概率统计习题含答案

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九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中,属于概率的是:A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生,其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生,男生和女生被选到的概率相等。

那么,被选到的学生是男生的概率是多少?A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌,其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌,抽到红心牌的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数,抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据:10、12、14、16、18中,大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷,正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生,其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生,分别计算:a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少?b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少?2. 一副扑克牌中有52张牌,其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌,并将它们放回,再抽取一张牌。

计算:a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少?b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少?四、解答题1. 一组数据:5、7、9、11、13,从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析:一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题,希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

概率习题答案

概率习题答案

《概率统计》试题(一) 一、填空题1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生3)A 、B 、C 不多于一个发生2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。

则P(B )A =3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(AB)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 二、选择题1. 设A,B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 (A )P (A+B) = P (A); (B )()P(A);P AB =(C )(|A)P(B);P B = (D )(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 (A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销” (C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是(A )1/5 (B )2/5 (C )3/5 (D )4/5 4. 对于事件A ,B ,下列命题正确的是 (A )若A ,B 互不相容,则A 与B 也互不相容。

(B )若A ,B 相容,那么A 与B 也相容。

(C )若A ,B 互不相容,且概率都大于零,则A ,B 也相互独立。

(D )若A ,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立。

5. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是(A )A B ⊂ (B )B A ⊂ (C )A B -=∅ (D )()0P A B -= 三、计算题1. 10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。

概率统计习题带答案

概率统计习题带答案

概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1.设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ,试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2.若C B A ,,相互独立,试证明:C B A ,,亦必相互独立。

3.试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。

每种结果以),(21x x 记之,其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。

设事件}10|),{(2121=+=x x x x A , 事件}|),{(2121x x x x B >=。

试求)|(A B P 和)|(B A P4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。

问:(1)恰好第三次打开房门锁的概率?(2)三次内打开的概率?(3)如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n 个白球、m 个红球,乙袋中装有N 个白球、M 个红球。

今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。

试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。

试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。

试求下列事件的概率:(1)仓库发生意外时能及时发出警报;(2)乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设B A ,为两随机变量,试求解下列问题:(1) 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。

求:)|(B A P ; (2) 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。

《概率统计》练习题及参考答案

《概率统计》练习题及参考答案

习题一 (A )1.写出下列随机试验的样本空间: (1)一枚硬币连抛三次;(2)两枚骰子的点数和;(3)100粒种子的出苗数;(4)一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为C B A ,,。

试表示下列事件:(1)C B A ,,都发生或都不发生;(2)C B A ,,中不多于一个发生;(3)C B A ,,中只有一个发生;(4)C B A ,,中至少有一个发生; (5)C B A ,,中不多于两个发生;(6)C B A ,,中恰有两个发生;(7)C B A ,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A 与B 之间的关系:(1)检查两件产品,事件A =“至少有一件合格品”,B =“两件都是合格品”; (2)设T 表示某电子管的寿命,事件A ={T >2000h },B ={T >2500h }。

4.请叙述下列事件的互逆事件:(1)A =“抛掷一枚骰子两次,点数之和大于7”; (2)B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”; (3)C =“射击三次,至少中一次”;(4)D =“加工四个零件,至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求:(1)电话号码由完全不相同的数字组成的概率;(2)电话号码中不含数字0和2的概率;(3)电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求:(1)所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率;(2)所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ⋃;)(A B p 。

10.已知41)(=A p ,31)(=AB p ,21)(=B A p ,求)(B A p ⋃。

概率统计参考答案(习题一)

概率统计参考答案(习题一)

概率统计参考答案(习题一)1、 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点:(1) 同时郑三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和。

解:设三枚骰子点数之和为k ,k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=,事件B={k |k 3,4,...,14}=。

(2) 解:设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k),(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。

则Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。

2、 下列式子什么时候成立?解:AUB=A :成立的条件是B ⊂A ;(2)AB=A :成立的条件为A ⊂B 。

3、 设A 、B 、C 表示三事件,试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。

解:(1) 仅A 发生:ABC ;(2) A 、B 、C 都发生:ABC ;(3) A 、B 、C 都不发生:ABC ;(4) A 、B 、C 不都发生:ABC ;(5) A 不发生,且B 与C 中至少发生一事件:(A B C);(6) A 、B 、C 中至少有一事件发生:AUBUC ;(7) A 、B 、C 中恰好有一事件发生:ABC+ABC+ABC ;(8) A 、B 、C 中至少二事件发生: BC ABC ABC ABC A +++=(AB )U (AC )U (BC );(9) A 、B 、C 中最多一事件发生:BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。

