初中数学之二次函数最值问题
二次函数的最值问题求解
二次函数的最值问题求解二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示成f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而二次函数的最值问题是指求解二次函数在给定定义域上的最大值或最小值的过程。
一、二次函数的最值问题一般求解方法要解决二次函数的最值问题，一般可以采用以下几个步骤：1. 确定二次函数的开口方向：根据二次系数a的正负性来确定开口是向上还是向下。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 求解二次函数的顶点坐标：顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得。
将x = -b / (2a)带入函数表达式中，得到对应的y值。
顶点的坐标表示了二次函数的最值。
3. 判定定义域：根据问题给出的条件或定义域限制，确定二次函数的定义域。
4. 推导最值：根据二次函数的开口方向和定义域，判定二次函数的最值。
当二次函数开口向上时，最值为最小值；当二次函数开口向下时，最值为最大值。
二、举例求解二次函数的最值问题为了更好地理解二次函数的最值问题，以下通过一个具体的例子来进行求解：已知二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解其最小值。
1. 确定开口方向：由于二次函数的系数a = 1 > 0，所以函数的开口是向上的。
2. 求解顶点坐标：通过公式x = -b / (2a)求得x的值。
将函数f(x)的系数代入计算，有x = -(-4) / (2*1) = 2。
将x = 2带入函数表达式f(x)中，计算得y = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。
因此，顶点坐标为(2, -1)。
3. 判定定义域：对于该函数来说，定义域是全体实数。
4. 得出最小值：由于二次函数开口向上，所以顶点的y值即为最小值。
因此，该二次函数的最小值为-1。
通过以上的计算，我们成功地求解了二次函数的最值问题。
三、总结在实际问题中，二次函数的最值问题是一类常见且重要的数学问题。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数的最值问题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
中考数学复习指导：如何求解二次函数最值不在顶点处的问题
如何求解二次函数最值不在顶点处的问题如何求解二次函数最值不在顶点处的问题有一类二次函数的最值问题，它的自变量x 的取值范围为全体实数中的“某一段”，欲解x 的这段范围内的函数最值问题，应视情况而定：当x 的“某一段”范围分布在对称轴的两侧时，函数最值就是二次函数的最值；当x 的“某一段”范围分布在对称轴的左侧或右侧时，要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值，常常在“端点”处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值．例1 当－2≤x ≤1时，二次函数y =－(x －m )2 + m 2 + 1有最大值4，则实数m 的值为( )(A) －74 (B)(C) 2 或－74分析 这里，二次函数中自变量x 的范围不是一切实数，而是实数范围中的“某一段”．x 的“某一段”有可能在对称轴x = m 的左侧，也有可能在直线x = m 的右侧，也有可能在直线x = m 的两侧．此三种情况均可画出对应的“草图”以增强问题分析的直观性． 解 抛物线开口向上，对称轴为直线x = m ．① x 的“某一段”分布在对称轴的右侧即m <－2，如图1，函数值y 随x 的增大而减小，所以当x =－2时函数值最大，即 －(－2－m )2 + m 2 + 1=4．解得m =－74，这与m <－2相矛盾，故此种情形不存在． ② x 的“某一段”分布在对称轴的两侧即－2≤m ≤1，如图2，当x = m 时函数值最大，即为二次函数的最大值，即 m 2 + 1=4．解得m =，但m 舍去．③ x 的“某一段”分布在对称轴的左侧即m >1，如图3，函数值y 随x 的增大而增大，所以当x = 1时函数值最大，即－(1－m )2 + m 2 + 1=4，解得m =2．综上，m 的值为2．故选C ．评注 情况①③的对称轴都没有在指定的x 的取值范围内，所以两种情况下的最值求解，依据的是二次函数对称轴一侧的增减性，而不是利用的最值公式；情况②的对称轴在指定的x 的范围内，最值为二次函数在全体实数范围内的最值．例2 已知二次函数y = x 2 + bx + c (b ，c 为常数)．(1) 当b =2，c =－3时，求二次函数的最小值；(2) 当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3) 当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．分析 第(1) 问求二次函数在全体实数范围内的最值，利用的是最值公式．第(2) 问根据已知条件，可得关于x 的方程x 2 + bx + 4=0，利用判别式=0，得b =±4． 第(3) 问抛物线开口方向向上，与y 轴的交点 (0，c 2) 在y 轴的正半轴上，据此画出“草图”．抛物线与x 轴的交点有可能都落在x 轴的正半轴上，也有可能都落在x 轴的负半轴上；又因函数的最小值是指定自变量x 范围内的最小值，应从自变量x 的指定范围与对称轴x =－2b 的位置关系的三种情况出发逐一分析． 解 (1) y 最小=241(3)241××−−×=－4．(2) 由题意，得x 2 + bx + 4=0，方程有两个相等的实数根，故△=b 2－4×1×4=0，解得b =±4．所以二次函数的解析式为y = x 2 + 4x + 5，或y = x 2－4x + 5．(3) y =x 2 + bx + b 2，对称轴x =－2b 与x 指定范围的位置关系有三种情况： (i) 当b ≤x ≤b +3分布在对称轴x =－2b 的右侧时，则 －2b <b ，得b >0． 对称轴右侧的函数值y 随x 值的增大而增大，当x =b 时函数值最小，即b 2+b 2+b 2=21，解得b=但b=b(ii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的左侧时，有 －2b>b + 3，得b <－2．对称轴左侧的函数值y 随x 值的增大而减小，当x =b +3时函数值最小，即 (b + 3)2 + b (b + 3) + b 2=21，解得b =－4，b =1．但b=1舍去，所以b =－4．(iii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的两侧时，有 6<－2b <b +3，得－2<b <0． 此时，抛物线顶点纵坐标的值即为最小值，即2244b b −=21整理，得b 2=28，解得b =±但b=±综上，得y = x 2 x + 7，或y = x 2－4x +16．总之，求二次函数的最值，必须根据其自变量的取值范围进行分析和讨论．。
九年级数学二次函数最值问题
九年级数学二次函数最值问题
我们要解决一个关于二次函数的最值问题。
首先，我们需要理解二次函数的基本性质，特别是它的开口方向和顶点。
假设我们的二次函数是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
二次函数的开口方向由 a 决定：
1. 如果 a > 0，则函数开口向上。
2. 如果 a < 0，则函数开口向下。
二次函数的顶点坐标是 (-b/2a, c - b^2/4a)。
对于开口向上的二次函数，其最小值就是顶点的 y 坐标。
对于开口向下的二次函数，其最大值就是顶点的 y 坐标。
现在，我们要求出给定函数的最值。
给定的二次函数是 f(x) = -x^2 + 2x。
首先，我们确定函数的开口方向。
由于 a = -1 < 0，函数开口向下。
接下来，我们找到函数的顶点。
顶点的 x 坐标是 -b/2a = -2/(-2) = 1，y 坐标是 c - b^2/4a = 0 - 2^2/(-4) = 1。
因此，函数的顶点是 (1, 1)。
由于函数开口向下，所以函数的最小值是 1。
2023学年数学中考复习重难点突破——二次函数的最值
2023学年数学中考复习重难点突破——二次函数的最值一、单选题1．当二次函数y=x 2+4x+9取最小值时,的值为( )A ．-2B ．1C ．2D ．92．对于二次函数y ＝2（x+1）（x ﹣3），下列说法正确的是（ ）A ．图象过点（0，﹣3）B ．图象与x 轴的交点为（1，0），（﹣3，0）C ．此函数有最小值为﹣6D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小3．二次函数y=ax 2+bx+a （a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 2244a b a- 化简结果为（ ）A ．aB ．1C ．﹣aD ．04．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．﹣3D ．05．二次函数 23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 的图象 ()13x ≤≤ 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（ ）A ．1y ≥B ．13y ≤≤C ．334y ≤≤ D ．03y ≤≤6．如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=34，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm27．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D( 2, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是().A．y1< y2< y3B．y1 < y3< y2C．y3< y2< y1D．y2< y3< y18．二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x…-3-2-1012345…y…1250-3-4-30512…下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME△AD，MF△DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（）A．6B．12C．18D．2410．已知函数y＝22(0)(0)x x xx x x⎧-⎨--<⎩，当a≤x≤b时，﹣14≤y≤14，则b﹣a的最大值为（）A．1B2+1C 221+D2二、填空题11．已知二次函数y=x 2﹣4x+m 的最小值是﹣2，那么m 的值是 ． 12．二次函数y=x 2﹣2x ﹣5的最小值是 ．13．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm/s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 cm 2．