[八个有趣模型]搞定空间几何体的外接球与内切球

则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是
. 36
解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，
取 AB, BC 的中点 D, E ，连接 AE, CD ， AE, CD 交于 H ，连接 SH ，
则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ， AC BC ， AD BD ， CD AB ， AB 平面 SCD ， AB SC ，同理： BC SA ， AC SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， AM MN ， SB // MN ， AM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA ， SB SC ， SB SA ， BC SA ， SA 平面 SBC ， SA SC ， 故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
(2R)2 (2 3)2 (2 3)2 (2 3)2 36 ，即 4R2 36 ，正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36 .
【变式 1】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16 ，则这个球的表面积是（
）
A．16
B． 20
C． 24
D． 32
2
解： V a2h 16 ， a 2 ， 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 ， S 24 ，选 C.
1．如图 4-1，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径），且 P 的射影是 ABC 的外 心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 三棱 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆
锥的顶点. 解题步骤：
第一步：确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心 O1 ，则 P, O, O1 三点共线；
abc
1 6
abc 4
1 3
abc
.
第三步：根据墙角模型，2R
a2 b2 c2
x2 y 2 z 2 ，R2 x2 y 2 z 2 ，R
x2 y2 z2
，
2
8
8
求出 R . 思考：如何求棱长为 a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？
【例 2】（1）如下图所示三棱锥 A BCD ，其中 AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7, 则该三棱锥
就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论 4：圆柱体的上下两底面圆的圆心连线段的中点是的外接球球心； 结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论 8：圆锥体轴截面（等腰三角形）的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．多面体的内切球球心到多面体各面的距离均相等，（类比：多边形的内切圆）；多面体的外接球球心到
角形(正四面体的截面)的面积是
.
解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为 PCO1 ，面积是 2 .
4
【变式 1】 A BCD 中， AB CD 2 ， AD BC 3 ， AC BD 4 ，则三棱锥 A BCD 外接球的
表面积为
. 29 2
解：如图 2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a, b, c ，则 a2 b2 9 ，
第一讲 柱体背景的模型
类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a2 b2 c2 ，即 2R a2 b2 c2 ，求出 R
【例 1】在正三棱锥 S ABC 中， M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM MN ,若侧棱 SA 2 3 ,
,
AA1
4 ，则直三棱柱
ABC
A1B1C1 的
外接球的表面积为
. 160 3
解：法一： BC 2 16 36 2 4 6 1 28 ， BC 2 7 ， 2
2r
2
7 3
4
7 3
，r
2
7 3
， R2
r2
( AA1 )2 2
28 4 3
40 3
，
S表
160 3
.
2
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
两相交弦的中垂线交点是圆心）.
2．结论： 结论 1：长方体的外接球的球心在长方体的体对角线的交点处，即长方体的体对角线中点是外接球的球心； 结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆直径，换言之，
【变式 3】已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直， EA EB 3 ， AD 2 ，
AEB 60 ，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为
.16
解：折叠型，
法一： EAB 的外接圆半径为 r1 3 ， OO1 1， R 1 3 2 ；
法二： O1M
3 2
A.11
B.7
C.10 3
D. 40 3
解：可补形为三棱柱，进一步可补形为圆柱体，在 ABC 中，BC 2 AC 2 AB2 2 AB BC cos120 7 ，
BC
7
， ABC
的外接球直径为 2r
BC sin BAC
7
2
7
，
33
2
(2R)2 (2r)2 SA2 ( 2 7 )2 4 40 ， S 40 ，选 D。
【变式 2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
9
解： 4R2 3 3 3 9 ， S 4R2 9 .
【变式 3】在四面体 S ABC 中， SA 平面ABC ， BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四面体的
外接球的表面积为（ D ）
， r2
O2 D
13 2
，
R2
3 4
13 4
4
，
R
2
， S表
16
.
法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.
法三：补形为直三棱柱，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径： (2R)2 (2 3)2 22 16 ，
S表 16 .
6
第二讲 锥体背景的模型
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）
b2 c2 4 ， c2 a2 16 2(a2 b2 c2 ) 9 4 16 29 ， 2(a2 b2 c2 ) 9 4 16 29 ，
a2 b2 c2 29 ， 4R2 29 ， S 29 .
2
2
2
【变式 2】正四面体的各条棱长都为 2 ，则该正面体外接球的体积为
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为 a, b, c ， AD BC x ，
AB CD y ， AC BD z ，列方程组，
a2 b2 x2
b
2
c2
y2
(2R)2
a2
b2
c2
x2
y2
z2
，
c2 a2 z 2
2
补充：图
2-1
中， V A BCD
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内ห้องสมุดไป่ตู้球
当读到付雨楼老师于 2018 年 1 月 14 日 总第 539 期微信文章，我如获至宝，万分高兴.为了有效进行 教学实践，我以付老师的文章为基石、框架，增加了我个人的理解及收集例题、练习题，增加配图，自编 了一道题，并将模型的顺序安排做了一些调整，将外接球问题划分为柱体背景、锥体背景和二面角背景三 大块，看重正余弦定理的应用，力求提高与拓展认识，形成此文，仍用付老师的文章原名，与各位同行分 享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面
【变式 5】已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则
该几何体外接球的体积为
解： (2R)2 a2 b2 c2 3 ， R 2 3 ， R 3
4
2
V球
4 3
R3
4 3
33 8
3 。 2
3
类型二、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AB CD ，AD BC ，AC BD ）
解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为 r ，则 a 1 ， 2
5
正六棱柱的底面积为 S 6
3 4
( 1 )2 2
33 8
，V柱
Sh
33 8
h
9 8
，
h
3 ，4R2 12 ( 3)2 4
也可 R2
(
3 )2 (1)2
2
2
1 ）， R 1，球的体积为V球
第二步：算出小圆
O1 的半径
AO1
r
， OO1
1 2
AA1
1 2
h
（
AA1
h
也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： OA2
O1 A2
O1O 2
R2
(h)2 2
r2
R
r 2 ( h )2 ，解出 R 。 2
【例 3】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为 8
4 3
。
【变式 1】直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120 ，
则此球的表面积等于
.
解： BC 2
3
， 2r
23 sin 120
4，r
2，
R
5 ， S 20 .
【变式
2】在直三棱柱
ABC
A1B1C1 中，
AB
4,
AC
6,
A
3
1
多面体各顶点的距离均相等（类比：多边形的外接圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法： （1）构造三角形利用相似比和勾股定理； （2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型（共四讲）：
解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中， 2R 3 ， R 3 ，V 4 3 3 3 .
2
38 2
类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任 意三角形）
第一步：确定球心 O 的位置， O1 是 ABC 的外心，则 OO1 平面 ABC ；
外接球的表面积为
.
解：对棱相等，补形为长方体，如图 2-1，设长宽高分别为 a, b, c ， 2(a2 b2 c2 ) 25 36 49 110 ，
a2 b2 c2 55 ， 4R2 55 ， S 55 。
（2）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三
体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质：
性质 1：外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，均为球的半径； 性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（结论类比：圆的垂径定理）； 性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，
3
3
3
【变式 4】如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面积是
解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为 a, b, c （ a, b, c R ），则
ab 12 bc 8 ， abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ， (2R)2 a2 b2 c2 29 ， S 4R2 29 。 ac 6