电子科技大学 一元函数积分学检测题(三)
一元函数积分学检测题
《一元函数积分学》检测题班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________2(3,15)1.()()2,()________________.()()arcsin______________________________.f x f x dx f xf x f x xdx-='==⎰⎰2一、填空题每小题分共分设是连续函数，满足f(x)=3x-则2.设则3.设f(x)连续，若1(1)()1f f x dx==-⎰，则01[()]xxdf xt dtdx=-⎰=________.744.sin2__________________.xdxπ=⎰()25.sin____________________.xdx t dtdx-=⎰()()()()()() ()()()()()()()()()15sin00(3,15)sin1.,1,0,.;;;2.(),(),.;;;二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小.设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数.x xtsttx dt x t dt x x xtA BC Df x I t f tx dxA I s tB I sC I tD Iαβαβ==+→=⎰⎰⎰()()()()()52260023..cos;0;11111(2)();()22下列运算正确的是.xA xdxB dxxC f x dx f x CD d Cx x xππ+∞-∞==+'=+=+⎰⎰⎰⎰⎰8844444444tan4.(),sin ln(,1(tan cos cos),,,().() () ()()设则的大小关系是x xxM x dx N x x dxxP x e x e x dx M N PA M N PB N M PC P M ND M P Nππππππ----⎡⎤=+=++⎣⎦+=+->>>>>>>>⎰⎰⎰2sin5.()sin,() ( ).() () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数.x txF x e tdt F xA B C Dπ+=⎰()(5,)1..三、计算每小题分共20分ndxx x a+⎰1221arctan 2..xdx x+∞⎰()()()ln 13.ln ,.设计算x f x f x dx x+=⎰0sin 4.(),().设求x tf x dt f x dx tππ=-⎰⎰4018()tan ,()(2)(2).1四、(分)设证明n f n xdx f n f n n n π=+-=>-⎰28()[,]()0,()().()五、(分)设在区间上连续，且证明:bbaadxf x a b f x f x dx b a f x >⋅≥-⎰⎰31()()(),lim,x f x f x x f xt dt A A x→=⎰六、（8分） 设函数连续，g()=且为常数， '()g'()0g x x x =求并讨论在处的连续性.22418()0,(0)0,(0)1,lim().七、(分)设在点的某邻域内连续且计算xx f x x f f tf x t dt x →'===-⎰()[]()()()()()0121290,,0,cos 0.:0,,,0.八、(分)设函数在上连续且试证明在内至少存在两个不同的点使f x f x dx f x xdx f f ππππξξξξ====⎰⎰319()ln ,[1,3]()0,,().九、(分)设在上求常数使 最小f x ax b x f x a b f x dx =+-≥⎰。
考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab｜x－t｜φ(t)dt的图形在(a，b)内( )A．为凸B．为凹C．有拐点D．有间断点正确答案：B解析：先将φ(x)利用｜x－t｜的分段性分解变形，有φ(x)=∫ax(x－t)φ(t)dt+∫xb(t－x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt－∫axtφ(t)dt+∫xbtφ(t)dt－x∫xbφ(t)dt因为φ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．其余三个选项，只需求出φˊˊ(x)，讨论φˊˊ(x)在(a，b)内的符号即可．因φˊ(x)=∫axφ(t)dt－∫xbφ(t)dt，φˊˊ(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．知识模块：一元函数积分学2．F(x)=∫x－1f(t)dt，则( )A．F(x)为f(x)的一个原函数B．F(x)在(－∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C．F(x)在(－∞，+∞)上不连续D．F(x)在(－∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数正确答案：D解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得所以Fˊ+(0)≠Fˊ－(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(－∞，+∞)上的原函数．请考生思考，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)．知识模块：一元函数积分学3．设则在(－∞，+∞)内，下列正确的是( )A．f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数B．f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C．f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D．f(x)连续，且Fˊ(x)=f(x)正确答案：A解析：可以验证．x=0为f(x)的第二类间断点，因为不存在，故x=0为f(x)的振荡间断点，可能存在原函数．通过计算故F(x)可微．即Fˊ(x)=f(x)，故(A)正确。
考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷43(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数是A．1+sinxB．1—sinxC．1+cosxD．1-cosx正确答案：B解析：由题设可知f’(x)=sinx，从而于是f’(x)的全体原函数为其中C1，C2为任意常数．取C1=0，C2=1，即得1－sinx是f(x)的一个原函数．故应选B．知识模块：一元函数积分学2．函数其中f(t)=esin2t(1+sin2t)cos2t，则F(x)A．为正数B．为负数C．恒为零D．不是常数正确答案：B解析：由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期)，故即F(x)为常数．由于被积函数是变号的，为确定积的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即故应选B．知识模块：一元函数积分学3．下列反常积分中收敛的是A．B．C．D．正确答案：C解析：记则有若q＞1，则积分I收敛；若q≤1，则积分，发散．由此可知应选(C)．令t=lnx通过换元法，经计算也可选出(C)．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分其结论不正确的是A．B．C．D．正确答案：C解析：对于(A)：由于收敛，于是故(A)正确．对于(B)：由分部积分有而所以故(B)正确．对于(D)：由于所以故(D)正确．综上分析，(C)不正确，故选(C)．知识模块：一元函数积分学填空题5．设f’(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=___________.正确答案：解析：令u=cos2x，则由题设有f’(u)=1－u，于是f(u)=u－u2+C，即f(x)=x －x2+C，令x=0，则0=f(0)=C，所以知识模块：一元函数积分学6．已知f(x)是f(x)=xcosx的一个原函数，且则F(x)=_______．正确答案：xsinx+cosx+1解析：由题设及原函数存在定理可知其中C0为某常数，从而又解得C0=2，于是F(x)=xsinx+cosx+1 知识模块：一元函数积分学7．设f(x)在[0，1]连续，则正确答案：4A解析：由于f(|cosx|)在(－∞，+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分(三)_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
微积分（三）_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知【图片】，则【图片】（）参考答案:2.已知【图片】则【图片】在【图片】处下列结论正确的是（）参考答案:连续且可微3.若f(x,y)在点(0,0)的两个偏导数存在，则下列命题正确的是（）参考答案:与均存在4.若【图片】在点【图片】的两个偏导数存在，则下列命题正确的个数为（）(1)【图片】在点【图片】连续 (2)【图片】与【图片】均存在(3)【图片】在点【图片】可微 (4)【图片】存在参考答案:15.计算【图片】（）参考答案:86.已知【图片】，函数【图片】由方程【图片】确定，则【图片】（）参考答案:-27.设【图片】（【图片】均为正数），则【图片】最大值为（）参考答案:69128.已知【图片】在【图片】处可微，且【图片】【图片】，则【图片】= （）参考答案:519.计算函数【图片】在直线【图片】轴,【图片】轴所围成团区域D上的最大值【图片】和最小值【图片】分别为（）参考答案:M = 4, m = -6410.计算隐函数【图片】的极大值为（）参考答案:611.计算【图片】（）参考答案:12.设【图片】为拆线【图片】，这里【图片】分别为：【图片】，计算积分【图片】（）。
参考答案:913.计算【图片】（）参考答案:114.若【图片】在点【图片】的两个偏导数存在，则【图片】在点【图片】是（）参考答案:不一定可微也不一定连续15.设函数【图片】，则z的定义域为（）参考答案:且16.设函数【图片】在闭区域【图片】的内部具有二阶连续偏导数，且满足【图片】，则（）参考答案:的最大值和最小值都在的边界取得17.计算由方程【图片】所确定的隐函数【图片】的极小值为（）。
参考答案:-218.设f(u)连续，f(0)=0，【图片】，且【图片】，则【图片】（）。
参考答案:4036。
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学微积分试题及答案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x xx x --的（）A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+C 、2y x =D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x=+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21y x x=+的图形（12分） 六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、 解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x xx x x →→→--∴==当时，原式=5、 解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()23300,012022201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则x(,1)-∞-1-(1,0)-0 310,2⎛⎫ ⎪⎝⎭312 31(,)2+∞ y ' - - - - 0 + y '' + 0 - + ++ y↘拐点↘无定义↘极值点↗渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷38(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷38(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=下述命题成立的是( )A．f(x)在[一1，1]上存在原函数。
B．令F(x)=f(t)dt，则f＇(0)存在。
C．g(x)在[一1，1]上存在原函数。
D．g＇(0)存在。
正确答案：C解析：由=0=g(0)可知，g(0)在x=0处连续，所以g(x)在[一l，1]上存在原函数，故选C。
以下说明A、B、D三项均不正确。
由=0可知，x=0是f(x)的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上f(x)不存在原函数。
由f＇-(0)==0,f＇+(0)==l，可知f＇(0)不存在。
由不存在，可知g＇(0)不存在。
知识模块：一元函数积分学2．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )A．1+sinx。
B．1一sinx。
C．1+cosx。
D．1一cosx。
正确答案：B解析：由f＇(x)=sinx，得f(x)=∫f＇(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数。
令C1=0，C2=1得F(x)=l—sinx，故选B。
知识模块：一元函数积分学3．设一元函数f(x)有下列四条性质。
①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。
若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．①→②→③。
B．①→③→④。
C．④→①→②。
D．④→③→①。
正确答案：C解析：这是讨论函数f(x)在区间[a，b]上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。
由f(x)在[a，b]上可导→f(x)在[a，b]连续→f(x)在[a，b]可积且存在原函数，故选C。
知识模块：一元函数积分学4．设，则( )A．l1＞l2＞B．l1＞＞l2。
一元函数积分学测试卷
3n x ⎰ ⎰ ⎰ = ⎰ cos t⎨ x⎰一元函数积分学一、选择题πππ1、设 I = 4 ln sin xdx , J = 4 ln cot xdx , K = 4 ln cos xdx ，则 0I , J , K 的大小关系 ( )(A) I < J < K (B) I < K < J(C) J < I < K(D) K < J < Ix +2π 2、函数 F (x ) e cos tdt ( ) x(A)为正数(B)为负数(C)恒为零(D)和 x 有关3、极限 I = lim n →∞1+ x2 dx = ( )(A) 3 π(B) 1 π(C) π (D) π12 12 324 + x , x > 04、设 f (x ) = ⎪⎩ 0, 1- x , x = 0，F (x ) = ⎰0 f (t )dt ，则( )x < 0(A) F (x )在x = 0点不连续(B) F (x )在x = 0点连续但不可导(C) F (x )在x = 0点可导，F '(0) = f (0)(D) F (x )在x = 0点可导，但F '(0) ≠ f (0)5、若连续函数满足关系式 f (x ) = ⎰1 f (t 2)dt + e ,则f (x ) = ( )(A) 1 (e2x + e ) (B) 1(e 3s x + 2e )(C) e x (D) e 2x -16、设 I = tt 0f (tx )dx , 其中f (x )连续，s > 0, t > 0，则I 的值( )(A) 依 赖 于 s , t (B) 依 赖 于 s , t , x(C) 依赖于t , x ,不依赖于s (D) 依赖于s ,不依赖于t⎰1 xx ⎰⎰ ⎰ (1+ cos x )⎰ x +∞ 17、设m , n 均是正整数，则反常积分⎰dx 的敛散性( )(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与m , n 的取值都有关(D)与m , n 的取值都无关8、设 F (x ) = ⎰0f (t )dt , f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，则下列说法正确的是( )(A) lim F (x ) = 0时，必有 lim f (x ) = 0x →+∞x →+∞(B)“ F (x ) 为奇函数”是“ f (x ) 为偶函数”的充要条件(C)若 x → 0时，F (x ) ~ x n (n ≥ 2) ，必有 x → 0时 f (x )和x n -1 是同阶无穷小量(D)“F (x )是周期为T 的周期函数”是“f (x )是周期为T 的周期函数”的充要条件二、填空题3dx ⎰19、计算反常积分 22= .10、设 xf (x )dx = arccos x + C ,则dx= .f (x )11、 I = ⎰x dx = .πx + sin 2 x 12、 2-π22dx =.13、设 y = y (x )由方程y (x - y )2 = x 确定，则dx= .x - 3y14、设 g (x ) = ⎰ e -u 2du , 求⎰ (π- g (x ))dx = .2三、解答题15、设函数 f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续， f (0) = 0, 且∀x , t ∈ (-∞, +∞) 满足⎰f (xt )dt = f (x ) + x sin x ，试求 f (x ) 在(-∞, +∞) 内的导函数 f '(x )1 mln 2 (1- x )nxx - x 21+ e x= 2 -⎰+ ⎰1xxb 12 116、设 f (x ) x x f (x )dx 2 f (x )dx , 求f (x ) . 017、设函数 f (x ) 可导，且有 f '(x ) + xf '(x -1) = 4, 又⎰ f (xt )dt + ⎰ f (t -1)dt = 2x 3 + x 2 + 2 0 0 x 求⎰-1 f (x )dx18、求 lim⎰0sin x dx.x →+∞x19、设 f (x )在[0, +∞)内可导，f (0) = 1, 且满足f '(x ) - f (x ) + 1 ⋅ ⎰xf (t )dt = 0求⎰[ f '(x ) - f '(x )]e - x dx1+ x 020、求直线 y = ex , 曲线 y = e x , x 轴负半轴围成的图形，绕 x = 1 旋转一周所成的旋转体的体积. 21、设函数在 上可导，且 f '(x ) ≤ M 证明：⎰ f (x )dx - f (a )(b - a ) ≤M(b - a )2 a2πsin 2 nx 22、 I n = ⎰ 2dx , (1)求I n , (2)求lim I n .sin xn →∞23、设 f (x )在[-1,1] 上具有连续的二阶导数，证明存在η ∈[-1,1]使得⎰xf (x )dx = 2 f '(η) + 1η f '(η) -1 3 3。