14．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是S=80t ﹣2t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是 m ．15．已知二次函数 2y ax bx c =++ (a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m≠l 的实数)．其中正确的结论有 (只填序号)．三、解答题16．把函数y=3x 2+6x+10转化成y=a （x-h ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．17．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= 2x，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．19．由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x 的取值范围；售价（元/台）月销售量（台）400200▲ 250x▲（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？20．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA 向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（△）求直线y=kx+b的函数解析式；（△）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d 关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（△）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】2 12．【答案】-6 13．【答案】3；18 14．【答案】800 15．【答案】③④⑤16．【答案】解： 2222236103(2)103(211)10y x x x x x x =++=++=++-+23(1)1101x ⎡⎤=+-++⎣⎦23(1)310x =+-+ 23(1)7x =++ ．图象开口向上，对称轴是 1x =- , 顶点坐标（-1,7）,最小值是7．17．【答案】解：(1)∵S △PBQ ＝12PB·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ， ∴y ＝12(18－2x)x ，即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)； (2)由(1)知，y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－292x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋814， ∵当0<x≤92时，y 随x 的增大而增大， 而0<x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20， 即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.18．【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=2>0，∴函数y 随x 的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5；2=yx在函数中，k=2>0，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=2x的最大值为1，最小值为12；y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= 52（舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=319．【答案】（1）解：根据题意，月销售量y与售价x之间的函数关系式为y=200+50× 40010x-=-5x+2200，当y=250时，得-5x+2200=250，解得：x=390，补全表格如下：售价（元/台）月销售量（台）400200390250x-5x+2200由30052200450xx≥⎧⎨-+≥⎩，得300≤x≤350.（2）解：∵w=（x-200）（-5x+2200）=-5（x-320）2+72000，∴当x=320时，w最大=72000，答：当售价x定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．20．【答案】解：如图，∵在Rt△ABC中，△C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得：22AC BC+．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP△△ABC时，APAC=AMAB，即524t-=45t-，解得t=32；②当△APM△△ABC时，AMAC=APAB，即：44t-=525t-，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=32时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH△BC于点H．则PH△AC，∴PHAC=BPBA，即4PH=25t，∴PH=85t，∴S=S△ABC-S△BPH=12×3×4-12×（3-t）•85t=45（t-32）2+215（0＜t＜2.5）．∵45＞0，∴S有最小值．当t=32时，S最小值=215．答：当t=32时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是215．21．【答案】解：（△）由题意可得403k bb-+=⎧⎨=⎩，解得343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为y= 34x+3；（△）如图1，过P作PH△AB于点H，过H作HQ△x轴，过P作PQ△y轴，两垂线交于点Q，则△AHQ=△ABO ，且△AHP=90°， ∴△PHQ+△AHQ=△BAO+△ABO=90°， ∴△PHQ=△BAO ，且△AOB=△PQH=90°， ∴△PQH△△BOA ，∴PQ OB = HQ OA = PHAB， 设H （m ， 34 m+3），则PQ=x ﹣m ，HQ= 34m+3﹣（﹣x 2+2x+1），∵A （﹣4，0），B （0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d ，∴3x m - = ()2332144m x x +--++ = 5d ， 整理消去m 可得d= 45 x 2﹣x+ 85 = 45 （x ﹣ 58 ）2+10380， ∴d 与x 的函数关系式为d= 45 （x ﹣ 58 ）2+10380， ∵45＞0， ∴当x= 58 时，d 有最小值，此时y=﹣（ 58 ）2+2× 58 +1=11964， ∴当d 取得最小值时P 点坐标为（ 58 ， 11964）；（△）如图2，设C 点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E ，∴CE+EF=C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（△）可知当x=2时，d= 45×（2﹣58）2+10380=145，即CE+EF的最小值为145．11/ 11。
初中数学二次函数最值练习题(附答案)
初中数学二次函数最值练习题一、单选题1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-B.1C.3D.52.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元4.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-或74- 6.已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或37.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21(2)2y x =- B.242y x x =-+ C.21(2)22y x =--+ D.2114y x x =-++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )A.2193mB.2194mC.2195mD.2196m9.已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或-2B. D.110.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6C.1或3D.4或6二、解答题11.2a b+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们把2a b+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
最新二次函数中的最值问题整理(中考数学必考知识点)
二次函数中的最值问题归纳（中考数学必考知识点）一．线段和差最值1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标；第二问解题思路：（1）根据点G是该抛物线对称轴上的动点可得当点G在直线BC与抛物线对称轴的交点上时，GA+GC最小，先求出点C的坐标.（2）再设直线BC的解析式为y＝kx﹣4（k≠0），根据待定系数求得直线BC 的解析式为y＝x﹣4，然后求出抛物线的对称轴为直线x＝1，联立两解析式求解即可.2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，求|DC﹣DB|的最大值；第二问解题思路：（1）作点C关于抛物线的对称轴的对称点N（2，4）.（2）连接BN交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求点，进而求解.二．线段最值3、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；第二问解题思路：（1）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长.（2）再利用二次函数的最值可求得MN的最大值.变式训练：如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一动点．当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求PQ的最大值，并写出此时点P的坐标；第二问解题思路：由PQ＝HP sin∠PHQ＝PH知，当PH最大时，PG最大，进而求解变式训练：如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．