴直线CD 的解析式为y ＝3.由y ＝－(x －1)2＋4与y ＝3联立解得x ＝0(舍去)或2， ∴D (2，3)．抛物线y ＝－(x －1)2＋4如解图①所示；第5题解图①(2)由－(x －1)2＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)．∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能： ①当AE 为平行四边形一边时，AE ∥PD ，∴P 1(0，3)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对角的顶点到另一条对角线距离相等，可知点P 、点D 到直线AE (即x 轴)的距离相等，∵D (2，3)，即点D 到x 轴的距离为3，∴点P 的纵坐标为－3. ∴－3＝－(x －1)2＋4.解得x 3＝7＋1，x 4＝－7＋1， ∴点P 的坐标为(7＋1，－3)或(－7＋1，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(0，3)，(7＋1，－3)，(－7＋1，－3)； (3)存在满足条件的点M .理由如下：如解图②，设直线MN 交x 轴于F ，假设点N ′在x 轴上，第5题解图②依题意得，点M 在直线CD 下方，设CN ＝a ， ∵M 是抛物线上一动点，∴点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)， MN ＝3－(－a 2＋2a ＋3)＝a 2－2a . 由折叠性质得△CMN ≌△CMN ′，∴∠N ＝∠CN ′M ＝90° , CN ′＝CN ＝a ，MN ′＝MN ＝a 2－2a ， ∴∠CN ′O ＋∠FN ′M ＝90°. ∵∠OCN ′＋∠CN ′O ＝90°， ∴∠FN ′M ＝∠OCN ′.又∵∠CON ′＝∠N ′FM ＝90°， ∴△CON ′∽△N ′FM ， ∴N ′C OC ＝MN ′FN ′， ∴a 3＝a 2－2a FN ′， ∴N ′F ＝3a －6，∴ON ′＝OF －N ′F ＝a －(3a －6)＝6－2a ， 在Rt △CON ′中，∵∠CON ′＝90°， ∴CO 2＋ON ′2＝N ′C 2. ∴32＋(6－2a )2＝a 2， 解得a ＝3或5，∴点M 的坐标为(3，0)或(5，－12)． 6.解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2－2的顶点为点P ， ∴点P 的坐标为(0，－2)． 又∵sin ∠ABP ＝55， ∴BP ＝OP sin ∠ABP ＝2÷55＝2 5.在Rt △OBP 中，由勾股定理可得 OB ＝（25）2－4＝4.∴A (－4，0)，B (4，0)．将A (－4，0)代入y 1＝ax 2－2中，解得a ＝18，∴抛物线L 1的解析式为y 1＝18x 2－2；(2)如解图，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由题意得S △AOD ＝15S △ABC ，AB ＝2OA ，第6题解图∵S △AOD ＝12AO ·OD ，S △ABC ＝12AB ·CE .即12AO ·OD ＝15×12AB ·CE . ∴OD CE ＝25. ∵CE ⊥x 轴，DO ⊥x 轴，∴△AOD ∽△AEC ， ∴OD EC ＝OA EA ＝25. ∵OA ＝4，∴AE ＝10.∴OE ＝6. 在y 1＝18x 2－2中，令x ＝6，得y ＝52.∴C (6，52)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (－4，0)，C (6，52)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，6k ＋b ＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝1.∴直线AC 的解析式为y ＝14x ＋1；(3)将抛物线L 1绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线L 2的解析式为y 2＝－18x 2－2，当△BDM 为直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)当BD 为直角边时，∵直线AC 的解析为y ＝14x ＋1，∴D (0，1)． ∵B (4，0)，易得直线BD 的解析式为y ＝－14x ＋1，①当∠MDB ＝90°时，即DM ⊥DB ，设直线DM 的解析式为y ＝4x ＋m ，代入D (0，1)得y ＝4x ＋1， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y 2＝－18x 2－2， 解得x 1＝－16＋258，x 2＝－16－258； ②当∠DBM ＝90°时，即BD ⊥BM ，设直线BM 的解析式为y ＝4x ＋n ，代入B (4，0)得y ＝4x －16，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －16，y 2＝－18x 2－2， 解得x 3＝－16＋423，x 4＝－16－423. (ⅱ)当BD 为斜边时，Rt △BDM 不存在；综上所述，当点M 的横坐标为－16＋258或－16－258或－16＋423或－16－423时，△BDM 为直角三角形．类型三 二次函数性质的探究问题1.解：(1)当x ＝0时，y ＝－1a .∴A (0，－1a)．∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ， ∴B (2，－1a)；(2)∵点B (2，－1a )在抛物线上，∴－1a ＝a ·22＋b ·2－1a .∴b ＝－2a .∴对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－2a 2a ＝1；(3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a.当a ＞0时，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a .∵－34a －1a ＜－1a，∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a .∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，故此情况舍去． 当a ＜0时， ∵－34a －1a ＞－1a，∴点P (12，－1a)在抛物线的下方．∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上所述，a 的取值范围是a ≤－12.2.解：(1)将x ＝1，y ＝4代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1，得m 2＋2m －3＝0. 解得m ＝1或m ＝－3.当m ＝1时，y ＝x 2＋3x ，其顶点坐标为(－32，－94)；当m ＝－3时，y ＝x 2－5x ＋8，其顶点坐标为(52，74)；(2)方法1：设顶点坐标为(x ，y )， 则x ＝－2m ＋12＝－m －12，y ＝4（m 2－1）－（2m ＋1）24＝－4m －54＝－m －54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．方法2：∵y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝x 2＋(2m ＋1)x ＋(2m ＋12)2＋m 2－1－(2m ＋12)2＝(x ＋2m ＋12)2－4m ＋54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．证明：∵y －x ＝－34，∴不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l ：y ＝x －34上．(3)是．将y ＝x －34代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1得x 2＋2mx ＋m 2－14＝0⇒(x ＋m )2＝14⇒x ＝－m ±12.∴l 与抛物线的交点坐标分别为A (－m －12，－m －54)，B (－m ＋12，－m －14)．∴AB ＝＝ 2 .3.解：(1)当b ＝2，c ＝－3时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， 故二次函数的顶点坐标为(－1，－4)；(2)当c ＝10时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋bx ＋10， 由题意得，x 2＋bx ＋10＝1有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝b 2－36＝0， 解得b 1＝6，b 2＝－6，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋6x ＋10或y ＝x 2－6x ＋10； (3)当c ＝b 2时，二次函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋b 2， 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－b2，①当对称轴在取值范围的左边，即－b2＜b ，b ＞0时，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝b 时，y ＝b 2＋b ·b ＋b 2＝3b 2为最小值， ∴3b 2＝21，解得b 1＝－7(舍去)，b 2＝7；②当对称轴在取值范围之间，即b ≤－b2≤b ＋3时，解得－2≤b ≤0，∴x ＝－b 2时有最小值，为y ＝34b 2，∴34b 2＝21，解得b 1＝－27(舍去)，b 2＝27(舍去)； ③当对称轴在取值范围的右边，即－b2＞b ＋3时，解得b ＜－2，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而减小， 故当x ＝b ＋3时，y ＝(b ＋3)2＋b (b ＋3)＋b 2＝3b 2＋9b ＋9为最小值， ∴3b 2＋9b ＋9＝21.解得b 1＝1(舍去)，b 2＝－4； ∴当b ＝7时，二次函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋7； 当b ＝－4时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋16.综上所述，此时二次函数的解析式为y ＝x 2＋7x ＋7或y ＝x 2－4x ＋16. 4.解：(1)①③④；(2)由(1)可知：点F (0，5k )是抛物线L 1和L 2与y 轴的一个交点，两条抛物线相交的另一点E 与点F 的纵坐标相等．当k ＝1时，抛物线L 1和L 2重合，当k ≠1时，k 的值变化时，线段EF 的长度不会变化，理由如下：∵抛物线L 1的对称轴和L 2的对称轴均为直线x ＝－b2a ＝－3，又F (0，5k )，∴点F 关于直线x ＝－3对称的点E 的坐标为E (－6，5k )， ∴线段EF ＝0－(－6)＝6； (3)存在实数k ，使MN ＝2EF ， ∵y 1＝x 2＋6x ＋5k ＝(x ＋3)2－9＋5k ， y 2＝kx 2＋6kx ＋5k ＝k (x ＋3)2－4k ， ∴抛物线L 1顶点M (－3，－9＋5k )， 抛物线L 2顶点N (－3，－4k )， 由题意得NM ＝|－4k －(5k －9)|＝2×6， 解得k 1＝73，k 2＝－13.5.解：(1)∵抛物线l 1的顶点是P (－2，4)， ∴对称轴为直线x ＝－2. ∴A (－4，0)． ∴t ＝－4.设抛物线l 1的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋4，∵抛物线过点O，∴4a＋4＝0.解得a＝－1.∴抛物线l1的解析式为y＝－(x＋2)2＋4；(2)由题知点M在抛物线l1上，点B在x轴上，且BM＝4，①当点M在x轴下方时，M(b，－4)，∴－4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2±22，②当点M在x轴上方时，M(b，4)，∴4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2，综上所述，当BM＝4时，b＝－2或－2＋22或－2－22；(3)①－2<x<2.【解法提示】如解图所示，第5题解图由图象知，－2＜x＜2.②∵点P关于(0，1)的对称点为P′(2，－2)，∴抛物线l2的解析式为y＝(x－2)2－2.设点M(b，－(b＋2)2＋4)，∴N(b，(b－2)2－2)．∴MN＝n＝(b－2)2－2－[－(b＋2)2＋4]＝2b2＋2.∴当b＝0时，MN的最小值为2.类型四 与新定义有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2的顶点为(0，－2)，∴抛物线的顶点坐标(0，－2)关于原点(0，0)的对称点为(0，2)．∴衍生抛物线的顶点坐标为(0，2)．∵衍生抛物线开口大小不变，方向改变，故二次项系数与原二次项系数互为相反数，∴衍生抛物线的解析式为：y ′＝－x 2＋2.(2)①抛物线y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b .∴此抛物线的顶点坐标为(－1，－a －b )．∵抛物线y 的衍生抛物线为y ′＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2＋a 2－b ，∴此抛物线的顶点坐标为(1，a 2－b )．∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b ＋a 2＝－a －b a ＋2a －b ＝a 2－b . 解得a ＝0(舍去)或a ＝3，b ＝－3.∴抛物线y 的顶点坐标为(－1，0)，抛物线y 的衍生抛物线y ′的顶点坐标为(1，12)．∵衍生中心为两顶点连线的中点，∴衍生中心的坐标为(0，6)；②抛物线y ＝ax 2＋2ax －b 的顶点坐标为(－1，－a －b )，∵点(－1，－a －b )关于点(0，k ＋n 2)的对称点为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．同理：A n ＋1(1，a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2)．∴A n A n ＋1＝a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2－(a ＋b ＋2k ＋2n 2)＝4n ＋2.2.解：(1)①与③，①与④ 【解法提示】①y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋12，②y ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋(3)2，③y ＝(x －2)2＋(2)2，④y ＝x 2－x ＋12＝(x －12)2＋(12)2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；(2)证明：当m ＝1，n ＝2时，抛物线C 1：y ＝－(x ＋1)2＋1，抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4， ∴A (－1，1)，B (2，4)．∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C 的横坐标为－1，点D 的横坐标为2.当x ＝－1时，y ＝(x －2)2＋4＝13，则C (－1，13)；当x ＝2时，y ＝－(x ＋1)2＋1＝－8，则D (2，－8)，∴AC ＝13－1＝12，BD ＝4－(－8)＝12.∴AC ＝BD ；(3)①抛物线C 1：y ＝－(x ＋m )2＋m 2(m ＞0)，则A (－m ，m 2)；抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)；当x＝－m时，y＝(x－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)；当x＝n时，y＝－(x＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)；∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2. ∴AC＝BD；∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°.∴AB⊥CD.∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)，∴n＝2.∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8.而A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)．∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4.∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD.∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2.即(m＋2)4＝15(m＋2)2，∵m＞0，∴(m＋2)2＝15.∴m＋2＝15.∴m＝15－2.。