4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问:(1)什么条件下,P(AB)取得最大值,最大值是多少?解:由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得到P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)<=0.5+0.6-0.6=0.5,此时,P(AUB)=0.6。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。

8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A{}Y X B >=,则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。

高中数学概率统计专题练习题及答案

高中数学概率统计专题练习题及答案

高中数学概率统计专题练习题及答案一、选择题1. 掷一枚骰子,结果为奇数的概率是多少?A. 1/2B. 1/6C. 2/3D. 1/32. 从1至20这20个数字中随机选出一个数,选出的数是素数的概率是多少?A. 1/5B. 1/4C. 1/2D. 2/53. 一只盒子中有5张红牌和3张蓝牌,从中随机抽取2张牌,同时放回,再随机抽取2张牌,求两次抽取都是红牌的概率是多少?A. 1/16B. 3/8C. 1/4D. 1/8二、计算题1. 一次考试中,甲乙丙三位同学都有70%的概率通过考试。

求三位同学中至少有一位通过考试的概率。

答案:1 - (1 - 0.7)^3 = 0.9732. 从1至100这100个数字中随机选出一个数,选出的数是2的倍数且小于等于50的概率是多少?答案:50/100 = 0.53. 有A、B两个车站,A车站开往B车站的列车间隔是15分钟,B车站开往A车站的列车间隔是10分钟。

现在一个人随机到达A车站,请问他至少要等待几分钟才能搭乘到开往B车站的列车?答案:最小公倍数(15, 10) = 30分钟三、应用题1. 每个学生参加一次足球比赛的概率是0.4,问一个班级20个同学中至少有10个学生参加比赛的概率是多少?答案:利用二项分布公式,计算P(X≥10),其中n=20,p=0.4,k≥10。