线段PQ的最大值；变式训练：如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1．（1）a＝；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值；5、如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，求的最大值，并求出此时D的坐标．第二问解题思路：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+n，然后可求出直线AC的解析式，则有H（m，﹣m+3），进而可得DH＝﹣m2+3m，最后根据△OCN∽△DHN可进行求解．变式训练：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；三．周长和面积6、如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？第二问解题思路：由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时BC＝t2﹣t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得变式训练：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0），△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标；7、如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；第二问解题思路：过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E △BCE（2，4）变式训练：二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，连接P A，PC，AC，求S的最大值；△P AC变式训练：已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；四．AP+kBP型8、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．（1）求这个二次函数的表达式；（3）求PM+2BH的最大值；第二问解题思路：设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0），将PM+2BH转化为二次函数求最值即可变式训练：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点和点P都在抛物线上．（1）求出抛物线表达式；（2）如图，若点P在直线AD的上方，过点P作PH⊥AD，垂足为H，①当点P是抛物线顶点时，求PH的长，②求AH+PH的最大值；变式训练：如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．。
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)一、单选题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论①abc>0；②b−a>c；③4a+2b+c>0；④3a>−c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．已知二次函数y=−x2+2x+c，当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（）A．1B．2C．3D．44．关于二次函数y=x2−4x−4的说法，正确的是()A．最大值为−4B．最小值为−4C．最大值为−8D．最小值为−85．在平面直角坐标系中，点P的坐标(0,2)，点Q的坐标为(t−1,−34t−94)(t为实数)，当PQ长取得最小值时，t的值为（）A．−75B．−125C．3D．46．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或37．已知二次函数y=2(x−1)2−3，则下列说法正确的是()A．y有最小值0，有最大值－3B．y有最小值－3，无最大值C．y有最小值－1，有最大值－3D．y有最小值－3，有最大值08．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1B．2C．1或2D．0或39．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论错误的是（）x-5-4-202y60-6-46B．若点（－8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2C．当x＝－2时，函数值最小，最小值为－6D．方程ax2+bx+c＝－5有两个不相等的实数根.10．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小11．已知二次函数y=−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．-10和6B．-19和315C．6和315D．-19和612．小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下：x…-2-1023…y=ax2+bx+c…116336…A．有最大值11，有最小值3B．有最大值11，有最小值2C．有最大值6，有最小值3D．有最大值6，有最小值2二、填空题13．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．14．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.15．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是16．当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为．17．二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是．18．当x=0时，函数y=2x2+bx+c有最小值1，则b-c=．三、综合题19．抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA= 2OC=8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点.（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.21．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）当m=4时，求n的值；（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．22．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y= 16x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=- 18x+194（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2）5052545658…x（年）12345…（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：√315≈17.7，√319≈17.8，√321≈17.9）23．将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？（2）设这两个正方形的面积之和为Scm2，当两段铁丝长度分别为何值时，S有最小值？24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？参考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】B13．【答案】3；1814．【答案】（1，2）15．【答案】116．【答案】117．【答案】118．【答案】-119．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）∴{c=−5−4+2b+c=1解得{b=5c=−5∴b, c的值分别为5, -5.（2）解：a= -1 ，b=5∴当x= −b2a=52时y有最大值.20．【答案】（1）解：在抛物线y=ax2+bx−2中令x=0，则y=−2∴点C的坐标为（0，−2）∴OC=2∵OA=2OC=8OB∴OA=4，OB=1 2∴点A 为（−4，0），点B 为（12，0）则把点A 、B 代入解析式，得{16a −4b −2=014a +12b −2=0解得：{a =1b =72∴y =x 2+72x −2；（2）解：设直线AC 的解析式为y =mx +n ，则 把点A 、C 代入，得{−4m +n =0n =−2解得：{m =−12n =−2∴直线AC 的解析式为y =−12x −2；过点P 作PD∥y 轴，交AC 于点D ，如图：设点P 为（x ，x 2+72x −2），则点D 为（x ，−12x −2）∴PD =−12x −2−(x 2+72x −2)=−x 2−4x∵OA=4∴S ΔAPC =12PD •OA =12×(−x 2−4x)×4=−2x 2−8x ∴S ΔAPC =−2(x +2)2+8∴当x =−2时，S ΔAPC 取最大值8；∴x 2+72x −2=(−2)2+72×(−2)−2=−5∴点P 的坐标为（−2，−5）. ∵点P 在第三象限的抛物线上 ∴点P 的坐标为（−2，−5）满足条件.21．【答案】（1）解：当y=x+3=0时，x=﹣3∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ∴0=9﹣3m+n ，即n=3m ﹣9 ∴当m=4时，n=3m ﹣9=3（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ m 2当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m ﹣9=﹣15 ∴当﹣3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小∴当x=0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣15（3）解：①当对称轴﹣ m2 ≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x 2+mx+n 的最小值为0 ∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣ m2 ＜0，即0＜m ＜6时，如图2有 {4n−m 24n=−49−3m +n =0解得： {m =2n =−3 或 {m =10n =21（舍去）∴m=2、n=﹣3；③当﹣ m2 ≥0，即m≤0时，如图3有 {n =−49−3m +n =0解得： {m =53n =−4（舍去）． 综上所述：m=2，n=﹣3．22．