2020春北师大版数学九年级下册(BS)第三章 圆周周测12(3.8)
北师大版九年级数学下学期第三章 圆 单元考试测试卷 含有答案
)含有答案北师大版九年级数学下学期第三章( 单元考试测试卷圆单元测试卷圆北师大版九年级（下学期）数学第三章120分钟时间：满分：120分班级：__________姓名：__________得分：__________一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）1A．AC＝AB B．∠C＝∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD 2第2题图第3题图第5题图3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交5．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E.若∠AOB＝3∠ADB，则（）A．DE＝EB B.2DE＝EB C.3DE＝DO D．DE＝OB6．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm7．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．123mm C．6mm D．63mm8．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝140°，则∠A 的度数是（）9/ 1)含有答案单元考试测试卷圆(北师大版九年级数学下学期第三章．110° D B．105°C．100°A．70°10题图第第9题图第8题图的O为⊙C，BDAO，AO与⊙O交于点9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接）O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（直径，连接CD.若∠A＝30°，⊙2π4π4π3 － D.3 B.－23 C．π－A.－3 333ADC△ABC和P和⊙Q分别是△4，BC＝3，连接AC，⊙ABCD10．如图，矩形中，AB＝）PQ的长是（的内切圆，则552 ．2 D C. B.5 A. 22)24分(每小题3分，共二、填空题，＝120°BC，若∠AOBACO的半径，点C在⊙O上，连接，11．如图，OA，OB是⊙.＝________°则∠ACB13题图第第12题图第11题图＝若∠DAB的延长线于点D.C．如图，过⊙O上一点作⊙O的切线，交⊙O的直径12_______. A的度数为40°，则∠与小圆相AB5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦13．如图，两同心圆的大圆半径长为_________.的长是切，切点为C，则弦AB_______.则AC的长为＝∠4，∠ABCDAC，的外接圆，14．如图，⊙O是△ABC直径AD＝第16题图题图15 题图第14 第则该圆锥形漏斗的．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，15_________.侧面积为_为半径的ABAABCDEF3如图，16．将边长为的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，9/ 2圆单元考试测试卷(北师大版九年级数学下学期第三章含有答案)扇形(忽略铁丝的粗细)．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为__________. ]。
北师大版九年级数学下册第三章圆单元检测试题(有答案)
第三章圆单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）1.下列说法正确的有（）A.优弧的长一定大于劣弧的长B.以圆心为端点的线段是半径C.半径相等的两个半圆是等弧D.不同的圆中，就不可能有相等的弦长2.下列说法正确的是（ ）A.半径不相等的圆叫做同心圆B.优弧一定比劣弧长C.不同的圆中可能有相等的弦D .半圆一定比直径长3 .已知O 。
的半径为5,直线EF 经过。
上一点P（点E,尸在点P 的两旁），下列条件能判定直线EF 与。
相切的是（）B.OE =。
尸D.OP 1 EF4 .如图，PA 与。
切于点4 P8C 是。
的害I 线，如果PB = 8C = 2,那么R4的长为A.OP=5 C.0到直线EF 的距离是4A.2B.2\/2C.4D.85.如图，在。
中，乙4。
8的度数为m, C 是弧SC8上一点，I C乏 （不与4、8两点重合），则乙D +乙E 的度数为（） K-八E 是弧人8上不同的两点 3A.mB.1800 -- 2 6.如图，半径为2的。
0中，弦Z 内心，经过8、C 、P 三点作OM, A.发生变化，随4位置决定 C .有最大值为2机C9。
+ 万 D.y 3C = 273, /是优弧BC 上的一个动点，P 点是△ABC 的 管 当点4运动时，OM 的半径（） ----------- B.不变，等于2 D .有最小值为17 .如图，在O 。
中，点C 是防的中点， 公CA.400B.500 C 乙。
力& = 40°,贝1]480c 等于（） ：.70° D.800 切点依次是E 、F 、G 、H,下列结论一定正确①力尸=BG ②CG = CH ③力B +CD =AD + BC ④BG < CG9.如图，正六边形48CDEF 内接于O 。
，力8 = 2,则图中阴影部分的而积为（）D.4TT10.如图，四边形力BCD 内接于。
北师大版数学九年级下第三章圆全章综合测评题
全章综合测评题一、选择题1.一个钢管放在V 形架内，如果是其截面图，（）为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm ，60MPN ∠=︒，则OP =（）A.50cmB.D. 2.如图，O 是ABC △的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的大小为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒3.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC △的顶点都在格点上，将ABC △绕点C 顺时针旋转60︒，则顶点A 所经过的路径长为（）A.10π D.π 4.若一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的13，则它的边数是（）. A.6 B.4 C.5 D.85.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（）.A.8或6B.10或8C.10D.8二、填空题6.已知半径为5cm 的圆的两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则两弦之间的距离为________.7.如图，P 是O 外一点，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C 作O 的切线，分别交PA 、PB 于D 、E .若PDE △的周长为20cm ，则PA 长为___________.8.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 向前平移的距离为____cm .9.如图，正三角形ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120︒至1AP ；将线段1BP 绕点B 顺时针旋转120︒至2BP；将线段2CP 绕点C 顺时针旋转120︒至3CP ；将线段3AP 绕点A 顺时针旋转120︒至4AP ，此时曲线1234CPP P P 的长度是_______________.10.正六边形的两对边之间的距离是12cm，则边长是____________cm.11.如图所示，在ABC△中，4BC=，以点A为圆心、2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是A上的一点，且40∠=︒，则图中阴影部分的面积EPF为____________.三、解答题12.如图，AB是O的直径，D为AB延长线上的一点，且BD OB=，点C在O上，∠=︒.CD是O的切线吗？为什么？30CAB13.如图，AC是O的直径，PA是O的切线，A为切点，连接PC交O于点B，连接AB，且10PA=.PC=，6求：（1）O的半径；（2）cos BAC∠的值.14.Rt ABC△的斜边4AB=，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积.15.如图1，2，3，…，n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON.（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是__________；∠的度数是_________，图3中MON（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系.（直接写出答案）瞭望角为什么车轮做成圆的?路上行驶的各种车辆，都有圆形的轮子.中国古时候就造出了装有圆形车轮的车辆.为什么车轮要做成圆形的呢?观察图3-1，车辆在平坦的地面上行驶时，车轮O 与地面上一条直线l 是相切的，由圆的切线定义可知，在车轮向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离等于车轮的半径.如果把车厢装在过轮子中心的车轴上，那么车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳.试想一下，如果车轮不是圆的（如图3-2），坐在车上的人会是什么滋味呢？实际上，车轮做成圆的，还有其他原因.在八年级物理中，我们知道，物体滚动时，要比滑动时的摩擦小，而圆形物体是最容易滚动的.从圆形车轮出现到现在已有几千年了，它在人类进步中发挥了巨大作用，目前这个世界上已到处是车轮滚滚.创新寄语一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.——毕达哥拉斯全章综合测评题 答案一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.B二、6.1cm 或7cm 7.10cm 8.20π 9.20πcm 3 10. 11.84π9- 三、12.略.13.（1）4 （2）3514.解：法一：由题意知：cos45AC AB =⋅︒=连接OE ，则OE BC ⊥.90C ∠=︒，OE AC ∴∥.又OA OB =，12OE BE EC AC ∴=== ()π222OBE OEF S S S ∴=-=-阴扇形△. 法二：由对称性知，()14O S S S =-阴正方形， (221ππ242S ⎡⎤∴=-=-⎢⎥⎣⎦阴. 15.（1）解：法一：连接OB 、OC .正ABC △内接于O ，30OBM OCN ∴∠=∠=︒，120BOC ∠=︒.又BM CN =，OB OC =，OBM OCN ∴△≌△BOM CON ∴∠=∠，120MON BOC ∴∠=∠=︒.方法二：连接OA 、OB .正ABC △内接于O ，AB AC ∴=，30OAM OBN ∠=∠=︒，120AOB ∠=︒.又BM CN =，AM BN ∴=.又OA OB =，AOM BON ∴△≌△，AOM BON ∴∠=∠，120 MON AOB∴∠=∠=︒.（2）90︒，72︒. （3）360 MONn︒∠=.。
北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案
《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。
2022年最新北师大版九年级数学下册第三章 圆专题测评试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（ ）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°2、如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，OA ，OB ．若∠AOB =140°，则∠ACB 为（ ）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°3、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A．6 B．3 C．9 D．124、如图，等边△ABC内接于⊙O，D是BC上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE•DA；③若AD＝2，则四边形ABDC CF＝83π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．30°6、如图，O的半径为10cm，AB是O的弦，OC AB⊥于D，交O于点C，且CD=4cm，弦AB的长为（）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm7、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB ＝70°，则∠P 的度数为（ ）A ．70°B ．50°C ．20°D ．40°8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°9、如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中点C ，D ，E 在AB 上，点F ，N 在半圆上．若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）A ．25B ．50C ．30π-D ．502π-10、已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．2、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .3、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝AC的长为_____．4、如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，点A、点B为切点，线段OP交⊙O于点M．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心．其中正确的结论是_____（填序号）．5、AB 是O 的内接正六边形一边，点P 是优弧AB 上的一点（点P 不与点A ，B 重合）且BP OA ∥，AP 与OB 交于点C ，则OCP ∠的度数为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、．如图，ABC 内接于O ，AD BC ⊥交O 于点D ，垂足为点H ，连接BD ，CD ，105AOC ∠=︒，7.5CAD ∠=︒（1）求BAC ∠的度数；（2）过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ，连接OA ，OC ，OB ，EH ，FH ，若O 的半径为1，求EH FH +的值．2、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）求证：四边形AFCD是菱形．