圆锥曲线公式大全

圆锥曲线公式大全(总7页)
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圆锥曲线知识考点
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：
⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点)
,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121
121
y y y y x x x x --=
-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：
1x y a b
+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B
A
k -
=，y 轴截距为B
C -
） (6)k 不存在
⇔a x b a x o
=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α
3、直线之间的关系：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=
⑴
平行：{
⇔
⇔≠=2121212
1//b b k k k k l l 且都不存在
，
2
1
2121C C B B A A ≠=
⑵
垂直：{
⇔⇔
⊥-=⇔-==2
1212111.0
21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A
⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：
0=++m By Ax
⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：
0=++n Ay Bx
⑸定点(交点)系方程：过两条直线
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：
0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ
反之直线0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一
切实数R ，则直线一定过定点),
(0
0y x ，即0:,
0:2
2221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点
),(0
y x
4、距离公式：
（1）两点间距离公式：
两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=
（2）点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2
2
00B
A C
By Ax d +++=
（3）两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程 1、圆的方程：
⑴标准方程：()()22
2
r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (042
2>-+F E D )
其中圆心为(,)22
D E -
-，半径为r =
2、直线与圆的位置关系 点),(0
0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)()()(r
b y a x r b y a x r
b y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;
0>∆⇔⇔<相交r d .
切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】
④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线
三、圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b
+=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 第一定义
到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，
即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(01)MF
e e d
=<< 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
2．双曲线
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 222122()F F c c a b ==-
离心率 222222
2
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程 2a x c
=±
2a y c
=±
焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-
下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-
焦点三角形面积
12212tan
()
2
MF F S b F MF θ
θ∆==∠0
2
1
s 2
1
y c in PF PF •=••=θ 通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： a
b 2
2
焦点的位置
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
22
10,0x y a b a b -=>> ()22
22
10,0y x a b a b -=>> 第一定义
到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，
即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(1)MF
e e d
=>
【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：
由双曲线求渐进线：
x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-2
2222222222201
由渐进线求双曲线：
λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=22
22222222220b
y a x b y a x a x b y a x b y x a b y
2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y
⇔方程设为λ=-2
2
y x
2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式 ）
（消y x x x x k x x k l ]4))[(1(1212212212-++=-+=
五、.直线与圆锥曲线的关系
1、直线与圆锥曲线的关系
如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2
b
2＝1 (a >b >0)的位置关系：
图形
标准方程 22y px = ()0p >
22y px =- ()0p >
22x py = ()0p >
22x py =- ()0p >
开口方向 向右 向左 向上 向下
定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)
顶点 ()0,0
离心率 1e =
对称轴 x 轴
y 轴
范围
0x ≥
0x ≤
0y ≥
0y ≤
焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
准线方程 2
p
x =-
2
p
x =
2
p y =-
2
p y =
焦半径 0,0()
M x y 02p
MF x =+
02p
MF x =-+
02
p
MF y =+
02
p MF y =-+
通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=
焦点弦长 公式 12AB x x p =++
参数p
几何意义
参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔
直线与椭圆相交?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b
x 2a 2
＋y
2b 2
＝1
⇔有2组实数解，即Δ>0.
直线与椭圆相切?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b
x 2a 2
＋y
2b 2
＝1
⇔有1组实数解，即Δ=0，
直线与椭圆相离⎩⎨⎧
y ＝kx ＋b
x 2a 2
＋y
2b 2
＝1
⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）
{
A
B x A
C x C By Ax x -=+=
⇔
=++2121x .x 2
1
0x 的两根方程和
则有2
1
2
2
1
2
1
4)(||x
x x x x x -+=
-
（2）
{
b kx y b
kx y +=+=1122则有下列结论
b x x k y y ++=+)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
x x k y y -=-
2
2
1
2
1
2
2
1
)(b x x k x x k y y +++=
③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：
把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；
020
2y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）
3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线
AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 2
21212,;4
p x x y y p =
=- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；
π
；⑸
112
. ||||
FA FB P
+=
⑷焦点F对A B
、在准线上射影的张角为
2。