【答案】（1）解：由题意，z 与x 成一次函数关系，设z=kx+b （k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入得 {k +b =502k +b =52⇒{k =2b =48∴z=2x+48．（2）解：当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则W1=（- 16x+5）•（2x+48）=- 13x2+2x+240，∵对称轴x=- b2a≠=3，而1≤x≤6，∴当x=3时，W1最大=243（百万元）．当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则W2=（- 18x+ 194）·（2x+48）=- 14x2+ 72x+228．∵对称轴x=- b2a=7，而7≤x≤10，∴当x=7时，W2最大= 9614（百万元）．∵243> 961 4∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．（3）解：当x=6时，y=- 16×6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时y=- 18×10+ 194=3.5百万平方米=350万平方．∵第6年可解决20万人住房问题∴人均住房为400÷20=20平方米．由题意20×（1-1.35a％）×20×（1+a％）=350．设a％=m，化简为54m2+14m-5=0Δ=142-4×54×（-5）=1276∴m= −14±√12762×54=−7±√31954∵√319≈17.8，∴m1=0.2，m2=- 62135（不符题意，舍去）．∴a％=0.2，∴a=20．答：a的值为20．23．【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（14﹣x）cm 依题意列方程得x2+（14﹣x）2＝100整理得：x2﹣14x+48＝0（x﹣6）（x﹣8）＝0解方程得x1＝6，x2＝86×4＝24（cm），56﹣24＝32（cm）；因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm、32cm。
初三二次函数最值问题
初三二次函数最值问题
二次函数是初中数学中一个非常重要的知识点，而其中的最值问题更是我们需要掌握的重点。
最值问题主要是指在一个二次函数的定义域内，找到它的最大值或最小值。
对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过求导数法或配方法来求解它的最值问题。
其中，求导数法可以通过对函数求导得到函数的导数，进而求出导数为0时对应的自变量，这个自变量就是函数的最值点。
而配方法则是通过把一般式的二次函数化为顶点式，然后根据顶点坐标求出函数的最值。
除了一般的二次函数，我们还需要掌握一些特殊的二次函数，如$y=a(x-p)^2+q$、$y=a(x-h)^2+k$ 等形式。
对于这些特殊的二次函数，我们可以通过变形得到常见的形式，然后再根据求解一般二次函数最值的方法来求解。
总之，掌握二次函数最值问题是我们在初中数学中需要掌握的重点之一，需要认真学习和练习。
二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练
二次函数的最值(4种题型)【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题1(浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中)如图，抛物线y =ax 2+bx +3过点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C ．若点P 为线段OC 上的动点，连结BP ，过点C 作CN 垂直于直线BP ，垂足为N ，当点P 从点O 运动到点C 时，点N 运动路径的长为【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC的长度即可．【详解】解：把点A (1，0)，B (3，0)，代入抛物线，则0=a +b +30=9a +3b +3 ，解得：a =1b =-4 ，∴y =x 2-4x +3；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB =OC =3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC =90°，∵BC =OB 2+OC 2=32+32=32，∴OM =322，∴点N 运动路径的长为：90π180•322=324π；故答案为：324π．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2(浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中)若抛物线y =-x 2+2x +m +1(m 为常数)交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点；②若点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 2<y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y =-(x +1)2+m ；④点A 关于直线x =1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m =1时，四边形BCDE 周长的最小值为3+2+13．其中正确的是．(填序号)【答案】①③【分析】①联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2可得：x 2-2x +1=0，其中Δ=4-4=0，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =-b 2a=1，且a =-1<0，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，∴y 1<y 3<y 2，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：y =-x +2 2+2x +2 +m +1-2=-x +1 2+m ，故③正确；当m =1时，抛物线解析式为y =-x 2+2x +2，∴A 0,2 ,B 1,3 ,C 2,2 ，作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴B -1,3,C 2,-2，∴BE+ED+CD+BC=B E+ED+C D+BC=B C +BC，根据两点之间线段最短，知B C 最短，而BC长度一定，∴此时四边形BCDE的周长为B C +BC最小，由两点距离公式可得：B C +BC=2+12+-2-32+2-12+2-32=34+2，故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题3(浙江宁波·九年级统考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=-1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2；(3)点Q-52 ,74.【分析】(1)根据对称轴方程可得-b2a=-1，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.(3)设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，∴-b2a=-1a+b+c=0 c=3，解得：a=-1 b=-2 c=3，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=mx+n，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，B(0，0)，∴点A坐标为(-3，0)，∵C(0，3)，∴-3m+n=0 n=3，解得：m=1 n=3，∴直线解析式为y=x+3，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB+MC的值最小，当x=-1时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2.(3)如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，∵B(1，0)，C(0，3)，∴OB=1，OC=3，BC=OB2+OC2=10，∴tan∠OCB=OBCO =13，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HMCM =13，∴CM =3HM ，∴BC =MB +CM =4HM =10，解得：HM =104，∴CM =3104，∴CH =CM 2+HM 2=52，∴OH =OC -CH =3-52=12，∴H 0,12，设直线BH 的解析式为：y =kx +b ，∴k +b =0b =12，解得：k =-12b =12 ，∴BH Q 的表达式为：y =-12x +12，联立直线BH 与抛物线解析式得y =-12x +12y =-x 2-2x +3，解得：x =1(舍去)或x =-52，当x =-52时，y =--52 2-2×-52 +3=74，∴点Q 坐标为-52，74.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4(浙江杭州·九年级期末)如图，抛物线y =x 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，(1，-4)；(2)M (1，-2)【分析】(1)把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；(2)直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：(1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D的坐标(1，-4)；(2)对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B(3，0)，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+n n=-3，解得：m=1 n=-3，故直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M(1，-2)．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．