3、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB 是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，0MN=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝O的半径．5、如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB=140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．3、A【分析】连接AC，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC．∵AB 是直径， ∴∠ACB =90°，∵∠CAB =∠CDB =30°，∴AB =2BC =6，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、C【分析】如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DE DA DC=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S扇形COG ＝2604360⨯π＝83π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．【详解】解：如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵等边△ABC内接于⊙O，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，故①正确；∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠ADC，又∠DBE＝∠DAC，∴△DBE∽△DAC，∴DB DE DA DC,∴DB•DC＝DE•DA，∵D是BC上任一点，∴DB与DC不一定相等，∴DB•DC与DB2也不一定相等，∴DB2与DE•DA也不一定相等，故②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，∵∠ABK +∠ABD ＝180°，∠ACD +∠ABD ＝180°，∴∠ABK ＝∠ACD ，∴AB ＝AC ，∴△ABK ≌△ACD （SAS ），∴AK ＝AD ，S △ABK ＝S △ACD ，∴DH ＝KH ＝12DK ，∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝2，∴DH ＝12AD ＝1，∴DK ＝2DH ＝2，AH =∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK故③正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，则OA＝OG＝OC，∵CF切⊙O于点C，∴CF⊥OC，∵AF⊥CF，∴AF∥OC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝1×（180°﹣120°）＝30°，2∴∠CAG＝∠OCA＝30°，∴∠COG＝2∠CAG＝60°，∴∠AOG＝60°，∴△AOG和△COG都是等边三角形，∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG，∴四边形OABC是菱形，∴OA∥CG，∴S△CAG＝S△COG，∴S阴影＝S扇形COG，∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°，∴∠FCG＝30°，∵∠F＝90°，CG，∴FG＝12∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝∴（12CG ）2+（2＝CG 2，∴CG ＝4，∴OC ＝CG ＝4，∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2604360⨯π＝83π， 故④正确，∴①③④这3个结论正确，故选C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、D【分析】连接OB ，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得60BOD ∠=︒，根据切线的性质可得90OBD ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得D ∠．【详解】解：连接OBBE BE =30BAE BCE ∴∠=∠=︒OB OA =30OBA OAB ∴∠=∠=︒60BOD OBA OAB ∴∠=∠+∠=︒BD 是⊙O 的切线90OBD ∴∠=︒30D ∴∠=︒故选D【点睛】本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．6、A【分析】如图所示，连接OA ，由垂径定理得到AB =2AD ，先求出6cm OD OC CD =-=，即可利用勾股定理求出AD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cmOD OC CD=-=，∴8cmAD==，∴216cm==，AB AD故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．7、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9、A【分析】连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．【详解】解：如图，连接ON，OF，AB ，∵直径10∴ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，因为x+y＞0，所以x+DO-y=0，即y-DO=x，代入②，得x2+y2=25，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是25．故选：A【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．10、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP <，由此即可得出答案．【详解】解：O 的半径为5，点P 在O 内，5OP ∴<，观察四个选项可知，只有选项A 符合，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．二、填空题1、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n ︒． 2、3cm【分析】根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．【详解】∵⊙O 的直径为6cm ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵点P 在⊙O 上，∴3cm =PO ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点P 在⊙O 外，则PO r >，点P 在⊙O 上，则PO r =，点P 在⊙O 内，则PO r <．3、4π3【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==，∴OAB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =， ∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：2r 或2r =-（舍去）， ∴AC 的长为：120241803ππ⨯⨯=， 故答案为：43π． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．4、①②③【分析】根据切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③，利用反证法判断④．【详解】 解：如图， ,PA PB 是O 的两条切线，,,PA PB APO BPO ∴=∠=∠ 故①正确，,,PA PB APO BPO =∠=∠,PO AB ∴⊥ 故②正确，,PA PB 是O 的两条切线，90,OAP OBP ∴∠=∠=︒取OP 的中点Q ，连接,AQ BQ ，则1,2AQ OP BQ == ∴以Q 为圆心，QA 为半径作圆，则,,,B O P A 共圆，故③正确，M 是AOP 外接圆的圆心，,MO MA MP AO ∴===60,AOM ∴∠=︒ 与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是①②③．故填①②③．【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查的是切线长定理、三角形的外接圆、四边形的外接圆等知识点，综合运用圆的相关知识是解答本题的关键．5、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键三、解答题1、（1）45︒；（2）EH FH +=【分析】（1）根据圆周角定理，计算∠ABC 的大小，利用互余原理计算∠BAD ，最后，利用两个角的和，计算∠BAC ；（2）证明CDB FDE ∽，再求EH FH +的值．【详解】（1）∵105AOC ∠=︒ ∴152.52ABC AOC ∠=∠=︒∵AH BC ⊥于点H∴90AHB ∠=︒∴18037.5BAH AHB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∵7.5CAD ∠=︒∴45BAC CAD BAH ∠=∠+∠=︒（2）如图过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F∵90∠=∠=︒，DHB DEB∴D､H､E､B四点共圆，∴EHB EDB∠=∠，同理可得，∠=∠，D､H､C､F四点共圆，CHF CDF∵90CHF CDF DCF∠=∠=︒-∠，∠=︒-∠=∠，DCF ACD ABD180∴9090∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠CHF CDF DCF ABD EDB EHB 即CHF EHB∠=∠，∴E､H､F三点共线，∴EH FH EF+=，∵HED HBD∠=∠，∠=∠，DCH DFH∴在CDB△与FDE中FED HED HBD CBD ∠=∠=∠=∠，EFD HFD HCD BCD ∠=∠=∠=∠，∴CDB FDE ∽△△， ∴EF DE BC DB=， ∵52.5ABC ∠=︒，7.5DBC ∠=︒，∴60ABD ABC DBC ∠=∠+∠=︒，∴sin DE ABD BD =∠=， ∵1OB OC ==，290BOC BAC ∠=∠=︒，∴BC ==∴EF BC ==，即EH FH +=【点睛】本题考查了圆周角定理，四点共圆，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值，是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC 、AC ，证明△ACD 为等边三角形，得出∠ADC =∠DCA =∠DAC =60°，∠OCD =30°，由FG ∥DA ，得出∠DCF =180°-∠ADC =120°，则∠OCF =∠DCF -∠OCD =90°，即FG ⊥OC ，即可得出结论；（2）证明AF ∥DC ，由FG ∥DA ，得出四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）证明：连接OC、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°，∵FG∥DA，∴∠D=∠DCG=60°，∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线；（2）证明：∵AF与⊙O相切，∴AF ⊥AG ，∵DC ⊥AG ，∴AF ∥DC ，∵FG ∥DA ，∴四边形AFCD 为平行四边形．∵DC ＝AD ，∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG 是⊙O 的切线是解题的关键．3、（1）2；（2）①1(0,)2M ；②02S ≤≤；（3）1916π⎛ ⎝⎭;（4）1y >或1y <- 【分析】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2，根据两点的距离可得2,EF CD EF ===而即可求得答案；（2）①根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得M 的坐标；②由①可得当0S =时，y M 1=2，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =，根据余弦求得11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠==进而代入数值列出方程，解方程即可求得S 的最大值，进而求得S 的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线，求得半径为1算即可；（4）根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，即3OO 的中点1A 在以S l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围【详解】（1）O 的半径为1，则O 的最长的弦长为2根据两点的距离可得2,EF CD EF ===2,2,2EF CD EF ∴<<>故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）①如图，过点B 作BO y '⊥轴于点O '，连接11A BA 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），∴AB ==45BAO '∠=︒，(0,1)O 'O 的半径为1，1190AOB ∠=︒11A B ∴1145B A O =︒线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，()00O ，，(0,1)O ' 1(0,)2M ∴ ②由①可得当0S =时，y M 1=2如图，设当S 取得最大值时，过点1O 作1O P y ⊥轴，根据题意，122,,O A B 分别为沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S 后,,O A B '的对应点，则1O P PO '=S =， (0,1)O '1(,1)O S S ∴+()222211221OO S S S S ∴=++=++ 过1OO 中点Q ，作直线l 1OO ⊥交y 轴于点M ,则l 即为反射轴1(,)22S S Q +∴ 12≤y M 136≤，136OM ∴= 11cos cos QO PO MOQ O OP OM OO ∠=∠== 即11112136OO S OO += 即()21113126OO S =+⨯ ∴()2113126S S S ++=+ 解得1252,6S S ==-（舍）02S ∴≤≤（3）1MN =∴1M N ''= O 的半径为1，则M N O ''是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到MN 所在的2O 的圆心，如图，以MN 为边在O 内作等边三角形2O MN ，连接2OO ，取2OO 的中点R ,过R 作2OO 的垂线l ，则l 即为反射轴,∴反射轴l 未经过的区域是以O 为圆心OR 为半径的圆，反射轴l 是该圆的切线222OO ∴==2112OR OO ∴==∴当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积为2191=16ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭． （4）如图，根据（2）的方法找到MN 所在的圆心3O ,设(2,0)T则TM =2MN =3O MN 是等腰直角三角形3O L ML ∴,TL ∴==3TO ∴=当M 点在圆上运动一周时，如图，取3OO 的中点1A ，OT 的中点S ，1SA ∴是3OO T 的中位线1312SA O T ∴==,13SA TO ∥即3OO 的中点1A 在以S∴若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，则l 为S 的切线设S 与y 轴交于点,C D 112OS OT ==，1SC SA =1OC ∴=同理可得1OD =∴反射轴l 与y 轴交点的纵坐标y 的取值范围为1y >或1y <-【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键．