江西省2020届 中考二轮难点突破二次函数综合题(共45张PPT)

江西省2020届 中考二轮难点突破二次函数综合题(共45张PPT)
OM MN ∴OM2＝6×(－4a)＝－24a，
∴在Rt△ONM中，由勾股定理可得OM2＝22＋(－4a)2＝16a2＋4，
∴16a2＋4＝－24a，解得a1＝
3
4
5
，a2＝
3 4
5
，
∴当a的值为 3 5 或 3 5 时，△COM与△NOM相似；
4
4
②存在；当CM＝OM时，△COM为等腰三角形，
4
2
如解图，作点C关于直线x＝ 3 的对称点M，连接BM，BM与PD
2
相交于点Q，此时BQ＋CQ的值最小，可得M的坐标为(4，0)，
由M(4，0)，B(0，3)易得直线BM的解析式为y＝－ 3 x＋3，
4
当x＝ 3 时，y＝ 3 3 3 15 ，即点Q的坐标为( 3 ,15 )．
4
42
8
48
【自主解答】
【思维教练】①“相似三角形”则需从图中两三角形中得到哪两 组角对应相等？或者哪两组边对应成比例及夹角相等？②要求 使△COM为等腰三角形的a值，则要想到对等腰三角形的腰和底 进行分类讨论，再分别列等式计算．
解：(4)①根据题意可得MN∥y轴，如解图， ∴∠COM＝∠NMO， ∴当∠MCO＝∠MNO＝90°时，△COM与△NOM相似， 此时可得四边形OCMN为矩形，∴OC＝MN， ∴△COM≌△NMO，与题意不符， ∴当∠CMO＝∠MNO＝90°时，△COM∽△OMN， ∴ OC OM ，即OM2＝OC·MN，
解：(3)如解图②，由翻折可得BH＝HQ， 又∵四边形BHQK恰好为平行四边形， ∴四边形BHQK为菱形，∴QH∥x轴， 设H的横坐标为a， 则H的纵坐标为－2a＋6，HQ＝a； 过点H作x轴的垂线，垂足为点R， 可得HR＝－2a＋6，BR＝3－a，

2020年江西省中考数学第二轮专题复习教案及练习：专题六 二次函数压轴题(含答案)

2020年江西省中考数学第二轮专题复习教案及练习：专题六 二次函数压轴题(含答案)

专题六二次函数压轴题类型一二次函数与图形变换如图①，已知直线l：y＝－x＋2与y轴交于点A，抛物线y＝(x－1)2＋m 也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移，使顶点B落在直线l上的点D处，点D的横坐标为n(n＞1)．(1)求点B的坐标；(2)平移后的抛物线可以表示为__________________(用含n的式子表示)；(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a.①请写出a关于n的函数关系式；②如图②，连接AC、CD，若∠ACD＝90°，求a的值．【分析】(1)点B是抛物线顶点，要求点B的坐标，只需求抛物线解析式即可，将点A代入即可得解；(2)确定平移后的抛物线解析式，可根据抛物线平移规律直接得解；(3)①由点C是两抛物线交点，可联立解方程来确定a与n的关系；②由∠ACD＝90°，可过点C作y轴的垂线，构造三垂直模型利用相似来解．【自主解答】1．已知平面直角坐标系中两定点A (－1，0)、B (4，0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a ≠0)过点A ，B ，顶点为C ，点P (m ，n )(n ＜0)为抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；(3)若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t (0＜t ＜52)个单位长度，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值，并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2．(2019·陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：y ＝ax 2＋(c －a )x ＋c 经过点A (－3，0)和点B (0，－6)，L 关于原点O 对称的抛物线为L ′.(1)求抛物线L 的表达式；(2)点P 在抛物线L ′上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ，若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标．3．已知二次函数y＝ax2－2ax－2的图象(记为抛物线C1)的顶点为M，直线l：y ＝2x－a与x轴、y轴分别交于A，B.(1)对于抛物线C1，以下结论正确的是________．①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标是(1，－a－2)；③抛物线一定经过两个定点．(2)当a>0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式．(3)将二次函数y＝ax2－2ax－2的图象C1绕点P(t，－2)旋转180°得到二次函数的图象(记为抛物线C2)，顶点为N.①当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t 的取值范围；②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q′，试探究四边形QMQ′N能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．类型二二次函数与几何图形综合如图，已知二次函数L 1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A，B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随x的增大而增大时，x的取值范围是________；(2)当AD＝MN时，请直接写出四边形AMDN的形状；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点．①求所有定点的坐标；②若抛物线L1的位置固定不变，通过左右平移抛物线L2，使得这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】(1)将抛物线化为顶点式即可得到顶点坐标；由图象可得y随x的增大而增大的x的取值范围；(2)判断四边形AMDN的形状，可先证明四边形AMDN是平行四边形，再由AD ＝MN得到其为矩形；(3)①求抛物线经过的定点，可将抛物线化为关于m的代数式，令m的系数为0，代入求出对应的y值即可；②由所得图形为菱形，可先判定定点构成的图形是平行四边形，再根据菱形得到邻边相等，对角线互相垂直平分，从而利用勾股定理求解．【自主解答】1．(2019·海南)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5经过A(－5，0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2019·辽阳)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点C(3，0)，交y轴于点E(0，3)，动点P在对称轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大，最大值是多少？(3)若点M是平面内任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．第2题图备用图类型三二次函数与规律探索(2019·江西)特例感知(1)如图①，对于抛物线y 1＝－x 2－x ＋1，y 2＝－x 2－2x ＋1，y 3＝－x 2－3x ＋1，下列结论正确的序号是________．①抛物线y 1，y 2，y 3都经过点C (0，1)；②抛物线y 2，y 3的对称轴由抛物线y 1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y 1，y 2，y 3与直线y ＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念(2)把满足y n ＝－x 2－nx ＋1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用在(2)中，如图②.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1，P 2，P 3，…，P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1，C 2，C 3，…，C n ，其横坐标分别为－k －1，－k －2，－k －3，…，－k －n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．(3)在②中，直线y ＝1分别交“系列平移抛物线”于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，连接C n A n ，C n －1A n －1，判断C n A n ，C n －1A n －1是否平行？并说明理由．图① 图②【分析】 (1)逐一判断3个结论的正确性即可；(2)①由抛物线y n 即可表示P n ，消去参数即可得到顶点P n 的横、纵坐标之间的关系式；②分别求出C n ，C n －1的横、纵坐标，利用两点距离公式求线段C n C n －1的长；(3)要判断C n A n 与C n －1A n －1是否平行，只需判断直线C n A n 与直线C n －1A n －1的解析式中自变量的系数是否相同即可．【自主解答】1．已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3和抛物线y n ＝n 3x 2－2n 3x －n (n 为正整数)． (1)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的交点坐标为____________，顶点坐标为________．(2)当n ＝1时，请解答下列问题：①直接写出y n 与x 轴的交点坐标__________，顶点坐标________．请写出抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质________________；②当直线y ＝12x ＋m 与y ，y n 相交共有4个交点时，求m 的取值范围；(3)若直线y ＝k (k ＜0)与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，抛物线y n ＝n 3x 2－2n 3x －n (n 为正整数)共有4个交点，从左至右依次标记为点A ，点B ，点C ，点D ，当AB ＝BC ＝CD 时，求k ，n 之间满足的关系式．2．已知抛物线y n ＝－(x －a n )2＋b n (n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n )与x 轴的交点为A (0，0)和A n (c n ，0)，c n ＝c n －1＋2，当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋b 1与x 轴的交点为A (0，0)和A 1(2，0)，其他依此类推．(1)求a 1，b 1的值及抛物线y 2的解析式．(2)抛物线y3的顶点B3的坐标为(______，______)；依此类推，第n条抛物线y n 的顶点B n的坐标为(______，________)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是____________．(3)探究下列结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m(m＞0)与抛物线y n分别交于C1，C2，…，C n，则线段C1C2，C2C3，…，C n－1C n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．3．如图，抛物线y1＝－x2＋c与x轴交于A，B两点，且AB＝2.(1)求抛物线y1的函数解析式，并直接写出y1的顶点坐标．(2)将y1先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，记为第一次操作，得到抛物线y2.按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线y3，经过第三次操作，可得到抛物线y4，…，经过第(n－1)次操作可得到抛物线y n.①y1的顶点是否在y2上？请说明理由．②若抛物线y n恰好经过点B(不含y1)，求抛物线y n的解析式．③定义：当抛物线与x轴有两个交点时，定义：以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”．如△ABC是抛物线y1的“轴截三角形”．记抛物线y1，y2，y3，…，y n的“轴截三角形”的面积分别为S1，S2，S3，…，S n.当S n＝125时，求n的值．4．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为______，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是___________．抽象感悟我们定义，对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决(3)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k ＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)(n为正整数)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；….求A n A n＋1的长(用含n的式子表示)．类型四二次函数与新定义如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B 两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．(1)抛物线y ＝12x 2对应的碟宽为________；抛物线y ＝4x 2对应的碟宽为________；抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为________；抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)对应的碟宽为________；(2)抛物线y ＝ax 2－4ax －53(a ＞0)对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；(3)将抛物线y ＝a n x 2＋b n x ＋c n (a n ＞0)对应的准碟形记为F n (n ＝1，2，3…)，定义F 1，F 2，…，F n 为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n －1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n －1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y 1，其对应的准碟形记为F 1.