5(浙江绍兴·九年级校联考期中)如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是(2，9)，且经过D(3，8)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-2)2+9；(2)S△ABC=15；(3)M(2，6)【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；(2)求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；(3)先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM=BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，9)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9，∵抛物线经过点D(3，8)，∴(3-2)2•a+9=8，解得a=-1，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+9；(2)令y=-(x-2)2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A(-1，0)，B(5，0)，令x=0，则y=-(0-2)2+9=5∴C(0，5)∴S△ABC=12AB⋅h=12×6×5=15；(3)存在，求解过程如下：∵二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2，∴A(-1，0)，B(5，0)，∵点D(3，8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为D'(1，8)，由对称性得：DM=D'M，则BM+DM=BM+D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，设直线BD'的函数解析式为y=kx+b，把(5，0)，(1，8)代入y=kx+b，得：0=5k+b 8=k+b，解得k=-2b=10，∴y=-2x+10，取x =2，则-2×2+10=6，∴M (2，6)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6(2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】(1)将点(5，0)，代入y =-x 2+mx +5，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】(1)将点(5，0)代入y =-x 2+mx +5得，0=-25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =-x 2+4x +5y =-x 2+4x +5=-(x -2)2+9，∴抛物线的顶点坐标为(2，9)；(2)如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为y =-x 2+4x +5=-x -2 2+9，可得点C 坐标为(0，5)，点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，0=5k +b 5=b ，解得k =-1b =5 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +5，联立方程，y =-x +5x =2 ，解得x =2y =3 ，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．7(浙江宁波·校联考一模)如图，抛物线M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y =ax 2+bx +c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C (8，m )，且AB =BC ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；(3)在y 轴上找点P ，使得BP +CP 的值最小，求点P的坐标．【答案】(1)A (-2，0)，B (3，5)，C (8，10)；(2)由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)P 0，7011 .【分析】(1)y =0，即求A ；AB =BC ，得B 3，m 2，求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；(2)抛物线平移前后a 的值不变，由点B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，求出直线B 'C 的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P ；【详解】(1)M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，∴A (-2，0)，∵AB =BC ，C (8，m )，∴B 3，m 2，设AB 直线解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b m 2=3k +b ，∴k =m 10b =m 5 ，∴y =m 10x +m 5，∵y =x 2-4与y =m 10x +m 5相交于点A 和B ，∴x 2-m 10x +m 5-4=0，∴x 1+x 2=m 10=1，∴m =10，∴B (3，5)，C (8，10)；(2)∵抛物线M 1平移得到抛物线M 2，∴a =1，∵B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，∴10=64+8b +c 5=9+3b +c，∴b =-10c =26 ，∴y =x 2-10+26=(x -5)2+1，由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，∴B '(-3，5)，设直线B 'C 的直线解析式为y =mx +n ，∴5=-3k +b 10=8k +b，∴k =511b =7011 ，∴y =511x +7011，∴P 0，7011.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．8(2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习)已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A (-1，0)，与y 轴的交点坐标为C (0，-3)．(1)求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y <0？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA +PB 的值最小时的点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，B (3,0)(2)-1<x <3(3)P (1,0)【分析】(1)把A (-1，0)，C (0，-3)代入y =x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；(2)由y <0，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；(3)由A(-1，0)，B(3，0)关于抛物线的对称轴x=1对称，可得AB与对称轴的交点满足PA+PB 最小，从而可得答案．【详解】(1)把A(-1，0)，C(0，-3)代入y=x2+bx+c，∴1-b+c=0 c=-3，解得：b=-2 c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，由x2-2x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3,x2=-1,∴B(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，y<0，∴抛物线的图象在x轴的下方，结合图象可得：-1<x<3；(3)∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴是直线x=1，如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题9(2022·浙江·九年级自主招生)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=10,c= 6，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【答案】12，等腰三角形【分析】根据已知条件a+b=10，再表示成b=10-a，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：∵三角形的边长满足c=6，a+b=10，∴p=12(a+b+c)=8，∴b=10-a，∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=8×(8-a)×(8-b)×(8-6)=8×2×(8-a)×(a-2)=-16a-52+144当a=5时，S有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．10(2022秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若a =20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)S =12x (100-x )(2)10m(3)当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【分析】(1)根据题意得出BC =100-x 2m ，然后求面积即可；(2)利用(1)中结论，直接代入求解即可；(3)将(1)中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】(1)解：设AD =xm ．则BC =100-x 2m ，∴S =12x (100-x )；(2)由(1)得S =12x (100-x )，则450=12x (100-x )解得x 1=10，x 2=90(舍去)，∴AD 的长为10m ；(3)①当a ≥50时，由(1)得S =12x (100-x )=-12(x -50)2+1250，∵a ≥50，∴x =50时，S 的最大值为1250．②当0<a <50时，则0<x ≤a ，S 随a 的增大而增大，当x =a 时，S 的最大值为-12a 2+50a ；综上所述，当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．11(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行b n (表示第n 次行走的路程)，再逆时针旋转α0°<α≤90°，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封闭图形的面积为S．例如：如图1，当每次直行路程均为1(即b n=1)，α=60°时，机器人的运动路径为A→B→C→D→E→F→A，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为S=332．(1)若b n=1，请完成下表．