线性方程组典型习题及解答

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线性方程组练习题及解析

线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。

解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。

本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。

练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。

将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。

与第二个方程相加，得到9x = 28。

解得x = 28/9。

将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。

因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。

2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。

与第二个方程相加，得到7y = 11。

解得y = 11/7。

将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。

因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。

3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。

与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。

解得x = 25/6。

将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。

因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。

练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。

将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。

与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。

将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。

与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。

线代参考答案(完整版)

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

第3章线性方程组习题答案

即： 1
k 11 2 k 21 k s s1
k 12 k 22 ks2

k1 m 1 k2m 2 k sm m
1 , 2 , , n
记B的行向量，
a i 2 2 a in n
由题2-12的证明可知：
AB的第 i 个行向量= a i 1 1
AB的第 j 个列向量= b1 j A1
b 2 j A 2 b nj A n
则当 A1 , A 2 , , A n 线性无关时，由 AB=0 可知
i (1, t i , t i , , t i
2 n1
) ( i 1, 2 , , r , r n )
线性无关。
证明：将该向量组的向量当成行向量，写成 r n 矩阵形式：
1 1 A 1 t1 t2 tr t1
2 2

t2
11 21 m1 12 22 m2 k2 km 0 , 不含第 i1 , i 2 , , i s 个分量即 k1 1n 2n mn
(2)
(3)
( 1 i k 1 ) 1 ( 2 i k 2 ) 2 ( i 1 i k i 1 ) i 1
( i 1 i k i 1 ) i 1 ( m i k m ) m
r
n1 t2 n1 tr t2
n1
将A左边 r r 的子块记作 A’，求其行列式：