①求抛物线y 2的表达式；②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…，F n 的碟高为h n ，则h n ＝________，F n 的碟宽右端点横坐标为________；F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．【分析】 (1)根据定义易算出抛物线y ＝12x 2，抛物线y ＝4x 2的碟宽，且都利用端点(第一象限)横、纵坐标相等求解．推广至含字母的抛物线y ＝ax 2(a ＞0)可类似求解．而抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)为顶点式，可看成由抛物线y ＝ax 2平移得到，则发现碟宽只和a 有关．(2)由(1)的结论，根据碟宽与a 的关系求解．(3)①由y 1，易推y 2.②由相似的性质得到h n 与h n －1，h n －1与h n －2，…h 2与h 1之间的关系，从而得到h n 即可；由等腰直角三角形性质得到F n 的碟宽与h n 之间的关系，即可得到F n 的碟宽右端点横坐标，先证明F n ，F n －1，F n －2的碟宽右端点在一条直线上，从而作出判断，再确定F 1，F 2的碟宽右端点所在直线即可求解．【自主解答】1．如图①，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上(点A 与点B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L 1、L 2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．2．(2019·南昌二模)我们规定，以二次函数y＝ax2＋bx＋c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y＝2ax＋b叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的“子函数”，反过来，二次函数y＝ax2＋bx＋c叫做一次函数y ＝2ax＋b的“母函数”．(1)若一次函数y＝2x－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的“子函数”，且二次函数经过点(3，0)，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”y＝x－6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数y＝－x2－4x＋8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D 两点，点P在直线l上方的抛物线上，求△PCD的面积的最大值．3．(2019·南昌5月模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C 1与D .(1)已知抛物线：①y ＝－x 2－2x ，②y ＝(x －3)2＋3，③y ＝(x －2)2＋2，④y ＝x 2－x ＋12，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________ (请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图①，当m ＝1，n ＝2时，证明AC ＝BD ；(3)如图②，连接AB ，CD 交于点F ，延长BA 交x 轴的负半轴于点E ，记BD 交x 轴于G ，CD 交x 轴于点H ，∠BEO ＝∠BDC .①求证：四边形ACBD 是菱形；②若已知抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4，请求出m 的值．图① 图②参考答案【例1】 解：(1)当x ＝0时，y ＝－x ＋2＝2，∴A (0，2)，把A (0，2)代入y ＝(x －1)2＋m ，得1＋m ＝2，∴m ＝1.∴B (1，1)．(2)y ＝(x －n )2＋2－n .(3)①∵点C 是两条抛物线的交点，∴点C 的纵坐标可以表示为(a －1)2＋1或(a －n )2＋2－n ，∴(a －1)2＋1＝(a －n )2＋2－n ，即a 2－2a ＋1＋1＝a 2－2an ＋n 2＋2－n , 2an －2a ＝n 2－n ，∵n ＞1，∴a ＝n 2－n 2n －2＝n 2. ②如解图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF ⊥CE 于点F .例1题解图∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＝∠CDF .又∵∠AEC ＝∠DFC ，∴△ACE ∽△CDF ，∴AE EC ＝CF FD .又∵C (a ，a 2－2a ＋2)，D (2a ，2－2a )，∴AE ＝a 2－2a ，DF ＝a 2，CE ＝CF ＝a ，∴a 2－2a a ＝a a 2，∴a 2－2a ＝1， 解得a ＝±2＋1，∵n ＞1，∴a ＝n 2＞12，∴a ＝2＋1.跟踪训练1．解： (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a ≠0)过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，16a ＋4b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258， ∴C (32，－258)．(2)如解图①，以AB 为直径作⊙M ，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB 为钝角，第1题解图①易得M (32，0)，⊙M 的半径为52.设P ′是抛物线与y 轴的交点，∴OP ′＝2，∵MP ′＝OP′2＋OM 2＝52. ∵P 关于抛物线对称轴的对称点为点(3，－2)，∴当－1＜m ＜0或3＜m ＜4时，∠APB 为钝角．(3)存在．抛物线向左或向右平移，∵AB 、P ′C ′是定值，∴要使首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长第1题解图②最短，只要AC ′＋BP ′最小．第一种情况：抛物线向右平移，AC ′＋BP ′＞AC ＋BP .第二种情况：向左平移，如解图②所示，由(2)可知P (3，－2)， 又∵C (32，－258)，∴C ′(32－t ，－258)，P ′(3－t ，－2)，将BP ′平移至AP ″，∵AB ＝5，∴P ″(－2－t ，－2)，要使AC ′＋BP ′最短，只要AC ′＋AP ″最短即可，∵点C ′关于x 轴的对称点C ″的坐标为(32－t ，258)，设直线P ″C ″的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧－2＝（－2－t ）k ＋b ，258＝（32－t ）k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4128，b ＝4128t ＋1314，∴直线P ″C ″的解析式为y ＝4128x ＋4128t ＋1314，当P ″、A 、C ″在同一条直线上时，周长最小，∴－4128＋4128t ＋1314＝0，∴t ＝1541. 故将抛物线向左平移1541个单位长度时，首尾依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短．2．解：(1)将点A (－3，0)，B (0，－6)代入L 得⎩⎪⎨⎪⎧a （－3）2＋（c －a ）·（－3）＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－6，∴抛物线L 的表达式为y ＝－x 2－5x －6.(2)由题意，得∠PDO ＝90°，∠AOB ＝90°，由对称性可得L ′的表达式为y ＝x 2－5x ＋6.设点P 的坐标为(m ，m 2－5m ＋6)，当△DPO ∽△OAB 时，DP DO ＝OA OB ，即m 2－5m ＋6＝2m ，解得m 1＝1，m 2＝6，此时点P 的坐标为(1，2)或(6，12)；当△DPO ∽△OBA 时，DP DO ＝OB OA ，即2m 2－10m ＋12＝m ，解得m 3＝4，m 4＝32，此时点P 的坐标为(4，2)或(32，34)．第2题解图3．解：(1)①②③(2)由抛物线的顶点公式求得：顶点M (1，－a －2)．如解图①，当x ＝1时，y ＝2·1－a ＝2－a ，求得D (1，2－a )；当y ＝0时，0＝2x －a ，x ＝a 2，求得A (a 2，0)，∴DM ＝2－a －(－a －2)＝ 4，∴S ＝S △BMD －S △AMD ＝12DM (OC －AC )＝12DM ·AO ＝12·4·a 2＝a .即S ＝a (a >0)．(3)①当－2≤x ≤1时，C 1的y 的值会随x 的增大而减小，而C 1的对称轴为x ＝1, －2≤x ≤1在对称轴的左侧，C 1开口向上，∴a >0；同时C 2的开口向下，而当－2≤x ≤1时，y 的值会随x 的增大而减小，∴－2≤x ≤1要在C 2的对称轴右侧，令C 2的对称轴为x ＝m ，则m ≤2，而x ＝1和x ＝m 关于P (t ，－2)对称，∴P 到这两条对称轴的距离相等，∴1－t ＝t －m ，m ＝2t －1，∴2t －1≤－2，即t ≤－12.②当a ＝1时，M (1，－3)，作PE ⊥CM 于E ，将Rt △PME 绕P 旋转90°，得到Rt △PQF ，则△MPQ 为等腰直角三角形，∵N ，Q ′分别是点M ，Q 的中心对称点，∴四边形MQNQ ′为正方形．第一种情况，当t ≤1时，求得PE ＝PF ＝1－t ，ME ＝QF ＝1，CE ＝2，∴Q (t ＋1，－t －1)．把Q (t ＋1，－t －1)代入y ＝x 2－2x －2，得－t －1＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－2, t 2＋t －2＝0，解得：t 1＝1，t 2＝－2；第二种情况，当t >1时，求得PF ＝PE ＝t －1，ME ＝QF ＝1，CE ＝2， ∴Q (t －1，t －3)，把Q (t －1，t －3)代入y ＝x 2－2x －2，得t －3＝(t －1)2－2(t －1)－2，t 2－5t ＋4＝0，解得t1＝1 (舍去)，t2＝4综上t＝－2或1或4.图①图②图③【例2】解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3(2)四边形AMDN是矩形．(3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1，∴当x＝－3或1时，y＝1，∴L1经过定点(－3，1)和(1，1)．y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1，∴当x＝5或1时，y＝－1，∴L2经过定点(5，－1)和(1，－1)．②L1经过定点(－3，1)和(1，1)，L2经过定点(5，－1)和(1，－1)，设E(－3，1)，F(1，1)，G(5，－1)，H(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形．如解图，另设平移距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得42＝22＋(4－x)2，解得x＝4±23，故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－2 3.例2题解图跟踪训练1．解：(1)将点A ，B 坐标代入抛物线表达式得⎩⎪⎨⎪⎧25a －25b ＋5＝0，16a －4b ＋5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝6， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋6x ＋5.(2)①令y ＝x 2＋6x ＋5＝0，得x 1＝－1，x 2＝－5，∴点C 的坐标为(－1，0)． 由点B (－4，－3)得直线BC 的函数解析式为y ＝x ＋1，如解图①，过点P 作PG ∥y 轴交BC 于G ，第1题解图①设点P 的坐标为(t ，t 2＋6t ＋5)，则点G (t ，t ＋1)，∴PG ＝(t ＋1)－(t 2＋6t ＋5)＝－t 2－5t －4，∴S △PBC ＝12PG ·|x C －x B |＝32(－t 2－5t －4)＝－32(t ＋52)2＋278.∵－32<0，∴当t ＝－52时，△PBC 的面积最大，最大值为278.第1题解图②②设BP 交CD 于点H .当点P 在直线BC 下方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴点H 在BC 的垂直平分线上，易得线段BC 的中点坐标为(－52，－32)，过该点与直线BC 垂直的直线设为y ＝－x ＋m ，则－32＝52＋m ，解得m ＝－4，∴直线BC 的垂直平分线的函数解析式为y ＝－x －4.可得直线CD 的函数表达式为y ＝2x ＋2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝2x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴点H 的坐标为(－2，－2)， 直线BH 的函数解析式为y ＝12x －1.联立得⎩⎨⎧y ＝x 2＋6x ＋5，y ＝12x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－74，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(－32，－74)．当点P 在直线BC 上方时，∵∠PBC ＝∠BCD ，∴BP ∥CD ，∴直线BP 的表达式为y ＝2x ＋5，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋6x ＋5，y ＝2x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点P 的坐标为(0，5)．综上，所有点P 的坐标为(－32，－74)，(0，5)2．解：(1)将C (3，0)，E (0，3)代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴A (1，4)．设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将A ，C 代入得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝6，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6.设P (1，4－t )，∵PD ⊥AB ，∴y D ＝4－t ，∴4－t ＝－2x ＋6，解得x ＝1＋t2，∴点D 的坐标为(1＋t2，4－t )．∵l ∥y 轴，∴x Q ＝1＋t2，∴y Q ＝－(1＋t2－1)2＋4＝4－14t 2，∴S △ACQ ＝S △ADQ ＋S △CDQ＝12DQ ·BC＝12(4－14t 2－4＋t )×2＝－14(t －2)2＋1，∴当t ＝2时，S △ACQ 最大，最大值为1.(3)存在，综合条件的M 点坐标为(2，2)，(－2，3＋14)，(4，17)．【解法提示】设点P (1，t )(t ＞0)，∵以P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形， ∴①当CE 为对角线时，PC ＝PE ，且PM 与CE 互相垂直平分，∴(1－0)2＋(t －3)2＝(3－1)2＋t 2，解得t ＝1，即点P 的坐标为(1，1)， 由菱形中心对称性质可知，点M 的坐标为(2，2)；②CP ＝CE ＝32，即（3－1）2＋t 2＝32，解得t ＝14(负的已舍去)， 即点P 的坐标为(1，14)，此时点M 的坐标为(－2，3＋14)；③EP ＝CE ＝32，即（1－0）2＋（t －3）2＝32，解得t ＝3＋17(负值已舍去)，∴此时点P 的坐标为(1，3＋17)，则点M 的坐标为(4，17)．【例3】 解：(1)当x ＝0时，y 1＝y 2＝y 3＝1，∴①正确；y 1，y 2，y 3的对称轴分别是直线x 1＝－12，x 2＝－1，x 3＝－32，∴②正确；y 1，y 2，y 3与直线y ＝1的交点(除点C 外)的横坐标分别为－1，－2，－3，∴距离为1，都相等，∴③正确．故答案为①②③.(2)①y n ＝－x 2－nx ＋1＝－(x ＋n 2)2＋n 2＋44，∴顶点P n (－n 2，n 2＋44)．