概率统计习题含答案

作业2（修改2008－10）

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面

都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.

解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布

11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L .

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算

3

1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k

k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算 331004

1000

04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!

k

k k k

k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑

∑

.

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,!

k

P X k e k k λλ-==

=L .

问当k 取何值时{}P X k =最大？

解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k =L ,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλλ+--==-,

数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.

若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]

{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩

不是整数最大或是整数.

12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()

(,0)[0,1)0

()()()0()

0x x

x

F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞

-∞

-∞

==⋅+⋅+⎰

⎰⎰

⎰

()01

[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞

-∞

+⋅++-⎰

⎰

⎰

()

12[2,)

1

2

()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞

+∞-∞

+⋅++-+⋅⎰

⎰⎰⎰

()()

1

1

2

[0,1)[1,2)[2,)0

1

1

()()

(2)()

(2)x x

I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰

⎰⎰

⎰

22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.

11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.

解 10

2

100

1()502

cx p x dx cxdx c +∞

-∞

===

=⎰

⎰

, 1/50c =.

2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0

()()()()()()50100

x

x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞

==+=+⎰

⎰

. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

8

28

8

2

22

()3/550100x x p x dx dx ====⎰

⎰.

15. 设随机变量X 的密度为2

x x

ce -+.求常数c .

解 222

1/2(1/2)1/41/41/1x t x x

x t ce

dx c e dx ce e dt ce π=++∞+∞+∞-+--+--∞

-∞-∞

====⎰

⎰

⎰

.

由上式得1/41/2c e π--=.

15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:

Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 2

0.1

0.2

求边缘分布.解 X 有分布

k x

0 1 2 ()k P X x =

0.4

0.3

0.3

Y 有分布

k y

0 1 2 3 ()k P Y y =

0.1

0.2

0.3

0.4

因为

0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,

所以X ,Y 不独立.

18． 设随机向量

(,)

X Y 服从矩形