第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组1．设齐次方程组1231231230030x ax x ax x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，求a 及其通解.解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零.2211||1131********a aa a a a ==-+--+=-=-A所以，21a =，即1a =±（1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换111111120111000011113022000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1223200x x x x +=⎧⎨-=⎩, 即 12322x x x x =-⎧⎨=⎩. 取21x =，得1211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为方程组的基础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξTR .（2）当1a =-时，111111110111001001113000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于1230x x x -=⎧⎨=⎩取21x =，得()T21,1,0=ξ为方程组的基础解系.故通解为2(1,1,0),TR k k k ==∈X ξ.2．解齐次方程组（1）12341234123420222020x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩ （2）12341234123412342350327043602470x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩（3）12341234123420510503630x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+--=⎩ （4）12341234123412343457041113160723023320x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪-+-=⎩（1）解：对此线性方程组的系数矩阵进行初等行变换211111211010221201310103112100340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于 132434030340x x x x x x -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩即 1323439434x x x x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩取34x =，得()T4,9,4,3=-ξ为原方程组的基础解系. 故通解为 ,R k k =∈X ξ.（2）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换2315231531271231241361051312471247--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 123121231207729011746028250015015000327----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ||0≠A ，所以此方程组只有零解,即 T(0,0,0,0)=X .（3）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换1211120151015001036130000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A原方程组等价于142320x x x x =-⎧⎨=⎩ 取 2410,.01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT122,1,0,0,1,0,0,1=-=ξξ为方程组的基础解系.所以，原方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.（4）解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，34571789411131617897213017192023322332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A 1789017192000000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于123423478901719200x x x x x x x +-+=⎧⎨-+-=⎩ 即 134234313171719201717x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取 34170,017x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT123,19,17,0,13,20,0,17==--ξξ为方程组的基础解系.故通解为 112212,,k k k k =+∈X ξξR .3．解非齐次方程组（1）1231231232104221138x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ （2）12312312312323438213496245x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=-⎩ （3）1234123412342133344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（1）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换3121031210()42121338113081332--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 133801011340006--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭因为 ()23()r r =≠=A A b所以，此方程组无解.（2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换231412453821307714()41960141428124507714--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A b 12451021011201120000000000000000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原方程组等价于 1323212x x x x +=-⎧⎨-=⎩此方程组对应的导出组的基础解系为()T2,1,1=-ξ此方程组的特解为 ()T01,2,0=-η 故方程组的通解为 0k k =+∈X ξηR .（3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换2111114352()331340759514352015101810---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b 143520759501000--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭103520100000595--⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭原方程组等价于 1342343520595x x x x x x -+=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩即 142342150915x x x x x ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩此方程组对应导出组的基础解系为 ()T2,0,9,5=ξ特解为 ()T01,0,1,0=η 故通解为 0k k =+∈X ξηR .4．求解非齐次方程组（1）1234523451234512345226323054332x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ （2）1234123412341234230264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩（1）解：对此非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换111111111101226012263211300122635433120122625a ab b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 111111111101226012260000030000030000025000001a a b b b a b b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭①当1a ≠，或3b ≠时，方程组无解; ②当1a =且3b =，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 12345234512263x x x x x x x x x ++++=⎧⎨+++=⎩即 13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩取 3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得对应的导出组的基础解系()T 11,2,1,0,0=-ξ，()T 21,2,0,1,0=-ξ，()T35,6,0,0,1=-ξ，()T02,3,0,0,0=-η为特解.故通解为1122330k k k =+++X ξξξη， 123,,k k k ∈R . （2）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换1123011230216410122132710162111610244P P t t --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭11230012210080000002P t -⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭①当2t ≠-时，方程组无解.②当2t =-，8P =-时，方程组有无穷多解.此时，原方程组等价于1234234230221x x x x x x x +-+=⎧⎨++=⎩即 13423441221x x x x x x =--⎧⎨=--+⎩则 ()T14,2,1,0=-ξ，()T21,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解，故通解为1122012,,k k k k =++∈X ξξηR .③ 2t =-，8P ≠-时，方程组有无穷多解此时，原方程组等价于12342343230220(8)0x x x x x x x P x +-+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩即 142431210x x x x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=⎩则 ()T1,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系, ()T01,1,0,0=-η为方程组的一个特解. 故方程组的通解为0k k =+∈X ξηR .5．讨论方程组的解，并求解123123123(3)2(1)23(1)(3)3a x x x a ax a x x aa x ax a x +++=-⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩解：线性方程组的系数矩阵的行列式为312132132||111112323(1)3333333a a a a a a aa a a aa aa a a a a +++=-=-=-----++++++A21320033a aa a a +=----+221120(1)03a a a a a a a +=-=---+令||0=A ，则0a =或1a =（1）0a =时. 线性方程组的增广矩阵为31203120()0110011030330113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b 312001100003⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭因为()23()r r =≠=A Ab所以，此时方程组无解;（2）当1a =时, 41211012()1012012961430000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b方程组等价于1323229x x x x =-+⎧⎨=-⎩，()T1,2,1=-ξ为导出组的基础解系,()T02,9,0=-η为方程组的一个特解. 故通解为0k k =+∈X ξηR .（3）当0a ≠且1a ≠时，方程组有唯一解.2129a x a +=-，222339a a x a ++=，3239a x a +=. 6．设T T11012,,0,,2180⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβγA αβB βα，其中T β是β的转置，求解方程22442=++B A x A x B x γ. 解：将TT T ,,2===A αβB βαβα代入下式得22T TTT4T222=⋅B A x βαβααβαβx αβx = 4TTTT3T2=⋅⋅⋅=A x αβαβαβαβx αβx 442=B x x 由 22442=++B A x A x B x γ 得4T 3T 4222=++x x x γαβαβ3T T32(22)--=αβαβE x γ 3T32(2)-=αβE x γ又 T1101212(10)210211102⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭αβ所以 3110222101122⎛⎫- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭x γ即 12384001680084168-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换84002100202216800012201228416800000000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组等价于 1323122+=-⎧⎨-=⎩x x x x ，即1323122x x x x =--⎧⎨=+⎩，121-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ为导出组的基础解系.0120-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭η为方程组的一个特解. 故通解为 0R k k =+∈X ξη. 7．已知向量组12301,2,1110a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ与向量组1231392,0,6317⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值. 解：因为3β可以由123,,ααα线性表示所以，1233(,,)=X αααβ有解.即 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ1233(,,)αααβ13913920610612123170010203b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭139210126500030b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ所以 1231233(,,)(,,)2r r ==ααααααβ 故50,530bb -==又 123(,,)βββ01101101210310311100003a b a b a b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 因为 123123(,,)(,,)r r =αααβββ所以 03ab -= 315a b ==.8．设向量组12311111,1,1,11111λλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ讨论λ取可值时，β不能由123,,ααα线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα唯一线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα线性表示，且有无穷多种表示形式.解：β是否能由123,,ααα线性表示，也即是非齐次线性方程组123(,,)=αααX β是否有解.321(,,)αααβ211111111111100111101(1)λλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-⎝⎭⎝⎭行2111100003λλλλλλ+⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪---⎝⎭行（1）当0λ=时，123123(,,)(,,)2r r ==ααααααβ，则123(,,)=αααX β有无穷多解. 也即β可由123,,ααα线性表示，并且有无穷多表示方法. 121122312(1),k k k k k k =--++∈βαααR ;（2）3λ=-时，123123(,,)23(,,)r r =≠=ααααααβ，故方程组123(,,)=αααX β无解，也即β不能由123,,ααα线性表示;（3）0,3λλ≠≠-时，123123(,,)(,,)r r =ααααααβ，则方程组123(,,)=αααX β有唯一解. 即β可由123,,ααα唯一线性表示.13λ=+β123(,,)ααα. 9．设四阶方阵A 的秩为2，且(1,2,3,4)i i ==A ηb ，其中122334112112,,012002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηηηηη 求非齐次方程组=AX b 的通解.解：因为()2r =A ，故非齐次线性方程组=AX b 的导出组的基础解系含有2个向量又 1231202()()10⎛⎫ ⎪- ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη，2342313()()12⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξηηηη为=AX b 对应导出组的2个线性无关的解向量，即12,ξξ是=AX b 导出组的基础解系0121()2=+ηηη是=AX b 的一个解.故=AX b 的通解为1122012,k k k k =++∈X ξξηR . 10．已知方程组（I ）的通解为1212(0,1,1,0)(1,2,2,1),k k k k =+-∈X T TR设方程组（II ）为 122400x x x x +=⎧⎨-=⎩问方程组（I ）、（II ）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解. 解：由题意，（I ）的通解为212121212201212,21201R k k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪=+=∈ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X将X 的表达式代入方程组（II ）得2121222020k k k k k k -++=⎧⎨+-=⎩ 即 12k k =-所以（I ）和（II ）有公共解，并且公共解为()()11,,,1,1,1,1k k k k k k =---=---∈X T TR .11．设四元齐次方程组（I ）为123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩ 且已知另一四元齐次方程组（II ）的一个基础解系为T1(2,1,2,1)a =-+α，T 2(1,2,4,8)a =-+α，（1）求方程组（I ）的一个基础解系（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解：（1）方程组（I ）123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩显然，系数矩阵的秩为2. 对（I ）的系数阵进行初等行变换2310231012113501--⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组（I ）与1231242335x x x x x x +=⎧⎨+=⎩等价取 1210,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 ()()TT121,0,2,3,0,1,3,5==ββ为（I ）的一个基础解系.（2）若（I ）、（II ）有非零公共解，即存在不全为0的数1234,,,x x x x ，使11223142x x x x +=+ββαα （*）即 12121234(,,,)0x x x x ⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ββαα有非零解故 1212(,,,)4r --<ββαα. 1212(,,,)ββαα10211021112011223240326351805511a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭行1021011200100001a a -⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪+ ⎪⎪+⎝⎭行所以 1a =-时，方程组有非零解此时 1342342020x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩即 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩所以 ()()T T122,1,1,0,1,2,0,1=-=-ξξ为（*）的基础解系.将12,ξξ表示式代入（*）得（I ）、（II ）的全部解为()()TT122,1,1,11,2,4,7k k =-+-X （12,k k 为不同时为0的常数）.12．设112224336⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求一秩为2的矩阵B ，使.