高二圆锥曲线测试 2
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
2.2 双曲线（1）A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!
高二数学圆锥曲线综合测试题（选修1-1&2-1）（考试时间：120分钟，共150分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为36分，试卷Ⅱ分值为64分。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＞3) D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于 ( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．2 210．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．412．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝ ( )A.45B.23C.47D.12第Ⅰ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．(2009·福建高考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF ＝FB ，BA ·BC ＝48，则抛物线的方程为______________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B 点，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点．(1)求OA ·OB 的值； (2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围．20．[文](本小题满分12分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．21．(本小题满分12分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )． (1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．[文](本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．高二数学圆锥曲线章节测试题（选修1-1&2-1）答案与解析：1、解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2、解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3、解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4、解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5、解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3， ∴e ＝23＝233.答案：C6、解析：如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x＞3)． 答案：C7、解析：由已知b a ＝55e ，∴b a ＝55×ca ，∴c ＝5b ，又a 2＋b 2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝5b 2，∴a ＝2b . 答案：C8、解析：准线方程为y ＝116，由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C9、解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA ·OB ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x ⇒x ＝ 2.答案：A10、解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案：A11、解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C12、解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|， 由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A 13、解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 2 解析：由焦点弦|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2psin 245°， ∴2p ＝|AB |×12，∴p ＝2.答案：214、解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝|PF 1|＋|PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使|PF 1|＋|PF 2|最小，利用对称性可解． 答案：x 25＋y 24＝115、解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点，故|AF |＝|AC |＝2|FD |＝2p ， |AB |＝2|AF |＝2|AC |＝4p ， ∴∠ABC ＝30°，|BC |＝23p ，BA ·BC ＝4p ·23p ·cos30°＝48， 解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x16、解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 17、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM|22(2)(4)x y -+- |AB 22(2)(2)x y +, ∴2222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程． 法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO |=|MP |，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =4020--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y -2=-12(x -1)， 即x +2y -5=0即为所求．18、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .19、解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)，则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1， 故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ，故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ， 因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20、解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2 203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.21、解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点， 又因为坐标原点O 为线段AB 的中点，所以OE 是△ABD 的中位线， 所以|OE |＝12|AD |＝1， 所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上，又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上，所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)，由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切，所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33， 所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)， 将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1， 整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3). 又线段MN 的中点到y 轴的距离为45， 即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2. 故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点， 设直线PM 方程为x ＝my ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD所在平面上，E是A1A的中点，且∠EPA=∠D1PD，则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线D．双曲线【答案】B【解析】由已知得即，在平面ABCD内以AD所在直线为x轴，AD中点为坐标原点建立直角坐标系，设A（1，0），B（-1，0），P（x，y），由建立等式化简得轨迹方程为，是圆的一般方程，所以答案选B。