一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x x f ++=，（x>o ）,则)(x f =xx 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x x x g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=xx f 的奇偶性. 解：21121)(+-=xx f 21121)(+-=--xx f 211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ， x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0 即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→x x x arctgx 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim 0→=13. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=xx x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=x x x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1. 5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke - 6. xx x x )11(lim -+∞→ 解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=x x x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgx x 0lim→=tgA AA 0lim →=12.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x xx ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=2202)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅=22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 nn n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim(1-) 2. =∞→x xx sin lim( 0 ) 3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a 21)1(11lim )(lim )01()01(b a f x x f x x -+-====--→--→1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin limln(0xxx →=01ln = 4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得.四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim00==-+++→→h hhx f h f h h . 所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f 五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim)('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设x x y 2sin =，则22sin 2cos 2'xxx x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数. 1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: x x x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求0=x dx dy. 解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdy x π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．xe y arcsin=.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212tt arctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsinx xx y -+=. 解： 22422)2(11212arcsin 'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin 22x x x x ---+=2arcsin x =. 5．xey 1sin 2-=.解： x xe x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=x e x x 1sin 222sin-⋅=.二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xx arctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2x y =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=. 其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x xx x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t a bt a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==,t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cos πππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=D VV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）. 特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明 （1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x x sin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('x xx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k ey 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k ey 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件.解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''= 31px =∴处取得极小值，其值为q p +-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p +23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πVR =32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''202201-=-+x f x f ξξ令()(){}21'',''min )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点. 2. )1ln(2+=x y解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。
电子科技大学微积分试题
电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于（）A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、21lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==Q :::当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=Q 当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x xx f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-Q Q 令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根。
一元微积分下试题合集2010年6月
的一个特解。
−3 x
求微分方程 y ′′ + 2 y ′ − 3 y = e
的通解。 的通解。
求微分方程 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 4e
−2 x
设 ϕ ( x ) 连续，且满足 ϕ ( x ) = e +
x
∫ (t − x )ϕ (t )d t ，求 ϕ (x ) 。
0
x
微分方程几何应用 设 f ( x ) 为定义在 [0,+∞ ) 上的正值连续可导函数，且对 x > 0 ， y = f ( x ) 在 [0, x ] 上的弧长 等于此弧下面曲边梯形的面积， f (0 ) = 1 ，求曲线方程。 1 、 证 明 ： 如 果 f ( x ) 为 线 性 函 数 ： f ( x ) = kx + m ， 则 f ( x ) 在 [a, b] 上 的 平 均 值 是
的连续函数，求证对方程的任一解 y ( x ) 有恒等式
设 f ( x ) 是以 ω 为周期的连续函数， 证明对于线性微分方程 存在有惟一的以 ω 为周期的特解，并求出其解。
dy + kx = f (x )（k 为常数） dx
2
。 。 。
⎛ ⎝
⎛ 2 1⎞ 1⎞ 2x y + ⎟ d y = 0 的通解是 ⎟d x + ⎜ ⎜ x⎠ y⎟ ⎝ ⎠
10、求微分方程特解 微分方程
d2 y dy +3 = 6 的特解为 2 dx dx
。
二 不定积分
1 x ∫ x 2 + 3x + 2 d x 。 ∫ (1 + x 2 ) 4 + x 2 d x ；
x ∫ e cos x d x ；
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷32(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷32(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />再由f’(0)=0知由①式和②式知涉及知识点：微积分11．试求方程ex=ax2(a＞0为常数)的根的个数．正确答案：②考查区间(一∞，0)．f(x)在(一∞，0)上单调增加，又则对任意a＞0，f(x)在(一∞，0)上有唯一零点，原方程在(一∞，0)上有一个根．③考查区间(0，+∞)．f(x)在(0，2]上单调减少，在[2，+∞)上单调增加，又于是，当f(2)＞0即时，f(x)在(0，+∞)内无零点，原方程在(0，+∞)上没有根；当时，f(x)在(0，+∞)有唯一零点(即x=2)，原方程在(0，+∞)上有唯一根；当时，f(x)在(0，2)及(2，+∞)内分别有唯一零点，即在(0，+∞)内有且仅有两个零点，原方程在(0，+∞)上有两个根．涉及知识点：微积分12．设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0处取得极大值；(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0处取得极小值．正确答案：n为偶数，令n=2k，构造极限(1)当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性，知f(x)＜f(x0)，故x0为极大值点；(2)当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性，知f(x)＞f(x0)，故x0为极小值点．涉及知识点：微积分13．设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．正确答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f(2k+1)2(x0)＞0时，存在x0的某去心邻域使得则当x＞x0时，f”(x)＞0；当x＜x0时，f”(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点；当f(2k+1)(x0)＜0时，同样可得(x0，f(x0))为拐点．涉及知识点：微积分14．求函数f(x)=nx(1一x)n，n=1，2，…，在[0，1]上的最大值M(n)及正确答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1-x)n-1,f”(x)=n2[(n+1)x-2](1一x)n-2．令f’(x)=0，得驻点为f(x)的极大值点，且极大值f(x0)=，将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值M(n)=f(x0)=且有涉及知识点：微积分15．设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在(a，b)内存在ξ，使得正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．则对于任意xi∈[a，b]，i=1，2，…，n，有m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②…m≤f(xn)≤M，①+②+…+mn≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故≤M．由介值定理可得存在ξ∈(a，b)，使得涉及知识点：微积分16．设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．正确答案：函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈(0，2)，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η,3)(0，3)，使f’(ξ)=0．