令顶点P n 的横坐标为x ＝－n 2，纵坐标y ＝n 2＋44，∴y ＝n 2＋44＝(－n 2)2＋1＝x 2＋1，即顶点P n 的纵坐标y 与横坐标x 满足关系式y ＝x 2＋1. ②令C n (x n ，y n )，C n －1(x n －1，y n －1)，x n －1＝－k －(n －1)＝－k －n ＋1，y n －1＝－x n －12－(n －1)x n －1＋1，x n ＝－k －n ，y n ＝－x n 2－nx n ＋1， ∵x n －1－x n ＝1，y n －1－y n ＝－x n －12－(n －1)x n －1＋1＋x n 2＋nx n －1＝(x n －x n －1)(x n ＋x n －1)＋n (x n －x n －1)＋x n －1＝－(－k －n ＋1－k －n ＋n )－k －n ＋1＝2k ＋n －1－k －n ＋1＝k .∴C n －1C n ＝（x n －1－x n ）2＋（y n －1－y n ）2＝1＋k 2. ∵C n －1C n ＝1＋k 2与n 无关， ∴相邻两点之间的距离为定值，定值为1＋k 2.(3)令y n ＝1得－x 2－nx ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝－n ， ∴A n (－n ，1)，由②知C n (x n ，－x n 2－nx n ＋1)，设直线A n C n ：y ＝k n x ＋b n ，则k n ＝1－（－x n 2－nx n ＋1）－n －x n ＝x n （x n ＋n ）－n －（－k －n ）＝（－k －n ）（－k －n ＋n ）－n ＋k ＋n ＝k ＋n ，同理A n －1(－n ＋1，1)，C n －1(x n －1，－x n －12－(n －1)x n －1＋1)， 设直线A n －1C n －1：y ＝k n －1x ＋b n －1，则k n －1＝k ＋n －1，∴k n －1≠k n ，∴直线C n A n 与直线C n －1A n －1不平行．跟踪训练1．解：(1)(－1，0)，(3，0)；(1，4)(2)①(－1，0)，(3，0)；(1，－4n 3)；对称轴为直线x ＝1[或与x 轴交点为(－1，0)，(3，0)]②当直线y ＝12x ＋m 与y 相交只有1个交点时，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x 2＋2x ＋3，整理得x 2－32x ＋m －3＝0， ∴b 2－4ax ＝(32)2－4(m －3)＝0，解得m ＝5716.当直线y ＝12x ＋m 与y n 相交只有1个交点时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝13x 2－23x －1，整理得2x 2－7x －(6＋6m )＝0， ∴b 2－4ax ＝72－4×2×(－6－6m )＝0，解得m ＝－9748，把点(－1，0)代入y ＝12x ＋m 得m ＝12，把(3，0)代入y ＝12x ＋m 得m ＝－32，如解图①，∴m 的取值范围是－9748<m <5716，且m ≠－32，m ≠12.(3)如解图②，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ，y ＝－x 2＋2x ＋3得x 2－2x ＋k －3＝0， ∴AD 2＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4k ，由⎩⎨⎧y ＝k ，y ＝n 3x 2－2n 3x －n得nx 2－2nx －(3n ＋3k )＝0， ∴BC 2＝(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝16＋12k n ， ∵AB ＝BC ＝CD ，∴AD 2＝9BC 2，∴16－4k ＝9(16＋12k n )， ∴32n ＋27k ＋nk ＝0.图① 图② 2．解： (1)当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋b 1与x 轴的交点为A (0，0)，A 1(2，0)，∴y 1＝－x (x －2)＝－(x －1)2＋1，则a 1＝1，b 1＝1. 由c n ＝c n －1＋2可知，c 2＝c 1＋2＝2＋2＝4， ∴抛物线y 2与x 轴的交点为A (0，0)，A 2(4，0)， ∴y 2＝－x (x －4)＝－x 2＋4x .(2)3，9，n ，n 2，y ＝x 2；(3)①存在，由(1)(2)得A n (2n ，0)，B n (n ，n 2)． 当△AA n B n 为等腰直角三角形时，n 2＝n ，解得n 1＝1，n 2＝0(舍去)．∴存在抛物线y n ，使得△AA n B n 为等腰直角三角形，此时抛物线为y 1＝－(x －1)2＋1.②∵y n ＝－x (x －2n )＝－x 2＋2nx ，当x ＝m (m ＞0)时，C n (m ，－m 2＋2mn )，C n －1(m ，－m 2＋2mn －2m )， ∴C n C n －1＝－m 2＋2mn －(－m 2＋2mn －2m )＝2m .∴C 1C 2＝C 2C 3＝…＝C n －1C n ＝2m .3．解： (1)∵AB ＝2，抛物线y 1＝－x 2＋c 的对称轴为直线x ＝0， ∴点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，将点A (－1，0)代入得c ＝1，则抛物线y 1的解析式为y 1＝－x 2＋1，顶点坐标为(0，1)．(2)①由平移性质得，抛物线y 2的顶点坐标为(1，2)，则抛物线y 2的函数解析式为y 2＝－(x －1)2＋2，当x ＝0时，y 2＝1，则y 1的顶点(0，1)在抛物线y 2上．②由题意，得抛物线y 3＝－(x －2)2＋3，y 4＝－(x －3)2＋4，y n ＝－(x －n ＋1)2＋n ，将点B (1，0)代入y n ，得－(1－n ＋1)2＋n ＝0，解得n ＝4或n ＝1(舍去)．∴抛物线y n 的解析式为y 4＝－(x －3)2＋4.③令y n ＝－(x －n ＋1)2＋n ＝0，解得x 1＝n －1－n ，x 2＝n －1＋n ，则S n ＝12[(n －1＋n)－(n －1－n)]·n ＝n·n ＝125，∵53＝125，∴n ＝5，即n ＝25.4．解：(1)－4；(－2，1)；y ＝(x －2)2＋1(2)y ＝－x 2－2x ＋5即y ＝－(x ＋1)2＋6，∴顶点为(－1，6)．∵点(－1，6)关于点(0，m )的对称点为(1，2m －6)，∴衍生抛物线为y ＝(x －1)2＋2m －6，则－(x ＋1)2＋6＝(x －1)2＋2m －6，化简得x 2＝－m ＋5，∵两抛物线有交点，∴－m ＋5≥0，∴m ≤5.(3)①y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b ，顶点为(－1，－a －b )．y ′＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2－b ＋a 2，顶点为(1，－b ＋a 2)．∵两抛物线交点恰好是顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a 2＝a·（1＋1）2－a －b ，－a －b ＝b·（－1－1）2－b ＋a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，∴顶点分别为(－1，0)和(1，12)．∵(－1，0)，(1，12)关于衍生中心对称，∴衍生中心为它们的中点，∵－1＋12＝0，0＋122＝6，∴衍生中心为(0，6)．②由①可知衍生中心为抛物线y ＝a (x ＋1)2－a －b 的顶点与A 1，A 2，A 3，…，A 4的中点，∴A n (1，2k ＋2n 2＋a ＋b )，A n ＋1(1，2k ＋2(n ＋1)2＋a ＋b )，∴A n A n ＋1＝2k ＋2(n ＋1)2＋a ＋b －(2k ＋2n 2＋a ＋b )＝4n ＋2.【例4】 解：(1)4；12；2a ；2a .例4题解图①【解法提示】 ∵a ＞0，∴y ＝ax 2的图象大致如解图①，其顶点为原点O ，记AB 为其碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA ，OB .∵△OAB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴， ∴OC ⊥AB ， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝12×90°＝45°，∴△ACO 与△BCO 亦为等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝BC ，∴x A ＝－y A ，x B ＝y B ，代入y ＝ax 2，∴A (－1a ，1a )，B (1a ，1a )，C (0，1a )，∴AB ＝2a ，OC ＝1a ，即抛物线y ＝ax 2对应的碟宽为2a .①抛物线y ＝12x 2对应的a ＝12，得碟宽2a 为4；②抛物线y ＝4x 2对应的a ＝4，得碟宽2a 为12；③抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为2a ； ④抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)可看成抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的，∵平移不改变形状、大小、开口方向，∴抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)的准碟形与抛物线y ＝ax 2的准碟形全等． ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)对应的碟宽为2a ，∴抛物线y ＝a (x －2)2＋3(a ＞0)对应的碟宽为2a .(2)∵y ＝ax 2－4ax －53＝a (x －2)2－(4a ＋53)，∴同(1)，其碟宽为2a .∵抛物线y ＝ax 2－4ax －53的碟宽为6，∴2a ＝6，解得a ＝13.(3)①∵F 1的碟宽∶F 2的碟宽＝2∶1，∴2a 1＝4a 2.∵a 1＝13，∴a 2＝23.∵y 1＝13(x －2)2－3的碟宽AB 在x 轴上(A 在B 左边)，∴A (－1，0)，B (5，0)，∴F 2的碟顶坐标为(2，0)，∴y 2＝23(x －2)2.②∵F n 的准碟形为等腰直角三角形，∴F n 的碟宽为2h n .∵2h n ∶2h n －1＝1∶2，∴h n ＝12h n －1＝(12)2h n －2＝(12)3h n －3＝…＝(12)n －1h 1.∵h 1＝3，∴h n ＝32n －1. ∵h n ∥h n －1，且都过F n －1的碟宽中点，∴h 1，h 2，h 3，…，h n －1，h n 都在一条直线上，∵h 1在直线x ＝2上，∴h 1，h 2，h 3，…，h n －1，h n 都在直线x ＝2上，∴F n 的碟宽右端点横坐标为2＋32n －1. F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，直线为y ＝－x ＋5.【解法提示】 考虑F n －2，F n －1，F n 情形，如解图②，例4题解图②F n －2，F n －1，F n 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ；C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线x ＝2上，连接右端点，BE ，EH .∵AB ∥x 轴，DE ∥x 轴，GH ∥x 轴，∴AB ∥DE ∥GH ，∴GH 平行且等于FE ，DE 平行且等于CB ，∴四边形GFEH ，四边形DCBE 都为平行四边形，∴HE ∥GF ，EB ∥DC .∵∠GFI ＝12∠GFH ＝12∠DCE ＝∠DCF ，∴GF ∥DC ，∴HE ∥EB ，∵HE ，EB 都过E 点，∴HE ，EB 在一条直线上，∴F n －2，F n －1，F n 的碟宽的右端点在一条直线上，∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在一条直线上．∵F 1：y 1＝13(x －2)2－3对应的准碟形右端点坐标为(5，0)，F 2：y 2＝23(x －2)2对应的准碟形右端点坐标为(2＋32，32)，∴可得过以上两点的直线为y ＝－x ＋5，∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点在直线y ＝－x ＋5上．跟踪训练1．解： (1)由y ＝－x 2＋4x －3可得A 的坐标为(2，1)，将x ＝4代入y ＝－x 2＋4x －3，得y ＝－3，∴B 的坐标为(4，－3)，设抛物线L 2的解析式为y ＝a (x －4)2－3.将A (2，1)代入，得1＝a (2－4)2－3，解得a ＝1，∴抛物线L 2的表达式为y ＝(x －4)2－3；(2)a 1＝－a 2，理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，∴可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k k ＝a 1（h －m ）2＋n ， 整理，得(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴m ≠h ，∴a 1＝－a 2.(3)抛物线L 1：y ＝mx 2－2mx －3m 的顶点坐标为(1，－4m )，设抛物线L 2的顶点的横坐标为h ，则其纵坐标为mh 2－2mh －3m ，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－m (x －h )2＋mh 2－2mh －3m ，化简得，y ＝－mx 2＋2mhx －2mh －3m ，所以点D 的坐标为(0，－2mh －3m )，又点C 的坐标为(0，－3m )，可得|(－2mh －3m )－(－3m )|＝4m ，解得h ＝±2，∴抛物线L 2的对称轴为直线x ＝±2.2．解：(1)由题意得：a ＝1，b ＝－4，故抛物线的表达式为：y ＝x 2－4x ＋c ，将点(3，0)代入得：c ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，故抛物线的顶点坐标为(2，－1)；(2)设“子函数”y ＝x －6的“母函数”为：y ＝12x 2－6x ＋c ，则y ＝12(x 2－12x )＋c ＝12(x －6)2－18＋c ，故－18＋c ＝1，解得c ＝19，故“母函数”的表达式为：y ＝12x 2－6x ＋19；第2题解图(3)设点P (m ，－m 2－4m ＋8)，由题意，得直线l 的表达式为：y ＝－2x －4，故点C 、D 的坐标分别为(－2，0)、(0，－4)，如解图，过点P 作PQ ∥y 轴交直线CD 于Q ，则Q (m ，－2m －4)， ∴PQ ＝(－m 2－4m ＋8)－(－2m －4)＝－m 2－2m ＋12，∴S △PCD ＝12·PQ |x D －x C |＝12`(－m 2－2m ＋12)·2＝－(m ＋1)2＋13，∵点P 在CD 上方的抛物线上且－1<0，∴当m ＝－1时△PCD 的面积最大，最大值为13.3．(1)解：①y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋12，②y ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋(3)2，③y＝(x －2)2＋(2)2，④y ＝x 2－x ＋12＝(x －12)2＋(12)2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；故答案为①与③；①与④；(2)证明：当m ＝1，n ＝2时，抛物线C 1：y ＝－(x ＋1)2＋1，抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4，∴A(－1，1)，B(2，4)，∵AC∥BD∥y轴，∴点C的横坐标为－1，点D的横坐标为2，当x＝－1时，y＝(x－2)2＋4＝13，则C(－1，13)；当x＝2时，y＝－(x＋1)2＋1＝－8，则D(2，－8)，∴AC＝13－1＝12，BD＝4－(－8)＝12，∴AC＝BD；(3)①证明：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，则A(－m，m2)；抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)；当x＝－m时，y＝(－m－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)；当x＝n时，y＝－(n＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)；∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2，∴AC＝BD，∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°，∴AB⊥CD，∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)，∴n＝2，∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8，而A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)，∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4.∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD，∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2，即(m＋2)4＝15(m＋2)2，∵m＞0，∴(m＋2)2＝15，∴m＋2＝15，∴m＝15－2.。