【考点】1.直角三角形中的三角函数定义；2.轨迹方程的求解2.已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，∴，∴，∴AF∥DE，又∥ 6分（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为 13分.【考点】1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.3.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】【解析】由抛物线的定义知抛物线的焦点到准线的距离是P，又由题可知P=.【考点】抛物线的几何性质.4.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.5.求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程.【答案】【解析】首先设出双曲线的标准方程，然后利用与椭圆的关系、双曲线过点建立组可求得a，b的值．试题解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上．设双曲线的标准方程为．根据题意，解得或（不合题意舍去），∴双曲线的标准方程为．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的方程求法．6.已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于椭圆的离心率为，则可知b：a=1：2，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可知为正方形边长为4，则可知（2，2）在椭圆上，可知椭圆的方程为，选D.【考点】椭圆和双曲线点评：主要是考查了椭圆与双曲线的性质的运用，属于基础题。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。
故A正确。
【考点】抛物线的定义。
3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。
高二圆锥曲线单元测试题及答案
《圆锥曲线》单元测试题一、选择题1．已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23 2．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120º，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．21D ．363．设1>k ，则关于x 、y 的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线4．到定点(7, 0)和定直线x =7716的距离之比为47的动点轨迹方程是（ ）。
A ．116922=+y x B ．191622=+y x C ．1822=+y x D ．1822=+y x 5．若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在01243=--y x 上那么抛物线的方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 162-=； C ．x y 122=； D ．x y 122-=；6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫14，94B ．⎝⎛⎭⎫23，1C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎝⎛⎭⎫0，12 7．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．128．双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A ．316 B ．38 C ．163 D ．839．设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2± B ．43±C ．12±D ．34± 10．已知椭圆222(0)2y x a a +=>与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A．02a <<B．02a <<或2a > C ．103a <<D．22a << 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），那么k 的值为 。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 湘教版高二选修2-1数学试题
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D.由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.依题意得c ＝4，e ＝c a ＝4a＝2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，因此所求的双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1，故选A.3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．4．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215解析：选B.根据椭圆定义可得4＋2a ＝14，解得a ＝5，故其离心率e ＝c a ＝25，故选B.5．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( ) A ．2或233B ．2C.233D. 3解析：选A.不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为y ＝±bax .由题意，则ba ＝33或a b ＝33， 所以b 2a 2＝13或a 2b 2＝13，可以求得e ＝233或2.6．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．7．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50 B ．x 2－y 2＝24 C ．x 2－y 2＝－50 D ．x 2－y 2＝－24解析：选D.因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.8．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64解析：选B.抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0， 则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1解析：选C.直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m ≤1，解得m ≥1，又m ≠5，故选C.10．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ∶x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A.11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |， 所以x 1＝2x 2＋2，②由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)， 双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝2，4a2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝114．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0，2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.答案：x 2＋(y －2)2＝1615．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，又c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝5，b ＝4，所以双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝116．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．解析：依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32.求椭圆E 的方程． 解：因为椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，半焦距为c (a >0，b >0，c >0)．由题意知F (0，1)为椭圆的短轴的上顶点， 所以b ＝1，又由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 得a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，所以6＝2p ×32，所以p ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝4x .因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， 所以c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，所以94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8.(舍去) 所以所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知点P (3，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解：(1)令F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以k PF 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3，4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝80， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.20．(本小题满分12分)如图，O 为坐标原点，过点P (2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值； (2)求证：OM ⊥ON .解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．① 由①及y 2＝2x 消去y 可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1，x 2是方程②的两个根， 由根与系数的关系得x 1x 2＝4k2k 2＝4，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16，又y 1y 2<0， 所以y 1y 2＝－4.(2)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－44＝－1， 所以OM ⊥ON .21．