测量学 第五章 测量误差理论基础
测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
测量学第5章测量误差的基本知识
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
测量学5
现在的位置：课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿第五章误差基本知识5.1误差的来源和分类一、定义：观测值与真值之差，记为：X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。
如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。
b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。
测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
如：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水差就会越大。
由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统具体措施有：（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
《测量学》第5章 测量误差基本知识
4 180-00-01.5
5 180-00-02.6
S
m
244 .3 7.0秒 5
m2 3m2 m 3m
-10.3
+2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1
7.8 121 2.6 6.8 244.3
A BC
m m / 3 4.0秒
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超 过40秒； 2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的 限差； 3、两次仪器高法的高差限差。
24
130
中误差 m 1
2 2 .7 n
m2
2 3 .6
n
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关
用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
T m l
1 l
m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
x l1 l2 ln
已知：m1 =m2 =….=mn=m
n
求：mx
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
mx
(
1 n
)2
m12
(1)2 n
m22
(1)2 n
mn2
1m n
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l
Δ ΔΔ
1 180-00-10.3
2 179-59-57.2
3 179-59-49.0
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D
第5章 测量误差的基本知识NEW
偶然误差的四个特性
1.有界性：
在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；
2.集中性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.对称性：
绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
来源：这主要是由于粗心大意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数，操作错 误、测量环境的异常变化、仪器故障等。 特点：无规律，单个误差具有离群的特征，粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
如何处理粗差？ Ⅰ 加强观测者的责任心，培养细致的业务作风 Ⅱ 闭合差检验，剔除孤值 Ⅲ 近代平差中的抗差估计、粗差探测方法等
当观测值真值已知时的中误差计算
--理论上可用标准差来计算
方差：中误差的平方
D
2
lim n
n
lim n
2 n
标准差：
D lim n
n
lim n
2 n
实际测量中，观测个数 n 是有限的，由有限个观测值的偶然误差 求得的标准差的近似值（估值）为中误差，用 m 表示。
m 1 2 2 2 ... n2 2
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
频率直方图
误差概率分布曲线
直方图
k n
d△
(频率/组距)
k/n(频率)
－△
+△
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
测量学习题05 误差理论基础
习题五一、填空题1、真误差是指，其表达式为。
2、误差的来源有、、三个方面，按误差的性质不同，可分为和两种。
3、评定观测值精度主要采用、和。
4、用6″级经纬仪按测回法测量某一角度，欲使测角精度达到±5″，则测回数不得少于。
5、在等精度观测中，设观测值中误差为m，观测次数为n，则最可靠值的中误差为。
