第3章_线性方程组习题解答
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习题3
3-1．求下列齐次线性方程组的通解：
（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=144072021
1873153211A
)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−
， 与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=+02702
11
z y z x ， 即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=z y z x 272
11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系
T
)1,2
7,211(--
=ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2
7,211(T
k k --
=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=++++0
86530543207224321
432154321x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A
)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201
)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧==+=++00
025
42431x x x x x x ， 即
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=--=025
4
2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T
，得到方程组的一个基础解系
T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0
74242043624020354321543214
3215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．
解 对系数矩阵施行行初等变换，得
11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
11031022210003100000--⎛⎫
⎪
- ⎪
−−→
⎪
- ⎪
⎪⎝
⎭
)(阶梯形矩阵B =
)(000003110006501106701
1
行最简形矩阵C =⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛----−→−，
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=-=--=-+03106506
75453
2531
x x x x x x x x ， 即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=+=+-=54532531
31656
7x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）
， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T
，得到方程组的一个基础解系
T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,3
1
,0,65,67(2=ξ，
所以，方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )1,3
1
,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．
3-2．当λ取何值时，方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？
解 原方程组等价于
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
067
1
743134=-----λ
λλ，
即
0)756(2=-+λλλ，
从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．
3-3．求解下列非齐次线性方程组：
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=-+-=++-5
5212124321
43214321x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵A 施行行初等变换
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，
因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换
B ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-−→−
000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎩⎨
⎧==+-1
24321x x x x , 即
⎩⎨
⎧=-=124
3
21x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T
T x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解
T )1,0,0,0(0=η，
对应的齐次方程组（即导出方程组）为
⎩⎨
⎧=-=0
243
21x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T
，得到对应齐次方程组的一个基础解系
T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,
方程组的通解为
0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，