培优易错试卷平行四边形辅导专题训练含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）求证：△AED≌△CEB′

（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG + PH的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由折叠的性质知，，，，则由得到；

（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.

【详解】

（1）四边形为矩形，

，，

又，

；

（2），

，

，

，

在中，，

过点作于，

，，

，

，，

，

、、共线，

，

四边形是矩形，

，

.

【点睛】

此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；

（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）S的最大值为，此时x=2．

（3）x=，或x=，或x=．

【解析】

试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；

②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．

（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．

（3）本题要分类讨论：

①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；

②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．

③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．

试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，

有题意可得：PQ∥AB，

∴△CQP∽△CBA，

∴

∴

解得：QP=x，

∴PM=3﹣x，

由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），

P点坐标为（x，3﹣x）．

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，

NC边上的高为，其中，0≤x≤4．

∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）

=﹣（x﹣2）2+．

∴S的最大值为，此时x=2．

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，

∴NQ=CQ=x．

∴3x=4，

∴x=．

②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，

∴x=；

③若CN=NP，则CN=4﹣x．

∵PQ=x，NQ=4﹣2x，

∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，

∴x=．

综上所述，x=，或x=，或x=．

考点：二次函数综合题．

3．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；

（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；

（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．

【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=1

2

BC，GH∥BC，GH=

1

2

BC，推出

EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；

（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出

S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出

S△PGH=1

2

S△AEF=S△APF，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝1

2BC，GH∥BC，GH＝

1

2

BC，

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四边形EGHF是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴EF⊥AP，

∵EG∥AP，

∴EF⊥EG，

∴平行四边形EGHF是矩形；

（2）∵PE是△APB的中线，

∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，

∴S△APE＝S△BPE，

∵AP是△AEF的中线，

∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，

∴S△APE＝S△APF，

∴S△APF＝S△BPE，

∵PF是△APC的中线，

∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，

∴S△APF＝S△CPF，

∴S△CPF＝S△BPE，

∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，

∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，

∵GH＝EF，

∴S△PGH＝1

2

S△AEF＝S△APF，

综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．

4．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．

（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．