涉及知识点：微积分17．在区间[0，a]上|f”(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．正确答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设在点x=c处取到，则f’(c)=0．f’(x)在[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，有f’(c)一f’(0)=cf”(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)一f’(c)=(a一c)f”(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以|f’(0)|+|f’(a)|=c|f”(ξ1)|+(a一c)|f”(ξ2)|≤cM+(a一c)M=aM．涉及知识点：微积分18．设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．正确答案：令F(x)=．F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．涉及知识点：微积分19．f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得正确答案：因为f(x)在(a，b)上满足拉格朗日中值定理，所以f(x)，ex在(a，b)上满足柯西中值定理的条件，所以涉及知识点：微积分20．设且f”(x)＞0．证明：f(x)≥x．正确答案：因，得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，即因f”(x)＞0，故f(x)≥x，当且仅当x=0时等号成立．原命题得证．涉及知识点：微积分21．设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使f”(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g”(ξ)=0．正确答案：令F(x)=f(x)g(x)，在点x=a处展开成泰勒公式，有F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+F”(ξ)(x一a)a(a＜ξ＜x)．①令x=b，代入①式，则F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+(b一a)2(a＜ξ＜b)．②因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F”(ξ)=0．即f”(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g”(ξ)=0．涉及知识点：微积分22．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使正确答案：将f(x)在x=a，x=b处展开成泰勒公式，有令|f”(ξ)|=max{|f”(ξ1)|，|f”(ξ2)|}，则(|f”(ξ1)|+|f”(ξ2)|)≤.2.|f”(ξ)|=|f”(ξ)|，故原命题得证．涉及知识点：微积分23．若x＞一1．证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α≤1+ax；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．正确答案：当x=0时，原不等式左边=1=右边，成立．当x≠0时，令f(x)=(1+x)a，则有f’(x)=α(1+x)α-1，f”(x)=α(α一1)(1+x)α-2．由f(x)的泰勒展开式f(x)=f(0)+f’(0)x+，ξ介于0，x之间，可知当x＞一1，0＜α＜1时，α(α一1)＜0，1+ξ＞0，故，所以f(x)≤f(0)+f’(0)x，即(1+x)α≤1+αx 同理可证，当x＞一1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α≥1+αx．涉及知识点：微积分24．设x∈(0，1)，证明不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；正确答案：(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，φ”(x)=[x一ln(1+x)]＞0，知φ’(x)单调递增，从而φ’(x)＞φ’(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．由(1)得，当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=因为又当x∈(0，1)时，f(x)单调递减，则，所以涉及知识点：微积分25．求证：当x＞0时，(x2一1)ln x≥(x一1)2．正确答案：设f(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2，所以f(1)=0．又因为f’(x)=2xln x —x+2一，f’(1)=0，且所以当x≥1时，f”(x)＞0，知f’(x)单调递增，则f’(x)≥f’(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0，原命题成立；当0＜x＜1时，f”‘(x)＜0，知f”(x)单调递减，则f”(x)≥f”(1)=2＞0，从而f’(x)单调递增，故f’(x)＜f’(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原命题成立．涉及知识点：微积分26．证明：正确答案：只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证涉及知识点：微积分27．设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f”(x)在(一∞，+∞)内有界．证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．正确答案：存在正常数M0，M2，使得对任意x∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f”(x)|≤M2．由泰勒公式，有f(x+1)=f(x)+f’(x)+其中ξ介于x与x+1之间，整理得f’(x)=f(x+1)一f(x)一所以故函数f’(x)在(一∞，+∞)内有界．涉及知识点：微积分28．设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．正确答案：用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af’(ξ2)一af’(ξ1)．因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是，[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．涉及知识点：微积分29．证明：当x＞0时，有正确答案：用拉格朗日中值定理．函数f(t)=ln t在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，故存在ξ∈(x，1+x)，使得ln(1+x)一ln x=f’(ξ)=因为x＜ξ＜1+x，所以于是有ln(1+x)一ln x＞即涉及知识点：微积分30．证明：当0＜a＜b＜π时，bsin b+2cos b+πb＞asin a+2cos a+πa．正确答案：令F(x)=xsin x+2cos x+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F’(x)=sin x+xcosx一2sin x+π=π+xcosx—sin x，由此式很难确定F’(x)在(0，π)上的符号，但由F”(x)=一xsin x＜0，x∈(0，π)，可知函数F’(x)在(0，π)上单调递减，又F’(π)=0，所以F’(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsin b+2cos b+πb＞asin a+2cos a+πa．涉及知识点：微积分31．设b＞a＞e，证明：ab＜ba．正确答案：设f(x)=．其中ln x＞ln e=1，所以f’(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，涉及知识点：微积分32．证明：当x＞0时，不等式成立．正确答案：构造辅助函数f(x)=，则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以f’(x)=，从而，当x＞0时，涉及知识点：微积分33．证明：当成立．正确答案：当，cos x=一1＜0，当cos x=0时，，所以不等式成立．当时，构造辅助函数f(x)=则f’(x)=(2xcosx一2sin x+x3)．上式中，当．但是2xcosx-2sinx+x3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcos x—2sin x+x3，则g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x—sin x)＞0，所以，当x∈时，g(x)=2xcos x一2sin x+x3＞0．涉及知识点：微积分34．设f(x)在x=0处连续且，求f(0)并讨论f(x)在x=0处是否可导．若可导，请求出f’(0)．正确答案：因题设从而f(x)=ln(ax+cosx—sin x)．又f(x)在x=0处连续，所以f(0)=(αx+cos x—sin x)=0．于是所以f’(0)=一1．涉及知识点：微积分35．设讨论f1(x)与f2(x)的极值．正确答案：对于f1(x)，当x＞0时，f1’(x)=ex＞0，所以在(0，+∞)内无极值，当x＜0时，f1’(x)=(x+1)ex．令f1’(x)=0，得x1=一1．当x＜一1时，f1’(x)＜0；当-1x＜x＜0时，f1’(x)＞0．故f1(一1)=一e-1为极小值．再看间断点x=0处，当一1＜x＜0时，f1’(x)＞0，f1(x)＜f1(0)=0；当x＞0时，f1(x)＜0=f1(0)，故f1(0)=0为极大值．对于f2(x)，当x＞0时，f2’(x)=一ex＜0,所以在(0，+∞)内无极值．当x＜0时，与f1(x)同，f2(一1)=一e-1为极小值．在间断点x=0处，f2(0)=一1．当x＞0时，f2(x)＜一1；当x＜0且|x|充分小时，f2(x)为负值且|f2(x)|＜1，从而有f2(x)＞一1．所以f2(0)非极值．涉及知识点：微积分36．设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，且f”(x)＞0．证明：正确答案：先证左边．令其中由于f”(x)＞0，所以f’(x)严格单调增加，从而于是φ’(x)＜0，所以当x＞a时，φ(x)＜0，有φ(b)＜0，左边得证。
高等数学（一元函数积分学）测试卷
高等数学（一元函数积分学）测试卷高等数学（一元函数积分学）测试卷一、填空题（每题4分，共20分） 1.确定定积分dx x ?-112的值2.估计定积分+π20)sin 35(21dx x 的取值范围 3.设)(x f 连续，0>x ，且+=212)1()(x x x dt t f ，则=)2(f4.设平面图形由星形线 ==ty tx 33sin 2cos 2 所围成,则此平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 5.判定反常积分∞+∞-++222x x dx的收敛性。
如果收敛，写出其值；反之则只需写“发散”。
二、选择题（每题3分，共15分） 1.设：?=badx x f I ,)(，据定积分的几何意义可知A.I 是由曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴所围成图形的面积，所以0>IB.若0=I ，则上述图形面积为零，从而图形的“高”0)(=x fC.I 是曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴之间各部分面积的代数和D.I 是曲线)(x f y =及直线b x a x ==,与x 轴所围成图形的面积2.已知质点以速度 2)(t te t v -=（米/秒）作直线运动，则质点从时间11=t 秒到时间32=t 秒内所经过的路程为 A.913---e e B.()913---e e C.91---e e D.()9121---e e3.已知连续函数)(x f 满足方程?++=1032)(11)(dx x f x xx f ，则)(x f = A.32311)(x x x f π++= B.311)(32x x x f ++= C.3211)(x xx f ++=D.条件不足，无法求出4.曲线)1ln(2x y -=在??210，上的弧长为A.122211()1dx x +-?； B.122211x dx x +-?； C.122211x dx x-+-?； D. 122201[ln(1)]x dx +-?.5.如果要求出)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→的值，我们可以运用定积分的概念求解，那么该极限与下列哪个定积分是等价的 A.dx x x ?+∞+021 B.dx x ?+10211 C.?+1011dx x D.dx x+10211 三、解答题（共55分）1.(12分）求不定积分（1）?+)41(2x x dx （2）?xdx 3sec2.（8分）已知,1,10,1)(ln ?+∞<<≤<='x x x x f 且,0)0(=f 求).(x f3.（12分）求定积分（1）?-adx x a x222（2）?--243cos cos ππdx x x4.（8分）设曲线22,y x y x -==及0=y ，围成一平面图形（1）求这个平面图形的面积（2）求此平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积5.(15分）从下列三题中任选一题解答（1）半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?（2）边长为a 和b 的矩形薄板，与水面成α角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h 处。
高等数学：一元函数积分学习题含答案
1第三章一元函数积分学一、选择题1．由定积分的几何意义，可知=-⎰ax x a 022d （）.A．22aπB．2aπC．221a πD．241a π2．若)()(x f x F ='，则（）成立．A．⎰+='C x f x x F )(d )(B．⎰+=C x F x x f )(d )(C．⎰+=Cx f x x F )(d )(D．⎰+='Cx F x x f )(d )(3．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（）.A．⎰=)(d )(x F x x f B．)()(x F x f ='C．Cx F x x f +=⎰)(d )(D．Cx f x F +=')()(4．下列四式中正确的是（）.A．)(d )(x f x x f ba ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰B．0d )(='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ba x x f C．)()(d )(a f b f x x f ba-=⎰D．)(d )(x f x x f ='⎰5．若x x 2sin +是)(x f 的一个原函数，则[]=-⎰x x f d 1)(（）.A．C x x x +-+2cos 21212B．C x x x +--2cos 21212C．Cx +2sin D．Cx +2sin 216．若函数)(x f 的导数是xa ，则)(x f 的一个原函数是（）.A．Cxaa x+2ln B．xa a x+2ln C．Caa x+2ln D．2ln 2+a a x7．函数2)(x xe x f =的一个原函数=)(x F （）.2A．2x eB．xeC．221x e D．x ln 8．已知)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，则⎰=+xat a t f d )2(（）.A．)()(a F x F -B．)3()2(a F a t F -+C．)3()2(a F a x F -+D．)()(a F t F -9．设x ln 是)(x f 的一个原函数，那么下列函数中也是)(x f 的原函数的是（）.A．axln B．ax aln 1C．a x +ln D．2)(ln 21x 10．设)(x f 为连续函数，则x x f xad )(⎰是（）.A．)(x f '的一个原函数B．)(x f 的全体原函数C．)(x f 的一个原函数D．)(x f '的全体原函数11．下列等式中正确的是（）.A．xx f x x f d )(d )(d =⎰B．)(d )(x f x x f ='⎰C．