=AB 0解：先求=AX 0的基础解系112112224000336000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A故齐次线性方程组=AX 0等价于12320x x x ++= 1232x x x =--得 ()()TT121,1,0,2,0,1=-=-ξξ为=AX 0的一个基础解系令 121001--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，()2r =B 并且 =AB 0.13．设T 2122(),(,,,)ij n n n a x x x ⨯==A X ，方程组=AX 0的一个基础解系为T 12,2(,,,),1,2,,i i i n b b b i n =，求方程组 1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的通解.解：将题中所求通解的线性方程组记为=BY 0由题意 1112121121121222212222122122220n n n n n n n n n n n n a a a b b b a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 两边取转置1112121121121222212222122122220n n n n n n n n nnn n b b b a a a b b b a a a b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故T A 的每一列为=BY 0的解向量.又 =AX 0的基础解系含有n 个向量，所以，()2r n n n =-=A ，则A 的行向量组线性无关. 又 ()r n =B ，所以，A 的行向量组为=BY 0的基础解系.14．已知4阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=AB β的通解.解：因为234,,ααα线性无关，又123420=-+⋅αααα, 则 ()3r =A . 所以，=AX 0的基础解系只含有1个向量.又 1234200+-+⋅=αααα所以 123412(,,,)100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭αααα 故 ()T1,2,1,0=-ξ为=AX 0的一个基础解系. 又 1234+++=ααααβ则 123411(,,,)11⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααααβ 所以 ()T01,1,1,1=η为=AB β的一个特解故 =AB β的通解为0R k k =+∈X ξη.15．设()ij m n a ⨯=A 的行向量组是某个齐次线性方程组的基础解系. 证明()ij m n b ⨯=B 的行向量组也是该方程组的基础解系⇔存在可逆阵()ij m m p ⨯=P ，使1,1,2,,,1,2,,mij ik kj k b p a i m j n ====∑.解：设m n ⨯A 的行向量组是=CX 0的基础解系，若m n ⨯B 的行向量组也是=CX 0的基础解系, 则A 的行向量组与B 的行向量组等价故存在可逆阵P ，使得 =B PA , 所以 1mij ik kjk b P a==∑ 1,2,,i m =，1,2,,j n =.反之，若存在可逆阵,()ij m m P ⨯=P P ，使得1,1,2,,;1,2,,mij ik kj k b P a i m j n ====∑则=B PA ，故A 的行向量组与B 的行向量组等价.又因为A 的行向量组是=CX 0的基础解系. 所以，B 的行向量组也是=CX 0的基础解系.16.设=AX 0的解都是=BX 0的解，则=AX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=A B . 证：必要性.若=AX 0与=BX 0同解，则=AX 0与=BX 0具有相同的解空间, 即()()=N A N B 故 ()()n r n r -=-A B , 所以()()r r =A B .充分性.设1,,n r -ξξ是=AX 0的基础解系，()r r =A ，因为=AX 0的解都是=BX 0的解. 所以，1,,n r -ξξ是=BX 0的n r -个线性无关的解向量.又()()r r =A B ，所以，=BX 0的基础解系所含向量的个数为 ()()n r n r n r -=-=-B A因此，1,,n r -ξξ为=BX 0的一个基础解系. 故=AX 0与=BX 0同解.17．设A 为m p ⨯阵，B 为p n ⨯阵，证明=ABX 0与=BX 0同解()()r r ⇔=AB B证：必要性.因为=ABX 0与=BX 0同解，所以，=ABX 0与=BX 0有相同的解空间, 即()()=N AB N B 因此()()n r n r -=-AB B , 故()()r r =AB B . 充分性.设1X 是=BX 0的解，1=BX 0. 则1==ABX A 00. 所以，=BX 0的解都是=ABX 0的解.设1,,n r -ξξ是=BX 0的基础解系，()r r =B ，则1,,n r -ξξ也是=ABX 0的线性无关解向量. 并且，=ABX 0的基础解系所含向量的个数为()()n r n r n r -=-=-AB B所以 1,,n r -ξξ为=ABX 0的基础解系，故=ABX 0与=BX 0同解.18．设A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，证明=AX B 有解()()r r ⇔=A B A证：必要性.A 为m n ⨯阵，B 为m p ⨯阵，=AX B ，则X 为n p ⨯阵令 1(,,)p =X X X ，1(,,)p =B b b因为 =AX B 所以 1122,,,p p ===AX b AX b AX b 故 12()()()()p r r r r ===A b A b A b A即矩阵B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示所以 ()()r r =A B A 充分性.若 ()()r r =A B A ，又由1(,,)p =B b b有 ()()()()1,,i r r r r i p ≤≤==A A b A B A所以 ()()1,,i r r i p ==A b A故 12,,,p ===AX b AX b AX b 有解. 设解分别为12,,,p X X X 1212(,,,)(,,,)p p =A X X X b b b即 =AX B 有解.19．设A 为m n ⨯阵，B 为l n ⨯阵，则=AX 0与=BX 0同解⇔()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B证：若=AX 0与=BX 0同解，则⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解.又 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0的解一定是=AX 0的解.由题16， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A A B同理， ()r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B B故 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A A B B .反之，若 ()()r r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B .因为，⎛⎫=⎪⎝⎭A X B 0的解都是=AX 0的解. 所以，由题16，⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=AX 0同解. 又因为⎛⎫= ⎪⎝⎭A X B 0的解都是=BX 0的解，所以 ⎛⎫= ⎪⎝⎭A XB 0与=BX 0同解，故，=AX 0与=BX 0同解.20．设T (),0ij n n a ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭Ab A B b ，其中T 12(,,,)n =b b b b ，若()()r r =A B ，则=AX b 有解.证：因为 ()()()()r r r r ≤≤=A A b B A 所以， ()()r r =A b A故 =AX b 有解.21．设A 为(1)n n ⨯-阵，,()n∈=b R B A b ，若b =AX 有解，则||=B 0. 又当()1r n =-A 时，b =AX 有解||⇔=B 0.证：（1）因为A 为(1)n n ⨯-阵，所以()1n ≤-R A .故()()1r r n n =≤-<A b A又 ()=B A b 为n n ⨯阵，故 ||=B 0.（2）若()1r n =-A ，=AX b 有解，则()()1r r n ==-A b A所以||0=B .反之，若||,()1r n ==-B A 0. 故 ()1r n =-B即 ()()()1r r r n ===-A A b B 所以=AX b 有解.22．若方阵A 的行列式为0，则A 的伴随阵*A 各行成比例. 证：因为||0=A ，所以()1r n ≤-A . （1）若()1r n =-A ，则*()1r =A .故*A 的行向量组的秩为1，不妨设第一行1α为行向量的极大无关组，则剩余行向量均可以由1α线性表示，故各行成比例.（2）若()1r n <-A ，则*()0r =A ，即*=A 0，显然各行成比例.23．设(1)(),()ij n n a r n ⨯+==A A ，则方程组0=AX 的任意两解成比例. 证：因为A 为(1)n n ⨯+阵，()r n =A所以，=AX 0的基础解系所含向量个数为(1)1n n +-=. 设ξ为=AX 0的一个基础解系. 则任意解,R k k =∈X ξ. 所以，任意两解成比例.24．设()ij n n a ⨯=A ，且10,1,2,,nijj ai n ===∑，则A 不可逆.证：由于10nijj a==∑故 111⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0. 所以，()T1,1,,1=X 是=AX 0的解.即齐次线性方程组=AX 0有非零解，故||0=A .25．设A 为n n ⨯实矩阵，若对任意n 维非零列向量X ，均有T0>X AX ，则||0.≠A 证：反证，若||0=A则 =AX 0有非零解设1X 是=AX 0的一个非零解，则1=AX 0T T 11100=⋅=X AX X此与对任意 ≠X 0，T0>X AX 矛盾.26．设A 为（实）反对称阵，D 为对角元全大于0的对角阵，则||0+≠A D ，且还有||0.+>A D证：（1）反证，若||0.+=A D 则 ()+=A D X 0有非零解，设为1X1()+=A D X 0进而 T11()0+=X A D XT T 11110+=X AX X DX因为A 为反对称阵，所以 T110=X AX 故 T110=X DX但 1diag(,,),0n i a a a =>D所T110>X DX ，此为矛盾所以, ||0+≠A D . （2）令()||[0,1]f x x x =+∈A D假设 ||0+<A D .因为 (0)||0f =>D ，(1)||0f =+<A D . 由介值定理存在0(0,1)x ∈使得00()||0f x x =+=A D0001||||0x x x +=+=D A D A 0x D 为对角元全大于0的对角阵. 但由第（1）步 0||0x +≠DA 矛盾. 故||0+>A D . 27．求出平面上n 点(,)(1,2,,(3))i i x y i n n =≥位于一条直线上的充要条件.证：设n 点所共直线为y kx b =+，则关于,k b 的方程组i i y kx b =+ (1,,)i n =有解，从而矩阵12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1122111n n x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，故11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，反之，若 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （1）若12n x x x ==，则此n 点共线.（2）否则，121121n x x r x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，但11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故 11221121nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而 12111n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 1122111nn x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 方程组（未知量为,k b ）1122n nkx b y kx b y kx b y +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 有解，于是n 点共线，故平面上n 点(,)1,,;1,,i i x y i n y n ==共线的充要条件是 11221131nn x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 即 11221131n n x y x y r x y ⎛⎫ ⎪ ⎪< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 28．求出平面内n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充分必要条件. 证：若平面内n 条直线0i i i a x b y c ++=(1,2,,)i n =共点，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，故矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与 111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 反之，若矩阵1122n n a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩相等，则线性方程组 111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 有解，即n 条直线共点.故n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充要条件是矩阵1122nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与111222n n n a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等. 29．设T12(,,,)(1,2,,;)i i i in a a a i r r n ==<α是n 维实向量，且12,,,r ααα线性无关，已知T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组11112212122221122000n n n nr r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的非零解向量，试判断向量组12,,,r ααα，β的线性相关性. 解：设有一组数12,,,,r k k k k 使得11220r r k k k k ++++=αααβ成立，因为T 12(,,,)n b b b ==β是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解，且0≠β，故有T(1,2,,)i i r ==αβ即 T(1,2,,)i i r ==βα于是，由1122T T T T 0r r k k k k ++++=βαβαβαββ得 T0k =ββ，但T0≠ββ，故0k =.从而 11220r r k k k +++=ααα由于向量组12,,,r ααα线性无关，所以有120r k k k ====因此，向量组12,,,,r αααβ线性无关.30．已知向量()()()TTT1231,1,0,2,2,1,1,4,4,5,3,11=-=-=-ηηη，是方程组112334411223442122344324335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解. 求该方程组的通解.解：由已知有()()TT21311,2,1,2,3,6,3,9-=--=-ηηηη是相应的齐次方程组的两个线性无关解.所以，系数矩阵的秩2≤，（因为4()2r -≥A ）.又系数矩阵134242424335a a ab b cc ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭有二阶子式43035≠所以，系数矩阵的秩2≥. 于是，系数矩阵的秩为2.故齐次方程组的基础解系包含2个向量，即2131,--ηηηη是齐次方程组的基础解系. 因此，该方程组的通解为121231112()()(,)R k k k k -+-+∈ηηηηη.31．设12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.证：设有一组01,,,t k k k 得01112()()()0t t k k k k +++++++=ββαβαβα得 0121122()0t t t k k k k k k k ++++++++=βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，向量β不是0=AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以010t k k k +++=因此（1）式变为 11220t t k k k +++=ααα由于1,,t αα线性无关，所以 120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.32．已知齐次方程组（I ）124213224000x x x ax a x ax a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解都满足方程1230x x x ++=，求a 和方程组（I ）的通解.解：（I ）的解都满足1230x x x ++=的充要条件是（I ）与方程组1242132241230000x x x ax a x ax a x x xx ++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩同解，于是该方程组系数矩阵的秩等于方程组（I ）的秩，即22110100001110a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 与 2211010000a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A的秩相等，对,A B 都施以行变换得222110100aa a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 2211010000110002a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 因此，当0a =时，秩()1=≠A 秩()2=B 不满足题意当0a ≠时 1101010001a a a ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭A 1101010001100021a a ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭B 使秩()=A 秩()3=B 的充要条件是12a =，此即12a =为题意所求.把12a =代入方程组（I ）得系数矩阵110011012111000102421100110024⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 所以 14243411,,22x x x x x x =-=-=方程组（I ）的基础解系为 T11(,,1,1)22=--α通解为()R k k =∈X α. 33．设121201101t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，且方程组0=AX 的基础解系中含有两个解向量，求0=AX 的通解.解：因为4,()2n n r =-=A ，所以()2r =A 对A 施行初等行变换得1112121201011010211t t t t t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 2212120100(1)(1)t t t t ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭221012220100(1)(1)tt t t t t --⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪----⎝⎭要使()2r =A ，则必有1t =，此时与0=AX 同解的方程组为13234x x x x x =⎧⎨=--⎩ 得基础解系 ()()TT121,1,1,0,0,1,0,1=-=-ξξ方程组的通解为 112212(,)R k k k k =+∈X ξξ.34．讨论三个平面11111:a x b y c z d π++=，22222:a x b y c z d π++=，33333:a x b y c z d π++=的位置关系解：设111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，111122223333a b c d a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A（1）若()()3r r ==A A ，则三平面交于一点，因为三平面的联立方程组仅有唯一解.（2）若()3,()2r r ==A A ，则三平面不相交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()2r =A ，知A 的3个行向量123,,ααα线性相关，故存在3个不全为零的数，123,,k k k 使得1122330k k k ++=ααα，当123,,k k k 都不为零时，三平面中任意两平面的交线与另一平面平行；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面平行，另一平面与这两平面相交.（3）若()()2r r ==A A ，则三平面相交于一直线，因为此时三平面联立方程组有无穷多解.由于()2r =A ，则A 的3个行向量123,,βββ线性相关. 故存在3个不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ++=βββ，当123,,k k k 均不为零时，三平面互异；当123,,k k k 中有一个为零时，三平面中有两平面相重合.（4）若()2r =A ，()1r =A ，则三平面不交，因为此时三平面的联立方程组无解. 由()1r =A ，故三平面平行，又因为()2r =A ，所以三平面中至少有两个互异. （5）若()()1r r ==A A ，则三平面重合，因为此时三平面的方程实际上是一样的.。