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论． (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值X 围．解：(1)点F 在直线l 上⇒|FA |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x 轴平行，所以上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0，因为x 1≠x 2，所以当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0， 所以x 1＋x 2＝－14.因为A ，B 为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l上，所以116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，所以l 在y 轴上的截距的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.22．(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求A 1A 2的长．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依据题意得c ＝1，c a ＝12，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 又F 1(－1，0)， 此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为焦点在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1， 所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0， 又F 1(－1，0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0， 解得k 2＝97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k （x －1）， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)， 则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋2＝2＋4k 2＋2＝649.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题56617
高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题 班级： 姓名： 座号：评分：一.选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分。
请将答案写在括号里。
1、已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２ 2、已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax其中和），它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能4、椭圆13610022=+y x上的点P 到它的左准线的距离是10，那么P 点到椭圆的右焦点的距离是 （ ）A.15B.10C.12D.85、双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.75° 6、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132xx x =+， 则有（）Ａ．123FP FPFP += Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FPFP FP =+ Ｄ．2213FPFP FP =·7、双曲线22ax -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A.2 B.3C. 2D. 238、过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y xP y x P 两点，若621=+y y，则21P P 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 二、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9、设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是 。
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。
高二数学上学期第二次月考模拟试卷(空间向量与立体几何,直线与圆,圆锥曲线)(解析版)
高二数学上学期第二次月考模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·湖南·邵东市第四中学高二期中）直线10x +=的倾斜角为（）A．30°B．45°C．120°D．150°【答案】A【解析】∵10x +=，∴33y x =，∴tan 3k θ==又∵[0,)θπ∈，∴30θ=，故选：A.2．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）抛物线24y x =的准线方程为（）A．14y =-B．18y =C．116y =D．116y =-【答案】D【解析】由24y x =化得214x y =，故物物线的标准方程为214x y =，所以124p =，则18p =，所以抛物线24y x =的准线方程为1216p x =-=-.故选：D.3．（2022·辽宁·大连八中高二期中）已知向量()()1,0,2,1,1,0a b =-=，且k +a b 与2b a +相互垂直，则k 值为（）A．1-B．35C．15D．75【答案】A【解析】因()()1,0,2,1,1,0a b =-=，则()12，，a kb k k +=-，()21，2，2b a +=又k +a b 与2b a +相互垂直，则()()21240a kb b a k k +⋅+=-++=得1k =-.故选：A4．（2022·山东·新泰市第一中学高二期中）已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y -+=对称，则点A 的坐标为（）A．(1,4)-B．(4,5)C．(5,4)--D．(4,3)--【答案】A【解析】设(),A x y ，则1230222111x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得14x y =-⎧⎨=⎩.故选：A.5．（2022·辽宁·大连八中高二期中）如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）B．12D．1【答案】C【解析】90,0ACD AC CD ∠=︒∴⋅=，同理，0AC BA ⋅=，又因为AB 与CD 成60︒角，,60BA CD ∴=︒或,120BA CD =︒，AC CD BD BA =++，2222222BD AC CD BA AC BA CD AC CDBA =+++⋅+⋅+⋅3211cos ,BA CD =+⨯⨯⨯=31±，24BD =或22BD =，所以2BD =或BD =6．（2022·江苏·苏州中学高二期中）圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由题知221:1C x y +=，()()()2222:340C x y m m -++=>所以1122(0,0),1,(3,4),C C r r m =-=，因为圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，所以1212C C r r =-，即51m =-，因为0m >，所以6m =，故选：C.7．（2022·山东·微山县第二中学高二期中）若直线l ：20kx y --=与曲线C ：1x =-有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C．442,,233⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵直线l ：20kx y --=恒过定点(0,2)M -曲线C 1x =-即：22(1)(1)11x y x -+-=≥，（）∴曲线C 表示：以（1，1）为圆心，1为半径的1x ≥（）的那部分圆.∵直线l 与曲线C 有两个交点，∴如图所示，当过点M 的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，1=解得：143k =当过点M 的直线也过点(1,0)A 时有2个交点，此时20(2)210k --==-∴423k <≤故选：B.8．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）C．1D．12【答案】B【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，1PF m =，2PF n =，（m n >），122F F c=则+=2=2m n a m n a -'⎧⎨⎩，解之得=+=m a a n a a ⎧⎨-''⎩又222π41cos 322m n c mn +-==则()()()()2224a a a a c a a a a ''''++--=+-则222340a a c '+-=，则2212134e e +=则22121213234e e e e =+≥=，则12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e =12e e ⋅二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·广东·深圳外国语学校高二期中）已知直线l ：10mx y ++=，(2,1)A ，(0,1)B -，则下列结论错误的是（）A．直线l 恒过定点()0,1B．当1m =时，直线l 的倾斜角为34πC．当0m =时，直线l 的斜率不存在D．当1m =-时，直线l 与直线AB 平行【答案】ACD【解析】对于A，当0x =时，1y =-，直线l 恒过定点()0,1-，故A 错误，对于B，当1m =时，直线的斜率为1-，倾斜角为34π，故B 正确，对于C，当0m =时，直线的斜率为0，故C 错误，对于D，当1m =-时，直线10x y -++=经过(2,1)A ，(0,1)B -两点，故直线l 与直线AB 重合，故D 错误，故选：ACD10．（2022·山西太原·高二阶段练习）已知221:220O x y mx y +-+=e ，222:2410O x y x my +--+=e .