4、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB ，根据平行四边形的性质得到∠ABC =∠D =60°，求得∠BAC =30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO =∠OAB =30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC =AD，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC =∠D =60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°，∴∠BAC =30°，∵BE =AB ，∴∠E =∠BAE ，∵∠ABC =∠E +∠BAE =60°，∴∠E =∠BAE =30°，∵OA =OB ，∴∠ABO =∠OAB =30°，∴∠OBC =30°+60°=90°，∴OB ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =23 ，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH ︒=4， ∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）见解析；（234π-【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠A+∠ABC＝90°∵DO⊥AB，∴∠A+∠D＝90°∴∠D＝∠ABC；（2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α，∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α，在△BCO中，α+α+90°+α＝180°，∴α＝30°∴∠A＝60°，D ABC∠=∠，∵OA＝12AB＝3，∴OC ＝OA ＝3，又ACB AOD ∠=∠ACB AOD ∴≌ABC ADO S S ∴=AO BO = 12AOC ABC S S ∴=∴OD=∴S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC ＝12⨯2303360π⋅⋅﹣11322⨯⨯⨯34π． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，求扇形面积公式，根据S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC 求解是解题的关键．。
(完整)北师大版九年级下册数学第三章圆单元测试(含答案),推荐文档
一、选择题第三章圆1. 已知⊙O 的直径为 10，点 P 到点 O 的距离大于 8，那么点 P 的位置（ ）A. 一定在⊙O 的内部B. 一定在⊙O 的外部C. 一定在⊙O 上D. 不能确定2. 乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为 8m ，水面宽 AB 为 8m ，则桥拱半径 OC 为（ ）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m3. 给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个4. 一个扇形的圆心角是 120°，面积为 3πcm 2， 那么这个扇形的半径是（） A. cm B. 3cmC. 6cmD. 9cm5. 如图，点 A,B,C 均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过 A,O,C 作⊙D ，E 是⊙D 上任意一点，连结 CE, BE ，则的最大值是（ ）A. 4B. 5C. 6D.6. 如图，在⊙O 中，弦 AC与半径OB 平行，若∠BOC=50°，则∠B 的大小为（）A. 25°B. 30°C. 50°D. 60°7.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（）A.圆的直径互相平分B.垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧C.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴8.如图，AB 为⊙O 的直径，点E、C 都在圆上，连接AE，CE，BC，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D，若∠AEC=25°，则∠D 的度数为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 74°9.如图，四边形ABCD 内接于圆O，E 为CD 延长线上一点，若∠B=110°，则∠ADE 的度数为（）A. 115°B. 110°C. 90°D. 80°10.已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OAB=40°，则∠ACB 的大小为（）A. 20°B. 50°C. 20°或160°D. 50°或130°11.如图，⊙O 内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD 的长度为（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D 在半径OA 上，点F 在半径OB 上，点E 在上，则扇形与正方形的面积比是（）A. π：8B. 5π：8C. π：4D. π：4二、填空题13.PA，PB 分别切⊙O 于A，B 两点，点C 为⊙O 上不同于AB 的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB 的度数是．14.如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD 交⊙O 于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为．15.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AOC=40°，D 是BC 弧的中点，则∠ACD= ．16.如图所示，⊙I 是Rt△ABC 的内切圆，点D、E、F 分别是且点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I 的周长为cm．17.如图，PA，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于E，PA=6，则△PDC 的周长为.18.如图，⊙O 的半径为6cm，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A，AB=OA，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为时，BP 与⊙O 相切．19.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE= .20.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AG=4，那么BC 的长为．21.如图，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以点A 为圆心，1 为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点D，E，以点C 为圆心，3 为半径作圆弧，分别交AC，BC 于点A，F．若图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为．22.如图所示，在半圆O 中，AB 为直径，P 为弧AB 的中点，分别在弧AP 和弧PB 上取中点A1和B1，再在弧PA1和弧PB1上分别取中点A2和B2，若一直这样取中点，求∠A n PB n= ．三、解答题23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A．求证：CD 是⊙O 的切线.24.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32°，D 是弧AC 的中点，求∠DAC 的度数．25.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP∥AC，交BA 的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．26.（2017•通辽）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为的中点，连接OD 交弦AC 于点F，过点D 作DE∥AC，交BA 的延长线于点E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE 的面积．参考答案一、选择题B B A BC AD B B D D B二、填空题13. 70°或110°14. 4 15.125°16. 2π17. 1218. 2 秒或5 秒19. 50°20. 1221. - π22. 180°﹣×180°三、解答题23.解：证明：连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠DCB=∠A，∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=90°，∴OC⊥DC，∴CD 是⊙O 的切线．24.解：连接BC，∵AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°﹣32°=58°，∴∠D=180°﹣∠B=122°（圆内接四边形对角互补），∵D 是弧的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°﹣∠D）÷2=29°，即∠DAC 的度数是29°．25.证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA=∠DAC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠PDA=∠DBC．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB．∴△PAD∽△DCB．得PA：DC=AD：BC，即AD•DC=PA•BC．26.（1）证明：∵D 为的中点，∴OD⊥AC，∵AC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线（2）解：连接DC，∵D 为的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∵AC∥DE，且OA=AE，∴F 为OD 的中点，即OF=FD，在△AFO 和△CFD 中，∴△AFO➴△CFD（SAS），∴S△AFO=S△CFD ，∴S 四边形ACDE=S△ODE在Rt△ODE 中，OD=OA=AE=4，∴OE=8，∴DE= =4 ，∴S 四边形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2023年北师大版九年级数学下册第三章《圆》复习检测试卷附答案解析
2023年九年级数学下册第三章《圆》复习检测试卷一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C ，D 在AB 的异侧，连接AD ，BD ，OD ，OC ，若∠ABD ＝15°，且AD ∥OC ，则∠BOC 的度数为（）A ．120°B ．105°C ．100°D ．110°2．如图，⊙O 的直径BC=12cm ，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，AC=BC ，AB 与⊙O 交于点D ，则 CD的长是（）A ．πcmB ．3πcmC ．4πcmD ．5πcm 3．已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P （）A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．无法确定4．三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为（）A ．32πB πC ．2πD ．3π5．如图，ABC 中，8AB AC ==，BC =BC 边上一点O 为圆心作O ，分别与AB ，AC 相切于点D ，E ，则AD 的长为（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．66．如图，四边形ABCD 的顶点B ，C ，D 都在A 上，//AD BC ，140BAD ∠=︒，3AC =，则 BC的弧长为（）A ．53πB ．52πC ．32πD ．56π7．如图，在扇形纸片OAB 中，10,36,OA AOB OB =∠=︒在桌面内的直线l 上.现将此扇形在直线l 上按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 落在l 上时，停止旋转.则点O 所经过的路线长为（）A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π8．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.设∠A ＝α，∠D ＝β，则（）A ．α﹣βB ．α+β＝90°C ．2α+β＝90°D ．α+2β＝90°9．两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为（）A ．12.5B ．25C ．20D ．1010．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A 经过点E ，B ，O ，C 且点O 为坐标原点，点C 在y 轴上，点E 在x 轴上，A （﹣3，2），则cos ∠OBC 的值为（）A ．