线性方程组习题参考答案

第三章线性方程组习题参考答案P154,1. 用消元法解下来线性方程组.(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++1234321223145354321542154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解:542143313241425152135401135401132211003212121113054312141113074512712111101431213540101431200321200161261200r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫-⎪⎪↔---- ⎪⎪- ⎪⎪↔→-------⎪⎪------ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭----→----434353141013540150143121600121280002122416816000000r r r r r r r -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪⎪→--+⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1100001350121354010143121014312010012001000001000001000100021200011120001100000020000000000⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭方程组的解是 12345121120112x k x k x x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-=--==--=, k 为任意数.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：422332322112032111313291131320334512323452701107839961622500332529711313211313201107830110783003325298003003325297r r r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-↔ ⎪⎪------ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭------⎛⎫ ⎪----⎪→→ ⎪---- ⎪-⎝⎭325298000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭最后一列为(0,0,0,0,0,-1），所以方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3371334424324214324321x x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6210012020031110443215248400353503111044321731370110313111044321141232413r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0100060100300108000101000601003101082001 有唯一解: x 1= -8, x 2=3, x 3=6, x 4=0.(4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=+-=+-+032701613-11402-332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：−−−→−+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−→−---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14122321342292724120191702332987122312-71613-1142-33-275-43r r r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2019170201917020191709871⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000010010000000010987117201719171317317201719 得解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--lx k x x x l k lk 4321172017191713173 (5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：4324131211112111121111322323223232232511210224002240211340224300003r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪+------ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最后一列为（0,0,0,0,3），所以方程组无解.(6) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-+-=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：52324431232212311123111010032111048220112023111015310065122221101120000003 (15520)20000000000r r r r r r r r rr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----↔ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎪ ⎪→---- ⎪ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭511006671010665100166000000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 一般解为 1234156617661566x k x k x k x k⎧+⎪⎪⎪-⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩====, k 为任意数.2. 把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合. (1) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒=+--=-+-=--+=+++41414145112143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 432141414145ααααβ--+= (2) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+++=++010110300024321421424321321x x x x x x x x x x x x x x x x , 即β=α1-α3. 3. 证明：如果向量组α1，α2，…, αr 线性无关，而向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关，则β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证明：因为向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2,,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=.若l =0, 则k 1, ,k r 不全为0，于是存在不全为零的数k 1,,k r 使得011=+r r k k αα 与α1，α2，…,αr 线性无关矛盾. 所以l0，则r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出. 证法 2. 由于向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2,,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=. 若l =0, 则得11220r r k k k ααα++=. 因为向量组α1，α2，…, αr 线性无关，所以021====r k k k . 与k 1, k 2,,k r , l 不全为0矛盾. 所以l 0，这样r s lkl k l kαααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出. 4. 设αi =(a i1,a i2,…,a in ), i=1,2,…,n, 证明如果|a ij |0, 则α1，α2，…, αn 线性无关.证明：设x 1α1+x 2α2++x n αn =0，则11121211212222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为系数行列式()0T i j i j a a =≠，由Cramer 法则, 上面的方程组有唯一解, 即只有零解，得n x x x === 21=0,于是α1,α2,αn 线性无关.5. 设t 1,t 2,…,t r 是互不相同的数(r n)，证明αi =(1, t i , t i 2,…,t i n -1), i=1,2,…,r 线性无关. 证法1：添加t r +1,,t n , 使t 1, t 2,,t r , t r +1,,t n 两两不同, 得向量组αi =(1, t t , t t 2,…,t t n -1) i =1,2,...,n .由于α1,α2,,αn 的分量作成一个Vandermonde 行列式且不等于0，由上一题，α1,α2,,αr ,,αn 线性无关，于是它的任一部分组线性无关. 证法2：因为rn, 所以令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n r n n r t t t t t t A ,则A 的前r 行作成一个r 阶范德蒙行列式B, 从而非零. 于是B 的列向量线性无关, 增加分量后为A 的列向量, 所以A 的列向量也线性无关. 证法3. 设x 1α1+x 2α2++x r αr =0, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r n r n n rr r x t x t x t x t x t x t x x x (1) 考虑(1)的前r 个方程作成的齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r r r r r rr r x t x t x t x t x t x t x x x (2) 因为t 1, t 2,,t r 两两不同, 所以(2)的系数行列式为r 阶Vandermonde 行列式0111||11211211≠=---r r r r r t t t t t t A.于是线性方程组(2)有唯一的零解. 又由于(1)的解都是(2)的解, 而(2)只有零解,所以(1)只有零解. 即r x x x === 21=0,于是α1,α2,αr 线性无关.6. 假设α1, α2，α3线性无关，证明β1=α2+α3，β2=α3+α1，β3=α1+α2线性无关. 证法1：设x 1β1+x 2β2+x 3β3=0，则(x 2+x 3)α1+(x 3+x 1)α2+(x 1+x 2)α3=0由于α1, α2, α3线性无关得：23013012x x x x x x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，该齐次线性方程组只有零解. x 1= x 2=x 3=0，因而β1, β2, β3线性无关.证法2: 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++110011101),,(),,(321133221ααααααααα,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101A 可逆, 所以两个向量组等价. 又已知向量组α1, α2, α3的秩为3，所以后一个向量组的秩也是3，从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关，α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s 的秩为r, 证明向量组A 的任意r 个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组.证明: 设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr , 任取A 中的一个向量β，由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，由条件知向量组 B 线性无关，由临界定理，β可以由向量组B 线性表示，故向量组B 是极大无关组. 证法2. 设A:αj1, αj2,, α jr 是α1,α2,,α s 中的任一个线性无关的向量组, β是A 中的一个向量, 由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，满足极大无关组定义的条件,所以αj1, αj2,, α jr 是向量组A 的极大无关组.8. 设向量组(I): α1,α2,,α s 的秩为r, αj1, αj2,, αjr 是(I)中的r 个向量，使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明αj1, αj2,, α jr 是(I)的极大无关组.证明：设向量组(I)α1,α2,,αs ，R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr 是已给向量组，取(I)的极大无关组(III)αk1,αk2,…,αkr , 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)R(II)r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, αjr 线性无关,所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明：设A 是一个n 维向量组，A 1是它的一个线性无关组， 1° 逐个检查A 中的向量i α2° a 、若i α可以由向量组A 1线性表示，则去掉i α，检查下一个αb 、若i α不可以由向量组A 1线性表示，则添加i α到A 1中将A 1扩充为A 2，回到检查第1个向量，重复1°、2°若干步后（∵有限步后，任意n+1个n 维向量也相关，必含停止），得到A 1,A 2 ,…A k , 而A k 不能再扩大，于是A k 是一个极大无关组，且A 1A k .10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关.(2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组.解(1)：∵α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关 (2)：解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3.考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量124312280120-=≠，∴增加一个分量后仍然线性无关。