6、水准测量中，设一测站的高差观测中误差为±5mm，若1km有15个测站，则1km的高差中误差为。
7、误差传播定律是描绘和中误差关系的定律，它的表达式为。
8、在等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为，在不等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为。
9、在一组观测值中，单位权中误差为±3mm，某观测值的权为4，则该观测值中误差为。
二、简答题1、何为系统误差？它有什么特性？在测量工作中如何消除或削弱？2、何为偶然误差？偶然误差能否在测量工作中消除？它的统计特性有哪些？3、什么叫中误差？为什么中误差能够作为衡量精度的标准？在一组等精度观测中，中误差和真误差有何区别？4、试用偶然误差的特性来证明：在等精度观测中，算术平均值作为最可靠值。
5、设有Z1=X1+X2，Z2=2X3，若X1、X2、X3均独立，且中误差相等，问Z1、Z2的中误差是否相等，说明原因。
6、什么叫做权？它有什么含义？权与中误差之间的关系怎样？7、已知某正方形，若用钢尺丈量一条边，其中误差为m=±3mm，则正方形的周长中误差为多少？若用钢尺丈量4条边，则周长的中误差又是多少？试计算说明。
8、什么叫做权倒数传播定律？它描绘的是一种什么关系？它与误差传播定律有什么联系？三、选择题1、用水准仪观测时，若前、后视距不相等，此因素对高差的影响表现为（），在一条水准线路上的影响表现为（）A 、偶然误差，偶然误差B 、偶然误差，系统误差C 、系统误差，偶然误差D 、系统误差，系统误差2、当误差的大小与观测量的大小无关时，此时不能用（）来衡量精度A 、相对误差B 、中误差C 、绝对误差D 、容许误差（）3、用30 米长的钢尺丈量距离（该尺经过检验后其实长度为29.995m ），用此尺每量一整尺就有0.005m 的尺长误差，则这种误差属于A 、偶然误差，且符号为（-）B 、系统误差，且符号为（-）C 、偶然误差，且符号为（+ ）D 、系统误差，且符号为（+ ）4、由于测量人员的粗心大意，在观测、记录或计算时读错、记错、算错所造成的误差，称为（）A 、偶然误差B 、系统误差C 、相对误差D 、过失误差5、在相同条件下，对任何一个量进行重复观测，当观测次数增加到无限多时，偶然误差的算术平均值为零，这说明偶然误差具有A、对称性B、有界性 C 、大小性D、抵偿性6、中误差反映的是（）。
顾孝烈《测量学》(第4版)章节题库(含考研真题)测量误差基本知识【圣才出品】
第五章测量误差基本知识一、名词解释1．中误差[南京师范大学2011年]答：中误差是衡量观测精度的一种数字标准，又称“标准差”或“均方根差”，是指在相同观测条件下的一组真误差平方中数的平方根。
2．误差传播定律[东北大学2015年]答：误差传播定律是指反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，它根据函数的形式把函数的中误差以一定的数学式表达出来。
3．偶然误差答：偶然误差是指在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性的误差。
4．系统误差答：系统误差是指在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，出现的符号和数值上相同，或按一定的规律变化的误差。
二、填空题1．精度的3个标准是，，。
【答案】中误差；相对误差；极限误差2．中误差作为极限误差。
【答案】2倍【解析】根据极限误差的定义，常把2倍中误差作为极限误差。
3．已知X=L1+L2，Y=（L1+L2）/2，Z=X·Y。
L1、L2中误差均为m，则X、Y、Z的中误差分别为，，。
【答案】m2；22m；22m4．某平面三角形中，观测了α、β两个内角，其测角中误差均为±6″，则此三角形第三个内角γ的中误差为。
【答案】±8.5″5．现有DJ6的经纬仪，用测回法观测一个角，要使测角中误差达到±6”，求至少要观测测回。
【答案】32【解析】该题考点是第五章误差理论，要理解6的含义，6指一测回方向观测的中误差，根据协方差传播率可求得测回数。
三、判断题1．广义算术平均值的权，不等于观测值权之和。
（）【答案】错误【解析】不等精度观测值的加权平均值计算公式可以写成线性函数的形式：，根据线性函数的误差传播公式，得：，按式，以（m为单位权中误差），得：。
按式，加权平均值的权即为观测值的权之和：。
2．当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成正比。
（）【答案】错误【解析】“权”的原来意义为秤锤，用做“权衡轻重”之意。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
土木工程测量-测量误差的基本知识
lm i
n ∞ →
n
=lm n =0 i
n ∞ →
(5-3)
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即 表示取括号中下标变量的代数和 ∑∆i=[∆] 工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
1 −2σ2 = e 2 πσ
2 ∆
( ) )∆ p∆ =d∆d = f (∆d ∆
k n
(5-6)
和式(5-6)中f(∆)是误差分布的概率的概率密度函数，简称 是误差分布的概率的概率密度函数 式(5-4)和式 和式 中 是误差分布的概率的概率密度函数， 密度函数。 密度函数。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