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案

2020-2021中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为102【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278． ∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），∴AC＝，AN ，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣32x2﹣32x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．2．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】 【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标． 【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入 y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3） 设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝∵x ＞0∴x ＝． ∴P （，﹣2） 【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．5．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】 【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩， ∴1a 23b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x 2+32x+2；（2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=12． ∴直线BD 的解析式为y=12x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+32x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．6．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．7．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（角度问题）1．已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()0,3C -，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为第四象限内抛物线上的点，连接,,CP AP AC ，如图1，当CP AC ⊥时，求P 点坐标；(3)设点M 为抛物线上的一点，若2MAB ACO ∠=∠时，求M 点坐标．2．如图，已知抛物线213y x bx c =-++交x 轴于()30A -,，()4,0B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接OP ，BP ，若2BOP AOC S S =△△，求点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠QBA ＝75°？若存在，直接写出点Q 的坐3．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；(3)如图2，过点N作NM∠y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．4．如图，抛物线y＝34x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别为（-1，0），（4，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求∠CPB的面积最大时点P的坐标；(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．5．如图，抛物线y 14=x 2+bx +c 与直线y 12=-x +3分别交于x 轴，y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ，连接CD 交x 轴于点E ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F ，G 是对称轴上两个动点，且FG ＝2，点F 在点G 的上方，请求出四边形ACFG 的周长的最小值；(3)连接BD ，若P 在y 轴上，且∠PBC ＝∠DBA +∠DCB ，请直接写出点P 的坐标．6．如图∠，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点A （1-，0），并且与直线122y x =-相交于坐标轴上的B 、C 两点，动点P 在直线BC 下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式；（2）如图∠，连接PC ，PB ，设∠PCB 的面积为S ，求S 的最大值； （3）如图∠，过点A ，C 作直线，求证AC ∠BC ；（4）如图∠，抛物线上是否存在点Q ，使得∠ABQ ＝2∠ABC ？若存在，则求出直线BQ 的解析式；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的表达式； （2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式．8．如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求a 的值；（3）在（1）的条件下，直线BD 上是否存在点E ，使∠AEC =45°？若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线y ＝﹣x ＋3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过B 、C 两点，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如果一个圆经过点O 、点B 、点C 三点，并交于抛物线AC 段于点E ，求∠OEB 的（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使∠PCD 为等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出PB 2的值；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）已知E 是x 轴上的点，F 是抛物线上的动点，当B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E点的坐标，12．如图1，抛物线2=-+与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于y ax x c点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD 于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请14．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴正半轴交于点C ．（1）如图1，若()1,0A -，()3,0B ， ∠求抛物线2y x bx c =-++的解析式；∠Р为抛物线上一点，连接AC 、PC ，若AC PC ⊥，求点P 的坐标；（2）如图2，D 为x 轴下方抛物线上一点，连DA ，DB ，若290BDA BAD ∠+∠=︒，求点D 的纵坐标．（1）如图1，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，对称轴为直线1x =； ∠求抛物线的解析式；∠点P 为抛物线上一动点，PN BC ⊥，垂点为N ，当PCN △与BOC 相似时，直接写出P 点坐标；（2）点D 为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点Q 的横坐标是纵坐标的2倍，且45DCO ∠=︒，求a 的值．16．如图，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OB ，OC 的长分别为28120x x -+=的两个根()OC OB >，点A 在x 轴的负半轴上，且3OA OC OB ==，连接AC ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式；（2）点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值；（3）M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()()1,0,3,0A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，求BCD △的面积；（3）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知直线43y x n =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0,4），抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，-2），点P 为抛物线上一个动点，设P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ∠PD 于点D ，联结PB ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）将△BDP 绕点B 旋转得到△BD P ''，且旋转角∠PB P '=∠OAC ，当点P 对应点P '落在y 轴上时，求点P 的坐标．19．如图，顶点为(),P m m （0m >）的二次函数图象与x 轴交于点()2,0A m ，点B 在该图象上，直线OB 交二次函数图象对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、（1）求该二次函数的关系式（用含m 的式子表示）．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ∠连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB 的形状，并说明理由． ∠求证：BNM ONM ∠=∠．20．如图1，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ． （1）求直线BD 的解析式；（2）P 为抛物线上一点，当点Р到直线BD 的距离为P 的坐标； （3）如图2，直线y t =交抛物线与M ，N 两点，C 为抛物线上一点，当90MCN ∠=︒时，请探究点C 到MN 的距离是否为定值．参考答案：1．(1)223y x x =--(2)（73，209-） (3)点M 的坐标为939,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)211433y x x =-++(2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）(3)存在，Q 的坐标为（12，(123．(1)2y x 2x 3=-++(2)44(3)（1，32）4．(1)239344y x x =-- (2)92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)抛物线的解析式为：21234y x x =-+(2)四边形ACFG 2(3)点P 的坐标为(0，﹣2)或(0，18)6．（1）213222y x x =--；（2）4；（4）存在，41633y x =-和41633y x =-+. 7．（1）215222y x x =-+；（3）直线CP 的解析式为423y x =-+或2y =8．（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a （3）在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．理由见解析9．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）45°；（3）存在，点P （1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，、（1，4；（4）存在，．10．（1）213222y x x =-++；（2）（2,3）；（3）()3,2或2⎫-⎪⎪⎝⎭． 11．（1）抛物线得解析式为213222y x x =-++；（2）点D 的坐标为()2,3；（3）E 点的坐标为（2，0）或（52，0）或（52，0）或（-4，0）． 12．（1）2142y x x =--，2y x =--；（2）P （0，-4）；（3）点Q 的坐标为440(,)39-，20104(,)39． 13．（1）y =x 2-4x +3，顶点（2，-1）；（2）（113，169）；（3）（2，109）或（2，319） 14．（1）∠2–23y x x =++；∠720(,)39P ；（2）1- 15．（1）∠212133y x x =-++；∠()2,1，1735,416⎛⎫- ⎪⎝⎭，52,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）1916a =或22516a =16．（1）21262y x x =--+；（2（3）存在，M 4⎡-⎢⎣⎦或(4--- 17．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3；（3）存在，P 1（2，3），P 2（4，-5） 18．（1）224233y x x =--；（2）72或12；（3）P （258，1132）或（7255,896-） 19．（1）()12y x x m m =--；（2）∠等腰直角三角形20．（1）1y x =-；（2）P ⎝⎭或P ⎝⎭；（3）C 到MN 的距离为定值1.。