数学课程线性方程组练习题及答案

数学课程线性方程组练习题及答案1. 练习题1.1 求解下列线性方程组：（1）3x + 2y = 72x - y = 4（2）2x + y - z = 6x - 3y + 2z = 43x - 2y - z = 1（3）x - 2y + z = 32x + y - 2z = -53x - y + 3z = 72. 答案（1）解：首先，我们可以通过消元法来求解该线性方程组。

将第二个方程的两边乘以2，得到2(2x - y) = 2(4)，化简得4x - 2y = 8。

将这个结果与第一个方程相加，得到(3x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 8，化简得7x = 15，所以 x = 15/7。

接下来，将求得的 x 值代入任意一个方程（如第一个方程）中，可以得到：3(15/7) + 2y = 7，化简得2y = 7 - 45/7，化简得2y = -14/7，所以 y = -7/7。

因此，该线性方程组的解为 x = 15/7，y = -1。

（2）解：同样使用消元法求解该线性方程组。

将第二个方程的两边乘以2，得到2(x - 3y + 2z) = 2(4)，化简得2x - 6y + 4z = 8。

将第三个方程的两边乘以3，得到3(3x - 2y - z) = 3(1)，化简得9x - 6y - 3z = 3。

现在我们有以下三个方程：2x + y - z = 62x - 6y + 4z = 89x - 6y - 3z = 3将第一个方程中的 z 用第二个方程中的 z 的代数式表示，得到 z = 2x + y - 6。

将这个结果代入第三个方程中，可以得到：9x - 6y - 3(2x + y - 6) = 3，化简得3x - 3y = 15，所以 x - y = 5。

我们可以再次将 x - y = 5 代入第一个方程，得到：2x + y - (2x + 5) = 6，化简得 y = 11。

将求得的 y 值代入 x - y = 5，可以解得 x = 16。

第三章线性方程组答案详解

2 1
3 b
10

a
5 2a
2 2
3 3
8

0
10 0
2a 2 2a
3b 3 2b
8 5a

10 10a
1 1 b 5 1 1 b 5 1 1 b 5

0
2a
3b
8

5a

0
2
3
6

=
ççççççç1+11 l÷÷÷÷÷÷÷÷
，
a2
=
ççççççç1+11 l ÷÷÷÷÷÷÷÷
，
a3
=
ççççççç1
1
1 +
l÷÷÷÷÷÷÷÷
，
b
=
çççççççll02
÷÷÷÷÷÷÷÷
．
试问当 l 取何值时，
(1) b 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，且表达式唯一？ (2) b 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，且表达式不唯一？ (3) b 不能由 a1,a2 ,a3 线性表示？
(2)
A

0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3

0
0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
解得：

x1 x2

2 3
x3 x4 5x5 2x3 2x4 6x5

第3章_线性方程组习题解答

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系T )1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解解原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ．解方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩，即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量），令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量），令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)Tξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a，的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α,,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ）若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解；（B ）若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解；（C ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O =；（ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）．（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解；（Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解；（Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ．解（法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当 12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关．又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．证（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =．证因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc

充 1：当 A 列秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行秩（或 B 可逆），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用明次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此矩 AB 和 B 的列向量有相同的性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确同解 .同理当 B 行秩（或B 可逆）， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元性方程有解, 且其系数矩的秩r, 当 ______, 方程有唯一解;当 ______ , 方程有无多解 .解：假方程A m × n x = b, 矩的秩 r ( A) r .当 r n , 方程有惟一解 ; 当 r n , 方程有无多解 .4. 在次性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程只有零解。

(精心整理)线性方程组练习题

(精心整理)线性方程组练习题题１：已知线性方程组如下：2x + 3y = 84x + 2y = 10请计算该线性方程组的解。

解答过程如下：首先，我们可以通过多种方法解这个线性方程组，例如代入法、消元法或矩阵法。

方法一：代入法设 `2x + 3y = 8` 为方程（１）， `4x + 2y = 10` 为方程（２）。

从方程（１）中解出 `x`，得到 `x = (8 - 3y) / 2`。

将 `x` 的解代入方程（２）中，得到 `(8 - 3y) / 2 * 4 + 2y = 10`。

将该方程化简，得到 `16 - 6y + 8y = 20`。

继续化简，得到 `2y = 4`，即 `y = 2`。

将 `y` 的解代入 `x = (8 - 3y) / 2` 中，得到 `x = 1`。

所以，该线性方程组的解为 `x = 1`， `y = 2`。

方法二：消元法将方程（１）乘以2，得到 `4x + 6y = 16`。

将方程（２）乘以3，得到 `12x + 6y = 30`。

将两个方程相减，得到 `8x = 14`，即 `x = 14 / 8 = 7 / 4`。

将 `x` 的解代入方程（１）或（２）中，我们可以解得`y = 2`。

所以，该线性方程组的解为 `x = 7 / 4`， `y = 2`。

方法三：矩阵法将该线性方程组写成矩阵形式：[ 2 3 | 8 ][ 4 2 | 10 ]通过行变换，将矩阵化为最简形式：[ 1 0 | 7 / 4 ][ 0 1 | 2 ]所以，该线性方程组的解为 `x = 7 / 4`， `y = 2`。

题２：已知线性方程组如下：3x - 2y = 7x + 4y = -1请计算该线性方程组的解。

解答过程如下：方法一：代入法设 `3x - 2y = 7` 为方程（１），`x + 4y = -1` 为方程（２）。

从方程（２）中解出 `x`，得到 `x = -1 - 4y`。

将 `x` 的解代入方程（１）中，得到 `3(-1 - 4y) - 2y = 7`。

第二章线性方程组答案全套

第二章线性方程组答案文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载第二章线性方程组习题一消元法一、唯一解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===23230321x x x 二、5=λ43432431,535753545651x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=为自由未知量习题二 n 维向量空间一、不相等，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a a a a a a 21'21,,, 二、⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10,314,0,32η 三、2,11,1-=-==z y x习题三向量间的线性关系一、（1）t ＝5 （2）t 5≠ （3）能，2132ααα+-= 二、能，21713758ααβ-= 三、能，3122ααβ+=四、（1）线性无关（2）线性相关 21323ααα-=习题四向量组的秩2、4题考虑向量组之间的秩的关系，利用当一个向量组中向量个数大于其秩必相关的结论。