23B ．13C ．13D ．211．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B=135°，则 AC 的长（）A．4πB．2πC．πD．2 3π12．如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC ＝2，则OC的最大值为（）A．22＋2B．22＋4C．25D．25＋2二、填空题13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为.14．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．15．如图，MN是⊙O的直径，若∠A=10°，∠PMQ=40°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是边形．16．如图，已知点C是弧AB上的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=度.17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为．三、解答题18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．19．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．20．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．21．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB＝8，∠A＝22.5°，求CD的长．22．已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．23．如图，直线y=333x 与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，求横坐标为整数的点P的个数.答案解析部分1．B2．B3．C4．C5．A6．A7．B8．9．A 10．B11．B12．A 13．50°14．5015．616．11017．4π﹣1218．解：连接OC ，∵弦CD ⊥AB ，∴CE=12CD=8，在Rt △OCE 中，OE==6．19．【答案】解：（1）△ACD 是等腰三角形．理由：连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AED=90°，∴AE ⊥CD ，∵CE=ED ，∴AC=AD ，∴△ACD 是等腰三角形；（2）证明：∵∠ADE=∠DEF+∠F ，∠OEF=∠OED+∠DEF ，而∠OED=∠B ，∠B=∠F ，∴∠ADE=∠OEF ．20．【答案】解：过点O 作OG ⊥AP 于点G连接OF ∵DB=10cm ，∴OD=5cm ∴AO=AD+OD=3+5=8cm∵∠PAC=30°∴OG=12AO=cm∵OG ⊥EF ，∴EG=GF∵GF=cm ∴EF=6cm ．21．【答案】解：∵AB=8，∴OC=OA=4，∵∠A=22.5°，∴∠COE=2∠A=45°，∴CE=OE∵直径AB 垂直弦CD 于E ，∴222CE OE OC +=，即2216CE =∴CE =，∴CD ＝．22．【答案】解：过点O 作OG ⊥AP 于点G ，连接OF ，解直角三角形OAG 可得OG ，AG 的值，然后再利用垂径定理求EF 的值．23．【答案】解：∵直线y=3x +与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，∴A 点的坐标为(-3，0)，B 点的坐标为(0，)，∴AB=2.如图，将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相切于C 1时，连结P 1C 1，则P 1C 1=1，易知△AP 1C 1∽△ABO ，=，∴AP 1=2，∴P 1的坐标为(-1，0)，同理可得P 2的坐标为(-5，0).-5与-1之间的整数(不含-5和-1)有：-4，-3，-2，故满足题意的点P 的个数是3\。
北师大版九年级数学下册(BS版)单元清 检测内容：第三章
检测内容：第三章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．若⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定2．如图，在⊙O 中，AB ＝BC ，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB 等于( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第2题图 第4题图 第5题图3．下列四个命题中：①直径是弦；②经过三点一定可以作一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④三角形的内心是三个内角平分线的交点．其中正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2022·自贡)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是( C )A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB ＝50°，则∠BOD 等于( D )A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．(2022·泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点E .若AC ＝42 ，DE ＝4，则BC 的长是( C )A ．1B ．2C ．2D ．4第6题图 第7题图 第8题图7．如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E .若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长为( B )A ．5B ．6C ．30D ．1128．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与边AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，若∠DEF ＝52°，则∠BOC 的度数是( B )A ．121°B ．128°C ．146°D ．166°9．(2022·安顺)如图，边长为2 的正方形ABCD 内接于⊙O ，P A ，PD 分别与⊙O 相切于点A 和点D ，PD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，则图中阴影部分的面积为( C )A ．5－πB ．5－π2C ．52 －π2D ．52 －π4第9题图 第10题图 第11题图10．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A (－2，3)，B (3，4)为圆心，以1，2为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为( C )A ．74B ．74 ＋3C ．74 －3D ．3二、填空题(每小题3分，共15分)11．(2022·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是13__． 12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC ＝30°，AC ＝6，则AC 的长为__2π__．第12题图 第13题图 第14题图 第15题图13．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝130°，在这个图中，要画出下列度数的圆周角：30°，40°，50°，90°，其中仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有__40°，50°和90°__．14．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则图中阴影部分的面积为__94π__(结果保留π). 15．(2022·河南)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22 ，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ，当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为．三、解答题(共75分)16．(8分)如图，已知OA ，OB 是⊙O 的两条半径，C ，D 分别为OA ，OB 上的两点，且AC ＝BD ，求证：AD ＝BC .证明：∵OA ，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO .又∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD .在△OCB和△ODA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BO ＝AO ，∠O ＝∠O ，OC ＝OD ，∴△OCB ≌△ODA (SAS)，∴BC ＝AD17．(9分)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)若有水部分的水面宽AB ＝32 cm ，水最深处的地方水深CD 为8 cm ，求这个圆形截面的半径．解：(1)如图所示(2)连接OA ，易知点D 为AB 的中点．∵AB ＝32 cm ，∴AD ＝12AB ＝16 cm.设这个圆形截面的半径为x cm ，又∵CD ＝8 cm ，∴OD ＝(x －8) cm.在Rt △OAD 中，∵OD 2＋AD 2＝OA 2，即(x －8)2＋162＝x 2，解得x ＝20，∴这个圆形截面的半径为20 cm18．(9分)如图，在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，以点O 为圆心，12OA 的长为半径作圆，分别交OA ，OB 于点C ，D ，弦MN ∥AB .(1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：MC ＝ND .解：(1)AB 与⊙O 相切，理由如下：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ＝12 (180°－∠AOB )＝12 ×(180°－120°)＝30°，∴OE ＝12OA ＝OC ，∴AB 是⊙O 的切线，∴AB 与⊙O 相切(2)连接CD ，延长EO 交MN 于点F ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝12 ×(180°－∠AOB )＝12×(180°－120°)＝30°＝∠A ，∴CD ∥AB .又∵OE ⊥AB ，∴OE ⊥CD ，∴CE ＝DE .又∵MN ∥AB ，∴EF ⊥MN ，∴ME ＝NE ，∴ME －CE ＝NE －DE ，即MC ＝ND19．(9分)(2022·济南)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，交AB 的延长线于点D ，连接AC ，BC ，∠D ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F .(1)求证：CA ＝CD ；(2)若AB ＝12，求线段BF 的长．解：(1)证明：连接OC ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ，∴∠COD ＝90°－∠D＝90°－30°＝60°，∴∠A ＝12∠COD ＝30°＝∠D ，∴CA ＝CD (2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵∠A ＝30°，CE 平分∠ACB ，∴BC ＝12AB ＝12 ×12＝6，∠BCE ＝12∠ACB ＝45°.又∵BF ⊥CE ，∴BF ＝BC ·sin ∠BCE ＝6sin 45°＝6×22＝3220．(9分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E .(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE ＝33 ，DF ＝3，求图中阴影部分的面积．解：(1)DE 与⊙O 相切，理由如下：连接DO ，∵DO ＝BO ，∴∠ODB ＝∠OBD .又∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠EBD ＝∠OBD ，∴∠EBD ＝∠ODB ，∴DO ∥BE .又∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线，∴DE 与⊙O 相切(2)∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，DE ⊥BE ，DF ⊥AB ，∴DE ＝DF ＝3，∴BD ＝DE 2＋BE 2 ＝32＋（33）2 ＝6，∴sin ∠DBF ＝DF BD ＝36 ＝12，∴∠DBF ＝30°，∴∠DOF ＝2∠DBF ＝60°，∴OD ＝DF sin ∠DOF ＝3sin 60° ＝332＝23 ，OF ＝DF tan ∠DOF ＝3tan 60° ＝33 ＝3 ，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S Rt △DOF ＝60πOD 2360 －12OF ·DF ＝60π×（23）2360 －12 ×3 ×3＝2π－33221．(9分)如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C ，过点O 作OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD 交AC 于点G ，连接CD ，在OD 的延长线上取一点E ，连接CE ，使∠DEC ＝∠BDC .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径是3，DG ·DB ＝9，求CE 的长．解：(1)证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OD ∥BC ，∴∠CFE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DEC ＋∠ACE ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝∠BDC ＝∠DEC ，∴∠OCA ＋∠ACE ＝90°，即∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线(2)由(1)得∠CFE ＝90°，∴OF ⊥AC ，∴AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠DBC .又∵∠BDC ＝∠BDC ，∴△CGD ∽△BCD ，∴CD BD ＝DG CD，∴CD 2＝DG ·DB ＝9，∴CD ＝3.又∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC ·tan ∠COD ＝3tan 60°＝3×3 ＝3322．(10分)(2022·潍坊)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A 处，水沿射线AD 方向泻至水渠DE ，水渠DE 所在的直线与水面PQ 平行．设筒车为⊙O ，⊙O 与直线PQ 交于P ，Q 两点，与直线DE 交于B ，C 两点，恰有AD 2＝BD ·CD ，连接AB ，AC .(1)求证：AD 为⊙O 的切线；(2)筒车的半径为3 m ，AC ＝BC ，∠C ＝30°，当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(结果精确到0.1 m ，参考值：2 ≈1.4，3 ≈1.7).解：(1)证明：如图，连接AO 并延长交⊙O 于点G ，连接BG ，则∠ACB ＝∠AGB .∵AG是⊙O 的直径，∴∠ABG ＝90°，∴∠BAG ＋∠AGB ＝90°.∵AD 2＝BD ·CD ，∴AD CD ＝BD AD.又∵∠ADB ＝∠CDA ，∴△DAB ∽△DCA ，∴∠DAB ＝∠ACB ＝∠AGB ，∴∠DAB ＋∠BAG ＝90°，即∠DAG ＝90°，∴AD ⊥AO ，∴AD 为⊙O 的切线(2)当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，Q 与G 重合，水面到GH (GH ∥PQ ).过点O 作OM ⊥GH 于点M ，如图，∵CA ＝CB ，∠C ＝30°，∴∠ABC ＝75°，∴∠CBG ＝∠ABG －∠ABC ＝90°－75°＝15°.又∵BC ∥PQ ∥GH ，∴∠BGH ＝∠CBG ＝15°，∴∠AGM ＝∠AGB ＋∠BGH ＝∠C ＋∠BGH ＝30°＋15°＝45°，∴OM ＝OG ·sin ∠AGM ＝3sin 45°＝3×22 ＝322 (m)，∴筒车在水面下的最大深度为3－322≈0.9(m)23．(12分)【证明体验】如图①，⊙O 是等腰△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，在AC 上取一点P ，连接AP ，BP ，CP ，求证：∠APB ＝∠P AC ＋∠PCA ；【思考探究】如图②，在(1)的条件下，若点P 为AC 的中点，AB ＝6，PB ＝5，求P A 的长；【拓展延伸】如图③，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，弦CP ＝5，延长AP 交BC 的延长线于点E ，且∠ABP ＝∠E ，求AP ·PE 的值．解：【证明体验】证明：∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ，∴∠APB ＝∠ABC ＝∠ABP ＋∠CBP ＝∠PCA ＋∠P AC【思考探究】如图②，延长BP 至点D ，使PD ＝PC ，连接AD ，∵点P 为AC 的中点，∴P A ＝PC ，∴P A ＝PC ＝PD ，∠ABP ＝∠CBP ，∴∠D ＝∠P AD ，∴∠APB ＝∠P AD ＋∠D ＝2∠P AD .又∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ，∴∠APB ＝∠ABC ＝∠ABP ＋∠CBP ＝2∠ABP ，∴∠ABP ＝∠P AD ＝∠D ，∴AD ＝AB ＝6.又∵∠D ＝∠D ，∴△DAP ∽△DBA ，∴P A AB＝AD BD .又∵BD ＝BP ＋PD ＝5＋P A ，∴P A 6 ＝65＋P A，解得P A ＝4(负值已舍去) 【拓展延伸】如图③，连接OP ，OC ，过点C 作CH ⊥BP 于点H ，∵OP ＝OC ＝PC ＝5，∴△POC 为等边三角形，∴∠POC ＝60°，∴∠PBC ＝12 ∠POC ＝30°，∴CH ＝12 BC ＝12×6＝3，BH ＝BC ·cos ∠PBC ＝6cos30°＝6×32＝33 ，∴PH ＝PC 2－CH 2 ＝52－32 ＝4，∴PB ＝PH ＋BH ＝4＋33 .∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠PCE ＝180°－∠BCP ＝∠BAP .又∵∠E ＝∠ABP ，∴△EPC ∽△BP A ，∴PE BP ＝PC AP ，∴AP ·PE ＝PC ·BP ＝5×(4＋33 )＝20＋153。
北师大九年级下数学《第三章圆》检测卷含答案
5 5 5 57．如图，直线 l 与⊙O 相交于 A ，B 两点，且与半径 OC 垂直，垂足为 H ，已知 AB ＝16cm ，sin ∠OBH ＝ ，A ．6cmB ．10cmC ．12cm D. cm第三章检测卷时间：120 分钟 满分：150 分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)1．如图，刚升的太阳和地平线的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定第 1 题图2．⊙O 的半径为 6，点 P 在⊙O 内，则 OP 的长可能是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．83．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦．若∠OBC ＝60°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°第 3 题图4．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点 C ，若∠BAO ＝40°，则∠OCB 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°第 4 题图5．已知圆的半径是 2 3，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A ．3 3 B ．9 3 C ．18 3 D ．36 36．如图，⊙O 的半径为 1，A ，B ，C 是圆上的三点，若∠BAC ＝36°，则劣弧 BC 的长是（）1 2 3 4 A. π B. π C. π D. π3 5则⊙O 的半径为（）403第 6 题图第7题图第8题图8．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）︵︵A．∠A＝∠D B.CB＝BDC．∠ACB＝90°D．∠COB＝3∠D9．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°第9题图10．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是（）A．70°B．50°C．45°D．20°第10题图第11题图11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于（）A．69°B．42°C．48°D．38°12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）A．14B．12C．10D．9第12题图C. πcm 2 D ．150πcm 22 22 2 ，， ，第 13 题图13．如图为 4×4 的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点 O 是（ ） A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心14．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 25cm ，贴纸部分的宽 BD 为 15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）A ．175πcmB ．350πcm8003第 14 题图第 15 题图15．如图，在边长为 2 的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）π 1A ．2 B. C. D ．1二、填空题(每小题 5 分，共 25 分)16．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，连接 AC ，BC ，若∠AOB ＝120° 则∠ACB ＝ .第 16 题图第 17 题图第 18 题图17．如图，⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E ，若∠C ＝25° 则∠D ＝. 18．如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为 A ，AB 为⊙O 的直径，连接 CB .若⊙O 的半径为 2，∠ABC ＝60° 则 BC ＝. 19．如图，将边长为 3 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)．则．所得扇形 AFB(阴影部分)的面积为.第 19 题图第 20 题图20．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O ，其边长为 4，则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为 . 三、解答题(共 80 分) 21．(8 分)如图，⊙O △是 ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BD 是直径，BD ＝2，连接 CD ，求 BC 的长．22.(10 分)如图，在⊙O 中，点 C 为弧 AB 的中点，∠ACB ＝120°.(1)求∠AOC 的度数；(2)若点 C 到弦 AB 的距离为 2，求弦 AB 的长．23．(10 分)如图所示，⊙O 1 与坐标轴交于 A(1，0)，B(5，0)两点，点 O 1 的纵坐标为 5，求⊙O 1 的半径及点 O 1 的坐标．24．(12 分)如图，在△ ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC ，AC 相交于点 D ，E ，BD ＝CD ，过点 D 作⊙O 的切线交边 AC 于点 F.(1)求证：DF ⊥AC ；︵(2)若⊙O 的半径为 5，∠CDF ＝30°，求BD 的长(结果保留 π)(2)若点 E 是 BC 上一点，已知 BE ＝4，tan ∠AEB ＝ ，AB ∶BC ＝2∶3，求圆的直径．14．B 解析：∵AB ＝25cm ，BD ＝15cm ，∴AD ＝10cm ，∴S 贴纸＝2×⎝ 360 － 360 ⎭＝2×175π＝25．(12 分)如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D ，∠ABD ＝∠ACB. (1)求证：AB 是圆的切线；5326．(14 分)如图，在⊙O 中，半径 OA ⊥OB ，过 OA 的中点 C 作 FD ∥OB 交⊙O 于 D ，F 两点，CD ＝ 3，以︵O 为圆心，OC 为半径作CE ，交 OB 于 E 点．(1)求⊙O 的半径；(2)计算阴影部分的面积．27．(16 分)已知 A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点．(1)如图①，若∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，求证：AC ⊥BD ；(2)如图②，若 AC ⊥BD ，垂足为 F ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径．下册第三章检测卷1．B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B7．B 8.D 9.C 10.B 11.A 12.A13．B 解析：由图可得 OA ＝OB ＝OC ＝ 12＋22＝ 5，所以点 O 是△ABC 的外心．故选 B.⎛120·π×252 120·π×102⎫350π(cm 2)．故选 B.1 1 15．D 解析：如图所示，S 阴影＝S △AOB ＝4S 正方形＝4×2×2＝1.故选 D.∴∠GEF＝60°.在△Rt OME中，∵OE＝22，∠OEM＝∠GEF＝30°，∴OM＝2，EM＝3OM＝6，∴EF＝2 6.＝2×2＝ 2.(8分)BE tan30°3O(4∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，(10分)∴BD的长为＝.(12分)(2)解：∵在△Rt AEB中，tan∠AEB＝＝，BE＝4，∴AB＝BE＝×4＝.(8分)在△Rt ABC中，∵＝，16．6017.65°18.819.1820．26解析：连接AC，OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，AC＝42，∴OE＝OF＝2 2.∵OM⊥EF，∴EM＝MF△.∵EFG是等边三角形，1221．解：在⊙O中，∵∠A＝45°，∴∠D＝45°.(2分)∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，(4分)∴BC＝BD·sin45°2︵︵22．(1)证明：∵C A＝CB，∴CA＝CB.又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝∠BAC＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°；(4分)(2)解：如图，设OC交AB于点E.由题意得OC⊥AB，∴CE＝2，AE＝BE.(5分)∵在△Rt BCE中，∠B＝30°，CE CE3tanB＝，∴BE＝＝2×＝23∴AB＝2BE＝43.(10分)23．解：如图，过O1作O1D⊥AB于D，则AD＝BD.∵点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝1，OB＝5，则AB＝4，AD＝BD＝2.∵点O1的纵坐标为5，∴O1D＝ 5.在△Rt O1AD中，1D＝5，AD＝2，分)∴O1A＝3.(7分)∵OA＝1，AD＝2，∴OD＝3，∴⊙O1的半径为3，点O1的坐标为(3，5)．(10分)24．(1)证明：如图，连接OD.(1分)∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°.(3分)∵BD ＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC；(6分)(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)可知∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.(8分)∵OB＝OD，︵60π×55π180325．(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°.(2分)∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴AB是圆的切线；(5分)AB55520AB2BE3333BC3∴BC＝AB＝×＝10，(11分)∴圆的直径为10.(12分)cos∠CDO cos30°S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE＝×1×3＋－＝＋.(14分)30π×2290π·12332022326．解：(1)如图，连接OD.(1分)∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°.(3分)在△Rt OCDCD3中，∵C是AO的中点，∴OD＝2OC，∴∠CDO＝30°，∴OD＝＝＝2，(5分)∴⊙O的半径为2；(6分)11(2)由(1)可知∠CDO＝30°，OC＝2OD＝2×2＝1.(8分)∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠CDO＝30°，(10分)∴S阴影＝13π236036021227．(1)证明：∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC，BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD 是矩形．(4分)∵AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；(7分)(2)解：如图，作直径DE，连接CE，BE.(8分)∵DE是直径，∴∠DCE＝∠DBE＝90°，∴EB⊥DB.又∵AC⊥BD，︵︵∴BE∥AC，∴CE＝AB，∴CE＝AB.(12分)根据勾股定理，得DE2＝CE2＋DC2＝AB2＋DC2＝20，∴DE＝25，∴OD ＝5，即⊙O的半径为 5.(16分)。