α30°45°72°l(2)如图3，若α=60°，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，则b5=，b5+b6=．②若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，并求出当S最大时b4的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②2b3+b4=10；b4=3【分析】(1)根据每次逆时针旋转α，旋转360°α次，可回到起点，即可进行解答；(2)①构造如图所示三角形，则△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5 =6-b4，进而得出2b3+b4=10，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．【详解】(1)解：当α=30°时，l=1×36030=12，当α=45°时，l=1×36045=8，当α=72°时，l=1×36072=5，故答案为：12，8，5．(2)①构造如图所示的三角形，∵α=60°，∴△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，∴CG=b2=4,AH=b4=3，∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，则AB=AC=BC=8.5，∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3，∴b5+b6=2.5+3=5.5，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边△GHI∴GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5=6-b4，∵l=20，∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，∴2b3+b4=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，h=a sin60°=32a，∴等边三角形面积=12ah=12a⋅32a=34a2∴S=34b3+b4+42-34b3+b4-22-34b4-3442∴S=34-b42+6b42+56=-34b-32+6534，∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．12(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式；(2)若AB的长不能低于2m，且AB<BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-32x2+12x(2)窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2【分析】(1)根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；(2)根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据(1)中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：根据题意，得S=x⋅24-3x2=-32x2+12x．即S与x的函数表达式是S=-32x2+12x．(2)解：根据题意，得2≤x<24-3x2．解得：2≤x<4.8．S=-32x2+12x=-32x-42+24，∵-32<0，∴S有最大值，∵2≤x<4.8，抛物线的对称轴为直线x=4．∴当x=4时，S有最大值，此时S=24，当x=2时，S有最小值，此时S=-322-42+24=18，答：窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．13(2023·浙江宁波·统考一模)有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE =x ，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①y =-x 22+6x ；②当x =2时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】(1)①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；(2)用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】(1)解：①如图2，∵四边形AEFG 是矩形，∴AE =FG ，∠A =∠FGB =90°，∵tan ∠B =FG GB =2，∴GB =12x ，∴AG =AB -GB =6-12x ，∴S =AE ⋅AG =x 6-12x =-12x 2+6x ；②∵点E 在线段AE 上，∴0<x ≤2，∵y =-12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∴当x =2时，y 的最大值为10；(2)能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM ⊥EF 于M ，∵四边形EFHN 是矩形，∴EF =NH ，EN =FH ，∵tan ∠B =NH HB =2，∴HB =12NH ，∵∠A =90°=∠AFE ，DM ⊥EF ，∴四边形ADMF 是矩形，∴DM =AF ，AD =MF =2，∵∠ADC =135°，∴∠EDM =45°，∴DM =EM =NH -2，∴AF =NH -2，∴FH =AB -AF -BH =8-32NH ，∴S =FH ⋅NH =NH 8-32NH =-32NH -83 2+323，∴当NH =83时，S 有最大值为323，∵323>10，∴能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14(2023·浙江嘉兴·统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P (a ，b )，Q (c ，d )是平面直角坐标系内的两点，我们将a -c +b -d 称作P ，Q 间的“L 型距离”，记作L (P ，Q )，即L P ,Q =a -c +b -d ．已知二次函数y 1的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为A (-1，0)，B (0，3)，点C 在直线x =2上运动，且满足L B ,C ≤BC ．(1)求L (A ，B )；(2)求抛物线y 1的表达式；(3)已知y 2=2tx +1是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是y 2=2tx +1图像上的两个动点，且DE =5，求△CDE 面积的最大值；②当t ≤x ≤t +3时，若函数y =y 1+y 2的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．【答案】(1)4；(2)y 1=-x 2+2x +3；(3)①△CDE 面积最大值为52；②t =-1±2．【分析】(1)根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；(2)根据二次函数y 1经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线x =2上运动，所以可设点C 2,m ，根据L B ,C ≤BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y 1的表达式；(3)①根据△CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y 2=2tx +1过固定点N 0,1 ,故直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，此时就是△CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据y =y 1+y 2，可得函数y 的解析式：y =-x 2+2t +1 x +4，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是x =t +1的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据t ≤x ≤t +3可知当x =t +3时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】(1)解：由题意得：∵A -1，0 ，B 0，3 ，∴L A ,B =-1-0 +0-3 =1+3=4；(2)∵点C 在直线x =2上运动，∴设点C 2,m ，且B 0,3由平面上两点间距离，利用勾股定理得：∴BC 2=2-0 2+3-m 2=4+3-m 2∵L B ,C =0-2 +3-m =2+3-m∴L 2B ,C =2+3-m 2=22+43-m +3-m 2∵0≤L B ,C ≤BC∴L 2B ,C ≤BC 2即22+43-m +3-m 2≤4+3-m 2∴43-m ≤0，又∵3-m ≥0∴3-m =0∴m =3∴C 2,3∵二次函数y 1的图像经过A -1,0 ，B 0,3 ，C 2,3 ，∴设y 1=a 1x 2+b 1x +c 1∴代入解析式得：a 1-b 1+c 1=0c 1=34a 1+2b 1+c 1=3解方程组得：a 1=-1b 1=2c 1=3∴抛物线y 1的表达式为y 1=-x 2+2x +3；(3)①∵y 2=2tx +1令x =0时，y 2=1∴直线y 2恒过定点N 0,1∴直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，∴当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，过点C 作CM ⊥DE 交直线y 2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN∴S△CDE=12DE×CM≤12DE×CN=52CN∵C2,3，N0,1∴CN=2-02+3-12=4+4=22∴5 2CN=52×22=52∴△CDE面积的最大值为52②∵y=y1+y2=-x2+2x+3+2tx+1=-x2+2t+1x+4二次函数y的对称轴为x=-2t+12×-1=t+1∵a=-1<0∴二次函数y的图像开口向下，当x=t+1时，函数值y取得最大值y=-t+12+2t+1t+1+ 4又∵t+3-t+1>t+1-t∴当x=t+3时，函数值y取得最小值y=-t+32+2t+1t+3+4∵函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8∴-t+12+2t+12+4-t+32+2t+1t+3+4=8整理得：t2+2t-1=0解得：t=-1±2∴实数t的值为-1±2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题15(2023秋·浙江温州·九年级期末)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，(x为整数)月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10(x为整数)(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】(1)每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为30-20+x件，根元，销量为230-10x据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；(2)令y=2520，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；(3)结合(2)中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；(4)将y=-10x2+130x+2300化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．