习题五矩阵的秩一、1=k 二、（1）4（2）3 三、421,,ααα四、秩为3；421,,ααα；421302αααα+-=习题六线性方程组解的判定一、54,1-==λλ或二、1=λ有解1≠λ无解三、a ＝2，秩(A)=秩(A )有解且有无穷解，2≠a 时无解，解的情况与b 无关，b 为任意数习题七线性方程组解的结构一、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1302 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302001121k k 21,k k 为任意数二、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021,012723 三、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10750121005221k k 21,k k 为任意数四、0＝a 且2=b 有解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10065010210012100032321k k k 321,,k k k 为任意数自测题一、填空题1、9,4,0=λ ；当0≠λ且4≠λ且9≠λ2、无关3、421,,ααα4、无关5、零解6、无解7、有解8、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 k k 为任意数二、选择题1.A2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.D9.D三、计算题1、432141414145ααααβ--+= 2、（1）421,,ααα 秩为3 （2）421544213221124,1,2,1,1ααααααααααααα-+==+===3、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10520510151057000130054053321k k k321,,k k k 为任意数四、证明题1、利用线性相关定义证明。

线性方程组典型习题及解答

线性方程组1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=--+-=-+-+=--+-525222202122325432153215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→600000110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。

解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。

()()()()BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22222112101101111111111111111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2)1(,21,213321++-=+=++-=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？并求其解。

线性方程组练习题及答案

线性方程组练习题一、选择题.1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（）.A.1或2B. －1或－2C.1或－2D.－1或2.2. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ).A.A 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性相关D.A 的列向量组线性相关3.设12m α,α,,α均为n 维向量，则下列结论中正确的是（）.AA.若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有11220m m k k k +++≠ααα，则12m α,α,,α线性无关 .B.若12m α,α,,α线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有11220m m k k k +++=ααα . C.若11220m m k k k +++=ααα，则12m α,α,,α线性相关 .D.若向量组12m α,α,,α()3≥m 中任意两个向量都不成比例，则12m α,α,,α线性无关.4.向量[]11,1,1T α=-，[]22,,0T k α=，[]3,2,1Tk α=，k 为（）时，向量组1α，2α，3α线性相关.DA.3k ≠且2k ≠-B. 2k ≠-C.3k ≠D.3k =或2k =-5. 向量组s ααα 21,（2≥s ）线性无关的充分必要条件是（）.(D ) A.s ααα 21,均不为零向量 B. s ααα 21,中任意两个不成比例 C.s ααα 21,中任意1-s 个向量线性无关D.s ααα 21,中任意一个向量均不能用其余1-s 个向量线性表示6.齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是（）.A.无解B.仅有零解C.必有非零解D.可能有非零解，也可能没有非零解．7.设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是（）. A. 12312,2,32+- -ξξξξξ B. 122331,,+-+ ξξξξξξ C.122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ D. 12231324,2+,++ - ξξξξξξ8.要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为（）.A. (211)-；B. 201011⎛⎫ ⎪⎝⎭；C. 102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭． 9.已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是（）. A. 12()k k 12112-+++2ββααα B. 12()k k 12112++-+2ββαααC.12()k k 12112-+-+2ββαββD. 12()k k 12112++-+2ββαββ10.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是（）. A.不存在 B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量； D.含有三个线性无关的解向量11.设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解 ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解以上命题正确的是（）.A. ①，②B. ①，③C.②，④D.③，④12.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0（）. A.当n m >时仅有零解 B. 当n m >时必有非零解 C.当m n >时仅有零解 D.当m n >时必有非零解13.设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量．若秩T0⎛⎫= ⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组（）.A.=αAx 必有无穷多解B.=αAx 必有惟一解C.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αAαx 0仅有零解 D.T0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αAαx0必有非零解14.已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(T A r （）. A.1 B.2 C.3 D.415.设321,,ααα为齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列可作为该方程组基础解系的是（）.A.2121,,αααα+B. 133221,,αααααα+++C.2121,,αααα-D. 133221,,αααααα---16.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 417.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（）. A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs+βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =018..设矩阵A 的秩为r ，则A 中（）. A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为019.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）.A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解20.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（）.A.秩(A)<nB.秩(A)=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解21.设n 维向量12,αα线性相关，则必定（）.A. 12,αα中有一零向量B. 矩阵12=(,)A αα的秩r A =1C. 12,αα的对应元素成比例D.1α不可由2α线性表示22.设A 为m n ⨯阶矩阵，非齐次线性方程组AX=b 对应的导出组AX=0，如果m n <，则（）.A.AX=b 必有无穷解B.AX=b 必有惟一解C.AX=0必有非零解D.AX=0必有惟一解23.n 元线性方程组AX=0有非零解的充要条件为（）.A.()R A n =B. 0A ≠C.0A =D.以上都不对24.线性方程组AX B =有解的充要条件是（）.A.()r A >0B. ()()r A r A =C. ()()r A r AB ≠D.()r A n =25.n 元线性方程组AX=b 有解的充要条件为（）. A.()(,)R A R A b = B. ()(,)R A R A b n == C.()(,)R A R A b n =< D.()(,)R A R A b n =≤26.向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，下列向量中可以由21,αα线性表出的是（）.A ．T )3,2,1(B ．T )3,2,0(C ．T )3,0,1(D ．T )0,2,1(27.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（）.A ．)()(A RB R ≤ B ．)()(A R B R <C ．)()(A R B R =D ．)()(A R B R ≥28.设A 为n m ⨯矩阵，则有（）. A ．若n m <，则b Ax =有无穷多解B ．若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量C ．若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解D ．若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解29.设1α、2α是对应非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则b Ax =一定有一个解是（）.A.1α+2αB.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ30.21γγ，是n 元非齐次方程组b Ax =的两个不同的解，且1)(-=n A r ,则 0=Ax 的通解为（）.A. )(1R k k ∈γB. )(2R k k ∈γC. )()(21R k k ∈+γγD. )()(21R k k ∈-γγ二、填空题.1. 设向量α=(1, 2, 0, 4)T , β=(3，1，-1，7)T ，向量γ满足2α-γ=β, 则γ=____________.2.已知向量α=(1, 2, 4, 0)T , β=(-3，2，6，2)T ，向量γ满足3α+2γ=β, 则γ= .3.向量组α=(1, -2, 3)T , β=(2，-4，a)T 线性相关，则=a .4.向量组()12341,0,1,(2,1,0),(0,1,1),(1,1,1)TT T T αααα====则向量线性 .5.当______=t 时，向量组)2,1,3(),3,2,1(),,3,2(-t 线性相关.6.设向量组T T T a )1,1,2(,),2,1(,)3,1,1(321-==-=ααα线性相关，则=a .7.设向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α,则向量组21,αα的秩是 .8.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100110111的秩等于__________.9.若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________.10.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a A 00011002011的秩)(A r =2，则=a ______.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a a A 10012002011的秩)(A r =2，则=a ______.12.若齐次线性方程组1212 3 060x x x x λ-=⎧⎨-+=⎩有非零解，则λ= .13.当_________时候，n 元线性方程组0=Ax 有非零解，这里A 是n 阶方阵.14.设21ξξ，是非齐次线性方程组b Ax =的解向量，则21ξξ-是方程组______的解向量.15.方程组⎩⎨⎧=-=-003221x x x x 的基础解系是 .16.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a .17.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .18.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .19. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .20.设齐次线性方程组01443=⨯⨯X A ，其系数矩阵的秩)(A r =2,则方程组的基础解系包含______个线性无关的解向量.21.有三维列向两组1α＝()100T，()2110αT＝，()3111αT＝，()123βT＝，且有112233βχαχαχα++＝，123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____22.若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵.23.若向量组)()()()(12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______.24.已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____.25.当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是．26.线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有解的充分必要条件是．27.设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为．28.设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解．29.设11222221231111211111,,11n nn n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ，其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．30.设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．三、判断题.1.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. （）2. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关.（） 3.若=0时，，则向量组线性无关.（）4．若向量组与均线性无关，则，线性无关.（）5.方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷解.（）6.同秩的两个向量组未必等价. （）7.向量组中某向量能被其余向量表示，则去掉它不影响它的秩. （）8.向量组中某向量不能被其余向量表示，则去掉它后向量组的秩必改变. （）9.3个未知量，5个方程组成的方程组中，必有一个方程能被其余的方程线性表示. （）10.不同秩的两个向量组必不等价. （） 11.向量组的向量各加一个分量，其秩不变. （） 12.方程组中自由未知量是唯一确定的.（） 13.向量组12121,,,,,,s s a a a a a a -与等价，则向量组12,,,s a a a 线性相关.（） 14.设12,ηη是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则1212,3ηηηη--+也是AX=0的基础解.（）15．用列初等变换可以求解线性方程组，也可以用行初等变换求解线性方程组.（）.16．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组AX =0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=2.（）17.若n 维向量12,αα线性相关，则必定12,αα的对应元素成比例.（） 18.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m A =.（） 19.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的m 个行向量线性无关，则()r m <A .（） 20.设21,αα是齐次线性方程组0=AX 的解，那么12αα+也是该方程组0=AX 的解.（）21.设21,αα是非齐次线性方程组=AX b 的解，那么12αα+也是该方程组=AX b 的解.（）22.对于任意的矩阵A ，一定有T r r =（）（）A A .（）23.向量组123,,ααα中，任意两个向量均线性无关，则123,,ααα线性无关.（）24.设A 是m n ⨯矩阵，如果A 的n 个列向量线性无关，则()r A n =.（） 25，设12,αα是n 维向量，且112212312,2,35βααβααβαα=-=+=+，则123,,βββ 必线性相关.（）26.设0Ax =是Ax b =的导出组，其中A 是m n ⨯矩阵，若()r A m =，则Ax b =有解.（）请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.3.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x ,当λ取何值时有解？并求出它的解．9.设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为:T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.4. 设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .试证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.5.设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为r ，11,,+-r n ηη 是它的1+-r n 个线性无关的解(由题24知它确有1+-r n 个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为112211+-+-+++=r n r n k k k x ηηη （其中111=+++-r n k k ）.第三章线性方程组一、选择题.1.C2.D3.A4.D5.D6.C7.A8.A9.B 10.B 11.B 12.D 13.D 14.C 15.B. 16.C 17.D 18.C 19.A 20.A 21.C 22.C 23.B 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.D 30.D二、填空题.1. (-1,3,1,1)T2.(-3,-2,-3,1)T3. 64.相关5. 56.-47.28.39.无关 10.0 11.212.2 13. 0A = 14.0=Ax 15.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 16.1 17.-1018.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 19.n-r 20. 2 21.－1，－1，3 22.可逆 23.1,233;,ααα 24.3 25．||0≠A 26.43210a a a a -+-=．27.T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.T (1,0,0,,0)=x ． 30.-2部分题详解：25.解因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ．26.解对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B A b 12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭．所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．27.解令111⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．28.解因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．29.解 T (1,0,0,,0)=x ． 30. -2三、判断题.1.√2. √3. √ 4．× 5.×6. ×7.×8. √9.√ 10.× 11.×12.√ 13.√ 14.√ 15．× 16.×17.√ 18.√ 19.× 20.√ 21.×22.√ 23.× 24.√ 25.√26.√请举例说明下面（27-30题）各命题是错误的.27.若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示.28.若有不全为0的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.29.若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.30.若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数,m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ同时成立. 解 (1) 设)0,,0,0,1(11==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而 m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关.(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的. (4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.四、解答题.1.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．2.把下列矩阵化为行最简形矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202013. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．4.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2))3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta .解 (1)3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~秩为2,最大线性无关组为T Ta a 21,.5.求解下列齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x(3)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4)对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x6．求解下列非齐次线性方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1)对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201~ 即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4)对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x7．λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.8．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x9．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解. 当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)10.讨论b a ,取何值时，非齐次线性方程组123123123213322--=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x ax b（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---120010501121~225010501121~122313112123131223b a b a b a A r r r r r r（1）当2,02-≠≠+a a 即时，3)()(==A r A r ，方程组解唯一；（2）当12,01,02=-==-=+b a b a ，即时，32)()(<==A r A r ，方程组解有无穷多解；（3）当12,01,02≠-=≠-=+b a b a ，即时，3)(2)(=<=A r A r ，方程组无解.11．求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n n n ξξξ12．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A ,求一个24⨯矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .解：由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00001001825931224321x x x xAB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛592280200802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2125212114321x x x x ，故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2125212111001B ．13．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.解：显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.14．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解．解：由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得：齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈15．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη五、证明题.1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.证明：设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解，则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证. 2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.证明：设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k 因为0110011011≠= 故方程组只有零解，则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关.3．设*η是非齐次线性方程组b Ax=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关.证明: (1)反证法,假设r n -*ξξη,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)其中,00≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。