答案约为0.599。

2. 一批产品有10%的次品率,现从中随机抽取20个产品,求其中恰好有3个次品的概率。

答案:利用二项分布公式,计算P(X=3),其中n=20,p=0.1,k=3。

答案约为0.201。

3. 一支篮球队最近10场比赛中获胜的概率是0.8,在下一场比赛中,求该队至少获胜8次的概率。

答案:利用二项分布公式,计算P(X≥8),其中n=10,p=0.8,k≥8。

答案约为0.967。

以上为高中数学概率统计专题练习题及答案。

希望对您的学习有所帮助!。

概率与数理统计习题及详解答案

概率与数理统计习题及详解答案

概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:(1)第3次拨号才接通电话; (2)拨号不超过3次而接通电话. 解:设A 1={第i 次拨号接通电话},i =1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为:A 1+32121A A A A A +于是所求概率为P (A 1+32121A A A A A +)=P(A 1)+P(21A A )+P(321A A A )=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是.31(1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率;(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解:(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 P=.27431)311)(311(=⨯-- (2)易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD 3. (理科)摇奖器有10个小球,其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5,现摇出3个小球,规定所得奖金(元)为这3个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解:设此次摇奖的奖金数额为ξ元,当摇出的3个小球均标有数字2时,ξ=6;当摇出的3个小球中有2个标有数字2,1个标有数字5时,ξ=9; 当摇出的3个小球有1个标有数字2,2个标有数字5时,ξ=12 所以,157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ……9分 E ξ=6×539151121579157=⨯+⨯+(元)答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 ……………………12分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中(Ⅰ)三科成绩均未获得第一名的概率是多少?(Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ,则P (A )=0.9 P (B )=0.8,P (C )=0.85 …………………………2分(Ⅰ))()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1-P (A )]·[1-P (B )]·[1-P (C )]=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003答:三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分(Ⅱ)P (C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅)= P ()()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ =)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1-P (A )]·P (B )·P (C )+P (A )·[1-P (B )]·P (C )+P (A )·P (B )·[1-P (C )]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分5. 如图,A 、B 两点之间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.(I )设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ,当x ≥6时,则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率;(II )求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解:(I )411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P )6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P (II ))8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (11分) 答:(I )线路信息畅通的概率是43. (II )线路通过信息量的数学期望是6.5.(12分)6. 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时电路图,并说明理由. 解:记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3,则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P (Ⅰ)不发生故障的事件为(A 2+A 3)A 1.(2分)∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分(Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下:图1中发生故障事件为(A 1+A 2)·A 3∴不发生故障概率为 3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴ 图2不发生故障事件为(A 1+A 3)·A 2,同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1(12分)说明:漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件,甲机床废品率为0.05,而乙机床废品率为0.1,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求:(1)其中至少有一件废品的概率;(2)其中至多有一件废品的概率.解:设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”;B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P (A )=0.05, P(B)=0.1,(1)至少有一件废品的概率)7(145.090.095.01)()(1)2)((1)(分分=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P(2)至多有一件废品的概率 )12(995.09.095.01.095.09.005.0)(分=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8. (理科)甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差 解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B.设甲独立解出此题的概率为P 1,乙为P 2.(2分)则P (A )=P 1=0.6,P(B)=P 2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξE E D D E 9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E 发生,该公司要赔偿a 元.设在一年内E 发生的概率为p ,为使公司收益的期望值等于a 的百分之十,公司应要求顾客交多少保险金?解:设保险公司要求顾客交x 元保险金,若以ξ 表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,其分布列为:6分因此,公司每年收益的期望值为E ξ =x (1-p )+(x -a )·p =x -ap . 8分为使公司收益的期望值等于a 的百分之十,只需E ξ =0.1a ,即x -ap =0.1a , 故可得x =(0.1+p )a .10分 即顾客交的保险金为 (0.1+p )a 时,可使公司期望获益10%a .12分 10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是0.2.(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字);(2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).解:(1)这批食品不能出厂的概率是: P =1-0.85-15C ×0.84×0.2≈0.263. 4分 (2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:P 1=14C ×0.2×0.83×0.8 8分五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是:P 2=14C ×0.2×0.83×0.2 10分由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批产品是否出厂的概率是:P =P 1+P 2=14C ×0.2×0.83=0.4096. 12分11. 高三(1)班、高三(2)班每班已选出3名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛;②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21(Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?解:(I )参加单打的队员有23A 种方法. 参加双打的队员有12C 种方法.……………………………………………………2分所以,高三(1)班出场阵容共有121223=⋅C A (种)………………………5分(II )高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜,………………………………………………………………………7分所以,连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯………………………………10分 12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.解: (Ⅰ)设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ,则 73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P (A+B )=P (A )+P (B )=76 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 (Ⅱ)设摸出的4个球中全是白球为事件C ,则P (C )=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件 其概率为14131411=-………………12分 13. 一名学生骑自行车上学,从他的家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是31. (I )求这名学生首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率;(II )求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.解:(I )27431)311)(311(=--=P …………………………………………4分 (II )依题意ξ~),31,6(B ……………………………………………………7分 2316=⋅=∴ξE ……………………………………………………………9分 34)311(316=-⋅⋅=ξD ……………………………………………………12分 14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是.31(1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率;(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解:(1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,所以 P=.27431)311)(311(=⨯-- (2)易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD1、 写出下列随机试验的样本空间。