【详解】(1)解：依题意得：y=30-20+x=-10x2+130x+2300，230-10x∵每件首饰售价不能高于40元，∴x+30≤40，∴0≤x≤10(x为整数)．因此y与x的函数关系式为y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10，且x为整数；(2)解：当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520，整理得x2-13x+22=0，解得x1=2，x2=11，∵0≤x≤10，∴x=2，当x=2时，30+2=32．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；(3)解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．(4)解：∵y=-10x2+130x+2300，∴y=-10x-6.52+2722.5．∵a=-10<0，0≤x≤10，且x取正整数，∴当x =6或7时，y 取最大值，y 最大值=-10×7-6.5 2+2722.5=2720，∴每件玩具的售价定为：30+6=36(元)或30+7=37(元)．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润×销量”列出y 与x 的函数关系式．16(2023秋·浙江温州·九年级期末)某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 100≤x ≤400 件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)y =-110x +110(2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据图象利用待定系数法求解析式即可；(2)根据(1)求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；(3)分类讨论①当100≤x ≤300时和②当300<x ≤400时，结合利润=销售量×(售价-成本)列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得出：100k +b =100300k +b =80 ，解得：k =-110b =110 ，∴y 与x 的函数关系式为：y =-110x +110，故答案为：y =-110x +110；(2)当x =200时，y =-20+110=90，∴90×200=18000(元)，答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；(3)分两种情况：①当100≤x ≤300时，w =-110x +110-71 x =-110x 2+39x =-110x -195 2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x=190或200时，w有最大值是：-110200-1952+3802.5=3800；②当300<x≤400时，w=80-71x=9x，当x=400时，w有最大值是：9×400=3600，∴一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×(售价-成本)列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．17(2023秋·浙江温州·九年级期末)某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．(1)当x=10时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式：②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．【答案】(1)8000元(2)①w=-4x2+120x+7200 ②不能达到，最大值是8100元【分析】(1)利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20×每箱降低的价格5，即可求出结论；(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出4x+120箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50(元)，平均每天可售出120+20×105=160(箱)总利润为：50×160=8000(元)．(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出120+20×x5=4x+120箱，依题意得：w与x之间的函数解析式为w=60-x120+x5×20=-4x2+120x+7200；②w不能达到8200元；w=-4x2+120x+7200=-4x-152+8100.∵-4<0，∴当x=15时，w取到最大值，w最大值=8100<8200，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．18(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1。
九年级数学-----二次函数的最值问题
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习 A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
2022年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数中的最值问题(线段和面积最值)
2022年九年级中考数学专题复习讲义二次函数中的最值问题（线段和面积最值）二次函数中的最值问题问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；一、线段最值问题：（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，求出线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：此时还能通过几何构图确定动点位置，从而计算相应的MN的最值吗？（3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME∥AC于点E，求∥MEN周长的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：由动点M生成动点N，E，∥MEN三边长虽然均为变量，但它们之间有怎样的数量关系？变式：∥MEN的面积有最大值，求出其最大值.（4）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，求MF的最大值；FO思考：MF与OF是斜线段，它们的长度好表示吗？变式：如图，点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，连接OM 与AC 交于点F ，当23MF FO 时，求此时点M 的坐标；（5）如图，连接BC ，点P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PQ ∥y轴交AC线段于点Q，过点Q作QG∥BC交x轴于点G，求PQ 的最大值及此时点P的坐标（6）如图，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标；二、面积最值问题 用铅垂法表示三角形面积的计算公式为：12S =⨯⨯铅垂高水平宽（7）点M 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使∥ACM 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（8）点M 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使S ∥ACM ＝15？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（9）点P是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在异于P点的点Q，使S∥ACQ＝S∥ACP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；提示：方法1，代数思想——利用铅垂法分类表示出三角形面积，建立等量关系求解；方法2，几何思想——通过辅助线构造等底等高的三角形确定出动点的位置后再进行计算.（平行线转化面积）。
二次函数最值问题
二次函数最值问题二次函数最值问题是数学中的重要内容。
二次函数的最值问题可以理解为求解二次函数的极值问题，包括最大值和最小值。
解决这类问题需要运用一些相关的数学知识和技巧，下面我们就来详细分析二次函数最值问题。
首先，我们需要明确二次函数的一般形式。
二次函数一般可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
对于此类函数，其图像一般为抛物线，开口朝上或朝下，形状和位置由a的正负决定。
其次，我们需要了解到二次函数的最值出现的条件。
对于开口朝上的二次函数，其最小值出现在顶点上。
而开口朝下的二次函数没有最大值，其最大值为负无穷。
因此，我们主要关注开口朝上的二次函数。
接下来，我们来分析求解二次函数最值的具体步骤。
步骤一：确定二次函数的开口方向。
这一步骤主要是确定二次函数是开口朝上还是朝下，即确认a的正负。
步骤二：求解二次函数的顶点坐标。
顶点坐标即为二次函数的最值点，是最小值的位置。
首先，我们需要确定二次函数的顶点的横坐标x。
顶点的横坐标x = -b / (2a)。
这是由于二次函数的对称轴为直线x = -b / (2a)。
接着，我们可以将顶点的横坐标值代入二次函数中，求得顶点的纵坐标y。
即计算f(x)的值，其中x = -b / (2a)。
通过上述步骤，我们可以求得二次函数的最小值和对应的x坐标值。
需要注意的是，当a > 0时，二次函数开口朝上，其最小值为顶点的y坐标。
当a < 0时，二次函数开口朝下，没有最大值。