线性方程组题目及答案

线性方程组题目及答案第一、填空题10章线性方程组1.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为−11d+1⎤⎦⎥则当d=2时，方程组AX=b有解，且有无穷多解。

2.当λ=1时，齐次方程组x1−x2=0x1+λx2=0有唯一解。

3.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=b的秩为n。

二、单项选择题1.线性方程组x1+x2=1x3+x4=0的解的情况是（B）只有解。

2.线性方程组AX=b只有解，则AX=b(b≠0)的解的情况是（B）可能无解。

3.当秩(A)=秩(AB)=n时，线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，其中n是未知量的个数。

答案为（C）秩(A)=秩(AB)=n。

三、解答题1.求解线性方程组x1−x2+3x3−x4=02x1−x2−x3+4x4=04x3+5x4=1解：因为系数矩阵A=[1 -1 3 -1.2 -1 -1 4.-4 0 5 0] 的秩为3，而增广矩阵1 -1 3 -1 0.2 -1 -1 4 0.-4 0 5 0 1] 化为阶梯形矩阵1 -1 3 -1 0.0 1 -7 6 0.0 0 1 -4 1] 所以，一般解为：x1=3x3-15x4-4x2x2=x4-3x3x3,x4是自由未知量)2.求解线性方程组x1+x2-2x3-x4=12x1+x2-2x3-3x4=2x1+3x2+ax3=b解：因为增广矩阵1 1 -2 -1 1.2 1 -2 -3 2.1 3 a b]化为阶梯形矩阵1 1 -2 -1 1.0 -1 2 -1 0.0 0 2a-3b 2b-a-3.0 0 0 0 0]当2a-3b≠0时，方程组无解。

当2a-3b=0时，方程组有解，且有无穷多解，此时一般解为：x1=1-3x3+x4x2=x3+x4x3自由，x4=（b-a）/6.3.就a,b的取值，讨论线性方程组x1+2x2+3x3=1x1+3x2+6x3=22x1+3x2+ax3=b解的情况。

解：因为系数矩阵A=[1 2 3.1 3 6.2 3 a]的秩为2，而增广矩阵1 2 3 1.1 3 6 2.2 3 a b]化为阶梯形矩阵1 2 3 1.0 1 3 1.0 0 a-6 b-4a]当a≠6时，方程组有唯一解。

小学五年级解线性方程组练习题

小学五年级解线性方程组练习题1. 解方程组：a. 3x + 2y = 102x - y = 4解答：将第二个方程中的变量y换成x的表达式，得到2x - (3x - 4) = 4，化简为 -x + 4 = 4，然后解得x = 0。

将x的值代入第一个方程中，得到3*0 + 2y = 10，化简为2y = 10，解得y = 5。

所以方程组的解是x = 0，y = 5。

b. 4x + 3y = 142x - 5y = -16解答：将第二个方程中的变量x换成y的表达式，得到2y -5(4y/3 + 16/3) = -16，化简为2y - 20y/3 - 80/3 = -16，然后解得y = 10。

