第三章 线性方程组 习题课(7)总16

方
阵化为各行首非零元为1，所
程
在列其余元素为零的矩阵
组
求
Step4.选择自由未知量，基本未 知量
怎样选择？
解
过
Step5.写出同解方程
程
Step6.求出基础解系
怎样求？
Step7.写出通解
2、非齐次线性方程组解的结构
（1）如果 u1 是 Ax b的一个解，v1 是其导出组
性 质
的一个解，则u1 v1 是 Ax b的一个解; （2）如果 u1，u2 是 Ax b的两个解，
的线性无关
s
部分组，则它是极大无关组
1，，s中的每一个向量都可由 j1，， jr 线性
表示。
定理9 : A为m n矩阵，r( A) r A的列（行）秩为 r
推论 : 矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩， 即为矩阵A的秩.
结论：
如
果
j1
,
,
jr
是
向
量
组1，，
的
s
极
大
无
关 组 ， 则 初 等 变 换 后 相应 的 j1 ,, jr 是 向 量 组
第三章 线性方程组习题课
一、本章的主要内容回顾：向线量性的方线程性组关系
（一）向量及向量组的有关定义
定义1：n个数组成的有序数组称为n维向量
= ( a1, a2, …, an )
b1 b2 bn
(b1 ,
b2 ,
,
bn )T
定义2：对于给定的n
维向量
，
1，,
，
s
如果存在一组数k1,, ks，使关系式
定理2：m维列向量组1，，
线性相关
n
以1，，
为列向量的矩阵的秩小于
n
向量的个数 n
向
量
组1
n
线 线
性 性
相 无
关, 关
当r(1 ，当r(1
n n
) )
n n
推 论1：设n个n维 向 量 组 j (a1 j ,, anj )
( j 1,, n)， a11 a1n
则 向 量 组 线 性 相 关 0 an1 ann
方
在列其余元素为零的矩阵
程 Step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组 组
求
Step5.求出非齐次线性方程组的特解
解
怎样求？
过
Step6.写出齐次线性方程组的同解方程组
程
Step7.求出齐次线性方程组的通解
Step8.写出非齐次线性方程组的通解
第三章主要的问题类型：
1、围绕向量组的线性相关性 （判别相关性或证明相关性）
i 1,, m也 线 性 无 关.
推论 :若n维向量组1 ,2 ,,m线性相关，
则每个向量去掉k个分量(k n)后 得到的n k维向量组也线性相关.
定 理4：向 量组1，,m (m 2)线 性相 关
1，,
中
m
至
少
有
一
个
向
量
是
其余
m 1个向量的线性组合。
定
理5：如
果
向
量
组
，
1
,
m，线
性
相
关
量的个数,称为向量组的秩，记为r(1,,s ).
1）规定 : 零向量组的秩为0;
2）矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；
3）矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.
（二）向量线性关系的有关重要定理
定理1:
设及向量组1，,
是同维
n
的列（行）向量，则向量可由列（行）
向量组1，,
线性表示
n
矩阵(1 n )与矩阵(1 n )有相同的秩.
k11 ks s
成立，则称向量
是向量组
1，,
的
s
线性组合或称向量可由
1，,
线性
s
表示。
定义3： 对于向量组1，，s ,如果
存在一组不全为零的数k1,, ks使得
关系式 k11 kss 0 (a)
成立,
则称向量组1，，
线性相关；
s
如果(a)当且仅当在k1 ks 0
时成立, 则称向量组1，， s线性无关.
2、围绕向量组秩及极大线性无关组 （ 求秩及极大线性无关组，或有关秩的证明）
例5. 设
1
0
3
1
2
1
2 4
1，
2
3 12
,
3
0 174
,
4
2 0
1,
5
156 ,
求向量组的秩及一个极大线性无关组。
1
1 1
例6.求向量组1
1 1k
，2
1 1k
,3
2
11
的秩及极大线性无关组。
定义4：设有两个向量组 :
1，,s ( A);
1，, t (B)
如果组( A)中每个向量都可由组(B)线性表示，
则称向量组( A)可由向量组(B)线性表示
定义5：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表 示，而向量组（B）也可由向量组（A）线性表示， 则称向量组（A）与向量组（B）等价 记作： (A)∽(B)
解线性方程组的步骤：
用初等变换化方程组的增广矩阵为
阶梯型矩阵，根据dr1 0或dr1 0判别 方程组是否有解
（1）如dr1 0，则方程组无解； （2）如dr1 0，则方程组有解, 且 :
如r( A) r( A B) n,则方程组有唯一解； 如r( A) n，则方程组有无穷多解。
（四） 线性方程组的解的结构
1
,,
的
s
极
大
无
关
组
。
向量组的秩及极大无关组的求法： 将向量组合成矩阵，进行初等行
变换得到阶梯阵，非零行的行数为向 量组的秩，主元所对应的列向量组为 极大线性无关组。
(三） 线性方程组的消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 aam211xx11aa2m2x2 x2 2aa2nmxn nxnb2bm
例7.A为n阶方阵，如A2 I，则 r(A I) r(A I) n
例8. 设Amn的秩为n，n维列向量组
1,,l (l n)线性无关，证明：
向
量
组A1
,
,
A
的
l
秩为l，
即
该
向量组线性无关。
3、线性方程组解的结构 求解齐次、非齐次线性方程组的通解或
基础解系；讨论解的存在性；利用解的结构的 相关知识的证明问题。
作业：见附页
1 1 5
例1.