C x f x x f x +=⎰)(d )(d dD．)()(d x f x f =⎰12．设xe xf =)(，则⎰='x xx f d )(ln （）.A．Cx +B．Cx +-C．C x+1D．C x+-113．设)(x f 的一个原函数是xxln ，则⎰='x x f x d )(（）.A．C xx+ln B．C x x++2ln 1C．C x+1D．C xx+-ln 2114．下列函数中，在区间[]1,1-上不可积的是（）.A．⎩⎨⎧=-=<<-=1,1,011,1)(x x x x f B．xx f =)(C．121)(-=x x f D．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f315．设)(x f 在),(+∞-∞是连续的，则=++⎰⎰⎰212332d d )(d )(x t t f x x f （）.A．2-B．1-C．0D．116．=⎰204d cos πx x （）.A．π83B．π163C．83D．16317．='⎰bax x f d )3(（）.A．)]3()3([31a f b f -B．)3()3(a f b f -C．[])3()3(3a f b f -D．)3()3(a f b f '-'18．设⎰=121d x x I ，⎰=132d x x I ，则（）.A．21I I =B．21I I >C．21I I <D．无法确定19．⎰=+20d )2sin(ππx x （）.A．2-B．1-C．1D．220．=⎰207d cos πx x （）.A．3516B．π358C．π3516D．356421．⎰-=12d ||3x x x （）.A．－7B．37-C．21D．922．设常数0>a ，则=-⎰-aax x a d 22（）.A．2a πB．24a πC．22a πD．aarcsin 23．⎰=+x xx d 12（）.A．C x +arctan B．Cxx +++21ln C．Cx ++21D．C x ++)1ln(21224．⎰='xat t f d )3(（），其中f '连续．4A．[])()(3a f x f -B．)3()3(a f x f -C．[])3()3(3a f x f -D．[])3()3(31a f x f -25．若⎰⎰-=x x x x x x xf d sin sin d )(，则=)(x f （）.A．x sin B．x cos C．xx sin D．xx cos 26．=''⎰x x f x d )(（）.A．C x f x +')(B．Cx f x f x +-')()(C．Cx f x +')(212D．C x f x +'+)()1(27．)(x f 为[]b a ,上的连续函数，则⎰⎰-babat t f x x f d )(d )(的值是（）.A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定28．⎰-=+112d 1x x x（）.A．0B．1C．πD．2π29．=⎰xt x0d 2sin d d （）.A．2sin B．2cos C．0D．2sin x 30．设t t x x xd 1)(0⎰+=Φ，则=Φ')(x （）.A．xx +1B．⎰+++xxx dt t 011C．t x +1D．⎰+xdtt 0131．已知⎰+=22d 2)(xt t x f ，则=')1(f （）.A．3-B．63-C．36-D．332．设()=x ϕ⎰xt t f 20d )(，则()='x ϕ（）.A．)(2x f B．)4(x f C．)2(x f D．)2(2x f 33．设⎰=Φ2d )(x t te x ，则=Φ')1(（）.A．0B．eC．e 2D．e434．设⎰=Φ1d sin )(xt t x ，则=Φ')(x （）.A．xsin B．xsin -C．xcos D．xcos -535．设函数)(x f 在),0(+∞上连续，且⎰+=)1(02d )(x x x t t f ，则=)2(f （）.A．5B．3C．1D．5136．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x （）.A．3213x x +B．－3213x x +C．311x +D．－311x +37．=⎰→2d sin limxt t x x （）.A．∞B．0C．21D．138．=⎰→xt t xx 020d cos lim（）.A．∞B．1-C．0D．139．=-+⎰→xtt x x cos 1d )1ln(lim（）.A．0B．1-C．1D．∞40．设⎰+=Φ2sin 2d 11)(x t t x ,则=Φ')(x （）.A．x 2sin 11+B．xx 2sin 1cos +C．xx 2sin 1cos +-D．x2sin 11+-41．设3022d )(x t t f x=⎰,则：=⎰10d )(x x f （）.A．1B．2C．3D．442．极限=⎰→42d sin limx t t x x （）.A．21-B．1-C．1D．2143．广义积分⎰+∞1d xx （）.6A．发散B．收敛C．收敛于2D．敛散性不能确定44．下列反常积分收敛的是（）.A．⎰+∞d 2xx B．⎰+∞d xe x C．⎰+∞d xx D．⎰+∞+02d 11x x 45．下列反常积分中发散的是（）.A．xe x d 0⎰+∞-B．⎰+∞12d 1x xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞+02d 11x x46．下列反常积分中收敛的是（）.A．⎰+∞132d 1xx B．⎰+∞d xe xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞14d 1x x 47．广义积分x x x kd )(ln 12⎰+∞（k 为常数）收敛，则k 满足（）.A．1<k B．1≤k C．1>k D．1≥k 48．广义积分⎰-112d 1x x （）.A．收敛B．敛散性不能确定C．收敛于2-D．发散49．广义积分⎰+∞∞-+x x xd 122（）.A．发散B．收敛C．收敛于πD．收敛于2π50．广义积分⎰+∞12d 1x x （）.A．收敛于1B．发散C．敛散性不能确定D．收敛于251．广义积分⎰+∞22)ln (d x x x（）.A．发散B．收敛于1C．收敛于2ln 1D．的敛散性不能判定52．下列广义积分中发散的是（）.A．⎰+∞-0d xe x B．⎰+∞+02d 11x xC．⎰+∞1d 1x xD．⎰1d 1x x53．广义积分⎰+∞-=1d 2x xe x （）.7A．e21B．e21-C．e D．∞+54．下列广义积分收敛的是（）.A．⎰+∞1d xx B．⎰-22)1(d x x C．⎰+∞+1d 11x xD．⎰-axa x 022d )0(>a 55．广义积分⎰+∞d px x当（）.A．1>p 时收敛，1≤p 时发散B．1≥p 时收敛，1<p 时发散C．1<p 时收敛，1≥p 时发散D．1≤p 时收敛，1>p 时发散56．如果广义积分⎰+∞-02d x x P 收敛，则（）.A．1>P B．1<P C．3>P D．3<P 57．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 绕x 轴旋转得到的旋转体的体积1V 和绕y 轴旋转得到的旋转体的体积2V 之间的关系为（）.A．21V V >B．21V V <C．21V V =D．213V V =58．有连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =，)(b a <及x 轴所围成的平面图形的面积（）.A．xx f bad )(⎰B．xx f bad )(⎰C．xx f bad )(⎰D．[]),)()((b a a b f ∈-ξξ59．曲线x y =2，x y =，3=y 所围图形的面积是（）.A．⎰-312d )(yy y B．⎰-31d )(x x x C．⎰-12d )(yy y D．yy y d )(32⎰-60．由曲线x y ln =，a x =，b x =，)0(b a <<及x 轴所围成的曲边梯形的面积为（）.A．⎰baxx d ln B．⎰bax x d ln C．xa b ln )(-D．⎰baxx d |ln |二、填空题861．说明定积分x x d 1112⎰--的几何意义，并求其值__________．62．设)(x f 是函数x sin 的一个原函数，则=⎰x x f d )(__________．63．设)(x f 的一个原函数为xe x，则='⎰x x f x d )(__________．64．⎰+=-C ex x x f x2d )(，则=)(x f __________．65．若x cos 为)(x f 的一个原函数，则⎰='x x f x d )(___________.66．=+-⎰x x x xx d sin cos sin cos __________．67．⎰=x e xx d 32__________．68．⎰=--2d 2x x x__________．69．设)(x f '在[]b a ,上连续，则='⎰x x f bad )2(__________．70．设)(x f 是连续函数，则[]⎰-=--aax x f x f x d )()(2__________．71．=+⎰--x e x x xd )2(22__________．72．设xe xf =)(，则⎰='''1d )()(x x f x f __________．73．⎰-=--+112d ))()()((2x x f x f e x x __________（其中)(x f 为连续函数）74．=-⎰-2223d 1ππx x x ___________．75．⎰-=+212123d 1x x x __________．76．⎰-=+-1123d 11)sin 1(x x x __________．77．⎰-=+1122d )1(x x x__________．978．=+⎰-x xx d 2112__________．79．⎰-=113d x x _________．80．⎰=ex x 1d ln ______．81．=⎰θθπd tan 402______．82．=⎰-x x d 221______．83．⎰=2121d x x ex______．84．=⎰x x xe d ln cos 11______．85．{}=⎰-x x d ,1max 33______．86．设⎰=+123d )3(x ax x ，则a =_______．87．设)(x f 在[]b a ,上连续，0x 是()b a ,内任一定点，则=⎰t t f xx a d )(d d 0______．88．=⎪⎭⎫⎝⎛⎰102d d d x xe x x ______．89．=⎰-xx t t f xd )(d d ______．90．设⎰=xt t x f 0d sin )(，则()='x f ________．91．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x ___________．92．求极限=+⎰⎰→02d d )2sin (limxxx tt tt t t ___________．93．无穷限反常积分⎰+∞1d p xx收敛，则p 的取值范围为_________．94．无穷限反常积分⎰+∞-05d x e x =________．1095．无穷限反常积分⎰+∞-=0d x xe x ________．96．⎰∞-=02d x e x ______．97．=-+⎰-1123d 12x xx ______．三、计算题98．θθθd sin cos ⎰．99．⎰-x xx d 22．100．⎰-x xx x d 1arcsin 2．101．⎰-x x d )2(25．102．⎰x a x d 3．103．x xx d cos 2cos 2⎰+．104．x x d sin 3⎰．105．x x x x d )31)(21)(1(⎰---．106．y y n m d ⎰．107．x x x d 1⎰-．108．x x x x d )1()1(3+-+⎰．109．⎰+-x x x e x x x d 323．110．⎰+x x x d 122．111．⎰-x x x d 1ln 2．112．x x x x d 32532⎰⋅-⋅．113．x e e x xd 1⎰+．114．⎰-+te e t t d 1．115．⎰+x x d 9412．116．⎰+--x x x x d 83322．117．⎰+1d 2x x x ．118．x x x d 2532⎰+．119．⎰+1d 32x x x ．120．x x d 3cot 2⎰．121．⎰x x d 3sin 3．122．x x d 32cos ⎰．123．⎰x x x xd sin cos 2cos 22．124．x x xd 2cos 1cos 12⎰++．125．⎰+x x d sin 11．126．⎰x e e x x d )(cos ．127．x x e x d 2⎰-．128．⎰+x x x d sin 1cos 2．129．x xx d 1)(arctan 22⎰+．130．x x x d cos sin 53⎰．131．x x d sec 3⎰．132．x x d tan 4⎰．133．x x e xd sin ⎰．134．x x d arctan ⎰．135．⎰x x d arccos ．136．x x x x d cos sin ⎰．137．⎰+x x x d )1ln(2．138．⎰+x x d )1ln(2．139．⎰x x d tan 4．140．⎰t t td sin 2cos 4．141．⎰+x x xx d sin 1cos sin 4．142．⎰x x x d cos 2．143．x x d cos 3⎰．144．⎰x x x x d sin cos 3．145．⎰+x x x cos sin d ．146．x x x d cos cos ln 2⎰．147．⎰+x x x x d sin cos 2cos ．148．⎰x x x d cos ．149．⎰+x x xx d 1arctan 2．150．x x x x d cos sin 12cos ⎰+．151．x x d tan 4⎰．152．x x xx d sin 1cos sin 22⎰+．153．x x xd arcsin 2⎰．154．⎰-2251d x x．155．⎰-2169d x x．156．⎰+294d x x．157．⎰-44d x xx ．158．⎰-222d x a xx ．159．x xa x d 22⎰-．160．⎰-9d 22x x x ．161．⎰-1d 4x x ．162．⎰-24d x x x ．163．⎰--6d 2x x x ．164．x x x d 11)(3⎰++.165．x x x d 1⎰-．166．⎰+x x x d 122．167．x x x d 922⎰-．168．x x x d )1(43⎰+．169．⎰++x x d 111．170．⎰-x x x d )1(1002．171．⎰-+x ee e x x xd ．172．⎰xe x x d 112．173．⎰-x e x d 52．174．x e e e e x x x x d ⎰--+-．175．x x x d ln 2⎰+．176．⎰+x x x d 33．177．⎰+-x x d )32(112．21178．⎰++544d 2x x x．179．⎰-+223d x x x．180．⎰+2323)1(d x x x ．181．⎰--169d 2x x x．182．⎰+-x x x d 9132．183．⎰+t t21d ．22184．⎰-x x x d 125．185．⎰+)1(d 2x x x ．186．⎰--t e e t t d 112．187．x x x x d ⎰．188．x x x d 1⎰+．189．⎰+x x x d )1ln(3．23190．⎰+22)1(d x x．191．⎰-ax x a 0d (．192．⎰+33121d x x．193．⎰2021d x x ex．194．x x x d 23502⎰+-．195．⎰10d t te t．24196．⎰303d x e x ．197．⎰+ex x x 1d ln 1．198．⎰+10d 1x e e x x．199．⎰+102d 1x x x ．200．⎰-103d 2x xe x ．201．⎰2713d xx ．202．x x ed ln 1⎰．25203．⎰+1023d 1x x x ．204．⎰-51d 1u u u ．205．x x a x a d 0222⎰-．206．⎰+31ln 1d e x x x．207．⎰-212d 1x xx ．208．⎰2121d x xe x ．26209．⎰-+1122)1(d x x x ．210．⎰-++02222d x x x ．211．⎰--20)2)((d aa x a x x ．212．⎰+213d x x x ．213．x x x d cos cos 223⎰--ππ．214．⎰403d tan πθθ．27215．⎰-2102d 1arcsin x x x．216．⎰π0d sin x x x ．217．x x e x d cos 20⎰π．218．x x x d sin 03⎰π．219．x x x d 2cos 212⎰⎪⎭⎫⎝⎛．220．x x d sin 20⎰π．28221．⎰-404d 2cos 1πx x ．222．⎰+ωπϕω002d )(sin t t ．