(版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题
九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段．．．O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙．．O，读作“圆O〞集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆．．．．．．心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心〔即定点〕，二是半径〔即定长〕。
2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
．．②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒〞表示，以CD为端点的弧记为“〞，读作“圆弧CD〞或“弧CD〞。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)．．③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为 d，那么①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>d<r;③点在圆外<===>d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题(附答案详解)
∵⊙O的半径为7cm，OA=5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．D
【解析】
【分析】
⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE＝ ，选项D不正确．
3．C
【解析】
【分析】
先利用两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵点P的坐标为（-3,4）
∵⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0）
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
∴P为弧AB的中点
∴A与B错误．
∴PA＞OA，故C错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查同圆半径相等的性质，等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
精品试卷北师大版九年级数学下册第三章 圆同步测试试卷(无超纲带解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（）A．40°B．50°C．60°D．30°2、如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（）．A ．2AC CD =B ．2AC CD < C ．2AC CD > D ．无法比较3、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．9D ．124、已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定5、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（）A ．32 B C D 6、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°7、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ACB ＝40°，则∠AOB 的度数为（ ）A．40°B．45°C．50°D．80°8、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°9、已知，在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为（）A．52πB．5πC．10πD．252π10、下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆D．平分弦的直径垂直于弦第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．2、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG 并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．3、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．4、以平面直角坐标系原点O为圆心，半径为3的圆与直线x=3的位置关系是______．5、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．2、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．3、在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P 及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；②在点1P（0，2），2P（3，3），3P（3-，0）中，⊙O的“倍点”是________；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（1-，1），若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；（3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的⊙O 上存在MN 的“倍点”，直接写出满足条件的点T 所构成的图形的面积．4、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5、已知：A ，B 是直线l 上的两点． 求作：ABC ，使得点C 在直线l 上方，且AC =BC ，30ACB ∠=︒．作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 上方交于点O ，在直线l 下方交于点E ； ②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③作直线OE 与直线l 上方的⊙O 交于点C ；④连接AC ，BC ．ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ， ∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （ ）（填推理的依据）．∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （ ）（填推理的依据）． ∴ABC 就是所求作的三角形．-参考答案-一、单选题1、D连接OB ，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得60BOD ∠=︒，根据切线的性质可得90OBD ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得D ∠．【详解】解：连接OBBE BE =30BAE BCE ∴∠=∠=︒OB OA =30OBA OAB ∴∠=∠=︒60BOD OBA OAB ∴∠=∠+∠=︒BD 是⊙O 的切线90OBD ∴∠=︒30D ∴∠=︒故选D【点睛】本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．2、B连接AB ，BC ，根据AB BC CD ==得AB BC CD ==，再根据三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接AB ，BC ，如图，∵AB BC CD ==∴AB BC CD ==又AB BC AC +>∴2AC CD <故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．3、A【分析】连接AC ，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC ．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．5、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．7、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9、D【分析】利用扇形面积公式直接计算即可．【详解】解：在圆中圆心角度数为45°，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为：24510253602ππ⨯⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式，准确进行计算．10、C根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．二、填空题1、71°【分析】根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解．【详解】解：∵∠AOC＝142°，∠AOC＝71°，∴∠B＝12∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDM＝∠B＝71°，故答案为：71°．此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．2、1【分析】以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC 利用勾股定理求解．【详解】解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．当CF与圆相切时，AF最大．此时FA＝FG，BC＝CG．设AF＝x，则DF＝4−x，FC＝4＋x，在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：42＋（4−x）2＝（4＋x）2，解得x＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．3、36【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒． 4、相切【分析】本题应将原点到直线x=3的距离与半径对比即可判断．【详解】解：∵原点到直线x=3的距离为3，半径为3，则有3=3，∴这个圆与直线x=3相切．故答案为：相切．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．5、4【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．【详解】∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为36060 6︒=︒∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．三、解答题1、（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（311CD≤≤【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB 和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠DAC =∠DAB +∠BAC =∠AEC +∠EAC ，∠BAC =∠AEC =60°，∴∠DAB =∠ECA ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC DAB ECA AB CA ∠⎪∠⎧=∠∠=⎪⎨⎩= ∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴△ABD 的A 、B 、D 三点的对应点分别为△CAE 的C 、A 、E 三点，则AC 、AB 分别视作两组对应点的连线，此时，如图所示，作AC 和AB 的垂直平分线交于点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴由等边三角形的性质可知，OC =OA =OB ，∠AOC =120°，∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ；拓展创新（3）由（1）知，在直线l 旋转的过程中，总有∠ADB =90°，∴点D 的运动轨迹为以AB 为直径的圆，如图，取AB 的中点P ，连接CP ，交⊙P 于点Q ，则当点D 在CP 的延长线时，CD 的长度最大，当点D 与Q 点重合时，CD 的长度最小，即CQ 的长度，∵AB =AC ，AB =2，∴AP =1，AC =2，在Rt △APC 中，CP由圆的性质，PD =AP =1，∴PD =PQ =1，∴1CD CP PD =+=，1CQ CP PQ =-=，∴CD 11CD ≤≤．【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．2、（1）见解析；（2）BC ，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O 任作直线交圆于AB 两点，再作AB 的垂直平分线OM ，直线MO 交⊙O 于点C ，D ；连结AC 、BC 即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC =BC ，根据圆周角定理得出∠ACB =90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC=BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．