2019年概率统计复习题---1.doc

复习题（1）--（A ）备用数据：220.9950.0250.975(8) 3.3554,(8) 2.1797,(8)17.5345t χχ===,,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ.95.0)645.1(=Φ一、填空题(18分)1、 （6分）已知()0.3,()0.4,()0.32,P A P B P A B ===则 ()P A B ⋃=___ __ ，()P AB = ，()P A B ⋃= .2、 （6分）设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 .3、 （6分）假设某物理量X 服从正态分布),(2σμN ,现用一个仪器测量这个物理量9次,由此算出其样本均值56.32,x =样本标准差0.22s =,则μ的置信水平0.99的双侧置信区间为_____________,σ的置信水平0.95的双侧置信区间为__________ _____.二、（12分）设有四门火炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹，若有两发或两发以上的炮弹命中目标时，目标被击毁.（1） 如果每发炮弹命中目标的概率（即命中率）为0.9，求目标被击毁的概率； （2） 若四门火炮中有两门A 型火炮和两门B 型火炮，A 型火炮发射的炮弹的命中率为0.9，B 型火炮发射的炮弹的命中率为0.8，求目标被击毁的概率.三、(12分)设某保险公司开办了一个农业保险项目，共有一万农户参加了这项保险，每户交保险费1060元，一旦农户因病虫害等因素受到损失可获1万元的赔付，假设各农户是否受到损失相互独立.每个农户因病虫害等因素受到损失的概率为0.10.不计营销和管理费用. （要求用中心极限定理解题）(1)求该保险公司在这个险种上产生亏损的概率； (2)求该保险公司在这个险种上的赢利不少于30万的概率.四、(16分)设随机变量X 的分布函数为22,0()0,0x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩. 其中,A B 为常数.(1)求常数,A B ; (2)求X 的概率密度函数； (3)求概率(12)P X <<; (4)求2(),(),()E X E X D X .五、（16分）若),(Y X 的联合密度函数为1,01(,)0,y x x f x y ⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩且其他(1)分别求Y X ,边缘密度函数； (2)求 (),(),()E X E Y E XY ; (3)问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否相关?为什么？请说明理由. (4)求11(,)22P X Y ≤≤.六、(12分) 设126,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本,02>σ,分别求下列统计量服从的分布：（1） 22121222234562()X X T X X X X +=+++ ； （2）2T =七、（14分）设12,,,n X X X 是取自总体X 的样本,X 的密度函数为21,()20,x e x f x x ϑϑϑ--⎧≥⎪=⎨⎪<⎩, 其中ϑ未知.(1) 求ϑ的极大似然估计;(2) 问: ϑ的极大似然估计是ϑ的无偏估计吗? 如果是，请给出证明；如果不是，请将其修正为ϑ的无偏估计.参考答案：一、 1.0.5720.1280.8722.0.10.40.253.[56.0739,56.5660],[0.022,0.1776]二、 (1)0.9963(2)0.9892 三、 (1)1(2)(2)(1)-ΦΦ四、 (1)1,1A B ==- 22,0(2)()0,0x xe x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩ 122(3)(12)P X e e --<<=-2(4)()()2,()222E X E X D X π===- 五、2,011||,0||1(1)()()0,0,X Y x x y y f x f y <<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其余其余2(2)(),()0,()0311(3)(,0)()(0),()()()33(4)(||0.5,||0.5)0.25X Y E X E Y E XY X Y f f f E XY E X E Y P X Y ===≠=≤≤=与不独立，因为 也不相关，因为 六、12(1)(2,4)(2)(3)T F T t七、(1)2ˆˆ(1)(2)()X E n θθθθ==+≠，所以不是无偏估计，1(1)2ˆX nθ=-为无偏估计。

复习题（1）（B ）备用数据：220.950.0250.975(9) 1.833,(9) 2.700,(9)19.023t χχ===,,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ.95.0)645.1(=Φ 45.161)1,1(95.0=F .一、填空题(18分)1、 （6分）掷一颗均匀的骰子两次，以,x y 表示先后掷出的点数，记{}(,):10A x y x y =+<，{}(,):B x y x y =>则 ()P A B ⋃=___ __ ，()P AB = ，()P B A = .2、 （6分）某公共汽车站从上午7：00起每15分钟发一班车，如果小王是在7：00到7：30之间（等可能地）随机到达该汽车站的，则小王在车站的等候时间不超过5分钟的概率为 ；小王在车站的平均等候时间为 分钟，小王在车站的等候时间的标准差为 分钟.3、 （6分）假设某物理量X 服从正态分布),(2σμN ,现用一个仪器测量这个物理量10次,由此算出其样本均值14.705,x =样本标准差 1.843s =,则μ的置信水平0.90的双侧置信区间为_________________,σ的置信水平0.95的双侧置信区间为__________ _____.