解线性方程组基本迭代法实验(ca)
实验报告四 线性方程组的求解-迭代
浙江大学城市学院实验报告课程名称科学计算实验项目名称线性方程组的求解－迭代法实验成绩指导老师（签名）日期2012-4-6一.实验目的和要求1．掌握Jacobi 迭代方法，Gauss-Seidel 迭代方法，SOR 迭代方法的编程思想，能够分别用分量形式和矩阵形式编写相关程序。
2．观察SOR 迭代法中松弛因子变化情况对收敛的影响。
3．了解Hilbert 矩阵的病态性和作为线性方程组系数矩阵的收敛性。
二.实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。
2-1编程注释设11121121222212,n n n n nn n a a a b a a a b A b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 对下述求解线性方程组的Matlab 程序添上注释语句，其中A 和b 分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；0x 为迭代初始向量(0)X；max N 为容许迭代最大次数，eps 为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数。
1）Jacobi 迭代：Jacobimethod(A,b,x0,Nmax,eps)2）Gauss-Seidel 迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)3）松弛迭代：SORmethod(A,b,x0,Nmax,eps,w)2-2分析应用题利用2-1中的程序来分析用下列迭代法解线性方程组：123456410100014101050141012101410501014120010146x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的收敛性，并求出使(1)()20.0001k k X X +-≤的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量(0)X为零向量。
计算方法 实验三 解线性方程组的迭代法
实验三解线性方程组的迭代法
（1）雅可比迭代法
1、实验程序
实现雅可比迭代法的MATLAB函数文件agui_jacobi.m
在MATLAB命令窗口输入及实验结果和操作界面
（2）高斯—赛德尔迭代法
1、实验程序
实现高斯—赛德尔迭代法的MATLAB函数文件agui_GS。
m
在MATLAB命令窗口输入及实验结果和操作界面
结果分析：
从上面的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法这两种方法所得的实验结果可知，对于同样的矩阵:
a =
4 —1 0 -1 0 0
-1 4 -1 0 -1 0
0 -1 4 -1 0 —1
—1 0 -1 4 —1 0
0 —1 0 -1 4 —1
0 0 -1 0 -1 4
b =
5
-2
5
-2
6
对于同样的精度0.0001，雅可比迭代法要迭代27次,而高斯-赛德尔迭代法只要14次。
从这个例子可以得出结论，用高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快,具体地说，在收敛的前提下，及时的更新迭代方程的数据可以获得更好的收敛速度，效率更好。
这个结论在多数情况下是成立的，但也有相反的情况,即高斯—赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛慢，甚至还有雅可比迭代法收敛，高斯—赛德尔迭代法发散的情形。
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
实验五 线性方程组的迭代法实验
《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：郭卫斌班级学号：10101438 计102姓名：闻翰计算机科学与工程系实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度510-=ε：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------626050411141010014001100410010141001014654321x x x x x x（2）分别取1=ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度为510-=ε。
2. 设计思想 1.Jacobi 迭代:Jacobi 迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化，将一般形式的线性方程组的求解归结为对角方程组求解过程的重复。
2.Gauss-Seidel 迭代:Gauss-Seidel 迭代的设计思想是将一般形式的线性方程组的求解过程归结为下三角方程组求解过程的重复。
3.超松弛迭代：基于Gauss-Seidel 迭代，对i=1，2，…反复执行计算迭代公式，即为超松弛迭代。
3. 对应程序 1.Jacobi 迭代：function [x,k]=Jacobimethod(A,b,x0,N,emg)%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1));while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i~=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;2.Gauss-Seidel迭代：function [x,k]=Gaussmethod(A,b,x0,N,emg)%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1));k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;3.超松弛(SOR)迭代：function [x,k]=SORmethod(A,b,x0,N,emg,w)%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解%w表示松弛因子n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1));k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>=isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=x1(i)+w*(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;4. 实验结果1.Jacobi迭代：2.Gauss-Seidel迭代：3.超松弛(SOR)迭代：w=1：w=1.05:w=1.1:w=1.25:w=1.8:四.实验体会在同等精度下，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛速度快。
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
实验五-解线性方程组的迭代法报告