最后，我们来看一道具体的例题：例题：求函数y = x^2 + 4x + 3的最小值及对应的x坐标。
解：根据公式，我们可以求得顶点的横坐标x = -b / (2a)，其中a = 1，b= 4。
代入上述值，得x = -4 / (2 * 1) = -2。
然后，我们计算y的值，即y = f(x) = x^2 + 4x + 3，其中x = -2。
代入上述值，得y = (-2)^2 + 4 * (-2) + 3 = 1。
初三数学二次函数最值问题
二次函数最值问题：经济问题：1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少2、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y（元）与销售月份x（月）满足关系式3368y x=-+，而其每千克成本2y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？y23、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．4．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？面积问题：1、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）试给出你判断Rt △ABM ∽Rt △AMN 的一个条件.，2、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？_ N_ M _ D _ C _ B _ A3．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F 分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？经济问题1、解：根据题意得(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭， 即2224320025y x x =-++．（2）由题意，得22243200480025x x -++=．整理，得2300200000x x -+=．解这个方程，得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于2224320025y x x =-++，当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．2、解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭ 21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）．4、解. （1）化简得：（2）（3） ，抛物线开口向下．当时，有最大值 又，随的增大而增大当元时，的最大值为元当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润．面积问题2、解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．3、解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米． 4、解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．。
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
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初中数学之二次函数最值问题一、选择题1.（2008年山东省潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.有最大值B..有最大值C.有最小值D.有最小值2.（2008浙江杭州）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份．设分点分别为，，，，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…，这样就有，，…；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（）A．B．C．D．3．（08绵阳市）二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）．A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x ＜34．（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：①当时，函数值最大；②当时，函数随的增大而减小；③存在，当时，函数值为0．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5.(2008 湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（）A. 7B. 6C. 5D. 46.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（）A．4 B．C．D．7．（2008山东泰安）函数的图象如图所示，下列对该的是（）函数性质的论断不可能正确．．．．．A．该函数的图象是中心对称图形B．当时，该函数在时取得最小值2C．在每个象限内，的值随值的增大而减小D．的值不可能为18.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.有最大值B..有最大值C.有最小值D.有最小值二、填空题1.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多.2．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则能使成立的的取值范围是．3.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米．4.二次函数的最小值是．5. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为元/平方米．6.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图11所示，则需要塑料布（m2）与半径（m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）．7.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度．三、简答题1.已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。
2.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？3.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为O. 9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。
以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t自由取值范围。
4.一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。
5.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？6.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图（15）所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。
7.如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽为6m，当水．．0.5m时．：位上升．．．（1）求水面的宽度为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行．①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？②若从水面到棚顶的高度为m的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最大宽度是多少米？8.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？9.已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为4，求的值.10.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）11.如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．（1）求直线所对应的函数关系式；（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图11，已知二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。
⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；⑵已知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；⑶当时，求四边形PCMB的面积的最小值。
【参考公式：已知两点，，则线段DE的中点坐标为】13.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？14.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?15.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？16.已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）．与上述抛物线有关的不同类型的结论；（1）请写出三条．．（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点你所得到的正确结论，并说明理由；坐标，请写出一个．．（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．17.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．18.青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？19.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？（参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0，当x＝时，）20.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。