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作业2(修改2008-10)4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L .5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是5/8,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kk k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.2) 用泊松近似律计算 331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!kk k kk k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑∑.8. 设X 服从泊松分布,分布律为(),0,1,2,!kP X k e k k λλ-===L .问当k 取何值时{}P X k =最大?解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k =L ,则1/!/(1)!k k k e k a ke k λλλλλ+--==-,数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得1) 若1λ<,则(0)P X =最大.2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有[]{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数.12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()(,0)[0,1)0()()()0()0x xxF x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞-∞-∞==⋅+⋅+⎰⎰⎰⎰()01[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞-∞+⋅++-⎰⎰⎰()12[2,)12()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞+∞-∞+⋅++-+⋅⎰⎰⎰⎰()()112[0,1)[1,2)[2,)011()()(2)()(2)x xI x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰⎰⎰⎰22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.解 1021001()502cx p x dx cxdx c +∞-∞====⎰⎰, 1/50c =.2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0()()()()()()50100xxv x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞==+=+⎰⎰. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤8288222()3/550100x x p x dx dx ====⎰⎰.15. 设随机变量X 的密度为2x xce -+.求常数c .解 2221/2(1/2)1/41/41/1x t x xx t cedx c e dx ce e dt ce π=++∞+∞+∞-+--+--∞-∞-∞====⎰⎰⎰.由上式得1/41/2c e π--=.15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 20.10.2求边缘分布.解 X 有分布k x0 1 2 ()k P X x =0.40.30.3Y 有分布k y0 1 2 3 ()k P Y y =0.10.20.30.4因为0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,所以X ,Y 不独立.18. 设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.解 1()(622)/62/32P X Y ≤=-⨯⨯=,1(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=⨯⨯=,(,1)1/12(1|)1/8()2/3P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.22. 随机向量(,)X Y 有联合密度(,)(,)E p x y x y =,其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解()222cos sin 20001(,)2x r y r Rx y Rp x y dxdy d cdr cR θθπθπ==+∞+∞-∞-∞<+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰因而12c Rπ=.而222{(,)}(,)Dx y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==⎰⎰⎰⎰()cos sin 201/2x r y r rd dr r R R θθπθπ====⎰⎰.27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,10.9α=,20.95α=,30.99α=.解122()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσαμσμσ+---=-<<+=⎰2/2()()2()1iix t k t i i i kdt k k k σμ=+--==Φ-Φ-=Φ-⎰. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.解2 设1~(0,1)2X Z N -=,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--⎛⎫=-<<+==<<⎪⎝⎭()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.28. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200~(0,1)X Z N σ-=,则~(0,1)Z N .195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--⎛⎫<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ⎪⎝⎭.{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥⇔Φ-≥15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-⇔≥Φ=⇔≤=.28. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度/21/2(0,)/21()()2(/2)k x X k p x x e I x k --+∞=Γ.求Y . 解1当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤=≤=≤=, 222/21/22(0,)/21()()2()2()()2(/2)k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===⋅Γ ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ. 因而()()2/21/2(0,)2/2()()/2k k kyY k p y y e I y k --+∞=Γ.解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数12()f y ky ϕ-==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/21/22(0,)/212()()2(/2)k ky k ky ky e I ky k --+∞=⋅Γ()()2/21/22/2/2k k ky k y e k --=Γ.29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为222/(0,)()()xX p x I x α-+∞.其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,22/()(0,)()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'==222/()2/()y m y m αα--==. 因而22/()(0,)()()y m Y p y I y α-+∞.解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数1()f y ϕ-==y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=22/()(0,)y m X p I α-+∞=22/()(0,)()y m I y α-+∞.30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.解 X 有密度[1,2}1()()3X P x I x -=.Y 有分布函数()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤[0,)()(I y P X +∞=[0,)()()XI y x dx +∞=[0,)[1,2]()()I y x dx +∞-=[0,1)[1,4)[4,)1()()()3I y I y I y dy +∞-=++[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+.31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度[0,2]1()()2p I πθθπΘ=. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ⎛⎫⎛⎫=Θ≤=≤Θ≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因而落点的横坐标X 有概率密度(1,1)()()()X Xp x F x x -'==..34. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数1()y f y e ϕ--==, y G ∈,其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ϕϕ---+∞+∞'===.36. 设X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度. 解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞=-⎰()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-⎰ ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞=⎰1()()[0,1)[1,)0()()zz x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+⎰⎰ [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.37. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-和(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,()(0,)()()()()zs Z Zp z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,()(0,)()()(())()z z z Z Zp z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰()()(0,)(0,)0()()zz x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==⎰⎰.因此,当αβ≠时, (0,)()()()z z Z p z e e I z αβαββα--+∞=--, 当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.38. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1110(,)(1)s t B s t u u dx --=-⎰为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)解 (见命题A .2.1)43. 设12,,,n X X X L 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度()/1(0,)()()mx m mmp x x e I x ηη--+∞=.证明12min(,,,)n X X X L 仍服从威布尔分布. 证 i X 1,i n =L 有分布函数 ()/1(0,)0()()mx v m mmF x I x vedv ηη--+∞=⎰,()()()///(0,)(0,)0()(1)()m mmv tx x tI x e dt eI x ηηη=--+∞+∞==-⎰.设12min(,,,)n Z X X X =L ,则Z 有分布函数11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤L L 11()()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=--L .()()//(,0](0,)(0,)1()()1()mmn nx x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,接下来的证明过程可以有两种。

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