的数据， 用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表 的数据 可以直观地表示偶然误差的分布情况 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间 的比值为纵坐标， 与区间d∆的比值为纵坐标 以误差大小为横坐标，以频率 与区间 的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。 所示。 频率直方图。 所示 这种图称为频率直方图
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律： 从表 中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差 中可以看出 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频 率相近，最大误差不超过24″。 率相近，最大误差不超过 。 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中， 特性 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 不超过一定的限值。 范围 范围) 不超过一定的限值。(范围 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大， 特性 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出 现的频率小。 绝对值大小 绝对值大小) 现的频率小。(绝对值大小 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号 特性 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 符号) 符号 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， 特性 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 ， ∆ + 2+ ∆ [∆ ] 抵偿性) (5-3) 即(抵偿性 抵偿性 1 ∆ Ln
测量学之测量误差基本知识
所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，为了衡量 观测值的精度高低，可以用误差分布表、绘制直方图或画出误 差分布曲线的方法进行比较。 衡量精度的标准有以下几种：
中误差 允许误差（极限误差） 相对误差
m 21 22 2n
n
n
例 ：对某一距离进行五次丈量，其真误差分别为－6mm 、－5mm、－2mm、+1mm、+6mm，求观测值中误差。 根据上式可知
2. 观测值的和或差函数
函数 Z=x±y 的中误差：
mz2 mx2 my2
或mz
mx2
m
2 y
例2 在三角ABC中，观测了∠A和∠B，其中误差 分别为 mA 6" ， mB 8" ，求∠C的中误差？
解： ∵C=180－(A+B) ∴
mc mA2 mB2 62 82 10
2
3
4
5
);
m x2
m 5
3、结论：
Pi mi2 ; (i = 1,2, ……n)
式中:P为权，是任意常数。
水准测量与距离丈量中，各路线的权与该路线的测站数
或距离的公里数成反比。
即
1 pi Ni
或
1 pi Si
同精度观测值的算术平均值的权与观测次数成正比。 即
Pi=Ni
设对某量进行n次观测，其观测值中误差及权分别为： 观测值 l1 , l2 …… ln 中误差 m1, m2 …… mn 权 p1 ,p2 …… pn
则加权平均值为:
x加 p1l1 p2l2 pnln [ pl]
p1 p2 pn
第5章-测量误差
证明如下： [] [vv]
n n 1
证明两式根号内相 等
真误差：
11 Xl1 lX1 22 Xl2 lX2 nn Xln lXn
改正数： vv11 xx ll11 v2v2xx ll22 vnvnxx lnn
由上两式得
i vi x X i vi
对上式取n项旳平方和 n 2 2 v vv 其中:v nx l 0
图5-1 误差统计直方图
§5.2 算术平均值原理
一、算术平均值原理
在等精度观察条件下，对某量作一系列观察，取其观察值l i旳算 术平均值，做为真值X旳最可靠估值（最或是值）。
x l X
n
l l1 l2 ln
二、最或是误差（观察值旳改正数） 替代真误差
vi x li
v n x l n l l 0
• ±1、±2、 ±0、±√2
•研究观察值函数误差传播旳规律，称为误差 传播定律。
一、和差函数
•
设Z=X±Y （X、Y不有关）
有观察误差 Z Z ( X X ) (Y Y )
真误差
Z X Y
平方求和 ZZ XX YY 2XY
除以n
ZZ XX YY 2 XY
n
n
n
n
证明两式
根号内相
n 2 2 v vv n 2 vv
等
2
(x
X )2
l
n
nX n
2
l
X 2
n
2
n2
n
2 1 2 n 2 (21 22 2n ) 2i j i, j 1 i j
2
2
n2
n2 0
vv
n n2 n
vv
n n 1
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
测量学第五章 测量误差基本知识1
my [ y y ] n
y=?