实验五 解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如34510,10,10ε---=由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤(1)k k xx ε+∞-<或k>（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、 体会初始解0x ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C 或matlab 开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．解：J迭代算法：程序设计流程图：源程序代码：#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;int i,j,m,n,e,bk=0;printf("使用Jacobi迭代法求解方程组:\n");printf("输入方程组的元：\nn=");scanf("%d",&n);for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=0;printf("输入方程组的系数矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++){j=1;while(j<n+1){scanf("%f",&a[i][j]);j++;}}printf("输入方程组的常数项:\n");for(i=1;i<n+1;i++){scanf("%f",&a[i][n+1]);}printf("\n");printf("请输入迭代次数:\n");scanf("%d",&m);printf("请输入迭代精度:\n");scanf("%d",&e);while(m!=0){for(i=1;i<n+1;i++){for(j=1;j<n+1;j++){if (j!=i)temp=a[i][j]*x1[j]+temp;}x2[i]=(a[i][n+1]-temp)/a[i][i];temp=0;}for(i=1;i<n+1;i++){fnum=float(fabs(x1[i]-x2[i]));if(fnum>temp) temp=fnum;}if(temp<=pow(10,-4)) bk=1;for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=x2[i];m--;}printf("原方程组的解为:\n");for(i=1;i<n+1;i++){if((x1[i]-x2[i])<=e||(x2[i]-x1[i])<=e){printf("x%d=%7.4f ",i,x1[i]);}}}运行结果：GS迭代算法：#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>const int m=11;void main(){int choice=1;while(choice==1){double a[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max; int n,i,j,N,k;cout<<"Gauss-Seidol迭代法"<<endl;cout<<"请输入方程的个数：";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"请输入第"<<i<<"个方程的各项系数："; for(j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];}cout<<"请输入各个方程等号右边的常数项:\n"; for(i=1;i<=n;i++){cin>>b[i];}cout<<"请输入最大迭代次数：";cin>>N;cout<<"请输入最大偏差：";cin>>e;for(i=1;i<=n;i++){x[i]=0;y[i]=x[i];}k=0;while(k!=N){k++;for(i=1;i<=n;i++){w=0;for(j=1;j<=n;j++){if(j!=i)w=w+a[i][j]*y[j];}y[i]=(b[i]-w)/double(a[i][i]);}max=fabs(x[1]-y[1]);for(i=1;i<=n;i++){se=fabs(x[i]-y[i]);if(se>max)max=se;}if(max<e){cout<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<<i<<"="<<y[i]<<endl; break;}for(i=1;i<=n;i++){x[i]=y[i];}}if(k==N)cout<<"迭代失败！！"<<endl;choice=0;}}SOR方法：# include <stdio.h># include <math.h>#include<stdlib.h>/**********定义全局变量**********/float **a; /*存放A矩阵*/float *b; /*存放b矩阵*/float *x; /*存放x矩阵*/float p; /*精确度*/float w; /*松弛因子*/int n; /*未知数个数*/int c; /*最大迭代次数*/int k=1; /*实际迭代次数*//**********SOR迭代法**********/void SOR(float xk[]){int i,j;float t=0.0;float tt=0.0;float *xl;xl=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=1;i<n+1;i++){t=0.0;tt=0.0;for(j=1;j<i;j++)t=t+a[i][j]*xl[j];for(j=i;j<n+1;j++)tt=tt+a[i][j]*xk[j];xl[i]=xk[i]+w*(b[i]-t-tt)/a[i][i];}t=0.0;for(i=1;i<n+1;i++){tt=fabs(xl[i]-xk[i]);tt=tt*tt;t+=tt;}t=sqrt(t);for(i=1;i<n+1;i++)xk[i]=xl[i];if(k+1>c){if(t<=p)printf("\nReach the given precision!\n"); elseprintf("\nover the maximal count!\n");printf("\nCount number is %d\n",k);}elseif(t>p){k++;SOR(xk);}else{printf("\nReach the given precision!\n"); printf("\nCount number is %d\n",k);}}/**********程序*****开始**********/void main(){int i,j;printf("SOR方法\n");printf("请输入方程个数:\n");scanf("%d",&n);a=(float **)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=0;i<n+1;i++)a[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf("请输入三对角矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++)scanf("%f",&a[i][j]);for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n;j++)b=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入等号右边的值:\n");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&b[i]);x=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入初始的x:");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("请输入精确度:");scanf("%f",&p);printf("请输入迭代次数:");scanf("%d",&c);printf("请输入w(0<w<2):\n");scanf("%f",&w);SOR(x);printf("方程的结果为:\n");for(i=1;i<n+1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}程序运行结果讨论和分析：①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.