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二次函数综合题(必考1道，9或12分)类型一 与图形规律有关的探究问题(2019.23，2016.23，2014.24，2013.24)1.(2018江西样卷)已知抛物线C n ：y n ＝－12x 2＋(n －1)x ＋2n (其中n 为正整数)与x 轴交于A n ，B n 两点(点A n 在B n 的左边)，与y 轴交于点D n .(1)填空：①当n ＝1时，点A 1的坐标为________，点B 1的坐标为________； ②当n ＝2时，点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________；(2)猜想抛物线C n 是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，并说明理由； (3)①判断△A 2D 2B 4的形状；②猜想∠A n D n B n 2的大小，并给予证明．2.(2019南昌模拟)如图①，抛物线C：y＝x2经过变换可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得到抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：(1)填空：a1＝________，b1＝________；(2)求出C2与C3的解析式；(3)按上述类似方法，可得到抛物线C n：y n＝a n x(x－b n)与正方形OB n A n D n(n≥1)．①请用含n的代数式直接表示出C n的解析式；②当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由．第2题图3.(2019江西黑白卷)如图，抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)若抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m过点(1，0)，求抛物线y1的解析式；(2)当△AOC∽△COB时，求点C的坐标；(3)当m＝－3时，过点(－2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P，抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y n与直线l交于点R，当四边形P ARB的面积为70时，求n的值．第3题图4.(2019抚州模拟)如图，已知∠OBB1＝30°，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过A n－1、B n、A n三点的抛物线称为y n.(1)写出A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)求出抛物线y1和y2的解析式；(3)若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019的形状，并说明理由；(4)若抛物线y n和y n＋1的对称轴分别交x轴于点C n和C n＋1，连接B n－1C n并延长交y n＋1的对称轴于点D，请判断△B n－1B n＋1D的形状(不需证明)，求出B n＋1D的长，并说明理由．第4题图5.(2018章贡模拟)已知抛物线C1：y1＝a(x－1)2＋k1(a≠0)交x轴于点M(－2，0)和点A1(b1，0)，抛物线C 2：y 2＝a (x －12b 1)2＋k 2交x 轴于点M (－2，0)和点A 2(b 2，0), 抛物线C 3：y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，…，按此规律，抛物线C n ：y n ＝a (x －12b n －1)2＋k n 交x 轴于点M (－2，0)和点A n (b n ，0)(其中n 为正整数)，我们把抛物线C 1，C 2，C 3，…，C n 称为系数a 的抛物线族．(1)直接写出b 1的值；(2)线段A n －1A n 的长为________； (3)探究如下问题：(用含a 的代数式表示)①抛物线C 3的顶点坐标为(________，________)；②依此类推第n 条抛物线C n 的顶点坐标为(________，________)；(4)抛物线C 10的顶点为N ，是否存在△MNA 10是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．6.(2019江西样卷六)已知以直线x ＝1为对称轴的抛物线y 1与x 轴交于点A 1(d ，0)和A 2，顶点为B 1，以直线x ＝2为对称轴的抛物线y 2与x 轴交于点A 2和A 3，顶点为B 2，…，以直线x ＝n 为对称轴的抛物线y n与x 轴交于点A n 和A n ＋1，顶点为B n ，我们把这样的抛物线y 1，y 2，…，y n 对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数．(1)当0<d <1时：①填空：A 1A 2＝______，A 2A 3＝______，A 3A 4＝______；(用含d 的代数式表示)②若d ＝0.4，“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上，当n 的值为多少时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形？(2)当0<d <1时，已知“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的开口方向都向下，且△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n A n ＋1B n 均为直角三角形．①请求出“整对称轴”二次函数y 1，y 2的解析式，并猜想出二次函数y 2019的解析式(可以含d )； ②请通过画草图分析直线y ＝12与抛物线y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数．第6题图类型二与图象变换有关的探究问题(2019.23，2017.22，2011.24，2010.24)1.(2019江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，且顶点为B(0，1)．(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设点F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.①抛物线M1的顶点B1的坐标为________；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．第1题图2.(2019江西定心卷)已知抛物线C1：y＝ax2－2ax－3 (a≠0)．(1)当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为________；②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为__________；(2)无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变，求m 的值和EF的长；(3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2019江西样卷二)如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为点M、N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是________；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点．①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？4.(2017江西样卷二)已知抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：(1)设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为________；(2)现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，试求抛物线C2的解析式；(3)现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B.①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？②在最初的状态下，若向下平移m(m＞0)个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．5.(2019江西模拟)将抛物线y＝－(x＋1)2向右平移2个单位，再向上平移4个单位得抛物线m，抛物线m交x轴于A，B(点A在B的左侧)两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D.(1)求抛物线m的解析式及点D的坐标，在如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图；(2)P是抛物线上一动点，点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；(3)M是抛物线上一动点，当M点在抛物线m的对称轴右侧时，过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N′.是否存在点M，使N′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．第5题图6.(2019江西黑白卷)已知抛物线L1：y1＝ax2－2的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP＝5 5.(1)求抛物线L1的函数解析式；(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1∶4两个部分，求直线AC的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线L1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线L2，点M为抛物线L2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？第6题图类型三 二次函数性质的探究问题(2015.23，2012.23)1.(2019北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a(a ≠0)与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a)，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．2.(2019江西样卷一)已知抛物线y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1.(1)若该抛物线经过点P (1，4)，试求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)求此抛物线的顶点坐标(用含m 的代数式表示)，并证明：不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l 上．(3)直线l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．3.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)．(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)当c＝10时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．4.(2017江西样卷一)已知抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0.(1)下列说法你认为正确的序号是________；①抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0，5k)；②抛物线L1和L2开口都向上；③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线；④当k＜－1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点．(2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN＝2EF？如存在，求出实数k的值；如不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线l1的顶点是P(－2，4)，且经过点O(0，0)、A(t，0)，平行于y轴的直线m与x轴交于点B(b，0)，与抛物线l1交于点M.(1)求t的值及抛物线l1的解析式；(2)当BM＝4时，求b的值；(3)把抛物线l1绕点(0，1)旋转180°，得到抛物线l2.①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．第5题图类型四与新定义有关的探究问题(2014.24)1.我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)求抛物线y＝x2－2关于原点O(0，0)的“衍生抛物线”的解析式；(2)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的“衍生抛物线”为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的“衍生抛物线”为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的“衍生抛物线”为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的“衍生抛物线”为y n，其顶点为A n…(n为正整数)．求A n A n 的长(用含n的式子表示)．＋12.(2019南昌模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.(1)已知抛物线①y＝－x2－2x，②y＝(x－3)2＋3，③y＝(x－2)2＋2，④y＝x2－x＋错误!，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________(请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图①，当m＝1，n＝2时，证明：AC＝BD；(3)如图②，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BD C.①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，请求出m的值．第2题图参考答案类型一 与图形规律有关的探究问题1.解：(1)①(－2，0)，(2，0)；②(－2，0)，(4，0)；(2)经过，定点为(－2，0)；解法一：∵当x ＝－2时，y ＝－12×(－2)2＋(n －1)×(－2)＋2n ＝－2－2n ＋2＋2n ＝0，结果与n 无关， ∴必经过点(－2，0)；解法二：y n ＝－12x 2＋nx －x ＋2n ＝－12x 2＋(x ＋2)n －x ， 令x ＋2＝0，即x ＝－2.y n ＝0与n 无关．∴必经过点(－2，0)；解法三：令y n ＝0，即x 2－2(n －1)x －4n ＝0，(x ＋2)(x －2n )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2n ，∴定点为(－2，0)；(3)①△A 2D 2B 4的形状为直角三角形；②猜想∠A n D n B n 2＝90°.证明：当x ＝0时，y n ＝2n ，∴D n (0，2n )．∵B n (2n ，0)，∴B n 2(2n 2，0)．在△A n D n O 中，tan ∠A n D n O ＝A n O D n O ＝22n ＝1n， 在△OD n B n 2中，tan ∠OB n 2D n ＝OD n OB n 2＝2n 2n 2＝1n， ∴∠A n D n O ＝∠OB n 2D n .∵∠A n D n O ＋∠D n A n B n 2＝90°，∠OB n 2D n ＋∠OD n B n 2＝90°，∴∠A n D n O ＋∠OD n B n 2＝90°.∴∠A n D n B n 2＝90°.2.