则下列说法中，正确的有（）A．若()1,1-在1O 内，则0m <B．当1m =时，1O 与2O 共有两条公切线C．若1O 与2O 存在公共弦，则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D．m ∃∈R ，使得1O 与2O 公共弦的斜率为12【答案】BC【解析】因为221:220O x y mx y +-+=e ，222:2410O x y x my +--+=e ，所以()()2221:11O x m y m -++=+e ，()()2222:124O x y m m -+-=e ，则()1,1O m -，1r ()21,2O m ，22r m =，则0m ≠，由(1,1)-在1O 内，可得221(1)220m +---<，即0m >，所以选项A 错误；当1m =时，1(1,1)O -，1r 2(1,2)O ，22r =，所以(12322O O =∈-+，所以两圆相交，共两条公切线，所以选项B 正确；设两圆的公共弦的端点为1122(,),(,)A x y B x y ，则221111220x y mx y +-+=，2211112410x y x my +--+=，方程相减得()()11222410m x m y -+++-=，同理()()22222410m x m y -+++-=，即公共弦方程为()()242210m x y x y -+++-=，令240,2210,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1,31,6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以定点为11,36⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；公共弦所在直线的斜率为2224m m -+，令221242m m -=+，无解，所以选项D 错误，故选：BC.11．（2022·山东省青岛第五十八中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C EFG -的体积为1B．1AC ⊥平面EFG C．11//A D 平面EFG D．平面EGF 与平面ABCD【答案】AB 【解析】A 选项，111132211121241122222CEFS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=，所以132132C EFGG CEF V V --==⨯⨯=，A 选项正确.建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ，()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2AC A D EF EG =--=-==,110,0AC EG AC EF ⋅=⋅=，所以11,AC EG AC EF ⊥⊥，由于,,EG EF E EG EF ⋂=⊂平面FEG ，所以1AC ⊥平面EFG ，B 选项正确.平面EFG 的一个法向量为()12,2,2AC =--，11140A D AC ⋅=≠，所以11A D 与平面EFG 不平行，C 选项错误.平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，设平面EFG 于平面ABCD 的夹角为θ，则113cos 3AC n AC n θ⋅===⋅，D 选项错误.故选：AB12．（2022·江西抚州·高二阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（）A．2p =B．PQ 的最小值为4C．2||MN PF QF为定值12D．PKF QKF∠∠=【答案】ABD【解析】对于A，因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -，所以12p=，则2p =，故A 正确；对于B ，抛物线2:4C y x =，过焦点的直线为1x my =+，则214x my y x =+⎧⎨=⎩，整理可得2440y my --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，可得124y y m +=，124y y ⋅=-，21212()242x x m y y m +=++=+，221212116y y x x ==所以212244PQ x x m =++=+，当0m =时取等号，||PQ 最小值为4，所以B 正确；对于C，12MN y y =-===121,1,PF x QF x =+=+所以()()212121211144,PF QF x x x x x x m ⋅=++=+++=+所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确；对于D，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+，()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQy y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）过点()1,1-且与直线2360x y +-=垂直的直线方程为___________.【答案】3250x y --=【解析】直线2360x y +-=的斜率为23-，故所求直线方程为()3112y x +=-，即3250x y --=.14．（2022·安徽·蒙城第一中学高二期中）已知A ，B ，C ，D 四点共面，点P ∉平面ABCD ，若2PA mPB BC BD =++，则实数m 的值为_________．【答案】1【解析】依题意，()22232PA mPB BC BD mPB PC PB PD PB m PB PC PD =++=+-+-=-++则()3211m -++=，解得1m =15．（2022·重庆市永川北山中学校高二阶段练习）曲线1C ：2220x y x ++=与2C ：22480x y x y m +--+=恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为_____________．【答案】()4,20【解析】圆1C :2220x y x ++=，即()2211x y ++=，其圆心()11,0C -，半径11r =圆2C :22480x y x y m +--+=，即()()222420x y m -+-=-，其圆心()22,4C ，半径2r =200m ->，即20m <两圆圆心的距离125C C ==若两圆有4条公切线，则两圆外离，必有51>+4m >则m 的取值范围为()4,20.16．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，若M ，N 分别是圆22(3)2x y ++=和22(3)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最大值为________．【答案】11+【解析】由题,设圆22(3)2x y ++=和圆22(3)1x y -+=的圆心分别为,A B ,半径分别为12,r r .则椭圆2212516x y +=的焦点为()(),3,03,0A B -.又1PA r PM +≥,2PB r PN +≥.故12PM PN PA PB r r +≤+++,当且仅当,M N 分别在,PA PB 的延长线上时取等号.此时最大值为12111PA PB r r +++==+四、解答题：本小题共6小题，共70分。
高二数学圆锥曲线试题及答案解析
椭圆1. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP + 为（ ） A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C 解析: 设直线方程为 kx y =,解出2OP ,写出2OQ2. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )A. a b 22B. b a 22C. a c 22D. bc 22答案: A3. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（ ）A ． 32 B. 22C. 21D. 32答案: D4. 过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤答案: D 解析: 用弦长公式5. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( )A213- B 215- C 215- D 23答案: B6. 椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为 (0,)a -成立的充要条件为( )A 10<<A B122<<a C 122<≤a D.220<<a 答案: C 解析: 构造二次函数.7. 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A )53,55(B )55,52(C )53,52(D )55,0(答案: A 解析: 解齐次不等式:a c bb <+<2,变形两边平方.8. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1(D ]2,1(答案: D解析: 焦三角形AFO,如图:θθθ,cos sin +=+acb 为锐角.转化为三角函数问题. 9. P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若βα=∠=∠1221,F PF F PF ,则βαβαsin sin )sin(++=e解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.10.(2000全国高考) 椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 5353<<-x 解析: 焦半径公式. 11. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 25)62(22=-+y x 12. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为13- 解析: 同填空(1)13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为 21解析: 求b a , R c R b R a R a 33,,332,230cos 2===∴= 14. 如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 2612+ 解析: 三角代换. 16. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2=)(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b 所求方程为1422=+y x17.