[注:A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel 而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.③选择一个适当的松弛因子是关键.结论：线性方程组1和2对于Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。
实验4 求解线性方程组的迭代法
实验4 解线性方程组的迭代法一、稀疏矩阵的生成和运算实验内容：稀疏矩阵相关命令的熟悉。
实验要求：1、熟悉sparse、full、nnz、spy等命令的使用方法.（实验报告）注意：spy使用时要加上输入参数，直接运行spy会出现与本课程无关的结果。
2、了解sprand命令的用法。
3、熟悉speye、condest、normest、spdiags等命令的使用方法，并生成107阶的三对角矩阵：（实验报告）二、大型稀疏线性方程组的求解实验内容：用不同的迭代法求解n阶大型稀疏矩阵Ax=b（n=1e+4）。
实验要求：（1）数学问题的生成：(a)使用sprand命令生成，稀疏度0.001，并通过spy观察矩阵的结构；(b)运行PPT第21页的两段代码，分别生成A，运行结果有什么区别？注意：如果用稠密方式生成矩阵，可能会导致内存不够。
（2）增大矩阵阶数到1e+6，使用MATLAB自带的pcg与“\”运算，以及分别Gauss消去法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法分别求解以下Sx=b，看看运算时间对比：（实验报告）b为全1向量，S为以下代码所生成：m=1000,n=m*m;eone=ones(m,1);s=spdiags([-eone,8*eone,-eone],[-1,0,1],m,m);E=speye(m);a1=blkdiag(kron(E,s));a2=spdiags([ones(n,1)],[m],n,n);A=a1-a2-a2';注意：pcg命令只适用于对称正定矩阵三、病态的线性方程组的求解实验内容：考虑方程组Hx=b的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵，首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）设定n=6，分别用Gauss消去法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组，其各自的结果如何？各方法的误差比较如何？（实验报告）（2）逐步增大问题的维数100、1000、3000，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（实验报告）。
迭代法解线性方程组-数值分析实验报告
数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号：*******-24*名：**指导教师：**成绩：二零一六年六月二十日一 、前言：（目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。
②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2.实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。
二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x xk k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性1.雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x aj j nj ij==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x=，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：)(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式： J x J k F B xk +==)()1( …④若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a D2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法
1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。
1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。
Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。
迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。
实验五__解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法5.1实验目的① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；② 培养编程与上机调试能力.5.2算法步骤5.2.1迭代法的基本思想根据方程组Ax b =设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量(0)x代入迭代公式，求出(1)x，再以(1)x 代入同一迭代公式，求出(2)x ，如此反复进行，得到向量序列(){}k x .当(){}k x 收敛时，其极限即为原方程组的解.5.2.2雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组设方程组Ax b =的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次数，ε为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x =，令0k =.② 对1,2,...,i n =，计算(1)()11()n k k i i ij j j ii j ix b a x a +=≠=-∑. ③ 如果(1)()1n k k i i i xx ε+=-<∑，则输出(1)k x +，结束；否则执行④④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②5.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（Jacobi ）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到.5.3实验内容应用雅可比迭代和高斯-塞德尔算法分别求解线性方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩要求：选择不同的迭代次数，观察输出结果；5.4 实验程序：雅可比迭代：function [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,m)e=10.