223．⎰π0d cos sin x x x x ．224．x x d 2sin 02⎰π．225．⎰-60d )12cos 2(πθθ．226．x x d 2cos 02⎰π．227．⎰402d tan πθθ．29228．⎰6822cos d ππx x．229．x x x d sin 202⎰π．230．x x e x d sin 20⎰π．231．⎰+∞15d x x．232．⎰+∞-0d x e x．233．⎰+∞-0d x xe x．234．⎰+∞e x x xd ln ．30235．⎰+∞e x x x 2)(ln d ．236．⎰+∞+12)1(d x x x ．237．⎰+∞12d arctan x x x ．238．⎰+∞-04d x e x x ．239．⎰205d sin cos πx x x ．240．⎰+212d 1x x x ．241．⎰+-10ln 2d 2x e xx ．242．⎰+∞++0222d x x x．243．x xe xd 10⎰-．244．x x xe d ln 111⎰+．245．⎰--+1122d )1(x x x ．246．⎰+10.d 11x e x .247．计算⎰20d )(x x f ，其中⎩⎨⎧≤<≤≤=21,510,2)(x x x x f .248．⎰10d arctan x x x ．249．⎰-31d 2x x .250．⎰242d csc ππx x x ．251．⎰-++222d 2||x x x x 252．⎰+202d sin 1cos πx xx .253．⎰+∞+32d 91x x 254．设)(x f 为连续函数，且满足x x f x x x f d )(3)(102⎰-=，求)(x f ．255．证明：若)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，则x x f x x f f x x f d )()1(212)1()0(d )(1010⎰⎰''--+=256．200d arctan lim x t t x x ⎰→．257．求由2x y =，x y =及x y 2=所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．258．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围成图形的面积．259．求曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积A 以及该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积x V 和y V ．260．求由抛物线542+-=x x y ，横轴及直线3=x ，5=x 所围成图形的面积．261．求由曲线2x xe y -=，横轴及直线0=x ，1=x 所围成图形的面积．262．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围图形的面积．263．求由抛物线223x x y --=与横轴所围成图形的面积．264．求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和点)0,3(处的切线所围成的面积．265．求由曲线x e y =，x e y -=及直线1=x 所围成图形的面积．266．求由抛物线)1(42+=x y 及)1(42x y -=所围成图形的面积．267．求由曲线xy 1=与直线2,==x x y 所围成图形的面积．268．求曲线2x y =，直线12-=x y 及x 轴所围成的图形的面积．269．求曲线2x y =，2y x =绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积．270．求曲线x y =与1=x ，4=x ，0=y 所围成图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积．271．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形的面积．272．设平面图形由xe y =，e y =，0=x 所围成，求此平面图形的面积．273．求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转所得旋转体体积．274．求抛物线)2(x x y -=与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．275．求由曲线1=xy 与直线2=y ，3=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积．276．求曲线3x y =与直线2=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积．277．求由曲线xe y =与直线e y =，y 轴所围成平面图形的面积．278．求由抛物线ax y 42=)0(>a 及直线0x x =)0(0>x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．279．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．280．求曲线xy 1=与直线1=x ，2=x 及0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．281．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而得的旋转体积．282．由曲线xe y =，y 轴与直线ex y =所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．283．一曲边梯形由12-=x y ，x 轴和直线1-=x ，21=x 所围成，求此曲边梯形的面积．284．求由x y =，0=y ，4=x 围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．285．计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积.286．求由曲线24x x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积及此图形绕x 轴旋转的体积．287．（数一）在一个带q +电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处)(b a <，求电场力所作的功．288．（数一）在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处(如图),求移动过程中气体压力所作的功.289．（数一）一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？290．（数一）一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力．291．（数一）一圆柱形的储水桶高为5米，底半径为2米，桶内水深为3米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？（其中水的密度为3/米千克ρ）第三章一元函数积分学1.D2.B3.C4.B5.C6.B7.C8.C9.A 10.C 11.A 12.D 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A 18.B 19.C 20.A 21.A 22.C 23.C 24.D 25.B 26.B 27.C 28.A 29.A 30.B 31.A 32.D 33.C 34.B 35.D 36.D 37.C 38.D 39.C 40.C 41.C 42.D 43.A 44.D 45.C 46.D 47.C 48.D 49.A 50.A 51.C 52.C 53.A 54.D 55.A 56.C57.B58.C59.A60.D61.2π62.21sin C x C x ++-63.()C xx e x +-264.()x xex--265.C x x x +--cos sin 66.Cx x ++sin cos ln 67.()C e x++23ln 3268.C x x ++-12ln 3169.()()[]a f b f 2221-70.071.262--e72.()1212-e 73.074.075.076.2π77.078.079.80.181.41π-82.583.ee -84.1sin 85.886.487.088.089.()()x f x f -+90.xsin 91.311x +-92.3-93.1>p 94.5195.196.2197.π298.C+θsin 299.()C x+--2122100.Cx x x ++--arcsin 12101.()Cx +--27272102.C aa x+ln 33103.C x +3sin 2arcsin 22104.C x x ++-3cos 31cos 105.Cx x x x +-+-432233113106.C nym y nm n+++107.()Cx x +---1arctan 12108.C x x x x +++-25235223109.Cx e x x++---ln 3223110.Cx x +-arctan 111.C xx+-ln 112.C x x+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ln 2ln 3252113.()C e x++1ln 114.Ce t+arctan 115.C x +32arctan 62116.()Cx x ++-83ln 2117.()Cx ++1ln 212118.()Cx ++5632158119.C x ++1323120.C x x +--3cot 31121.C x x +-6sin 1212122.C x +32sin 23123.()C x x ++-tan cot 124.C x x ++2tan 21125.C x x +-sec tan 126.Ce x+sin 127.C e x +--331128.()Cx +sin arctan129.()C x +3arctan 31130.C x x +-68cos 61cos 81131.()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21132.C x x x ++-tan tan 313133.()C x x e x+-cos sin 21134.()Cx x x ++-21ln 21arctan 135.Cx x x +--21arccos 136.Cx x x ++-2sin 812cos 41137.()()C xx x x x +-+-++3691ln 131233138.()C x x x x ++-+arctan 221ln 2139.C x x x ++-tan tan 313140.C t t ++-cot cot 313141.()C x +2sin arctan 21142.C x x x x +++2cos 812sin 41412143.Cx x +-3sin 31sin 144.Cx x x x +---21cot 21cot 22145.Cx x+--+-21tan 21tan ln 2222146.C x x x x +-+tan cos ln tan 147.C x x ++cos sin 148.Cx +sin2149.()C x x x x +++-+221ln arctan 1150.()C x ++2sin 2ln 151.C x x x ++-tan tan 313152.C x x +-sin arctan sin 153.Cxx x x +--+-211ln arcsin 1154.C x +5arcsin 51155.C x +34arcsin 41156.C x +32arctan 62157.C x +2arcsin 212158.C x a x a x a +--2222arcsin 2159.Cxaa a x +--arccos 22160.C xx +-9912161.C x x x +-+-arctan 2111ln 41162.C x x x ++-+11ln 211163.Cx x ++-23ln 51164.Cx x x ++-32322165.()Cx x +---1arctan 12166.Cx x x x ++-++-+12112112ln167.Cxx x x +---+99ln 22168.C x x x x x +++++61717658133611243256136113169.()Cx x +++-+11ln 212170.()()()Cx x x +-+---979899119711149111991171.()Ce x ++1ln 212172.Ce x+-1173.C e x +-5221174.()Cee xx ++-ln 175.()C x ++2ln 221176.()C x x x x ++-+-3ln 27923323177.()C x ++32arcsin 21178.C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+21arctan 41179.C x +-21arcsin 180.C x x x +-+-arctan 2111ln 41181.C x x x +--+-16913ln 312182.()C x x +-+3arctan 319ln 232183.C t ++21ln 21184.()()Cx x x +---+--523221511321185.Cx x x +-+11ln 2186.Ct e t++187.C x x x x +158188.()()C x x ++-+2325132152189.()()()Cx x x x x x x +-+--++--+312arctan 231ln 4121ln 431ln 22232190.Cx x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++1arctan 212191.62a 192.6π193.ee -194.()63b a -195.1196.()13-e 197.23198.()2ln 1ln -+e 199.2ln 21200.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31e 123201.12202.1203.()26ln 2521-204.()2arctan 22-205.416a π206.2207.33π-208.e e -209.0210.1211.23ln 1a 212.58ln 21213.41π-214.()2ln 121-215.722π216.π217.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212πe 218.()62-ππ219.2d 2cos 02ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x x 220.4221.81645-π222.ω2T223.4π-224.225.623π-226.2π227.41π-228.()1321-229.41162+π230.()1212+xe 231.41232.1233.1234.∞235.1236.2ln 1-237.2ln 214+π238.!4239.61240.34ln 241.()2e 141--242.4π243.e21-244.()12232-245.2246.()2ln 1ln 1++-e 247.6248.()241-π249.1250.2ln 214+π251.3ln 252.4π253.12π254.2332x x +-255.略256.21257.π1559,67258.2ln 223-259.ππ38,1564,34===y x V V A 260.332261.⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121262.2ln 223-263.332264.49265.2e1e -+266.316267.2ln 23-268.121269.103π270.π8.24271.2ln 2215-272.1273.234ab π274.π1516275.π325276.π7128277.1278.279.b a 234π280.202ax π281.281π282.2e 62ππ-283.2427284.5128π285.18286.34,π532287.akq 288.a bk ln289.3462≈（KJ ）290.332R g ρ291.g πρ42（J ）。
一元函数积分学试题