解：(1)1，2；【解法提示】当y 1＝0时，a 1x (x －b 1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 1，∴A 1(b 1，0)．由正方形OB 1A 1D 1得，OA 1＝B 1D 1＝b 1，∴B 1(b 12，b 12)，D 1(b 12，－b 12)． ∵B 1在抛物线C 上，则b 12＝(b 12)2， 化简后为b 1(b 1－2)＝0，b 1＝0(不符合题意，舍去)，b 1＝2，∴D 1(1，－1)．把D 1(1，－1)代入y 1＝a 1x (x －b 1)中得：－1＝－a 1，∴a 1＝1.(2)当y 2＝0时，a 2x (x －b 2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 2，∴A 2(b 2，0)．由正方形OB 2A 2D 2得，OA 2＝B 2D 2＝b 2，∴B 2(b 22，b 22)，D 2(b 22，－b 22)． ∵B 2在抛物线C 1上，则b 22＝(b 22)2－2×b 22， 化简后为b 2(b 2－6)＝0，b 2＝0(不符合题意，舍去)，b 2＝6，∴D 2(3，－3)．把D 2(3，－3)代入C 2的解析式中，得－3＝3a 2(3－6)，∴a 2＝13， ∴抛物线C 2的解析式为y 2＝13x (x －6)＝13x 2－2x . 当y 3＝0时，a 3x (x －b 3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 3，∴A 3(b 3，0)．由正方形OB 3A 3D 3得，OA 3＝B 3D 3＝b 3，∴B 3(b 32，b 32)，D 3(b 32，－b 32)． ∵B 3在抛物线C 2上，则b 32＝13(b 32)2－2×b 32， 化简后为b 3(b 3－18)＝0，b 3＝0(不符合题意，舍去)，b 3＝18，∴D 3(9，－9)．把D 3(9，－9)代入C 3的解析式中，得－9＝9a 3(9－18)，∴a 3＝19， ∴抛物线C 3的解析式为y 3＝19x (x －18)＝19x 2－2x ； (3)①C n 的解析式为y n ＝13n －1x 2－2x (n ≥1)； ②由①可得，抛物线C 2018的解析式为y 2018＝132017x 2－2x ， 抛物线C 2019的解析式为y 2019＝132018x 2－2x ， ∴两抛物线的交点为(0，0)．如解图，由图象得，当x ≠0时，y 2018＞y 2019.第2题解图3.解：(1)把(1，0)代入y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中，得1－(2m ＋4)＋m 2＋4m ＝0， 解得m ＝1或－3，当m ＝1时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5；当m ＝－3时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2＋2x －3；∴抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5或y 1＝x 2＋2x －3；(2)令y 1＝0，有x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m ＝0，即(x －m )[x －(m ＋4)]＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋4，∴点A 的坐标为(m ，0)，点B 的坐标为(m ＋4，0)．令y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中x ＝0，则y 1＝m 2＋4m ， ∴C (0，m 2＋4m )．∵△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OC OB. 当A 、B 在y 轴左侧时，OA ＝－m ，OB ＝－m －4，OC ＝m 2＋4m ，∴－m m 2＋4m ＝m 2＋4m －m －4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)；当A 、B 在y 轴异侧时，OA ＝－m ，OB ＝m ＋4，OC ＝－m 2－4m ，∴－m －m 2－4m ＝－m 2－4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝－1，即点C 的坐标为(0，－1)；当A 、B 在y 轴右侧时，OA ＝m ，OB ＝m ＋4，OC ＝m 2＋4m ，∴m m 2＋4m ＝m 2＋4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)．综上所述，当△AOC ∽△COB 时，点C 的坐标为(0, 1)或(0，－1)；(3)当m ＝－3时，y 1＝[x －(m ＋2)]2－4＝(x ＋1)2－4，令y 1＝0，得(x ＋1)2－4＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝－2时，y 1＝(－2＋1)2－4＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．∵y 1向右平移n －1(n 为正整数)个单位得到抛物线y n ，∴y n ＝[x ＋1－(n －1)]2－4＝(x ＋2－n )2－4，∴当x ＝－2时，y n ＝(x ＋2－n )2－4＝n 2－4.∴点R 的坐标为(－2，n 2－4)．∵S 四边形P ARB ＝S △P AB ＋S △RAB ＝12×3×4＋12×4×(n 2－4)＝70， 解得n ＝±6.∵n 为正整数，∴n ＝6.4.解：(1)A 1(1，0)、A 2(3，0)、A 3(7，0)、B 1(12，32)、B 2(2，3)、B 3(5，23)； (2)设抛物线y 1的解析式为y 1＝ax (x －1)，把B 1(12，32)代入y 1，中，解得a ＝－23， ∴y 1＝－23x 2＋23x .同理可得y 2＝－3x 2＋43x －33；(3)四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形，由折叠性质可知，△A 2018B 2019A ′2019是等边三角形，∵△A 2018A 2019B 2019是等边三角形，∴A ′2019B 2019＝B 2019A 2019＝A 2018A 2019＝A 2018A ′2019，∴四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形；(4)△B n －1B n ＋1D 是等边三角形．由题意可得：B n －1(3×2n －3－1，2n －33)、B n ＋1(3×2n －1－1，2n －13)， 过点B n －1作B n －1E ⊥B n ＋1D 交B n ＋1D 于点E ，∵△B n －1B n ＋1D 是等边三角形∴B n －1E ＝3DE .∴B n －1E ＝3×2n －1－1－(3×2n －3－1)＝9×2n －3.∴DE ＝33×2n －3.∴B n ＋1D ＝2DE ＝33×2n －2.5.解：(1)4；【解法提示】∵抛物线C 1∶y 1＝a (x －1)2＋k 1(a ≠0)，交x 轴于点M (－2，0)和点A 1(b 1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(4，0)，∴b 1＝4.(2)2；【解法提示】同(1)可知，b 2＝6，b 3＝8，b 4＝10，…，按此规律得b n ＝2n ＋2，∴A n －1A n ＝b n －b n －1＝2n ＋2－[2(n －1)＋2]＝2.(3)①3，－25a ；②n ，－(n ＋2)2a ；【解法提示】①∵y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，b 2＝6，∴0＝a (－2－3)2＋k 3，∴k 3＝－25a ，∴抛物线C 3的顶点坐标为(3，－25a )；②∵b n －1＝2n ，∴第n 条抛物线的对称轴为直线x ＝n ，∴0＝a (－2－n )2＋k n ，∴k n ＝－(n ＋2)2a ，∴第n 条抛物线C n 的顶点坐标为[n ，－(n ＋2)2a ]．(4)存在，理由如下：∵抛物线C 10∶y 10＝a (x －10)2－144a ，顶点坐标N 为(10，－144a )，点A 10的坐标为(22，0)， ∴|MA 10|＝24.∵△MNA 10是等腰直角三角形，∴|－144a |＝12×24. 解得a ＝±112. ∴存在a ＝±112使△MNA 10为等腰直角三角形． 6.解：(1)①2－2d ，2d ，2－2d ；②∵顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上， ∴当x ＝n 时，y ＝15n . 由①可知，当n 为奇数时，A n A n ＋1＝2－2d ，当n 为偶数时，A n A n ＋1＝2d .∴当d ＝0.4时，只要满足15n ＝12A n A n ＋1＝12(2－2d )＝0.6，或15n ＝12A n A n ＋1＝12×2d ＝0.4时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形． 解得n ＝3或n ＝2.(2)①∵△A 1A 2B 1是直角三角形，A 1A 2＝2－2d ， ∴抛物线y 1的顶点B 1的坐标为(1，1－d )． 设二次函数y 1的解析式为y 1＝a 1(x －1)2＋1－d ， ∵抛物线y 1过点A 1(d ，0)，将A 1的坐标代入得a 1＝1d －1， ∴二次函数y 1的解析式为y 1＝1d －1(x －1)2＋1－d . 同理，∵△A 2A 3B 2是直角三角形，A 2A 3＝2d ， ∴抛物线y 2的顶点B 2的坐标为(2，d )． 设二次函数y 2的解析式为y 2＝a 2(x －2)2＋d ，∵抛物线y 2过点A 2(2－d ，0)，将A 2的坐标代入得a 2＝－1d ，∴二次函数y 2的解析式为y 2＝－1d(x －2)2＋d .猜想二次函数y 2019的解析式为y 2019＝1d －1(x －2019)2＋1－d .②通过以上探究，画出草图，可知：当0<d <12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2020个；当d ＝12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2019个；当12<d <1时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2018个．类型二与图形变换有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线M的顶点为B(0，1)，∴可设抛物线M的函数表达式为y＝ax2＋1.∵抛物线M经过点A(－1，0)，∴a×(－1)2＋1＝0，解得a＝－1.∴抛物线M的函数表达式为y＝－x2＋1；(2)①(2t，－1)；②由①可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t，－1)，∴抛物线M1的函数表达式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)．当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0，解得t1＝－1，t2＝0.当抛物线M1经过点B(0，1)时，(0－2t)2－1＝1，解得t＝±2 2.如解图，结合函数图象分析，∵t＞0，当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0＜t≤2 2.第1题解图2.解：(1)①(1，－4)；【解法提示】当a＝1时，抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－4)；②y＝－x2＋2x＋3；(2) 将y＝ax2－2ax－3变形，得y＝ax(x－2)－3，∴抛物线C1总经过定点(2，－3)．∵y＝ax2－2ax－3与y轴交于点(0，－3)，且EF的长度不变，∴当y＝－3时，EF的长为2，即当m＝－3时，线段EF的长恒为2；(3)存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形．理由如下：易得抛物线C1：y＝ax2－2ax－3的顶点坐标为(1，－a－3) .由(2)知EF＝2，点E、F均在直线y＝－3上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于EF对称，即P、Q在EF的两侧，故要使E，F，P，Q四点构成的四边形为正方形，需满足PQ＝2，即点P到直线y＝－3的距离为1，∴|(－a－3)－(－3)|＝1，∴|－a|＝1，解得a＝1或a＝－1.3.解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3；(2)四边形AMDN是矩形；(3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1，∴当x＝－3或1时，y＝1.故抛物线L1恒经过定点(－3，1)或(1，1)；y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1，∴当x＝5或1时，y＝－1.故抛物线L2恒经过定点(5，－1)或(1，－1)；②∵抛物线L1经过定点(－3，1)或(1，1)与抛物线L2经过定点(5，－1)或(1，－1)，设E为(－3，1)，F为(1，1)，G为(5，－1)，H为(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形，如解图，另设平移的距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得42＝22＋(4－x)2，解得x＝4±23，故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－2 3.第3题解图4.解：(1)(－1，0)；【解法提示】观察表格可知，抛物线上的点(－3，－4)与点(1，－4)关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴顶点P的坐标为(－1，0)．(2)设抛物线C1的解析式为y1＝a(x＋1)2，把(－2，－1)代入得到a＝－1，∴抛物线C1的解析式为y1＝－(x＋1)2.将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为(－1，0)，a＝1，∴抛物线C2的解析式为y2＝(x＋1)2；(3)①抛物线C2向下平移过程中，对称轴为直线x＝－1，当A、B之间的距离为6时，可知A(－4，0)，B(2，0)，∴此时抛物线C2的解析式为y＝(x＋4)(x－2)．即y＝(x＋1)2－9，∴抛物线C2至少向下平移9个单位，才能使点A、B之间的距离不小于6个单位；②m ＝14n 2.【解法提示】抛物线C 2向下平移m (m ＞0)个单位后的解析式为y ＝(x ＋1)2－m ， 令y ＝0，解得x ＝－1±m ，∴A (－1－m ，0)，B (－1＋m ，0)． ∴n ＝AB ＝2m . ∴m ＝14n 2.5.解：(1)依题意得抛物线m 的解析式为y ＝－(x －1)2＋4， ∴C (0，3)，∴直线CD 的解析式为y ＝3.由y ＝－(x －1)2＋4与y ＝3联立解得x ＝0(舍去)或2， ∴D (2，3)．抛物线y ＝－(x －1)2＋4如解图①所示；第5题解图①(2)由－(x －1)2＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)．∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能： ①当AE 为平行四边形一边时，AE ∥PD ，∴P 1(0，3)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对角的顶点到另一条对角线距离相等，可知点P 、点D 到直线AE (即x 轴)的距离相等，∵D (2，3)，即点D 到x 轴的距离为3，∴点P 的纵坐标为－3. ∴－3＝－(x －1)2＋4.解得x 3＝7＋1，x 4＝－7＋1， ∴点P 的坐标为(7＋1，－3)或(－7＋1，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(0，3)，(7＋1，－3)，(－7＋1，－3)； (3)存在满足条件的点M .