平面图形的绘制

实验三 平面图形的绘制实验目的1． 了解plot 函数及有关参数的使用格式与作用，掌握一元函数y=f (x)的图象的画法；2．了解自定义函数的定义方法。

掌握二维参数方程的图形的画法；3．会作隐函数的图象。

与本实验相关的理论1．如果一条平面曲线上的点的坐标都是方程F(x, y)=0的解，且以方程F(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线上。

那么这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线（图形）。

2．平面曲线的参数方程形式为 ⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （a ≤t ≤b ）的方程，称为平面曲线的参数方程。

它在平面直角坐标系下代表一条直线。

3．．平面的极坐标方程与参数方程如果已知平面曲线的极坐标方程为r=f(t),那么，由直角坐标与极坐标的关系⎩⎨⎧==tr y t r x sin cos 该曲线在平面直角坐标系下的参数方程为⎩⎨⎧==t t f y t t f x sin )(cos )( 4．隐函数如果两个变量间的对应关系是由一个方程F(x, y)=0确定的，函数关系隐藏在这个方程中，例如中心在原点的单位圆的方程22y x +=1,就确定了x 、y 之间的某种函数关系，这种函数就叫隐函数。

实验步骤一、plot 函数的基本使用方法1．使用方法Plot 可以方便的作出一元函数的图象，并能自动处理具有无穷值点和无穷震荡点的函数的图形，其基本格式为Plot 〔﹛f1, f2, , fi,〕﹛x, xmin, xmax ﹜〕其中表﹛f1, f2, , fi,﹜中的fi (i=1, 2, 3, )是要绘制其图形的函数名称，表﹛x, xmin,xmax ﹜中的元素x 为函数fi 的自变量，xmin 和xmax 是自变量的取值区间的左端点和右端点。

2．作出下列函数的图象（1）在同一坐标系内作出函数y=sinx, y=cosx 在区间〔0, 2π〕上的图象；Clear 〔x 〕Plot 〔﹛Sin 〔x 〕, Cos 〔x 〕〕,﹛x, 0, 2Pi ﹜〕（2）作出函数y=tanx 在区间〔﹣23,23ππ〕上的图象； Clear 〔x 〕Plot 〔Tan 〔x 〕, ﹛x, ﹣3/2*pi, 3/2*pi 〕〕（3）作出函数y= xx 1sin .11在区间〔﹣0.2, 0.2〕上的图象。

Clear[x]Plot[Sqrt[Abs[x]]Sin[1/x], ﹛x, ﹣0.2, 0.2]]其结果分别为：可以看出Plot 函数能在一坐标系内作出多个函数的图象,同时也可以看出用Plot 函数在作图时横轴和纵轴的单位一般是不一致的.二、Plot 函数的常用参数的使用格式与作用Plot 函数除了上述使用方式外还有另一种使用方式：Plot[﹛f1, f2, , fi, ]﹛x, xmin, xmax ﹜可选参数]其中可选参数的格式为：可选参数名→可选参数值（或可选参数值表）1．参数AspectRatio此参数是置作出的图象的横纵比，默认的横纵比为1：0.618 。

将参数AspectRatio 的值设置为Automatic 可以按实际比例（1：1）作图。

比较：Plot[﹛Sin[x], Cos[x]], ﹛x, 0, 2*Pi]]和 Plot[﹛Sin[x], Cos[x]], ﹛x, 0, 2*Pi ﹜, AspectRatio →Automatic]它们的图象分别为图2﹣1和图2﹣4。

2．参数PlotStyle参数PlotStyle的值是一个表，应将它的值放在双花括号内，它决定作的图形的划线的宽度、虚实、色彩等。

（1）参数值RGBColor[r, g, b]——决定划线的色彩。

其中r、g、b分别表示红色、绿色、蓝色的强度，其取值范围是[0, 1]之间的数。

例如：作图：Plot[Sin[x], {x, 0, 2*Pi} , PlotStyle→﹛﹛RGBColor[1, 0, 0]]]]（2）参数值Thickness[t]——它描述划线的宽度，其中t是一个实数，其取值范围在[0, 1]之间，这时以整个图的宽度为1。

因此t的取值一般应远远小于1。

例如：作图：Plot[Sin[x], {x, 0, 2*Pi}, PlotStyle→{{RGBXolor[1, 0, 0], Thickness[0.001]}}](3)参数PlotPoints——它确定函数值的单位取点。

当函数值变化比较剧烈时，应取一个比较大的值，以免作出的图形过分偏离函数的实际图形。

其格式为：PlotPoints→n其中n为单位取点数。

比较下面图形（图2—5、图2—6）：作图：Plot[Exp[﹣∧x2/2], {x, ﹣7, 7}]Plot[Exp[﹣∧x2/2], {x, ﹣7, 7}, PlotPoints→60]4．参数PlotRange它决定作图时函数值的取什范围。