套题3：一元函数积分学测试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分1.当0x →时，下列无穷小中阶数最高的是（）（A-（B ）345345x x x -+（C ）2cos x e x-（D ）21cos 0sin xt dt t-⎰2.设sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a⎰等于（）（A ）3sin ax C a x +（B ）2sin ax C a x +（C ）sin ax C ax +（D ）sin axC x+3.若反常积分0+∞1(1+pB 收敛，则（）A a<1且b>1B a>1且b>1C a<1且a+b>1D a>1且a+b>14.设I =−π2π2(1+x)21+x 2dx ,J =−π2π21+x e xdx ,K =−π2π2(1+cosx )dx ,则I ,J ,K 的大小关系为A I >J >KB I >K >JC K >I >JD K >J >I5.设⎰==πk x k k xdx e I 0)3,2,1(sin 2，则有()312132123321)()()()(I I I D I I I C I I I B I I I A <<<<<<<<二、填空题1.=-++⎰dx xx x 11-221122.设）（0)()2(0>⎰=--a dt ex f t a t xa ，则=⎰dx x f a)(03..极限=-+⎰→xxxt x dt e sin 122])1(1[lim ⎰-=⎪⎭⎫⎝⎛++22cos 1sin .4ππdx x x x ⎰===10)('')2,1(2)0,0()()(.5dx x xf y x f y x f x 处相切，则在点且与曲线过点曲线具有二阶连续导数，若设函数三、简答题1.计算：设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求极限dtt x f x dtt f t x x xx ⎰⎰--→0)()()(lim。
电子科技大学微积分上册1-3
lim f x M 0, X 0,当 x X 时,
x
f x >M , 则 lim f x ;
x
●
x
lim f x M 0, X 0,当x X 时,
f x >M , 则 lim f x ;
当 0 x -x0 1时, 有 x .
又由 lim x 0, 对上述 0 , 2 0,当
x x0
0 x - x0 2时,有 x .
取 min 1 , 2 , 则当 0 x -x0 时,有
x
●
x
lim f x M 0, X 0,当x X 时, f x >M , 则 lim f x .
x
●
请思考并写出如下定义:
x
lim f x ; lim f x ; lim f x .
x x0
的图形的铅直渐近线.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x ) . x x0 1 0,由 lim f ( x ) , 令M ， 0, x x0 1 当 0 x x0 时,有 f x M , 1 1 即 . lim 0. x x0 f x f x
则称f x 当x 时为无穷大,记为 lim f x .
x
●
x x0
lim f x 若M 0, 0,当
0 x x0 时, 有 f x M ,
考研数学三一元函数积分学-试卷4_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三（一元函数积分学）-试卷4(总分66, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)为(-∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=则F(x)是SSS_SINGLE_SELA 单调增加的奇函数．B 单调增加的偶函数．C 单调减小的奇函数．D 单调减小的偶函数．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对被积函数作变量替换u=x-t，就有由于f(x)为奇函数，故为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而为奇函数，所以F(x)为奇函数．又由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得．从而F"(x)=x[f(ξ)-f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F"(x)＜0，从而应选(C)．其实由及f(x)单调增加也可得F"(x)＜0．2.下列函数f(x)中其原函数及定积分都存在的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：像这类题需逐一步分析．上述四个选项的f(x)均不连续．对于(A)：显然x=0是f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点x=0在内的区间上，f(x)一定存在原函数．因为当x≠0时｜x｜"=f(x)，因此当x≠0时，f(x)的全体原函数｜x｜+C在x=0处不可导，从而在任意一个包含x=0在内的区间上，｜x｜+C不是f(x)的原函数，所以f(x)在上述区间上不存在原函数．但定积分存在，因为f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点．故(A)不对．对于(B)：显然x=0是f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该f(x)存在原函数F(x)=而定积分不存在，因为在x=0的邻域内f(x)无界．故(B)不对．对于(C)：显然x=0是f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数．定积分也不存在．故(C)也不对．对于(D)：显然x=0是f(x)的第二类间断点，容易验证该f(x)在(-∞，+∞)上存在原函数F(x)=也存在(因为f(x)在(-∞，+∞)上有界，且只有有限个间断点)．故(D)正确，应选(D)．3.积分cosxln(2+cosx)dx的值SSS_SINGLE_SELA 与a有关．B 是与a无关的负数．C 是与a无关的正数．D 为零．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：由于被积函数ln(2+cosx).cosx是以2π为周期的偶函数，因此又因为在[0，π]上，2+cosx＞0，sin 2 x＞0，因此该积分是与a无关的正数．故选(C)．4.设F"(x)=f(x)，则SSS_SINGLE_SELA 当f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数．B 当f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数．C 当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定也是以T为周期的函数．D 当f(x)是以T为周期的函数时，F(x)一定不是以T为周期的函数．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：令F(x)= +1，则f(x)=x 2是偶函数，但F(x)不是奇函数，故可排除(B)．令F(x)=sinx+x，则f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但F(x)不是周期函数，故可排除(C)．令F(x)=sinx，则f(x)=cosx，f(x)和F(x)都是周期函数，故可排除(D)．当f(x)为奇函数时，故F(x)是偶函数，应选(A)．5.设f(x)在(-∞，+∞)上连续，则下列命题正确的是SSS_SINGLE_SELA 若f(x)为偶函数，则B 若f(x)为奇函数，则C 若f(x)为非奇非偶函数，则D 若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则F(x)=是以T为周期的周期函数．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由于0既是偶函数又是奇函数，且，所以不选(A)，(B)．若f(x)为非奇非偶函数，也可能有在(-∞，+∞)上为非奇非偶函数，但，因此不选(C)，由排除法应选(D)．事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，所以F(x)=是以T为周期的周期函数．6.设f(x)=｜sint｜dt，则SSS_SINGLE_SELA f(x)=f(x+π)．B f(x)＞f(x+π)．C f(x)＜f(x+π)．D 当x＞0时，f(x)＞f(x+π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+π)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：在积分中，令u=t+π，则故应选(A)．7.设常数a＞0，，则SSS_SINGLE_SELAI1＞I2．BI1＜I2．CI1 =I2．DI1与I2的大小与α的取值有关．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：所以，I1 -I2＞0．故选(A)．8.下列反常积分中发散的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：对于(A)：由于当k＞1时由排除法可知，应选(D)．因x=0是瑕点，从而发散，故反常积分也发散．应选(D)．9.设f(t)=，则f(t)在t=0处SSS_SINGLE_SELA 极限不存在．B 极限存在但不连续．C 连续但不可导．D 可导．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：当t≠0时，f(t)因=-1=f(0)，故函数f(t)在t=0处连续．故f(x)在t=0处不可导．选(C)．2. 填空题1.由曲线y=lnx与两直线y=e+1-x及y=0围成平面图形的面积S=______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：解方程组得唯一交点(e，1)，而所给曲线与直线分别交x轴于x=1及x=e+1．围成图形如图3．10中阴影部分，其面积2.由曲线与直线y=a及y轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线及直线y=a所围图形面积的，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：先画草图(如图3．11)，曲线是开口向下的二次曲线，且与x轴的交点为=0与x=4．由图形的对称性及条件可知S1 =S2，故S+S2=S+S1，即3.=____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：4.=_____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：5.=_____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：xlnlnx+C解析：原式==∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．6.=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：7.设f""(x)连续，f"(x)≠0，则=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：8.=_______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：令cotx=t，则x→0 +时t→+∞，x= 时t=0，故再令t=，则t→+∞时x→0，t→0 +时x→+∞，于是9.=______SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：原式10.=_____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：令t=-x，则11.=_____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：利用分部积分法．12.设y=f(x)满足△y==_____SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：由题设可知，从而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定积分几何意义得3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
成都电子科技大学实验中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<2．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立，设1,(2),(3)2a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<3．奇函数()f x 在(0)+∞，内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ） A ．()()(),21,02,-∞--+∞ B ．()()2,12,--+∞C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()(),21,00,2-∞--4．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．2log y x =C ．1y x x=+D ．5y x =5．若函数()f x 同时满足：①定义域内存在实数x ，使得()()0f x f x ⋅-<；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ）A ．()3f x x =B ．()sin f x x =C ．()1x f x e-=D ．()ln f x x =6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+7．已知“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”，现有函数：①1224x y x -=-；②1(2)|2|2y x x x =--+；③()321y x x =+--；④2332x x y x -+=-，则其中有相同对称中心的一组是（ ）A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④8．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对(]12,0x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．(0,8]D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭9．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ） A ．(4,6)B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(3,5)10．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±11．已知函数3()201920191x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．已知()2()ln ,(,)f x x ax b x a b R =++⋅∈，当0x >时()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．20a -≤< B ．1a ≥-C ．10a -<≤D ．01a <≤13．函数3e ex x x y -=+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()22y x =-B ．1y x =-C ．11y x =+ D ．()21y x =-+二、填空题16．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()11f =，则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________．17．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，都有()20mf =；②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得()219nf +=；④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是__________18．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.19．函数22y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．20．若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”，则实数a 的值为______.21．