dy y
§5.4
误差传播定律及其应用
概念
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值
函数中误差的关系的定律。
倍数函数
函数形式
和差函数
线性函数
一般函数
（一）和差函数
例如：用水准测量测定两点间的高差h=(a-b)，a 为后视读数，b为前视读数，称h为观测值a和b的 函数。 又例如距离 S 分 n 段丈量，各段长度分别为 S1 、 S2 、 … ， Sn ，则 S=S1+S2+….Sn ，称距离 S 是各分 段长度S1，S2、…，Sn的函数 这些数学式都是直接观测值之和或差，因此称为 和差函数。
2
2
2
2
设每个自变量都观测了 多次，i 1,2,3....n
y i
i 1
n
2
n
f1
n
2
(x1 ) i
i 1
n
2
n
1 2
f2
2
(x 2 ) i
i 1
n
2
n
...
n 当n ， lim 2 f 1 f 2
2 f1 f 2
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
(1) 2 2 2 (6) 2 0 2 (1) 2 7 2 12 0 2 (3) 2 (1) 2 m2 3.2 10
S′
测量学自学教程5
第五章 测量误差的基本知识一、本章重点1．测量误差概念。
2．算术平均值原理。
3．评定观测值的精度标准二、本章难点1．观测值中误差及算术平均值中误差的概念。
2．偶然误差及特性。
3．观测值函数中误差的概念及其应用。
三、课时分配第一节 概 述在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差，即:测量误差 = 真值 - 观测值观测误差按其性质可分为两类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30 m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016 m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016 m ，也就是每量一整尺段就有 + 0.016 m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5 ⨯ (+ 0.016) = + 0.080 m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213 m ，则实际长度为：167.213 + 30213.167 ⨯ 0.0016 = 167.213 + 0.089 = 167.302 (m)由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。
比如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
再例如，角度测量时经纬仪的视准轴不垂直于横轴而产生的视准轴误差，水准尺刻划不精确所引起的读数误差，以及由于观测者照准目标时，总是习惯于偏向中央某一侧而使观测结果带有误差等都属于系统误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测结果进行改正加以消除外，也可以用一定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误差。
测量学试题及答案第五章 测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识一、名词解释观测误差系统误差偶然误差误差传播定律二、填空题1．测量误差产生的原因、、；2．观测误差按误差的性质划分，可分为、、；3．评定观测值精度的标准有、、；三、选择题（）1．下列误差为偶然误差的是A 钢尺尺长不准的量距误差B 水准仪的i角对读数的影响误差C 经纬仪的水准管轴不垂直于竖轴对读数的影响误差D 经纬仪度盘读数的估读误差E 水准尺未立竖直（倾斜）对仪器读数的影响误差F 经纬仪照准目标时的照准误差G 水准仪在水准尺上读数时最后一位数值的估读误差H 钢尺量距时尺子零点对准地面点位的对点误差（）2．下列哪些量是评定观测值精度的标准A极限误差B中误差C相对误差D允许误差（）3．地面上两点间的距离，用钢尺反复丈量，观测值中误差的计算公式为ABC D无法计算四、简答题1、简述偶然误差的四个特性五、计算题1．用钢尺反复丈量地面上A、B两点间的水平距离，观测数据如下：L1＝124.365L5＝124.368L2＝124.372L6＝124.361L3＝124.370L7＝124.366L4＝124.367L8＝124.368计算这组观测值的中误差、算术平均值的中误差和相对误差。
2.用经纬仪反复观测某一角度，得如下一组角度值β1＝28°15′32″β2＝28°15′28″β3＝28°15′37″β4＝28°15′46″β5＝28°15′38″β6＝28°15′40″试求这组观测值的中误差及算术平均值的中误差。
3.一测站水准测量，后视读数为 1.659m，前视读数为2.163m，水准仪在水准尺上的读数误差均为±2mm，求这一测站的高差及其中误差。
4.如图所示，从已知水准点A到B点进行水准测量，共测了4站，每一站水准仪的读数误差均为±2mm，A点的高程中误差为±8mm，试求B点的中误差。
5.水准仪在水准尺上的读数中误差为±2mm，求：⑴双仪器高法一测站高差中误差⑵三四等水准测量一测站高差中误差6.从已知水准点A到B点进行水准测量，水准仪的读数中误差为±2mm，A点的高程中误差为±8mm；要求B点的中误差不能超过±15mm，试求从A点到B点最多能测多少站？7.求DJ6经纬仪的一测回测角中误差，半测回测角中误差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.4 衡量精度的指标
标准差σ是在观测量n→ ∞条件下的结果，又称为理 论平均值，不代表具体观测值实际误差的大小，但具 有如下的现实意义：
1.σ较小时，观测值中含较大误差的可能性较小， 反之则较大。
2.根据误差理论，误差绝对值大于σ的概率为0.317， 大于2σ和3σ的概率值则分别为0.045和0.003。
设有函数： Z F(x1, x2,, xn )
(a)
xi为独立观测值