3、（1）① 2；②3P ；（2）t 的值为3或3-；（3）π【分析】（1）①根据定义解答即可；②分别找出123PQ P Q PQ 、、的最大值，再根据定义判断即可；（2） 如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为E （t ，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 分0t <， 0t >和0=t 分别讨论即可求解；（3）分线段MN 在O 内部和在O 外部两种情况讨论即可.【详解】（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，故答案为：2；②由图可知113PQ ≤≤，故1P 不是图形W 的“倍点”； 2114PQ ≤≤≠，故1P 不是图形W 的“倍点”；324PQ ≤≤，当Q （1，0）时，34PQ ==2d ，故P 为图形W 的“倍点”； 故答案为：3P ；（2）如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 当0t <时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长． 取点H （1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为()13,3E -，即3t =-；当0t >时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长．由对称性可得点E 的坐标为()23,3E ，即3t =． 当0=t 时，显然不符合题意．综上，t 的值为3或3-．（3）MN 上d =2，2d =4，当线段MN 在O 内部时，T 组成的图形为半径为4的圆，216S r ππ==，当线段MN 在O 外部时，T 组成的图形为半径为8的圆，264S r ππ==，故点T 所构成的图形的面积为16π或64π.【点睛】此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．4、（1）证明见解析；（21；（3）当QC 垂直于△DPE 的一边时，∠QCB =15°或22.5°．【分析】（1）由翻折的性质可得∠B =∠DEP ，再由∠DCP =∠DEP ，即可得到∠B =∠DCP ，CD =BD ，再由角平分线的定义得到1==452B DCB ACB =︒∠∠∠，则∠BDC =90°，即可利用三线合一定理得到BD =AD ，即D 是AB 的中点；（2）由△DPE 是△DPB 翻折得到，得到1302BDP EDP BDE ∠=∠=∠=︒，如图所示，过点P 作PF ⊥AB于F ，先利用勾股定理求出1BF PF ==，得到22DP PF ==，即可求出DF =1CD BD DF BF ==+=；（3）分当CQ ⊥DP 时，当DE ⊥CQ 时，当PE ⊥CQ 时三种情况进行讨论求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵△DPE是△DPB翻折得到，∴∠B=∠DEP，又∵∠DCP=∠DEP，∴∠B=∠DCP，∴CD=BD，∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴1==452B DCB ACB=︒∠∠∠=∠ A，∴∠BDC=90°，CA=CB，∴BD=AD（三线合一定理），∴D是AB的中点；（2）△DPE是△DPB翻折得到，∴1302BDP EDP BDE∠=∠=∠=︒，如图所示，过点P作PF⊥AB于F，∴∠PFB=∠PFD=90°，∴DP=2PF，∵∠B=45°，∴∠BPF=90°-∠B=45°，∴∠BPF=∠B，∴BF=PF，∵2222BF PF BP+==，∴1BF PF==，∴22DP PF==，∴DF∴1 CD BD DF BF==+=；（3）如图所示，当CQ⊥DP时，∵∠CDQ=90°，∴CQ为圆O的直径，∴由垂径定理可知DQ PQ=，∴122.52DCQ PCQ DCB∠=∠=∠=︒，即=22.5QCB︒∠；如图所示，当DE⊥CQ时，设DE与CQ交于点F，连接CE，∵△DPE 是△DPB 翻折得到，∴QDP EDP ∠=∠，BD =DE ，又∵BD =CD ，∴CD =ED ，∴∠DEC =∠DCE ，∴∠DEC =∠DCP +∠ECP =∠ECP +45°，∵QDP QCP ∠=∠，ECP EDP ∠=∠，∴∠QCP =∠ECP ，∴∠DEC =∠QCP +45°，又∵CQ ⊥DE ，∴∠CFE =90°，∴∠FCE +∠FEC =90°，∴∠QCP +45°+∠QCP +∠ECP =90°，即3∠QCP +45°=90°，∴∠QCP =15°，即∠QCB =15°，∵当PE ⊥CQ 时，E 点要在CD 的下方，此时圆O 与直线BD 的交点在BD 的延长线上，∴不存在PE ⊥CQ 这种情况，∴综上所述，当QC垂直于△DPE的一边时，∠QCB=15°或22.5°．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆周角定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．5、（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可．【详解】（1）作图正确；（2）证明：连接OA，OB．∵OA＝OB＝AB，∴OAB是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）． ∴ABC 就是所求作的三角形，故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【点睛】本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及作图的基本能力．。
九年级数学下册北师大版单元测试 第三章 圆
九年级数学下册北师大版单元测试第三章圆时间:90分钟满分:120分一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.下列说法中,正确的是()A.两点确定一个圆B.度数相等的弧相等C.垂直于弦的直径平分弦D.相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等2.如图,一块直角三角形纸板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,点D对应54°,则∠BCD的度数为()A.27°B.54°C.36°D.63°3.已知☉O的半径是5 cm,点O到直线l的距离OP=3 cm,Q为l上一点,且PQ=4.2 cm,则点Q() A.在☉O内 B.在☉O上C.在☉O外D.以上情况都有可能4.如图,在正三角形网格中,△ABC的顶点都在格点上,点P,Q,M是AB与格线的交点,则△ABC的外心是() A.点P B.点QC.点MD.点N第4题图第5题图第6题图5.一定滑轮的起重装置如图,滑轮半径为12 cm ,当重物上升4π cm 时,滑轮的一条半径OA 按逆时针方向旋转的度数为(假设绳索与滑轮之间没有滑动) ( )A.12°B.30°C.60° D .90°6.如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,D ,E 分别是AC ,AB 的中点,则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定7.有一种折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 ( )A.45B.34C.23D .128.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25 m ,BD=1.5 m ,且AB ,CD 与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 ( )A.2 mB.2.5 mC.2.4 mD.2.1 m第8题图 第9题图 第10题图 9.如图,圆心C 在x 轴上的半圆交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点D (0,3),M 是BD ⏜上一点,且AD ⏜=MD ⏜.若BM=8,则点C 的坐标为 ( )A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)10.如图,☉O 的半径为2,AB ,CD 是互相垂直的两条直径,点P 是☉O 上任意一点(P 与A ,B ,C ,D 不重合),过点P 作PM ⊥AB 于点M ,PN ⊥CD 于点N ,点Q 是MN 的中点,当点P 沿着圆周转过45°时,点Q 走过的路径长为( )A.π4B.π2C.π6D.π3二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.如图,AC 是☉O 的切线,切点为C ,BC 是☉O 的直径,AB 交☉O 于点D ,连接OD ,若∠BAC=50°,则∠COD 的大小为 .第11题图 第13题图 第14题图12.已知☉O的半径为2 cm,弦AB长为2√3 cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为cm.13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长AD,BC相交于点E,延长AB,DC相交于点F.若∠E=∠F=40°,则∠A的度数为.14.如图,以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O,CE切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则四边形ABCE的周长为.15.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.第15题图第16题图16.如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC绕点A按顺时针方向旋转得到△O'AC',使得点O'的坐标是(1,√3),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(10分)如图,已知AB是☉O的直径,CD为弦,且CD⊥AB于点E,F为DC延长线上的一点,连接AF 交☉O于点M.求证:∠AMD=∠FMC.18.(10分)已知,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,P是☉O上一点.(1)操作:请你只用无刻度的直尺,分别画出图1和图2中∠P的平分线;(2)说理:结合图2,说明你这样画的理由.19.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作☉O的切线DF,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若☉O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.20.(12分)已知在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.21.(13分)如图,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.(1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标;(2)若点D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.22.(15分)如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交☉O的切线BE于点E.(1)判断直线PD是否为☉O的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,PD=√3,求PA的长;(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在☉O上,求证:四边形DFBE为菱形.第三章综合能力检测卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C B C A C B C A11.80°12.113.50°14.1415.88°16.π21.C【解析】不在同一条直线上的三点确定一个圆,故A错误;在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,故B错误;根据垂径定理,知C正确;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等,故D错误.故选C.2.D【解析】连接OD.∵一块直角三角形纸板ABC的斜边AB与量角器的直径重合,∴点A,B,C,D都在以O为圆心、AB为直径的圆上,∵点D对应54°,即∠AOD=27°,∴∠BCD=90°-∠ACD=63°.故选D.∠AOD=54°,∴∠ACD=123.C【解析】由垂径定理知,点P是直线l被☉O截得的弦的中点,如图,OP⊥PA,OP=3 cm,OA=5 cm,∴PA=√OA2-OP2=4 cm,∵4.2 cm>4 cm,∴点Q在☉O外.故选C.4.B【解析】由题意可知,∠BCN=60°,∠ACN=30°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=90°,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的外心是斜边AB的中点,由题图易知点Q是AB的中点,∴△ABC的外心是点Q.故选B.5.C【解析】由于重物上升的高度为4π cm,所以旋转角所对的弧长为4π cm,设旋转角的度数为n°,由弧长公式得nπ×12180=4π,所以n=60.故选C.6.A【解析】如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∵AB=6,AC=8,BC=10,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°.在Rt△ABC中,AM·BC=AC·AB,∴AM=6×810=4.8.∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE∥BC,DE=12BC=5,∴AN=MN=12AM=2.4.∵以DE为直径的圆半径为2.5,2.5>2.4,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.故选A.7.C【解析】如图,连接AC,设正方形的边长为a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴AC 为正方形ABCD外接圆的直径,AC=√2AB=√2a,则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为2π×(√22a)=2π≈23.故选C.8.B 【解析】 如图,设圆弧形门所在圆的圆心为O ,BD 的中点为点F ,连接OA ,AC ,OF ,OF 交AC 于点E ,∵圆弧形门所在圆与水平地面相切,∴OF ⊥BD.∵四边形ABDC 是矩形,∴AC ∥BD ,∴OE ⊥AC ,EF=AB.设圆O 的半径为R m ,在Rt △AOE 中,AE=AC 2=BD2=0.75 m ,OE=R-AB=(R-0.25)m ,∵AE 2+OE 2=OA 2,∴0.752+(R-0.25)2=R 2,解得R=1.25.