设1
1
,
2
3
,
3
3，讨论该
0
1
t
向量组的相关性。
例2.1, 2, 3线性无关，＝1＋2＋3,
证明－1,－2
－
也线性无关。
3
例3. Anm , Bmn且n m, 若AB In , 证明B的列向量组线性无关。
例4. 已知i ,i 1,2,3,4,5线性无关， i i tii1, ti是实数, i 1,2,3， 证明i , i 1,2,3,4线性无关
向量组（B）可由向量组 ( A)线性表示， 如果s t，则向量组 (B)线性相关
推论1：如果向量组（B）可由向量组（A）线性表示； 且向量组（B）线性无关，则t≤s。
推论2：如果向量组（A）与 （B）可互相线性表示, 且 向量组(A)(B)都线性无关，则t＝s。
定理8 :
如果
j1，，
jr
是
1，，
如果 v1 , v2，, vnr 为齐次线性方程组的基础解系，
则其任意线性组合 k1v1 k2v2 knrvnr
(k1 , k2，, knwenku.baidu.com为常数）
称为齐次线性方程组（1）的通解。
step1. 系数矩阵经初等行变
齐
换，化为阶梯形矩阵
次
线
Step2. 用秩讨论方程组的解
性
Step3.（无穷解时） 进一步将矩
例9 :
求4x1x1xx2 2
2x4 x3 x4
6, 1
3 x1 x2 x3 3
方程组的基础解系及通解。
例10.讨论为何值时方程组：
x12x12x2x2
x3 x3
2,
x1
x2
2 x3
2
有解并求通解。
例11.讨论为何值时方程组：
x1 x2 x3 －3
x1
x2
x3
2
x1
，
而1，,m线 性无 关， 则 向量一 定可 由
向 量组1，,m线 性表 示且 表 示法 唯一。
定理6：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示， 而向量组（B）又可由向量组（C）线性表示，
则向量组（A）也可由向量组（C）线性表示 （传递性）
定理7 : 设有两个向量组
1，,s ( A) 及 1，, t (B)，
定义6： 设 j1，， jr (r s)是向量组
1，，
的一个线性无关的部分组，
s
如果再从1，，
的其余向量（如果
s
还有的话）中任取一个添加进去，所得
的r 1个向量构成的部分组均线性相关，
则称
j1，，
jr
为向量组
1，，
的一
s
个极大线性无关组,简称极大无关组.
定义7：向量组1，，
的极大无关组所含向
s
补 充 定 理 ： 设m个n维 向 量 组i (ai1 , ai2 ,, ain ),
i 1,, m线 性 无 关 ， 则 在 每 个 向量 上 添 加k个 分 量 （k 1） 后 得 到 的m个n k 维的新的向量组
i (ai1 , ai 2 ,, ain , ai(n1) ,, ai(nk ) )
定理3.1
AX
B有解 r( A)
r(A
r( A) n B)r( A) n
有唯一解 有无穷多解。
对齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
a2n
xn
0
有:
am1x1 am2 x2 amn xn 0
定理3.2 齐次线性方程组AX 0有非零解 r(A) n, n为未知数的个数。
也 是 它 的 解, ki R, i 1,, s.
定 如果 v1, v2 ,, vr 是齐次线性方程组的解向量组 义 （集合）的一个极大线性无关组，则称
v1, v2 ,, vr是齐次线性方程组的一个基础解系
定理1： 设A是m×n矩阵，如果 r(A)=r<n,则齐次线性方程组AX=0 的基础解系存在，且每个基础解系 中含n-r个解向量.
推论2：当向量组中所含向量的个数大于 向量的维数时，该向量组必线性相关
定 理3：如 果 向 量 组 中 有 一 部 分向 量 组
（ 简 称 部 分 组 ） 线 性 相关 ， 则 整 个 向 量
组 必 线 性 相 关 (部分相关
整体相关)
定理3 的等价命题：线性无关的向量组任何 一部分组都线性无关(整体无关 部分无关)
x2
x3
2
有无穷多解并求通解。
例12.设Am3,且r( A) 1,如果非齐次线性
方程组AX
B的三个解向量为1
,
2
,
，
3
且满足
1
0
1
1＋ 2
2,2
3
1，1
3
0
;
3
1
1
求方程组的全部解。
例13.设m×n矩阵B的m个行向量是方程组AX=0 的一个基础解系，P是m阶可逆矩阵， 证明：PB的m个行向量也是AX=0的基础解系
1、齐次线性方程组解的结构
它的解有如下性质：
1）如 果v1 , v2是 线 性 方 程 组 的 两 个 解
则v1
v
也
2
是
它
的
解;
2)如 果v1是 线 性 方 程 组 的 解
则kv1也 是 它 的 解, k R;
3)如 果v1 ,, vs都 是 线 性 方 程 组 的 解
则 其 线 性 组 合k1v1 ksvs
则u1 u2 是其导出组的解.
定理2：如果u1 是 Ax b的一个解， v 是 Ax 0 全部解， 则 u1 v 是Ax b的全部解.
非 step1. 增广矩阵经初等行变换，化为行阶梯形矩阵
齐
次
Step2. 用秩讨论方程组的解
线
Step3.（无穷解时） 进一步将矩
性
阵化为各行首非零元为1，所