已知曲线0444222=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C.① 求曲线C 的方程;②过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间,设MN DM λ=,求实数λ的取值范围.解:① 由已知设点P(),00y x 满足1)1(2)2(2020=+++y x ,点P 的对应点Q(),y x 则⎩⎨⎧=-=-1200y y x x 11222=+∴y x . ② 当直线的斜率不存在时,)1,0(),1,0(-N M ,此时21=λ; 当直线的斜率存在时,设ｌ:2+=kx y 代入椭圆方程得:068)12(22=+++kx x k 0)12(246422>+-=∆k k 得232>k 设),(),,(2211y x N y x M ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+126128221221k x x k k x x , MN DM λ=)(121x x x -=∴λ又,12121x x x x x -=∴≠λ 则λλ+=121x x . λλλλ+++=+∴111221x x x x . 又2)12(3322)12(3322222122211221-+=-+=+=+∴k k k x x x x x x x x由232>k ,得316)12(33242<+<k,即31021221<+<∴x x x x 即310112<+++<∴λλλλ,又210>∴>λλ 综上:),21[∞+∈λ双曲线1. 已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )A. 24B. 8C. 22D. 随α的大小变化答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解2. 过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条答案: D 解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.3. 直线531+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个.答案: D解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.4. P 为双曲线12222=-by a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系为( )A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 无公共点或相交.答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 已知是双曲线1322=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为( ) A. 2 B.23 C. 1 D. 21答案: C 解析:23,0=+>mm m6. 设)4,0(πθ∈,则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围是 ( )A. )21,0( B. )22,21( C. ),2(∞+ D. )2,22(答案: C 解析: θθθθ2cot 1tan cot tan +=+=e7. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F , 则21F PF ∆的面积为 ( )A. 1B.25C. 2D. 5答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组.8. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时, 21PF PF ⋅的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 21D. 2 答案: A解析: 不妨设,p x ,0>p y 由511221=∴=⋅⋅p p y y c , )55,5302(P )55,53025(1---=∴PF , )55,53025(2--=PF ,021=⋅∴PF 9.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 31610. 双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为59=x ,则双曲线方程为116922=-y x 解析: 可设双曲线方程为:116922=-λλy x ()0>λ 11. 设双曲线)0(,12222b a b y a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过点)0,(a ,),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 43,则双曲线的离心率为 2 解析: 由2>∴<e b a 12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆1722=+y x 相交于A(4, -1),若此圆在点A 的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 2551622=-y x解析:设双曲线方程为: ,12222±=-by a x 4=a b ,再用待定系数法.13. 直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是 21<<k 解析: 用判别式和韦达定理14. 21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足3221=⋅PF PF , 则=∠21PF F 90 解析: 列方程组解.15. 以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,与相应准线l 有两个不同的交点,求证: ①这圆锥曲线一定是双曲线;②对于同一双曲线,l 截得圆弧的度数为定值. 解:①如图:ST QH ⊥, QH AB 2> ，eABe BF e AF BB AA QH =+=+=112 1>∴e 所以圆锥曲线为双曲线. ②eAB BB AA QF QH QS QH SQH 122cos 11=+===∠为定值所以弧ST 的度数为定值.16. M 为双曲线)0(,12222>>=-b a by a x 上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求2cot2tanβα⋅的值.解:αββααβsin sin )sin(2sin sin 2121--=+==r r cr r 2sin2sinsin sin )sin(βααββα-+=-+=∴a c2sin2cos)(2cos2sin)(βαβαa c a c -=+∴, ac ac +-=⋅∴2cot2tanβα17.(2000全国高考)已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围. 解:如图建系:设双曲线方程为: 12222=-by a x则B(c,0), C(),2h c,A(-c,0) )1,)1(22(λλλλ++-∴hc E ,代入双曲线方程得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⋅+-⋅=-⋅22222222222222)1()1(4)2(4b a b a c b b a h a c b λλλλ, ]43,32[,1122∈-+=∴λλλe107≤≤∴e抛物线1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点.2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22= )200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 ( )A. 10≤<rB. 10<≤rC. 10≤<rD. 20<<r 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(t y t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题.3. 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是()(A)2a (B) 2p (C) 2p a + (D) 2p a - 答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短.4. 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A. 4B. 2C. 41D. 21答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a 5. (2000全国高考)过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp 11+等于( ) A. a 2 B.a 21 C. a 4 D. a4 答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,6. 设抛物线)0(22>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( )A. QEF FEP ∠>∠B. QEF FEP ∠<∠C. QEF FEP ∠=∠D. 不确定 答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得221p y y -=(重要结论),进而得出Q E PE k k =7. 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A. ]3,(--∞B. ),1[∞+C. [-3, -1]D. ),1[]3,(∞+--∞ 答案: D 解析: 均值不等式8. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A.45 B.60 C.90 D.120答案: C解析: 如图, ),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线 所以22112212221,221221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA9. 