二、（12分）某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏至240伏之间及超过240伏这三种情况下使用时损坏的概率依次为0.1、0.001及0.2，设电源电压)400,220(~N X . （1） 求此种电子元件在使用时损坏的概率；（2） 求此种电子元件在遭损坏时电源电压在200伏至240伏之间的概率.三、(12分)每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为7300，标准差为700.现准备随机抽查100个正常男性成人的血液，记第i 个被抽查人的血液中每毫升所含的白细胞数为i X ，.100,,2,1 =i 记∑==10011001i i X X .求概率()73707230≤≤X P 的近似值.（要求用中心极限定理解题）四、(16分)设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,011,23)(2x x x f . 记2Y X =.(1) 求Y 的概率密度函数；(2)求)(),(),(XY E Y E X E ; （3）问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否不相关？请说明理由.五、（16分）若),(Y X 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他且,02010),2(76),(2y x xyx y x f (1) 分别求Y X ,边缘密度函数； (2) 求 Y X ,的协方差和相关系数; (3)求11(,)22P X Y ≤≤.六、(12分) 设4321,,,X X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本,02>σ.(1) 求统计量24321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=XX X X Y 服从的分布; (2) 求小于1的常数C 使得05.0)()()(243221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-+++C X X X X X X P .七、（14分）设12,,,n X X X 是取自总体X 的样本,X 的密度函数为ϑϑϑxex f -=21);( 其中ϑ未知,0>ϑ.(1) 求ϑ的极大似然估计;(2) 问: ϑ的极大似然估计是ϑ的无偏估计吗? 如果是，请给出证明；如果不是，请将其修正为ϑ的无偏估计.参考答案： 一、 8121151.2.18.7599332；3.[13.6367,15.7732],[1.607,11.322]二、 (1)0.0483(2)0.三、 2(1)1Φ-四、01(1)()0,y f y <<=⎪⎩其余3(2)()0,(),()051111(3)(,)()(),()()()2424X Y E X E Y E XY X Y F F F E XY E X E Y ===≠=与不独立，因为 也不相关，因为五、261(2),01(43),02(1)()()7140,0,X Y x x x y y f x f y ⎧⎧+<<+<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其余其余9(2)ov(,),(,)4911(3)(||0.5,||0.5)448c X Y X Y P X Y ρ==≤≤=六、161.45161.45(1)(1,1)(2)161.451162.45YF c ==+七、11ˆˆ(1)||(2)()nii X E n θθθ===∑，所以是无偏估计。

复习题 (2)--（A ）备用数据：220.990.9950.9950.0050.9952.326,(99) 2.575,(99)66.510,(99)138.987u t u χχ=≈===一、选择题（20分，每题4分，请将你选的答案填在（ ）内）1、 下列结论哪一个不正确 （ ）)(A 设A,B 为任意两个事件，则A B A B -=； )(B 若A B =，则A,B 同时发生或A,B 同时不发生； )(C 若A B ⊂，且B A ⊂,则A B =； )(D 若A B ⊂，则A-B 是不可能事件.2、 设(,)X Y 的联合概率函数为则（1）概率(13,0)P Y X ≤<≥等于 （ ）)(A 58； )(B 12； )(C 34； )(D 78.（2）Z X Y =+的概率函数为 （ ）)(A()B()C()D3、 如果2EX <∞，2EY <∞，且X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-,则必有 （ ）)(A X 与Y 独立；)(B X 与Y 不相关； )(C ()0D Y =； )(D ()()0D X D Y =. 4、若()25,()36D X D Y ==,X 和Y 的相关系数,0.4X Y ρ=，则,X Y 的协方差(,)Cov X Y 等于（ ）)(A 5； )(B 10； )(C 12； )(D 36.二、（12分）设X,Y 为随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥= 求（1）(min(,)0)P X Y <；（2）(max(,)0)P X Y ≥.三、(10分)一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人.然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？ （2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？四、(10分)某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的.问：影城甲至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于0.01. （要求用中心极限定理求解.）五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为2,01(,)0,x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它（1）求Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （2）求条件概率113(0)224P X Y <<<<； （3）问：X 与Y 是否相互独立？