其格式为：PlotRange→参数值其参数值为：（1）Automatic——此为系统默认值，当函数在作图区间存在无穷值点和很侠窄的尖峰，系统会将这一部分切掉；（2）All——要求画出函数值的全部情况，当发现系统下切掉了重要的尖峰时可以使用该值重画图形。

但在无穷值点不应使用该值，否则会跌入无穷循环的陷阱，甚至导致死机；（3）{y1, y2}——要求作出函数值在{y1, y2}范围内的图形。

作图：Plot[Tan[x], {x, ﹣Pi, Pi}]Plot[Tan[x], {x, ﹣Pi, Pi}, PlotRange→{﹣60, 60}]5．参数DisplayFunction它决定图形的显示与否。

当它取值为$Display-Function时（系统的默认值），图形将在屏幕上显示出来；当它取值为Identity时表示只生成图形表达式，但不显示。

其格式为：DisplayFunction→$DisplayFunction(或Identity)执行下述语句后，将只计算图形的表达式，而不输出图形。

如：In[5]: =A=Plot[Sin[x], {x, 0, 2*Pi}, DisplayFunction→Identity] Out[7]=-Graphics-其中-Graphics是上述图形的表达式，它包括与图形有关的数据和性态的描述，可以用函数InputForm[a]把它的内容显示出来。

三、图形的重新显式与组合显式：Show函数函数Plot可以在同一坐标系的同一区间作出不同函数的图象，但不时需要在同一坐标系的不同区间作出不同函数的图象，或者在一个坐标系内做一个函数图象时要求函数的各个部分其有不同的性态，这就需要使用Show函数。

我们知道Plot函数的参数DisplayFunction取值为Identity时，可以总值计算图形的表达式-Graphics-，而不把图形显式出来. Show函数的功能就是把求出的图形表达式作为图象显式出来，其格式为：Show[图形表达式，图形表达式，…，参数]使用时可以重新指定作图参数（即:Plot函数的相关参数），使图形按照需要折方式显示出来。

例如：用a=Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, 0, 2*Pi}]可以作出正弦和余弦函数在[0, 2 ]上的图象。

如果希望用实际的比例显示这个图，那么只要输入：Show[a, AspectRatio→Automatic]就不必再计算图形表达式而直接把图形显示出来，以加快图形绘制的速度。

又如：要在同一坐标系内作出余弦、反余弦函数的直线y=x图象，且余弦函数和直线y=x的图象用黑色虚线作，反余弦函数的图象用红色实线作，阅读下列程序（图2﹣7）：Clear[a, b, d, x]a=Plot[ArcCos[x], {x, ﹣1, 1},PlotStyle →RGBColor[1, 0, 0],DisplayFunction →Identity,AspectRatio →Automatic]b=Plot[x, {x, ﹣1/2, 2}, PlotStyle →{Dashing[{0.02, 0.01}]}, DisplayFunction →Identity]d=Plot[Cos[x], {x, 0, Pi}, PlotStyle →{Dashing[{0.02, 0.01}]}, DisplatyFunction →Identity]Show[a, b, d, DisplayFunction →$DisplayFunc-tion]四、自定义函数在mathematica 中，除了系统提供的内部函数之外，用户可以非常方便的定义自已需要的函数，其格式为f[,,--y x …]：=表达式自定义函数既可以是一元函数也可以是多元函数。

格式中的,,--y x …表示自定义函数的自变量，它们必须是变量名紧跟着一个下线“-”，但自定义函数在使用时不必加下划线“-”。

例如：定义一个函数f(x)=23x +sinx ，并计算f(0.5).Clear[x]f[-x ]:=2*∧x 3+Sin[x];f[0.5]执行结果：0．729 426可以看出当用户自己定义一个函数以后，就可以像系统内部的函数一样直接使用它来作各种运算或作图。

又如定义一个椭圆的参数方程如下：Clear[a, b, t, x, y]x[-t ]:=a*Cos[t];y[-t ]:=b*Sin[t];五、作参数方程的二维图形函数 ParametricPlot 可以作二维参数方程的图形,其格式为ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, tmin, tmax},可选项]其中 ParametricPlot 的可选项与Plot 函数同。

例如作出一个椭圆的图形：Clear[a, b, t, x, y]a=9;b=4;x[-t ]:=a*Cos[t];y[-t ]:=b*Sin[t];ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio →Automatic]再如作等速螺线的图形。

起点在极点的等速螺线的极坐标方程为 ,θρ=它在直角坐标系下的参数方程为 ⎩⎨⎧==.s i n,c o s θθθθy x 作图如下：Clear[a, t, x, y]x[-t ]: =t*Cos[t];y[-t ]: =t*Sin[t];a=ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 4*Pi}, PlotPoints →250, AspectRatio →Automatic]六、隐函数作图如果方程F(x, y)=0定义了一个隐函数y=y(x)，可以通过下述步骤作出它的图象。

1．用自定义函数定义F(x, y)，即f[--y x ]:=F(x, y);2．用ContourPlot 函数按下述格式作出其图象。