测量学 第五章 测量误差理论基础

P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
……
……
● 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
§5.3 偶然误差的特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
2.线性函数的中误差
设有函数式 Z k1x1 k2x2 knxn 全微分 dz k1dx1 k2dx2 kndxn
中误差式 mZ k12m12 k22m22 kn2mn2
例：设有某线性函数
Z

4 14
x1

9 14
x2

1 14
x3
其中 x1 、x2 x、3 分别为独立观测值，它们的中误差
用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
5.4 评定观测值精度的标准
在一定的观测条件下进行一组观测，对应着一种确定的误差 分布，若误差较集中于零附近，可以说其误差分布较为密集或 离散度小；反之，称其误差分布较为离散或离散度大。离散度 小，表明该组观测质量较好，也就是观测精度高；离散度大， 表明该组观测质量较差，即观测精度低。
观测精度——就是指误差分布的密集或离散程度。 对于衡量观测值的精度，需要有一些可以反应离散度大小 的定量的数字作为其衡量的指标；这些定量的指标有很多种， 本节将介绍常用的几种。
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
解：
0.02 1
0.02 1
K1=—— =—— ； K2= —— = ——
100 5000
200 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
§5.5 误差传播定律
一、般函数的中误差
中误差式： mZ m12 m22 mn2
当等精度观测时： m1 m2 m3 mn m
上式可写成： mZ m n
例：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量
每站高差的中误差 m 2mm ，求总高h差AB 的中
误差 mh 。
解：
hAB h1 h2 h9
§5.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
mh m n 2 9 6mm
§5.6 不同精度直接观测平差
一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中
权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。
1.权的定义：
设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为 mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：

•对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为 m，由权的定义，选定λ= m2，则一次观测值的权
为：
P

m2

m2 m2
1
•n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：
M m vv
n
n(n 1)
•同精度观测值算术平均值的权为：
PL


M2

n
m2 m2
n
二、测量中常用的定权方法
设有函数： Z F(x1, x2,, xn )
(a)
xi为独立观测值
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
对(a)全微分：
dZ

F x1
dx1

F x2
dx2

F xn
dxn
(b)
由于xi 和 是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和dz
代入(b)得


§5.4 衡量精度的指标
标准差σ是在观测量n→ ∞条件下的结果，又称为理 论平均值，不代表具体观测值实际误差的大小，但具 有如下的现实意义：
1.σ较小时，观测值中含较大误差的可能性较小， 反之则较大。
2.根据误差理论，误差绝对值大于σ的概率为0.317， 大于2σ和3σ的概率值则分别为0.045和0.003。
设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为
l1,l2,…ln, 其权分别为P1，P2，…Pn。则观测量的最或
是值为加权平均值：
L
P1l1 P2l2 Pnln P1 P2 Pn

Pl P
四、加权平均值的中误差
M

P


Pvv (n 1)P
分别为 m1 3mm,m2 2mm,m3 6mm
求Z的中误差 mZ 。
解：对上式全微分：
dz
由中误差式得：

4 14
dx1

9 14
dx2

1 14
dx3
mZ f1mx12 f2mx2 2 f3mx3 2

4 14

3
2
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
1
e

2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e

2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
第5章 测量误差及数据处理的基本知识
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
概述 测量误差的种类 偶然误差的特性及其概率密度函数 衡量观测值精度的指标 误差传播定律 不同精度直接观测平差
§5.1 测量误差概述
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
得
mX
n
1 n2
m2

m n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差缩小了 n 倍。
●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。
4.和或差函数的中误差
函数式： Z x1 x2 xn
全微分： dz dx1 dx2 dxn
mi
1 Pi
二、测量中常用的定权方法
3.水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度
成反比:
Pi

2
m2 i

c1 Ni
Pi

2
m2 i

c2 Li
4.角度测量的权与测回数成正比:
PL

2
mi2
ni
cm 2 m2
cni
5.距离测量的权与长度成反比:
Ps

2
ms2

c s
三、非等精度观测值的最或是值——加权平均值
3、测量工作中为了提高精度和发现粗差，必须采 用观测数大于必要观测数的观测方法。
测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：
lim []
n
n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
m 21 22 2n []
对K个(e)式取总和：
n
2

f12 x12

f
2 2
x22

f
2 n
xn2
2
fi f j xix j
(f)
i, j1
i j
通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。

9 14

2
2
1 14

6
2
1.6mm
3.算术平均值的中误差式
函数式
x

l
n

1 n
l1

1 n
l2

1 n
ln
全微分
dx

1 n
dl1

1 n
dl2

1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12

1 n2
m22

1 n2
mn2
由于等精度观测时， m1 m2 mn ，m代入上式：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
(抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
F x1
x1

F x2
x2

F xn
xn
(c)
令 xi
的系数为 fi

F xi
， (c)式为：
(1) f1x1(1) f2x2(1) fnxn(1)
对Z观测 了k次， 有k个式
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
(d)
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2

f12x12

f
2 2
x22

f
2 n
xn2

2
f1
f 2 x1x2

(e)
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j

: m22
::

mn2
Fra Baidu bibliotek
1 m12
1 : m22
::
1 mn2
2.权的性质
（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差
的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；
（3）权的大小由选定的λ 值确定，但测值权之间
权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个λ 值。
二、测量中常用的定权方法
1.同精度观测值的权
Pi mi2 称Pi为观测值l i 的权。即：有较高精度的观测值有较
大的权，反之有较小的权。
1.权的定义：
Pi


mi2
对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个
大于零的常数λ值（可定义λ=m02），就有一组对 应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：
P1 : P2 :: Pi


m12
§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正
钢尺温度误差lt 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
2 单位权与单位权中误差
•对于一组不同精度的观测值l i ，一 次观测的中误差为mi ，设某次观测 的中误差为m，其权为P0，选定λ=
P0

m2 m2
1
m2，则有：
•数值等于1的权，称为单位权； 权等于1的中误差称为单位权中误
差，常用μ表示。对于中误差为mi
的观测值，其权为：
Pi

2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
n
n
上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：
i=i - X
m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
2.容许误差(极限误差)