^(-4);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,:).*x0)+A(i,i)*x0(i))./A(i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end高斯-塞德尔算法function [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,m)e=10.^(-5);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);xk=[];k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,1:i-1).*xk(1:i-1))-sum(A(i,i+1:n).*x0(i+1:n)))./A( i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end5.5 实验求解：在command window窗口输入如下命令求解方程组>> A=[8,-3,2;4,11,-1;6,3,12];>> b=[20;33;36];>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000k =12>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,5)xk =3.0003 1.9840 1.0010k =5>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000 k =8>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,5)xk =2.9998 2.0001 1.0001 k =5。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
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Lab ．解线性方程组的基本迭代法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法；2．通过对Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．应用编写的程序解决具体问题，掌握三种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的特点。
【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。
2．编写Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的M 文件。
3．给定2020⨯∈R A 为五对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------321412132141412132141412132141412132141213 (1)选取不同的初始向量)0(x 及右端面项向量b ，给定迭代误差要求，分别用编写Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。
(2)用编写的SOR 迭代法程序，对于(1)所选取的初始向量)0(x 及右端面项向量b 进行求解，松驰系数ω取1<ω<2的不同值，在5)1()(10-+≤-k k x x 时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：年 月 日解线性方程组的基本迭代法实验报告一、算法描述121,111112111212,1221222221,11,21,1212,100000000n n n n n n n n n n n n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a aa a ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭得到1122nn a a D a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211,11,212,10000n n n n n n a L a a aa a ---⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭121,112,121,0000n n n n n n a a a a a U a ------⎛⎫⎪--⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭则有：A D L U =--第一步 Jacobi 迭代法()()\()\Ax b D L U x b Dx L U x b x D L U x D b A D L U =⎫⇒--=⇒=++⇒=++⎬=--⎭令\()\J D L U f D b =+⎧⎨=⎩则称J 为雅克比迭代矩阵 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下：(0)(1)(),,0,1,2,k k x xJx f k +⎧⎪⎨=+=⎪⎩初始向量第二步Gauss-Seidel 迭代法()()()\()\Ax b D L U x b D L x Ux b x D L Ux D L b A D L U =⎫⇒--=⇒-=+⇒=-+-⎬=--⎭令()\()\G D L U f D L b =-⎧⎨=-⎩，则称G 为Gauss-Seidel 迭代矩阵由此可得Gauss-Seidel 迭代的迭代格式如下：(0)(1)(),,0,1,2,k k x xGx f k +⎧⎪⎨=+=⎪⎩初始向量第三步 SOR 迭代法111(((1)))()((1))w A D L U D wL w D wU D wL w D wU w w w≠=--=----=---- 令1()M D wL w =-,1((1))N w D wU w=--则有：A M N =- ()\\Ax b M N x b Mx Nx b x M Nx M b A M N =⎫⇒-=⇒=+⇒=+⎬=-⎭令\\W L M N f M b=⎧⎨=⎩带入,M N 的值可有111((1))()((1))()()1()W w D wU L D wL w D wU D wL b f w D wL b D wL w -----⎧==---⎪-⎪⎨==-⎪⎪-⎩称W L 为SOR 迭代矩阵由此可得SOR 迭代的迭代格式如下：(0)(1)(),,0,1,2,k k W x xL x f k +⎧⎪⎨=+=⎪⎩初始向量二、算法程序Jacobi 迭代法的M 文件：function [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps)%************************************************* %函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % b 常数项 % x0 估计解向量 % eps 误差范围 %返回值% y 解向量 % n 迭代次数%函数功能 实现线性方程组的Jacobi 迭代求解 %*************************************************n=length(A); if nargin<3error('输入错误，最少要输入三个参数'); return; endif nargin==3eps=1e-6;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);M=D;N=L+U;B=M\N;f=M\b;if max(abs(eig(B)))>=1disp('谱半径大于等于1，迭代不收敛，无法进行'); return;endn=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)~=n)~=nerror('输入的A矩阵的对角线元素不能为0');return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)>=eps&n<100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endGauss-Seidel迭代法的M文件和function [y,n]=GaussSeidel(A,b,x0,eps)%*************************************************%函数名称 GaussSeidel 高斯赛德尔迭代函数%参数解释 A 系数矩阵% b 常数项% x0 估计解向量% eps 误差范围%返回值% y 解向量% n 迭代次数%函数功能实现线性方程组的Jacobi迭代求解%*************************************************n=length(A);if nargin<3%针对这个nargin我还有一个疑问，过一段时间在来处理他! error('输入错误，最少要输入三个参数');return;endif nargin==3eps=1e-6;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);M=D-L;N=U;B=M\N;f=M\b;if max(abs(eig(B)))>=1disp('谱半径大于等于1，迭代不收敛，无法进行');return;endn=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)~=n)~=nerror('输入的A矩阵的对角线元素不能为0');return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)>=eps&n<100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endSOR迭代法的M文件function [y,n]=SOR(A,b,x0,w,eps)%*************************************************%函数名称 SOR 松弛迭代函数%参数解释 A 系数矩阵% w 松弛因子% b 常数项% x0 估计解向量% eps 误差范围%返回值% y 解向量% n 迭代次数%函数功能实现线性方程组的Jacobi迭代求解%*************************************************n=length(A);if nargin<3%针对这个nargin我还有一个疑问，过一段时间在来处理他! error('输入错误，最少要输入三个参数');return;endif nargin==3eps=1e-6;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B1=D\(L+U);M=1/w*(D-w*L);N=1/w*((1-w)*D-w*U);B=M\N;f=M\b;n=1;for i=1:1:nif sum(A(i,i)~=n)~=nerror('输入的A矩阵的对角线元素不能为0');return;endendy=B*x0+f;while norm(y-x0)>=eps&n<100x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end三、数值计算1）首先编写如下程序实现输入大矩阵A：A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==2A(i,j)=-1/4;endendend第一次给定初始向量)0(x为20行一列的0，右端面项向量b=20行一列的1迭代误差要求0.005Jacobi迭代法求解：A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==2A(i,j)=-1/4;endendend>> b=ones(20,1);>> x0=zeros(20,1);>> eps=0.005;>> [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps) y =0.48130.57290.63210.65130.66000.66320.66460.66510.66530.66530.66530.66530.66510.66460.66320.66000.65130.63210.57290.4813n =9>>在Command Window中输入：Gauss-Seidel迭代法求解：在Command Window中输入：A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==2A(i,j)=-1/4;endendend>> b=ones(20,1);>> x0=zeros(20,1);>> eps=0.005;>> [y,n]=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y =0.48140.57320.63250.65180.66060.66400.66540.66600.66620.66630.66630.66630.66610.66560.66420.66090.65210.63280.57340.4816n =7>>第二次给定初始向量)0(x为20行一列的0右端面项向量b=20行一列的1.001 迭代误差要求0.005Jacobi迭代法求解：在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendend>>>> b=1.001*ones(20,1);>> x0=zeros(20,1);>> eps=0.005;>> [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps)y =0.41460.48560.49780.49990.50020.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50020.49990.49780.48560.4146n =7>>Gauss-Seidel迭代法求解：在Command Window中输入A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendend>> b=1.001*ones(20,1);>> x0=zeros(20,1);>> eps=0.005;>> [y,n]=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y =0.41450.48560.49780.49990.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50030.50000.49800.48580.4146n =5观察计算结果得到的序列可以看出其是收敛，在较少的迭代次数下即可的到满足误差要求的解。