∴最高点离地面的距离为1.25×2=2.5(m ).故选B .在运用垂径定理解题的过程中,常作的辅助线是半径或弦心距,由此构造出运用垂径定理的条件,再结合勾股定理进行有关计算.9.C 【解析】 如图,将半圆补成整圆,连接AM ,CD ,∵AB 是☉C 的直径,∴∠M=90°,设☉C 与y 轴负半轴的交点为点E ,则AD⏜=AE ⏜,OD=OE.∵AD ⏜=MD ⏜,∴DE ⏜=AM ⏜ ,∴AM=DE.∵OD=3,∴DE=6,∴AM=6.∵BM=8,∴AB=10,∴CD=5.在Rt △COD 中,OC=√CD 2-OD 2=4,∴点C 的坐标为(4,0).故选C .10.A 【解析】 连接OP ,由题意知四边形OMPN 是矩形,Q 是其对角线MN 与OP 的交点,OQ=12OP=1,当点P 沿着圆周转过45°时,点Q 走过的路径长为以O 为圆心、1为半径、圆心角为45°的扇形的弧长,∴点Q 走过的路径长为45π180=π4.故选A .11.80° 【解析】 ∵AC 是☉O 的切线,∴BC ⊥AC ,∴∠C=90°,∵∠BAC=50°,∴∠B=90°-∠BAC=40°,∴∠COD=2∠B=80°.12.1 【解析】 如图,E 为AB 的中点,F 为劣弧AB 的中点,连接OA ,OB ,OE ,OF ,易知O ,E ,F 三点共线,且OE ⊥AB ,则AE=EB=12AB=√3 cm .在Rt △OEB 中,OB=2 cm ,EB=√3cm ,∴OE=√OB 2-EB 2=√22-(√3)2=1(cm ),∴EF=OF -OE=2-1=1(cm ),∴这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为1 cm .13.50° 【解析】 在△ABE 与△ADF 中,∠A 为公共角,且∠E=∠F ,由三角形内角和定理可知,∠ABE=∠ADF.∵∠ABE 与∠ADF 是☉O 的内接四边形的对角,∴∠ABE+∠ADF =180°,∴∠ABE=∠ADF =90°,∴∠A+∠E=90°, ∴∠A =90°-∠E=50°.14.14 【解析】 设AE 的长为x ,易知AD ,BC 分别与半圆O 相切于点A ,B ,∵CE 与半圆O 相切于点F ,∴AE=EF ,BC=CF ,∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,即AD+CD+BC=12,∴正方形ABCD 的边长为4.在Rt △CDE 中,ED 2+CD 2=CE 2,即(4-x )2+42=(4+x )2,解得x=1,即AE 的长为1.∴AE+EF+FC+BC+AB=14,∴四边形ABCE 的周长为14.15.88° 【解析】 如图,∵AB=AC=AD ,∴点B ,C ,D 在以点A 为圆心、AB 的长为半径的圆上.∵∠CBD=2∠BDC ,∠CAD=2∠CBD ,∠BAC=2∠BDC ,∴∠CAD=2∠BAC ,又∵∠BAC=44°,∴∠CAD=88°. 16.π2 【解析】 如图,过O'作O'M ⊥OA 于M ,则∠O'MA=90°,∵点O'的坐标是(1,√3),∴O'M=√3,OM=1.∵AO=2,∴AM=2-1=1,∴tan ∠O'AM=√31=√3,∴∠O'AM=60°,即旋转角为60°,∴∠CAC'=∠OAO'=60°.∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转得到△O'AC',∴S △OAC =S △O'AC',∴阴影部分的面积S=S 扇形OAO'+S △O'AC'-S △OAC -S 扇形CAC'=S 扇形OAO'-S 扇形CAC'=60π×22360-60π×12360=π2.17.【解析】连接BC,BD.∵∠CBA+∠AMC=180°,∠AMC+∠FMC=180°,∴∠CBA=∠FMC.∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,∴AC⏜=AD⏜,∴∠CBA=∠AMD.∴∠AMD=∠FMC.18.【解析】(1)如图1,PA即∠BPC的平分线;如图2,PE即∠BPC的平分线.(2)如图2.∵AB=AC,∴AE是BC的垂直平分线,∴BE⏜=CE⏜,∴∠BPE=∠CPE,即PE是∠BPC的平分线. 19.【解析】(1)如图,连接OD,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DF是☉O的切线,∴DF⊥OD,∴DF⊥AC.(2)如图,连接OE.∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴∠BAC=45°.∵OA=OE,∴∠OEA=45°,∴∠AOE=90°.∵☉O的半径为4,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=90π×42360-12×4×4=4π-8.20.【解析】(1)如图1,连接OQ.∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB.在Rt△OBP中,∠ABC=30°,∴PB=2OP,∵OB=3,PB2-OP2=OB2,∴3OP2=9,OP=√3.在Rt△OPQ中,OP=√3,OQ=3,∴PQ=√OQ2-OP2=√6.(2)如图2,连接OQ,在Rt△OPQ中,PQ=√OQ2-OP2=√9−OP2,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=12OB=32,∴PQ长的最大值为√9−(32)2=3√32.图1图2 21.【解析】(1)∵NB∥x轴,∴∠ANB=90°,点B的纵坐标为2.∵A(0,6),N(0,2),∴☉M的直径AN=4,又∵∠ABN=30°,∴AB=2AN=8.在Rt△ANB中,由勾股定理,得AN2+BN2=AB2,即42+BN2=82,∴BN=4√3,即点B的横坐标为4√3,∴点B的坐标为(4√3,2).(2)如图,连接NC,CM,DM.∵AN为☉M的直径,∴∠ACN=∠BCN=90°.在Rt△BCN中,点D为NB的中点,∴CD=12BN=DN.∵CM=NM,DM=DM,∴△DCM≌△DNM,∴∠MCD=∠MND=90°,∴MC⊥CD.又∵点C在☉M上,∴直线CD是☉M的切线.22.【解析】(1)直线PD是☉O的切线.理由如下:如图,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD.∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD.∵点D在☉O上,∴直线PD为☉O的切线.(2)∵BE是☉O的切线,∴∠EBA=90°.∵∠BED=60°,∴∠P=30°.∵PD为☉O的切线,∴∠PDO=90°.在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=√3,∴PO=2DO,根据勾股定理,得OD2+(√3)2=(2OD)2,∴OD=1,∴OA=OD=1,PO=2OD=2,∴PA=PO-OA=1.(3)解法一如图,连接AF,依题意得∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°.∵四边形AFBD内接于☉O,∴∠DAF+∠DBF=180°,即90°+x°+2x°=180°,解得x=30,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°.∵BE,ED是☉O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°,∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形.∴BD=DE=BE.∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°,∠DBF=∠PBD+∠ABF=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形.解法二如图,连接AF,依题意得∠ADF=∠PDA,∠APD=∠AFD,∵∠PDA=∠PBD,∠ADF=∠ABF,∠PAD=∠DAF,∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF,∴AD=AF,BF∥PD,∴DF⊥PB.∵BE为切线,∴BE⊥PB,∴DF∥BE,∴四边形DFBE为平行四边形.∵PE,BE为切线,∴BE=DE,∴▱DFBE为菱形.。
2020年春北师大版本九年级数学下册 第三章 圆周周测12(3.8)
3.8圆内接正多边形一、选择题1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A. 10B. 8C. 6D. 52.正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）A. 24B. 54C. 9D. 543.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是A. 115°B. l05°C. 100°D. 95°4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=110°，则∠BOD的度数为（）A. 35°B. 70°C. 110°D. 140°5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A. 55°B. 70°C. 90°D. 110°6.如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A. 10B. 20C. 18D. 207.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°8.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD的度数是（）A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（）A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°10.已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（）A. 32﹣32﹣4πB.C. 1D. 16﹣4π二、填空题11. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=________．12.如图，要拧开一个正六边形螺帽，已知扳手张开的开口b长为2cm，螺帽的边长为a 为 ________cm．13.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=75°，则∠C=________ ．15.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 ________m．16.在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，则∠D的度数是________°．17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C =65°，则∠A =________°．18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=________°．三、解答题19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．20.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA=DE，求证：△BCE是等腰三角形．21.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．。
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3.8圆内接正多边形
一、选择题
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 5
2.正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为（）
A. 24
B. 54
C. 9
D. 54
3.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是
A. 115°
B. l05°
C. 100°
D. 95°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=110°，则∠BOD的度数为（）
A. 35°
B. 70°
C. 110°
D. 140°
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）
A. 55°
B. 70°
C. 90°
D. 110°
6.如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）
A. 10
B. 20
C. 18
D. 20
7.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）
A. 105°
B. 95°
C. 75°
D. 60°
8.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD的度数是（）
A. 50°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（）
A. 110°
B. 90°
C. 70°
D. 50°
10.已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（）
A. 32﹣32﹣4π
B.
C. 1
D. 16﹣4π
二、填空题
11. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=________．
12.如图，要拧开一个正六边形螺帽，已知扳手张开的开口b长为2cm，螺帽的边长为a 为 ________cm．
13.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则= ________
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=75°，则∠C=________ ．
15.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 ________m．
16.在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，则∠D的度数是________°．
17.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C =65°，则∠A =________°．
18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=________°．
三、解答题
19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
20.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若DA=DE，求证：
△BCE是等腰三角形．
21.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC=PA•BC．。