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )ln 2(1)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是__________．22．如果函数f (x )＝(2)1,1,1x a x x a x -+<⎧⎨≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是________． 23．已知函数2421()349x x f x +-=-+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．24．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在[]2,0-上是减函数，下面是关于()f x 的判断：①()f x 是以2为周期的函数；②()0f 是函数的最大值；③()f x 在[]2,3上是减函数；④()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 25．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.26．已知函数()()()()22sin 1R f x x x x x a a =--++∈在区间[]1,3-上的最大值与最小值的和为18，则实数a 的值为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果.【详解】∵0.31()2a =，12log 0.3b = 0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11221log 0.3log 12b =>=， 0.30.310.32c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,∴c a b << 故选：B 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.2．A解析：A 【分析】由题知函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，故15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c <<.【详解】解：因为当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦恒成立， 所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，由于函数(1)f x +是偶函数，故函数(1)f x +图象关于y 轴对称， 所以函数()f x 图象关于直线1x =对称， 所以1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于5232<<，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 所以15(2)(3)22b f a f f c f ⎛⎫⎛⎫=<=-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，再结合函数对称性与单调性比较大小即可，考查化归转化思想与数学运算求解能力，是中档题.3．A解析：A 【分析】由已知可作出函数的大致图象，结合图象可得到答案. 【详解】因为函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，(2)0f =， 所以当(02)x ∈，时，()0f x >，当(2)x ∈+∞，，()0f x <， 又因为()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 在()0-∞，上单调递减，(2)0f -=， 所以当(20)x ∈-，时，()0f x <，当2()x ∈-∞-，时，()0f x >， 大致图象如下，由(1)()0x f x +<得10()0x f x +>⎧⎨<⎩或10()0x f x +<⎧⎨>⎩，解得2x >，或10x -<<，或2x <-， 故选：A. 【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出()f x 的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.4．D解析：D 【分析】对四个选项一一一判断：A 、B 不是奇函数，C 是奇函数，但在()0,∞+上不单调. 【详解】对于A ： y =()0,∞+上单调递增,但是非奇非偶，故A 错误；对于B ：2log y x =为偶函数，故B 错误； 对于C ：1y x x=+在（0,1）单减，在（1，+∞）单增，故C 错误； 对于D ：5y x =既是奇函数也在()0,∞+上单调递增，符合题意. 故选：D 【点睛】四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.5．A解析：A 【分析】根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可. 【详解】解：由定义域内存在实数x 有()()0f x f x ⋅-<，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D 、C.由②得“DM 函数”为单调递增函数，排除B. 故选：A 【考点】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.6．A解析：A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.7．D解析：D 【分析】根据定义依次判断即可求出. 【详解】 对于①，()12312422x y x x -==----，则()()3212y f x x=+--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称； 对于②，()1212y f x x x x =+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称； 对于③，()321y f x x x =--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；对于④，22334421121222x x x x x y x x x x -+-++-+===-++---，则()121y f x x x=+-=+是奇函数，故函数关于()2,1对称. 故有相同对称中心的一组是②和④. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.8．D解析：D 【分析】问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集，先求出()f x 在(]2,4上的值域，再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域；分类讨论求出()g x 的值域，根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集．当(]2,4x ∈时，2(2)4,23()2,34x x f x x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时9()3,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由(2)2()f x f x +=，可得11()(2)(4)24f x f x f x =+=+ 当(]2,0x ∈-时，(]42,4x +∈．则()f x 在(]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[21,1]g x a a ∈-++，则有3214918a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[1,21]g x a a ∈+-+，则有3149218a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得14a -．综上所述，可得a 的取值范围为11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查双变元利用值域求参数的问题，属于中档题.结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．9．D解析：D 【分析】由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则有()f x 在[4,)+∞上单调递增，且有(6)(2)3f f ==，再利用单调性解不等式即可得结果.【详解】因为(4)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则(6)(2)3f f ==. 因为()f x 在(,4]-∞上单调递减，所以()f x 在[4,)+∞上单调递增， 故(24)3f x -<等价于224x <-6<，解得35x <<. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称，进而判断出函数的单调性来，要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.10．C解析：C 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.11．A解析：A 【分析】可知()f x 在R 上是单调递增函数，且()()2f x f x +-=，则不等式等价于(21)(2)f x f x ->-，解出即可.【详解】3()201920191x x f x x -=-++，()f x ∴在R 上是单调递增函数，()3201920191x x f x x ---=+-，()()2f x f x ∴+-=，则()()222f x f x -=-，(21)(2)2f x f x -+>，(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-∴，212x x ∴->-，解得14x >， 故不等式的解集为1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查抽象函数不等式的求解，解题的关键是判断出函数的单调性，得出()()2f x f x +-=，将不等式化为(21)(2)f x f x ->-求解.12．B解析：B【分析】讨论01x <<、1x =、1x >确定2()g x x ax b =++的函数值符号，根据二次函数的性质求a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，()()2ln 0x a x x f b x ++⋅=≥， ∵01x <<时，ln 0x <，即需20x ax b ++≤成立；1x =时，ln 0x =，()0f x ≥恒成立；1x >时，ln 0x >，即需20x ax b ++≥成立；∴对于函数2()g x x ax b =++，在(0,1)上()0g x ≤，在(1,)+∞上()0g x ≥，∴2(1)1040(0)0g a b a b g b =++=⎧⎪∆=->⎨⎪=≤⎩解得1a ≥-，故选：B【点睛】思路点睛：令2()g x x ax b =++，即()()ln f x g x x =⋅.(0,)+∞上讨论x ：由()0f x ≥，根据ln x 符号确定()g x 函数值的符号.由()g x 对应区间的函数值符号，结合二次函数性质求参数范围.13．A解析：A【分析】由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案.【详解】由题得函数的定义域为R , 因为3()()x x x f x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，所以排除B ； 当0x >时，()0f x >，所以排除C ； 当x →+∞时，()0f x →，所以选A .故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解. 14．D解析：D【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.【详解】解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-可得()f x 在[]4,8上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-，故a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．B解析：B【解析】对于A ,函数()22y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意；对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；对于C ,函数11y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意； 对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时是增函数，∴不满足题意；故选B.二、填空题16．1【分析】据题意分析可得则有即函数是周期为4的周期函数结合奇函数的性质及周期可求【详解】因为所以所以即函数是周期为4的周期函数所以所以原式等于故答案为：【点睛】方法点睛：函数在定义域R 上满足可知函数 解析：1【分析】据题意，分析可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，结合奇函数的性质及周期可求.【详解】因为()()11f x f x -=+，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数.所以()()()33411f f f f =-=-=-（）,(4)(0)(2)0f f f ===, (1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以原式等于()()()12(123(4))(49)(50)(49)(50)(1)(2)1f f f f f f f f f f +++++=+=+= 故答案为：1【点睛】方法点睛：函数在定义域R 上满足()()f a x f a x +=-，可知函数图象关于x a =对称，如果同时函数为奇函数，且关于直线x a =对称，可推出函数为周期函数.17．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推解析：①②④【分析】根据函数递推关系计算(2)m f ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程()219n f +=判断③．【详解】①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，1(1)(2)02f f ==，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，11111111(2)()()()(1)0222222k k k k k f f f f f ---======，∴m Z ∈时，(2)0m f =，①正确；②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，()2()[0,2)2x f x f =∈， 1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2n n n x f x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)[0,2)[0,)n =+∞， 又1(,1]2x ∈时，11()(2)[0,)22f x f x =∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥， 综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确； ③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9，当*n N ∈时，()11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，210n =，与n Z ∈矛盾．③错误； ④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围． 18．2【分析】化简得到根据和得到解得答案【详解】则则即故即即故答案为：2【点睛】本题考查了函数的最值意在考查学生的计算能力和转化能力利用判别式法是解题关键解析：2【分析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案.