将y的值代入第一个方程中，得到4x + 3*10 = 14，化简为4x + 30 = 14，解得x = -4。

所以方程组的解是x = -4，y = 10。

2. 解方程组：a. 2x + 5y = 223x - 4y = 7解答：将第一个方程中的变量y换成x的表达式，得到2x + 5(22 - 2x)/5 = 22，化简为2x + 110/5 - 10x/5 = 22，然后解得x = 5。

将x的值代入第一个方程中，得到2*5 + 5y = 22，化简为10 + 5y = 22，解得y = 2。

所以方程组的解是x = 5，y = 2。

b. 3x + y/2 = 44x - y = 14解答：将第一个方程中的变量y换成x的表达式，得到y = 8 - 6x。

将y的表达式代入第二个方程中，得到4x - (8 - 6x) = 14，化简为4x - 8 + 6x = 14，解得x = 3。

将x的值代入第一个方程中，得到3*3 + y/2 = 4，化简为9 + y/2 = 4，解得y = -10。

所以方程组的解是x = 3，y = -10。

3. 解方程组：a. 2x + 3y = 84x - 5y = -4解答：将第一个方程中的变量x换成y的表达式，得到2(8 -3y)/3 + 3y= 8，化简为16/3 - 6y/3 + 3y = 8，然后解得y = 10/3。

线性方程组练习题解析

线性方程组练习题解析线性方程组是代数学中的基本概念，其中包含多个线性方程，每个方程包括若干个未知数。

解线性方程组就是要求找到满足所有方程条件的未知数的值。

在代数学和应用数学中，线性方程组是非常重要的一个概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本篇文章将通过解析线性方程组的练习题，帮助读者更好地理解和掌握线性方程组的求解方法。

练习题一：解方程组：2x + 3y = 84x - y = 9解析：我们可以通过消元法来解这个方程组。

首先我们将第二个方程中的y系数变为与第一个方程相等的2倍，然后将两个方程相加，消去y变量：2x + 3y = 88x - 2y = 18得到：10x = 26解方程得到：将x的值带入第一个方程，求出y的值：2(13/5) + 3y = 826/5 + 3y = 83y = 8 - 26/53y = 40/5 - 26/53y = 14/5y = 14/15综上所述，方程组的解为：x = 13/5，y = 14/15练习题二：解方程组：3x - 2y = 7x + 4y = 5解析：我们同样可以使用消元法来解这个方程组。

首先我们将第一个方程中的x系数变为与第二个方程相等的3倍，然后两个方程相减，消去x 变量：3x - 2y = 7得到：-14y = -8解方程得到：y = -8 / -14 = 4 / 7将y的值带入第一个方程，求出x的值：3x - 2(4/7) = 73x - 8/7 = 721x - 8 = 4921x = 57x = 57 / 21 = 19 / 7综上所述，方程组的解为：x = 19/7，y = 4/7练习题三：解方程组：2x + 3y - 4z = 1x + 2y + z = 5x - y - z = 0解析：这个方程组包含三个方程和三个未知数。

我们可以使用消元法来解决这个方程组。

首先我们将第三个方程中的x系数变为与第一个方程相等的2倍，然后两个方程相减，消去x变量：2x + 3y - 4z = 12x - 2y - 2z = 0得到：5y - 2z = 1接下来，我们将第三个方程中的x系数变为与第二个方程相等的1倍，然后两个方程相减，消去x变量：x + 2y + z = 5x - y - z = 0得到：3y + 2z = 5此时，我们已经可以得到两个含有两个未知数的方程：5y - 2z = 13y + 2z = 5我们可以通过消元法或代入法求出y和z的值，然后将其代入原方程组中求解x。

数学练习题线性方程组

数学练习题线性方程组数学练习题：线性方程组1. 求解下列线性方程组：(1) 2x + 3y = 84x - 5y = 7(2) 3x + 7y - 2z = 105x - 4y + 3z = -22x + 9y - 5z = 21(3) 4x - 2y + z = 10x + 5y - z = -32x + 3y + 7z = 152. 解题过程分析：(1) 对于第一个线性方程组，我们可以使用消元法进行求解。

首先，通过倍乘第一个方程的两边，使得第一个方程的系数与第二个方程的系数相等，即得到新的方程组：4x + 6y = 164x - 5y = 7接着，两个方程相减，消去 x 的项：(4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - 711y = 9得到 y 的值为 9/11。

将 y 的值代入其中一个方程，求解得到 x 的值：2x + 3 * (9/11) = 82x = 8 - 27/112x = 34/11 - 27/112x = 7/11x = 7/22因此，该线性方程组的解为 x = 7/22，y = 9/11。

(2) 对于第二个线性方程组，我们同样可以使用消元法。

根据系数的特点，我们可以先通过倍乘第一个方程的两边，使得第一个方程的系数与第三个方程的系数相等，得到新的方程组：6x + 14y - 4z = 205x - 4y + 3z = -22x + 9y - 5z = 21接下来，我们将第三个方程的两倍加到第一个方程上，消去 x 的项：(6x + 14y - 4z) + 2 * (2x + 9y - 5z) = 20 + 2 * 216x + 14y - 4z + 4x + 18y - 10z = 20 + 4210x + 32y - 14z = 62然后，我们将第三个方程乘以 3，并与第二个方程相加，消去 z 的项：3 * (2x + 9y - 5z) + (5x - 4y + 3z) = 3 * 21 + (-2)6x + 27y - 15z + 5x - 4y + 3z = 63 - 211x + 23y - 12z = 61现在，我们得到一个新的方程组：10x + 32y - 14z = 6211x + 23y - 12z = 61进一步进行消元，我们将第一个方程乘以 11，并将第二个方程乘以 10，使得 x 的系数相等：11 * (10x + 32y - 14z) = 11 * 6210 * (11x + 23y - 12z) = 10 * 61110x + 352y - 154z = 682110x + 230y - 120z = 610然后，两个方程相减，消去 x 的项：(110x + 352y - 154z) - (110x + 230y - 120z) = 682 - 610122y - 34z = 72得到 y 的值为 72/122，即 36/61。

线性方程组练习带答案

1．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。

答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。

(-2,3,0,0)’+k1(1,2,1,0)’+k2(1,1,0,1)’2．设A 是数域F 上的m ×n 矩阵，b 是F 上m 维非零列向量，η是线性方程组AX b =的一个解，12,,,s ξξξ是对应的齐次线性方程组0AX =的一个根底解系。

求证：12,,,,s ηηξηξηξ+++线性无关。

2‘．设*η是非齐次线性方程组AX b =的一个解，,,,12n r ξξξ-是对应的齐次线性方程组的一个根底解系，证明：〔1〕*η，,,,12n r ξξξ-线性无关，〔2〕*η，***,,12n r ξηξηξη+++-线性无关，〔3〕非齐次线性方程组AX b =的任一个解可表示为*1122x k k k k n r n r ηηηη=+++--〔其中1η=*1ξη+，，*n r n r ηξη=+--且112k k k n r ++=-〕。

3．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，那么对于任意常数k ,必有〔〕A(A) 12312,,,k αααββ+线性无关；〔B 〕12312,,,k αααββ+线性相关;( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关4．12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是0Ax =的根底解系，12,k k 为任意常数，那么方程组Ax b =的通解必是〔 B 〕〔A 〕1211212();2k k ββααα-+++ 〔B 〕1211212();2k k ββααα+++- (C)1211212();2k k ββαββ-+++ (D)1211212().2k k ββαββ+++- 5．设线性方程组(Ⅰ)的导出组(Ⅱ)必有下面 (A)(A) 当(Ⅰ)只有唯一解,那么(Ⅱ)只有零解(B) (Ⅰ)有解B 的充分必要是(Ⅱ)有解(C) (Ⅰ)有非零解,那么(Ⅱ)有无穷多解(D) (Ⅱ)有非零解,那么(Ⅰ)有无穷多解6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:1〕k 不为0且不等于2时，有唯一解。

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