请说明理由； （4）求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z .六、(14分)某地交通管理部门随机调查了100辆卡车，得到它们在最近一年的行驶里程（单位：100km ）的数据12100,,,x x x ,由数据算出145x =，样本标准差24s =.假设卡车一年中行驶里程服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和方差2σ的双侧0.99置信区间.（请保留小数点后两位有效数字.）七、(18分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的密度函数为(1),(;)0,e x x ef x θθθθ-+⎧>=⎨⎩其它 ，其中θ为未知参数,01θ<<. (1)求出θ的极大似然估计； (2)记1αθ=，求参数α的极大似然估计；(3)问:在（2）中求到的α的极大似然估计是否为α的无偏估计?请说明理由.复习题（2）A 参考答案： 一、C B D C A ,,,, 二、73,74 三、139,134 四、847=a五、（1）⎩⎨⎧≥≤<<=⎩⎨⎧≥≤<<-=1,0,010,2)(1,0,010),1(2)(y y y y y f x x x x x f（2）54)4321|210(=<<<<Y X P （3）不独立，因为)31()21()31,21(f f f = （4）⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其余，，，021210)(z z z z z f六、 [138.82，151.18] [17.095，35.724]七 、（1）1ln 11ˆ1-=∑=ni i X n θ（2）1ln 1ˆ1-=∑=ni i X n α（3）是无偏估计,)ˆ(αα=E复习题(2)---（B ）备用数据：220.9750.0250.9750.995(2)0.9772,(8) 2.31,(8) 2.18,(8)17.54, 2.575,t u χχΦ=====一、选择题(共20分，每题4分，请将你选的答案填在( )内)1、 下列命题哪一个是正确的？ ( )()A 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A <； ()B 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A ≥； )(C 若()0P B >,则()()P A P A B ≥； )(D 若()0P B >,则()()P A B P AB ≤.2、已知1()()()2P A P B P C ===,1()()()4P AB P AC P BC ===,()0P ABC =,判断下列结论哪一个是正确的 ( ))(A 事件A ，B ，C 两两不独立，但事件A ，B ，C 相互独立；)(B 事件A ，B ，C 两两独立，同时事件A ，B ，C 相互独立；)(C 事件A ，B ，C 两两独立，但事件A ，B ，C 不相互独立； )(D 事件A ，B ，C 不会同时都发生.3、 设12,X X 相互独立，且都服从参数1的指数分布，则当0x >时，12min(,)X X 的分布函数()F x 为 ( ))(A 121(1)e ---； )(B 21(1)x e ---； )(C 2x e ； )(D 21x e --.4、 已知(,)X Y 的联合概率函数为若X ，Y 独立，则,αβ的值分别为 ( ))(A 12,99αβ==； )(B 21,99αβ==； )(C 15,1818αβ==； )(D 51,1818αβ==. 5、 设15,,X X 是取自正态总体(0,1)N 的样本，已知22212345()()X a X X b X X +-+- (0,0)a b >>服从2χ分布，则这个2χ分布的自由度 ( ))(A 5； )(B 4； )(C 3； )(D 2.二、(12分)已知男性患色盲的概率为0.005，女性患色盲的概率为0.0025，如在某医院参加体检的人群中，有3000个男性，2000个女性，现从这群人中随机地选一人，(1)求此人患有色盲的概率；(2)若经检验此人的确患有色盲，问：此人为男性的概率是多大？三、(12分)设随机变量Y 服从参数为1的指数分布(1)E .定义随机变量0,1,k Y k X Y k≤⎧=⎨>⎩ , 1,2.k =(1)求12(,)X X 的联合概率函数； (2)分别求12,X X 的边缘概率函数.四、(10分)有100位学生在实验室测定某种化合物的PH 值，假设各人测量都是独立进行的，每人得到的测定结果服从相同的分布，且这个相同分布的期望为5，方差为4，设i X 表示第i 位学生的测定结果，1,,100i =，10011100i i X X ==∑，求(4.6 5.4)P X << . (要求用中心极限定理求解.)五、(16分) 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 1,01,02(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩且其它求(1)Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； (2)21Z X =+的概率密度函数()Z f z ；(3)(2)(2)E X Y D X Y --和； (4)11()22P Y X ≤≤.六、(14分)某医生为研究铅中毒患者与正常成年人的脉搏数的关系，他随机调查了9例患者，测得其脉搏数分别为129,,,x x x ,并由此算出99211675,50657i i i i x x ====∑∑. 设铅中毒患者的脉搏数服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和标准差σ的置信水平0.95的双侧置信区间.(请保留小数点后两位有效数字.)七、(16分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的概率密度函数为1,0(;)0x e x f x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩,其它 ，其中θ是未知参数,0θ>。