一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 )0(0)0(82<=≥=x y x x y 或 解析: 用抛物线定义.10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,22-=-= 解析: 考虑两种可能. 11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为 24米 解析: 坐标法12. 以椭圆1162522=+y x 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则=AB 3100解析: 略 13. 设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标为)0,2(p解析: 设直线方程为 kx y =,解出A 点坐标,再写出B 点坐标;写出直线方程. 14. 抛物线x y =2的焦点弦AB,求∙的值.解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PC BP=,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程， 并说明该轨迹是什么图形.解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PC BP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k k k k k y --------------------①又k x y =-200代入①式得4400+=x y -----------------------------------------②由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y , 36443644+<<-y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x (36443644+<<-y 且4≠y ) 16. 已知抛物线)0(22>=p px y ,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程;②求ABS ∆面积的最大值.解析: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++ 又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2所以 ),24(kp p M - 依题意1624-=⋅--k p k p, 4=∴p 抛物线方程为 x y 82=②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB 令0=y 得20412y x K -=又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 016222002=-+-y y y y)162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS 6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS轨迹与轨迹方程1. 与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).A. y 2=8xB. y 2=8x (x >0) 和 y =0C. x 2=8y (y >0)D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0) 答案: D解析: 设所求圆的圆心为),(y x O , 已知圆圆心)2,0('O , 半径为2, 则y OO +=2'或O 点在y 轴负半轴.2. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离比它到直线x =8的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为 ( ). A. y 2=16(x -5) B. x 2=16(y -5)C. x 2=-16(y -5)D. y 2=-16(x -5) 答案: D解析: 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离等于它到直线x =9的距离. 所以动点M 的轨迹是以点F (1,0)为焦点, 直线x =9为准线的的抛物线.3. 3=, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, 3231+=则动点P 的轨迹方程是( ). A. 1422=+y x B. 1422=+y x C. 1922=+y x D. 1922=+y x 答案: A解析: 由OB OA OP 3231+=知: P 点是AB 的三等分点(靠近B ), 设P (x ,y ), 则)0,23(),3,0(x B y A , 3=, 由距离公式即得.4. A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 答案: C解析: 向量)21(2)2(+=+λλ与BC 边中线的向量是平行向量, )2(BC AB OA OP ++=λ, 则点P 在BC 边中线上. 5. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 且2121F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ). A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段答案: D解析: ,22121==+F F PF PF 作图可知点P 的轨迹为线段.6. 已知点P (x ,y )对应的复数z 满足1=z , 则点Q (x +y ,xy )的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B解析: 设),(Y X Q , 则,12,,222=-=+==+=Y X y x z xy Y y x X122+=∴Y X , ]1,1[],1,1[-∈-∈y x , ∴轨迹为抛物线的一部分.7. 已知△ABC 的两个顶点A 、B 分别是椭圆192522=+y x 的左、右焦点, 三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 21sin sin =-, 则顶点C 的轨迹方程是( ). A.112422=-y x B. 112422=-y x (x <0) C. 112422=-y x (x .<-2 ) D. 112422=+y x 答案: C解析: 821),0,4(),0,4(==+∴-c b a B A , 点C 的轨迹是以A 、B 为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C 与A 、B 不共线.8. 抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B解析: 设焦点坐标为M (x ,y ), 顶点)45,21(----m m , 0122,14145,21=--∴--=+--=--=∴y x m m y m x . 9. 点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是)0(149322≠=+x y x 解析:设y n x m ny m x n m P F F y x G 3,3,311,3),(),1,0(),1,0(),,(21==∴+-==-则, 代入14322=+y x 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆14922=+y x 内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是149)1(22=+-y x 解析: 设N (x ,y ), 动弦AB 方程为)2(-=x k y , 与14922=+y x 联立, 消去y 得: 2222222948,9418,0363636)94(k ky k k x k x k x k +-=+=∴=-+-+, 消参即得.11. 直线l 1: x -2y +3=0, l 2: 2x -y -3=0, 动圆C 与l 1、l 2都相交, 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C的轨迹方程是160)3(60)3(22=---y x 解析: 设C (x ,y ), 点C 到21,l l 距离分别为532,532--+-y x y x , 5)32(85)32(102222--+=+-+∴y x y x , 化简即得. 12. 点P 是曲线f (x , y )=0上的动点, 定点Q (1,1), 2-=,则点M 的轨迹方程是0)23,23(=--y x f 解析: 设),,(),,(n m P y x M 则:23,23),1,1(2),(-=-=∴---=--y n x m y x y n x m , 代入f (x , y )=0即得. 13. 已知圆的方程为x 2+y 2=4, 动抛物线过点A (-1,0), B (1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是)0(13422≠=+y y x 解析: 设抛物线焦点为F , 过A 、B 、O 作准线的垂线111,,OO BB AA , 则42111==+OO BB AA , 由抛物线定义得: FB FA BB AA +=+11,4=+∴FB FA , 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点) 14. 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, //, 1=⋅, 求Q 点的轨迹方程. 解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由// 得: x ay =, 即 y x a =, 由1=⋅得: 1=+y ax , 将yxa =代入得: y y x =+22, 且0>y .∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x .15. 半径为R 的圆过原点O , 圆与x 轴的另一个交点为A , 构造平行四边形OABC , 其中BC 为圆在x 轴上方的一条切线, C 为切点, 当圆心运动时, 求B 点的轨迹方程. 解: 设圆心为M (x 0, y 0), B (x ,y ), 则),,(),0,2(000R y x C x A +CB OA = ,30x x =∴ 又 BC 为圆的切线,得: R y y +=0, R OM R y y x x =-==∴ 00,3, )0()(922222020≠=-+∴=+∴x R R y x Ry x直线与圆锥曲线（1）1．若倾角为4π的直线通过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（ ）（A （B ）8 （C ）16 （D ）（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）【答案】（B ）【解析】由条件，过焦点的直线为1y x =-代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得128MN x x p =++=2．直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22x y m -=的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是（ ）（A ）01m << （B ）1m >- （C ）0m < （D ）10m -<< （目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置） 【答案】（D ） 【解析】将直线10x y --=代入双曲线22x y m -=求得12m y -=，则有12m y -=(1,1)∈-13m ∴-<<同理亦得31m -<<，又对实轴在y 轴上的双曲线有0m <，故10m -<<。