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
对(a)全微分：
dZ
F x1
dx1
F x2
dx2
F xn
dxn
(b)
由于xi 和 是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和dz
代入(b)得
mi
1 Pi
二、测量中常用的定权方法
3.水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度
成反比:
Pi
2
m2 i
c1 Ni
Pi
2
m2 i
c2 Li
4.角度测量的权与测回数成正比:
PL
2
mi2
ni
cm 2 m2
cni
5.距离测量的权与长度成反比:
Ps
2
ms2
c s
三、非等精度观测值的最或是值——加权平均值
得
mX
n
1 n2
m2
m n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差缩小了 n 倍。
●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。
4.和或差函数的中误差
函数式： Z x1 x2 xn
全微分： dz dx1 dx2 dxn
2.线性函数的中误差
设有函数式 Z k1x1 k2x2 knxn 全微分 dz k1dx1 k2dx2 kndxn
中误差式 mZ k12m12 k22m22 kn2mn2例：设有某线性函数Z4 14
x1
9 14
x2
1 14
x3
其中 x1 、x2 x、3 分别为独立观测值，它们的中误差
设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为
l1,l2,…ln, 其权分别为P1，P2，…Pn。则观测量的最或
是值为加权平均值：
L
P1l1 P2l2 Pnln P1 P2 Pn
Pl P
四、加权平均值的中误差
M
P
Pvv (n 1)P
……
……
● 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
§5.3 偶然误差的特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
§5.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正
钢尺温度误差lt 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
•对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为 m，由权的定义，选定λ= m2，则一次观测值的权
为：
P
m2
m2 m2
1
•n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：
M m vv
n
n(n 1)
•同精度观测值算术平均值的权为：
PL
M2
n
m2 m2
n
二、测量中常用的定权方法
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
2 单位权与单位权中误差
•对于一组不同精度的观测值l i ，一 次观测的中误差为mi ，设某次观测 的中误差为m，其权为P0，选定λ=
P0
m2 m2
1
m2，则有：
•数值等于1的权，称为单位权； 权等于1的中误差称为单位权中误
差，常用μ表示。对于中误差为mi
的观测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
9 14
2
2
1 14
6
2
1.6mm
3.算术平均值的中误差式
函数式
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
全微分
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12
1 n2
m22
1 n2
mn2
由于等精度观测时， m1 m2 mn ，m代入上式：
(d)
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
f1
f 2 x1x2
(e)
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对K个(e)式取总和：
n
2
f12 x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
fi f j xix j
(f)
i, j1
i j
通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。
Pi mi2 称Pi为观测值l i 的权。即：有较高精度的观测值有较
大的权，反之有较小的权。
1.权的定义：
Pi
mi2
对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个
大于零的常数λ值（可定义λ=m02），就有一组对 应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：
P1 : P2 :: Pi
m12
第5章 测量误差及数据处理的基本知识
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
概述 测量误差的种类 偶然误差的特性及其概率密度函数 衡量观测值精度的指标 误差传播定律 不同精度直接观测平差
§5.1 测量误差概述
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
mh m n 2 9 6mm
§5.6 不同精度直接观测平差
一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中
权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。
1.权的定义：
设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为 mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：