【详解】 21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==， 2M m -=.故答案为：2.【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键. 19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取 解析：32- 【分析】22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值．【详解】设22()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得． 当02a <<时，10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，10c --<，若1c c --≤-，即112c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222b ac a -=-->-=-， 若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222b ac a -=+->--=-， 若2a ≥时， 若212c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--， 222221(2)3333222a a a b a a a c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号，若212c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b g c c ==--=+1c =+，222141311222a a a ab ac a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号． 综上所述，b a -的最小值是32-． 故答案为：32-． 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．20．4【分析】由在上的单调性求出a 的一个范围再令则在上是减函数分类讨论根据的单调性求参数a 的范围两范围取交集即可得解【详解】由题意可知函数在上是增函数解得令则在上是减函数①当时在上为增函数不符合题意；② 解析：4【分析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()f x h x x=，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解.【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数， 402a -∴≤，解得4a ≤， 令()()4f x a x a x x h x +==+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x 在上单调递减，2≥，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.故答案为：4【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.21．【解析】试题分析：因为函数是定义在上的偶函数所以由考点：奇偶性与单调性的综合应用 解析：1.t e e<<【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(ln 1)(ln )(ln )(ln ),f t f t f t f t =-==由(ln )(ln 1)2(1)2(ln )2(1)(ln )(1)ln 11ln 11.f t f t f f t f f t f t t e t e +<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点：奇偶性与单调性的综合应用22．【分析】先由条件判断出在R 上是增函数所以需要满足和单调递增并且在处对应的值大于等于对应的值解出不等式组即可【详解】对任意都有>0所以在R 上是增函数所以解得故实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考解析：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由条件判断出()y f x =在R 上是增函数，所以需要满足(2)1y a x =-+和x y a = 单调递增，并且在1x =处x y a =对应的值大于等于(2)1y a x =-+对应的值，解出不等式组即可.【详解】对任意12x x ≠，都有()()1212f x f x x x -->0，所以()y f x =在R 上是增函数，所以201(2)11a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<， 故实数a 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查含有参数的分段函数根据单调性求参数范围问题，需要满足各部分单调并且在分段处的函数值大小要确定，属于中档题.23．【分析】根据题意设则原不等式变形为分析函数的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于解可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意函数设则变形可得即；对于其定义域为则有即函数为奇函数；函数在上为增函数在上为减解析：1(,)3-+∞ 【分析】根据题意，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则原不等式变形为(21)(2)0g x g x -++>，分析函数()g x 的奇偶性以及单调性可得原不等式等价于212x x ->--，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数 24244221()343349x x x x f x ++--=-+=-+，设2442()()433x x g x f x +-=-=-，则(21)(2)8f x f x -++>，变形可得(21)4(2)40f x f x --++->，即(21)(2)0g x g x -++>；对于2442()()433x x g x f x +-=-=-，其定义域为R ， 则有24422442()33(33)()x x x x g x g x -+++--=-=--=-，即函数()g x 为奇函数； 函数243x y +=在R 上为增函数，423x y -=在R 上为减函数， 故函数2442()33x x g x +-=-在R 上为增函数，故(21)(2)0(21)(2)(21)(2)212g x g x g x g x g x g x x x -++>⇒->-+⇒->--⇒->--， 解可得13x >-， 即不等式的解集为1(3-，)+∞. 故答案为：1(3-，)+∞． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．24．③④【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解；【详解】解：所以函数是以4为周期的函数故①错误；偶函数在上是减函数在上是增函数在上最小值为是以4为周期的函数是函数的最小值故②错误；在上是减 解析：③④【分析】根据函数的周期性及对称性判断各个选项即可得解；【详解】解：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，故①错误；偶函数()f x 在[2-，0]上是减函数，()f x ∴在[0，2]上是增函数，∴在[2-，2]上，最小值为(0)f ，()f x 是以4为周期的函数，(0)f ∴是函数的最小值，故②错误；()f x 在[2-，0]上是减函数，()f x ∴在[2，4]上是减函数，故③正确；(2)()(2)f x f x f x -+=--=+，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，即④正确． 故答案为：③④．【点睛】本题考查函数的周期性，偶函数在对称区间上单调性相反这一结论，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．25．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【详解】则是偶函数当函数为增函数则等价与所以平方得所以所以即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查 解析：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++，则()f x 是偶函数， 当0x ≥函数()f x 为增函数，则()()12f x f x >-等价与()()12f x f x >-， 所以12x x >-，平方得22144x x x -+>，所以23410x x -+<，所以1 13x <<，即不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等.26．8【分析】利用换元法令则所以原函数变为令则函数为奇函数且推出进而求出的值【详解】令则所以原函数变为令则函数为奇函数且所以所以因为为奇函数所以所以所以故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用考查 解析：8【分析】利用换元法令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++，令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++，推出()()max min 0g t g t +=，()()max min 2218g t g t a +=+=，进而求出a 的值【详解】令1t x =-，则[]2,2t ∈-，所以原函数变为()21sin 1y t t t a =-+++， 令()()21sin g t t t t =-+，[]2,2t ∈-，则函数g t 为奇函数且()1y g t a =++， 所以()()max max 1f x g t a =++，()()min min 1f x g t a =++，所以()()()()max min max min 22f x f x g t g t a +=+++．因为g t 为奇函数，所以()()max min 0g t g t +=，所以()()max min 2218g t g t a +=+=，所以8a =．故答案为：8【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查换元法的应用，属于基础题。
考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷39(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷39(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />当x=当一1≤x≤1时，∫1xf(t)dt=∫1x1dt=x－1。
当x>1时，∫1xf(t)dt=∫1xt2dt=所以，∫1xf(t)dt= 知识模块：一元函数积分学3．设a>0，则I==__________。
正确答案：一a2ln3解析：由题干可知，原式可化为因为ln(x+)是奇函数，所以dx=0。
根据定积分的几何意义可得(半径为a的半圆的面积)，所以知识模块：一元函数积分学4．=__________。
正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学5．=__________。
正确答案：解析：令x=，则有知识模块：一元函数积分学6．=__________。
正确答案：解析：令x=sint，则知识模块：一元函数积分学7．广义积分=__________。
正确答案：解析：利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。
知识模块：一元函数积分学8．已知∫-∞+∞ek|x|dx=1，则k=__________。
正确答案：一2解析：由已知条件，1=∫-∞+∞ek|x|dx=2∫0+∞ekxdx=2已知要求极限存在，所以k,因此k=一2。
知识模块：一元函数积分学9．设函数f(x)=且λ>0，则∫-∞+∞xf(x)dx=___________。
正确答案：解析：已知x≤0时，函数值恒为0，因此可得∫-∞+∞xf(x)dx=∫0+∞λxe-λxdx=一∫0+∞xd(e-λx)=－xe-λx|0+∞+∫0+∞e-λxdx=一知识模块：一元函数积分学10．∫e+∞=___________。
正确答案：1解析：原式可化为=1。
知识模块：一元函数积分学11．∫0+∞=___________。
正确答案：ln2解析：=ln2。
知识模块：一元函数积分学12．由曲线y=和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为__________。
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1
2006级 微积分《一元函数积分学》检测题（三）
班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________
(3,15)
1.()()arcsin _________________________________.
一、填空题每小题分共分设则f x f x xdx '==⎰
2._____________________________.=
4
1
3.____________________.-=⎰
740
4.sin 2__________________.xdx π
=⎰
()2
05.
sin ____________________.x d x t dt dx
-=⎰ ()()()()()()()()()()(
)()()()()15sin 000
(3,15)
sin 1.,1,0,.
;;
;
2.(),(),.
;
;;
二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小.
设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数.
x
x t s
t t
x dt x t dt x x x t A B C D f x I t f tx dx A I s t B I s C I t D I αβαβ==+→=⎰⎰⎰
(
)(
)()()()5
226
0023..
cos ;0;11111
(2)();()22下列运算正确的是.
x A xdx B dx x C f x dx f x C D d C x x x
π
π
+∞
-∞
==+'=+=+⎰⎰⎰⎰⎰
884
4444
444
tan 4.(),sin ln(,1(tan cos cos ),,,(
).() () () ()设则的大小关系是x x x M x dx N x x dx x P x e x e x dx M N P A M N P B N M P C P M N D M P N
π
π
πππ
π----⎡⎤=+=++⎣⎦+=+->>>>>>>>⎰⎰⎰
2sin 5.()sin ,() ( ).
() () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数.
x t x
F x e tdt F x A B C D π
+=⎰
2
()
(5,)1..
三、计算每小题分共20分n dx x x a +⎰
2
1
arctan 2.
.x
dx x +∞
⎰
()()()ln 13.ln ,.设计算x f x f x dx x
+=
⎰
0sin 4.(),().设求x t
f x dt f x dx t
ππ=-⎰
⎰
40
1
8()tan ,()(2)(2).1
四、(分)设证明n f n xdx f n f n n n π
=+-=
>-⎰
28()[,]()0,()().()
五、(分)设在区间上连续，且证明:
b
b
a
a
dx
f x a b f x f x dx b a f x >⋅≥-⎰
⎰
3
1
8()(1||)(1),(),().六、(分)设求的非积分表达式并研究的可导性x
f x t dt x f x f x -=-≥-⎰
224
1
8()0,(0)0,(0)1,lim
().
七、(分)设在点的某邻域内连续且计算x
x f x x f f tf x t dt x →'===-⎰
()[]()()()()()0
121290,,0,cos 0.:0,,,
0.
八、(分)设函数在上连续且试证明在
内至少存在两个不同的点使f x f x dx f x xdx f f ππ
ππξξξξ====⎰⎰
3
1
9()ln ,[1,3]()0,,().九、(分)设在上求常数使 最小f x ax b x f x a b f x dx =+-≥⎰。