(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)
一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝ ＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已 知 椭 圆 与 双 曲 线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2， 令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α）， 则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝ 时， 的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点，，直线上有两个动点，始终使，三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意设，的外心为，则有即，又由得即，将代入化简得即，在中，由余弦定理可得即展开整理得即也就是，将、代入可得，整理可得，即的外心轨迹方程为设，则即，而又，所以所以，故选C.【考点】1.动点的轨迹；2.直线的斜率；3.两角和的正切公式.2.若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等，则P的轨迹方程为 () A．B．C．D．【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，条件为以为焦点的抛物线，所以轨迹为.【考点】抛物线的定义.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为 .【答案】.【解析】如图，由抛物线的定义可知：,∴；根据内错角相等知；同理可证而,∴.【考点】抛物线的定义.4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 2，【解析】(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.(Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，即直线经过椭圆焦点。
又知，（i）当斜率为零或不存在时，（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为所以：直线方程为：。
苏教版数学高二-2.1圆锥曲线测试
一、选择题(每小题6分，共48分)1．设F1，F2是椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()．A．12B．23C．34D．452．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x3．已知双曲线222=14x yb-的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()．A B．C．3 D．54．设F1，F2是双曲线22124yx-=的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．B．C．24 D．485．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()．A．64 B．32C．16 D．46．以椭圆22=1164x y+内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为()．A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0 C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝07．已知双曲线2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A．22=154x y-B．22=145x y-C．22=136x y-D．22=163x y-8．若F1，F2是椭圆2214xy+=的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|12PF PF⋅|的最大值是()．A．4 B．5C．2 D．1二、填空题(每小题6分，共18分)9．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于49-，则顶点C的轨迹方程是____________________．10．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝则焦点F到直线AB的距离为______．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为，求抛物线的标准方程．13．(10分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为2b．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．14．(14分)设椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足||k>．参考答案1答案：C 解析：设直线32a x =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝32a c -，故cos 60°＝2231222a c F M PF c -==， 解得34c a =，故离心率34e =． 2答案：B 解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为2p x =-， ∴22p -=-，解得p ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ．3答案：A 解析：由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32p c ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==． 4答案：C 解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24，故选C ． 5答案：C 解析：由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为1k-． 从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩解得M 的横坐标124x k =．同理可得N 的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16．6答案：D 解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则有221122221,164 1.164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得21212121()()()()164x x x x y y y y +++-=-， 即212121214()16()y y x x x x y y -+=--+． 而AB 的中点为M (1,1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又k AB ＝2121y y x x --，所以k AB ＝4211624⨯-=-⨯， 于是弦AB 所在直线的方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0． 7答案：A 解析：由题意得2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的方程为b y x a=±，即bx ±ay ＝0．又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，∴a 2＋b 2＝32＝9，解得a 2＝5，b 2＝4．∴该双曲线的方程为22=154x y -． 8答案：C 解析：依题意a 2＝4，b 2＝1，c =则F 1(0)，F 20)．设P (x ，y )，则1PF ＝(x ，－y )，2PF ＝x ，－y )．12PF PF ⋅＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－14x 2＝2324x -， 因为点P 在椭圆上，所以－2≤x ≤2，故－2≤34x 2－2≤1，故12PF PF ⋅＝2324x -∈[0,2]， 即12PF PF ⋅的最大值是2．9答案：22=13616x y +(x ≠±6，y ≠0) 解析：设C (x ，y )，则k AC ·k BC ＝4669y y x x ⋅=-+-，整理得4x 2＋9y 2＝144(x ≠±6，y ≠0)．10答案：2 解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝AB ⊥x 轴，得2212A y ==，∴234A A y x ==，∴点F 到直线x ＝3的距离为2． 11答案：22=1168x y + 解析：由椭圆的第一定义可知△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又离心率为2，即2c a =，所以c =a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8， 则椭圆C 的方程为22=1168x y +． 