理由如下：如解图②，设直线MN 交x 轴于F ，假设点N ′在x 轴上，第5题解图②依题意得，点M 在直线CD 下方，设CN ＝a ， ∵M 是抛物线上一动点，∴点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)， MN ＝3－(－a 2＋2a ＋3)＝a 2－2a . 由折叠性质得△CMN ≌△CMN ′，∴∠N ＝∠CN ′M ＝90° , CN ′＝CN ＝a ，MN ′＝MN ＝a 2－2a ， ∴∠CN ′O ＋∠FN ′M ＝90°. ∵∠OCN ′＋∠CN ′O ＝90°， ∴∠FN ′M ＝∠OCN ′.又∵∠CON ′＝∠N ′FM ＝90°， ∴△CON ′∽△N ′FM ， ∴N ′C OC ＝MN ′FN ′， ∴a 3＝a 2－2a FN ′， ∴N ′F ＝3a －6，∴ON ′＝OF －N ′F ＝a －(3a －6)＝6－2a ， 在Rt △CON ′中，∵∠CON ′＝90°， ∴CO 2＋ON ′2＝N ′C 2. ∴32＋(6－2a )2＝a 2， 解得a ＝3或5，∴点M 的坐标为(3，0)或(5，－12)． 6.解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2－2的顶点为点P ， ∴点P 的坐标为(0，－2)． 又∵sin ∠ABP ＝55， ∴BP ＝OP sin ∠ABP ＝2÷55＝2 5.在Rt △OBP 中，由勾股定理可得 OB ＝（25）2－4＝4.∴A (－4，0)，B (4，0)．将A (－4，0)代入y 1＝ax 2－2中，解得a ＝18，∴抛物线L 1的解析式为y 1＝18x 2－2；(2)如解图，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由题意得S △AOD ＝15S △ABC ，AB ＝2OA ，第6题解图∵S △AOD ＝12AO ·OD ，S △ABC ＝12AB ·CE .即12AO ·OD ＝15×12AB ·CE . ∴OD CE ＝25. ∵CE ⊥x 轴，DO ⊥x 轴，∴△AOD ∽△AEC ， ∴OD EC ＝OA EA ＝25. ∵OA ＝4，∴AE ＝10.∴OE ＝6. 在y 1＝18x 2－2中，令x ＝6，得y ＝52.∴C (6，52)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (－4，0)，C (6，52)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，6k ＋b ＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝1.∴直线AC 的解析式为y ＝14x ＋1；(3)将抛物线L 1绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线L 2的解析式为y 2＝－18x 2－2，当△BDM 为直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)当BD 为直角边时，∵直线AC 的解析为y ＝14x ＋1，∴D (0，1)． ∵B (4，0)，易得直线BD 的解析式为y ＝－14x ＋1，①当∠MDB ＝90°时，即DM ⊥DB ，设直线DM 的解析式为y ＝4x ＋m ，代入D (0，1)得y ＝4x ＋1， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y 2＝－18x 2－2， 解得x 1＝－16＋258，x 2＝－16－258； ②当∠DBM ＝90°时，即BD ⊥BM ，设直线BM 的解析式为y ＝4x ＋n ，代入B (4，0)得y ＝4x －16，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －16，y 2＝－18x 2－2， 解得x 3＝－16＋423，x 4＝－16－423. (ⅱ)当BD 为斜边时，Rt △BDM 不存在；综上所述，当点M 的横坐标为－16＋258或－16－258或－16＋423或－16－423时，△BDM 为直角三角形．类型三 二次函数性质的探究问题1.解：(1)当x ＝0时，y ＝－1a .∴A (0，－1a)．∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ， ∴B (2，－1a)；(2)∵点B (2，－1a )在抛物线上，∴－1a ＝a ·22＋b ·2－1a .∴b ＝－2a .∴对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－2a 2a ＝1；(3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a.当a ＞0时，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a .∵－34a －1a ＜－1a，∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a .∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，故此情况舍去． 当a ＜0时， ∵－34a －1a ＞－1a，∴点P (12，－1a)在抛物线的下方．∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上所述，a 的取值范围是a ≤－12.2.解：(1)将x ＝1，y ＝4代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1，得m 2＋2m －3＝0. 解得m ＝1或m ＝－3.当m ＝1时，y ＝x 2＋3x ，其顶点坐标为(－32，－94)；当m ＝－3时，y ＝x 2－5x ＋8，其顶点坐标为(52，74)；(2)方法1：设顶点坐标为(x ，y )， 则x ＝－2m ＋12＝－m －12，y ＝4（m 2－1）－（2m ＋1）24＝－4m －54＝－m －54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．方法2：∵y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝x 2＋(2m ＋1)x ＋(2m ＋12)2＋m 2－1－(2m ＋12)2＝(x ＋2m ＋12)2－4m ＋54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．证明：∵y －x ＝－34，∴不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l ：y ＝x －34上．(3)是．将y ＝x －34代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1得x 2＋2mx ＋m 2－14＝0⇒(x ＋m )2＝14⇒x ＝－m ±12.∴l 与抛物线的交点坐标分别为A (－m －12，－m －54)，B (－m ＋12，－m －14)．∴AB ＝＝ 2 .3.解：(1)当b ＝2，c ＝－3时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， 故二次函数的顶点坐标为(－1，－4)；(2)当c ＝10时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋bx ＋10， 由题意得，x 2＋bx ＋10＝1有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝b 2－36＝0， 解得b 1＝6，b 2＝－6，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋6x ＋10或y ＝x 2－6x ＋10； (3)当c ＝b 2时，二次函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋b 2， 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－b2，①当对称轴在取值范围的左边，即－b2＜b ，b ＞0时，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝b 时，y ＝b 2＋b ·b ＋b 2＝3b 2为最小值， ∴3b 2＝21，解得b 1＝－7(舍去)，b 2＝7；②当对称轴在取值范围之间，即b ≤－b2≤b ＋3时，解得－2≤b ≤0，∴x ＝－b 2时有最小值，为y ＝34b 2，∴34b 2＝21，解得b 1＝－27(舍去)，b 2＝27(舍去)； ③当对称轴在取值范围的右边，即－b2＞b ＋3时，解得b ＜－2，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而减小， 故当x ＝b ＋3时，y ＝(b ＋3)2＋b (b ＋3)＋b 2＝3b 2＋9b ＋9为最小值， ∴3b 2＋9b ＋9＝21.解得b 1＝1(舍去)，b 2＝－4； ∴当b ＝7时，二次函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋7； 当b ＝－4时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋16.综上所述，此时二次函数的解析式为y ＝x 2＋7x ＋7或y ＝x 2－4x ＋16. 4.解：(1)①③④；(2)由(1)可知：点F (0，5k )是抛物线L 1和L 2与y 轴的一个交点，两条抛物线相交的另一点E 与点F 的纵坐标相等．当k ＝1时，抛物线L 1和L 2重合，当k ≠1时，k 的值变化时，线段EF 的长度不会变化，理由如下：∵抛物线L 1的对称轴和L 2的对称轴均为直线x ＝－b2a ＝－3，又F (0，5k )，∴点F 关于直线x ＝－3对称的点E 的坐标为E (－6，5k )， ∴线段EF ＝0－(－6)＝6； (3)存在实数k ，使MN ＝2EF ， ∵y 1＝x 2＋6x ＋5k ＝(x ＋3)2－9＋5k ， y 2＝kx 2＋6kx ＋5k ＝k (x ＋3)2－4k ， ∴抛物线L 1顶点M (－3，－9＋5k )， 抛物线L 2顶点N (－3，－4k )， 由题意得NM ＝|－4k －(5k －9)|＝2×6， 解得k 1＝73，k 2＝－13.5.解：(1)∵抛物线l 1的顶点是P (－2，4)， ∴对称轴为直线x ＝－2. ∴A (－4，0)． ∴t ＝－4.设抛物线l 1的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋4，∵抛物线过点O，∴4a＋4＝0.解得a＝－1.∴抛物线l1的解析式为y＝－(x＋2)2＋4；(2)由题知点M在抛物线l1上，点B在x轴上，且BM＝4，①当点M在x轴下方时，M(b，－4)，∴－4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2±22，②当点M在x轴上方时，M(b，4)，∴4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2，综上所述，当BM＝4时，b＝－2或－2＋22或－2－22；(3)①－2<x<2.【解法提示】如解图所示，第5题解图由图象知，－2＜x＜2.②∵点P关于(0，1)的对称点为P′(2，－2)，∴抛物线l2的解析式为y＝(x－2)2－2.设点M(b，－(b＋2)2＋4)，∴N(b，(b－2)2－2)．∴MN＝n＝(b－2)2－2－[－(b＋2)2＋4]＝2b2＋2.∴当b＝0时，MN的最小值为2.类型四 与新定义有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2的顶点为(0，－2)，∴抛物线的顶点坐标(0，－2)关于原点(0，0)的对称点为(0，2)．∴衍生抛物线的顶点坐标为(0，2)．∵衍生抛物线开口大小不变，方向改变，故二次项系数与原二次项系数互为相反数，∴衍生抛物线的解析式为：y ′＝－x 2＋2.(2)①抛物线y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b .∴此抛物线的顶点坐标为(－1，－a －b )．∵抛物线y 的衍生抛物线为y ′＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2＋a 2－b ，∴此抛物线的顶点坐标为(1，a 2－b )．∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b ＋a 2＝－a －b a ＋2a －b ＝a 2－b . 解得a ＝0(舍去)或a ＝3，b ＝－3.∴抛物线y 的顶点坐标为(－1，0)，抛物线y 的衍生抛物线y ′的顶点坐标为(1，12)．∵衍生中心为两顶点连线的中点，∴衍生中心的坐标为(0，6)；②抛物线y ＝ax 2＋2ax －b 的顶点坐标为(－1，－a －b )，∵点(－1，－a －b )关于点(0，k ＋n 2)的对称点为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．同理：A n ＋1(1，a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2)．∴A n A n ＋1＝a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2－(a ＋b ＋2k ＋2n 2)＝4n ＋2.2.解：(1)①与③，①与④ 【解法提示】①y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋12，②y ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋(3)2，③y ＝(x －2)2＋(2)2，④y ＝x 2－x ＋12＝(x －12)2＋(12)2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；(2)证明：当m ＝1，n ＝2时，抛物线C 1：y ＝－(x ＋1)2＋1，抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4， ∴A (－1，1)，B (2，4)．∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C 的横坐标为－1，点D 的横坐标为2.当x ＝－1时，y ＝(x －2)2＋4＝13，则C (－1，13)；当x ＝2时，y ＝－(x ＋1)2＋1＝－8，则D (2，－8)，∴AC ＝13－1＝12，BD ＝4－(－8)＝12.∴AC ＝BD ；(3)①抛物线C 1：y ＝－(x ＋m )2＋m 2(m ＞0)，则A (－m ，m 2)；抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)；当x＝－m时，y＝(x－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)；当x＝n时，y＝－(x＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)；∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2. ∴AC＝BD；∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°.∴AB⊥CD.∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)，∴n＝2.∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8.而A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)．∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4.∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD.∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2.即(m＋2)4＝15(m＋2)2，∵m＞0，∴(m＋2)2＝15.∴m＋2＝15.∴m＝15－2.。

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