12答案：解：设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)， (x 2，y 2)．由22,4,y mx y x ⎧=⎨=-⎩得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0， 所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，=由m ＝1或m ＝－9．经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x ．13答案：解：由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b =得直线FA 的方程为x ae +-，0ey -+=．∵原点O 到直线FA的距离为2=a =2e =． 答案：解：设椭圆C 的左焦点F ,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有001,2220,22x a y =⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得010x a =，05y =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴22+=4105a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14答案：解：设椭圆C 的左焦点F ,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有001,2220,22x a y =⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得010x a =，05y =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴22+=4105a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意，有220022=1x y a b+．① 由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a =-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0． 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率e =． 答案：解：证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0， 于是0221a x k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝2244a k b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||k(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有2220022=1x k x a b+． 因为a ＞b ＞0，kx 0≠0， 所以2220022<1x k x a a+，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是x 0＝221a k-+． 代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3，所以||k >。
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《圆锥曲线》选修单元测试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知椭圆方程
19
25
2
2
=+
y
x
，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是
MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）
（A ）2
（B ）4
（C ）8
（D ）
2
3
2、从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120º，那么此椭圆的离心率为（ ）
（A ）
2
2
（B ）3
3 （C ）
2
1 （D ）
3
6
3、设P 是椭圆
116
252
2
=+y
x
上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30º，则ΔPF 1F 2
的面积为（ ） （A ）
3
316 （B ）)
32(16-
（C ）)
32(16+
（D ）16
4、设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1-k ）x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ） （A ）长轴在y 轴上的椭圆 （B ）长轴在x 轴上的椭圆
（C ）实轴在y 轴上的双曲线 （D ）实轴在x 轴上的双曲线
5、设F 1、F 2是双曲线
14
2
2
=-y
x
的两个焦点，点P
在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90
º则△F 1PF 2的面积是（ ） （A ）1
（B ）
2
5
（C ）2
（D ）5
6、到定点(7, 0)和定直线x =
77
16的距离之比为
4
7的动点轨迹方程是（ ）。
（A ）
9x
2
＋
16
y
2
=1 （B ）
16
x
2
＋
9
y
2
=1 （C ）
8
x
2
＋y 2
=1 （D ）x 2
＋
8
y
2
=1
7、若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在3x-4y-12=0上那么抛物线的方程为（ ）
（A ）y 2=16x （B ）y 2=-16x ； （C ）y 2=12x ； （D ）y 2=-12x ；
8、抛物线3y 2
-6y +x =0的焦点到准线的距离是（ ）
（A ）
12
1 （B ）
6
1 （C ）3
1
（D ）
24
1
9、命题甲：“双曲线C 的方程为
x a
y b
22
22
1-=”
，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y b a
x =±”
，那么甲是乙的-------------------------------（ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
10、曲线
3
sin 2x
2
+θ+
2
sin y
2
-θ=1所表示的图形是（ ）。
（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的双曲线 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的椭圆 11、若双曲线x 2
-y 2
=1右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离是2
，则a+b 的值
为（ ）
（A ）2
1-
（B ）
2
1
（C ）2
12
1或
- （D ）2或-2
12、已知双曲线的两个焦点是椭圆
10
x
2
＋
32y 52
=1的两个顶点，双曲线的两条准线分
别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6
x
2
－
4
y
2=1 （B ）
4
x
2
－6
y 2
=1 （C ）
5
x 2
－
3
y
2
=1 （D ）
3x
2
－
5
y
2
=1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1、 双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点是（0，3），那么k 的值为 。
2、 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。
3、椭圆
x
y
2
2
25
16
1+
=关于抛物线y 2 = -4x 的准线l 对称的椭圆方程是________。
4、关于曲线x 3 - y 3 + 9x 2y + 9xy 2 = 0，有下列命题：①曲线关于原点对称；
②曲线关于x 轴对称；③曲线关于y 轴对称；④曲线关于直线y = x 对称；其中正确命题的序号是________。
二、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
） 1、（10分）直线l ：y = mx + 1，双曲线C ：3x 2 - y 2 = 1，问是否存在m 的值，使l 与C 相交于A , B 两点，且以AB 为直径的圆过原点
2、（12分）直线l 过点M (1, 1), 与椭圆16
x
2
＋
4
y
2
=1交于P ,Q 两点，已知线段PQ
的中点横坐标为2
1, 求直线l 的方程。
3、（14分）已知椭圆的两焦点为F 1（0，-1）、F 2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。
（1）求椭圆方程；
（2）设点P 在椭圆上，且121=-PF PF ，求tan ∠F 1PF 2的值。
4、（14分）
某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米。
在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是米?
5、（12分）过抛物线y 2=4ax （a ＞0）的焦点F ，作互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，
求CD AB +的最大值。
6、（12分）将曲线2log log 22=+y x 沿x 、y 轴-分别向右平移两个单位，向上平移
一个单位，此时直线x+y+a =0与此曲线仅有一个公共点，求实数a 的值。
答案 1、 B 2、 D 3、 B 4、 C 5、 A 6、 D 7、 B 8、 C 9、 C 10、 C 11、 B 12、 C 1、1462
2
=+
y
x
2、
175
25
2
2
=+
y
x
3、k=-1
4、2
221e e
1、 x 2+y 2-12x-4y+32=0、x 2+y 2-12x+28y+32=0
2、 12322
2
=+
y x
3、
14
3
2
2
=+
y
x
、
3
4
4、 y=2x ±2
5、 16a
6、 a=-7
5、（12分）过抛物线y 2=4ax （a ＞0）的焦点F ，作互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ，
求CD AB +的最大值。
6、（12分）将曲线2log log 22=+y x 沿x 、y 轴-分别向右平移两个单位，向上平移
一个单位，此时直线x+y+a =0与此曲线仅有一个公共点，求实数a 的值。