用二分法求方程的近似解(带练习)

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用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

例1：利用估计器，供圆程0122=--x x 的一个近似解（透彻到0.1）．之阳早格格创做【解】设2()21f x x x =--，先绘出函数图象的简图.(如左图所示) 果为(2)10,(3)20f f =-<=>，所以正在区间(2,3)内，圆程2210x x --=有一解，记为1x .与2与3的仄衡数2.5，果为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<. 再与2与2.5的仄衡数2.25，果为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<. 如许继承下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，果为2.375与2.4375透彻到0.1的近似值皆为2.4，所以此圆程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用共样的要领，还不妨供出圆程的另一个近似解. 面评:①第一步决定整面地圆的大概区间),(b a ，可利用函数本量，也可借帮估计机或者估计器，但是尽管与端面为整数的区间，尽管收缩区间少度，常常可决定一个少度为1的区间；整面地圆区间区间中面函数值区间少度]3,2[ 0)5.2(>f1 ]5.2,2[0)25.2(<f ]5.2,25.2[0)375.2(<f ]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f如许列表的劣势：估计步数透彻，区间少度小于粗度时，即为估计的末尾一步．例2：利用估计器，供圆程x x -=3lg 的近似解（透彻到0.1）．分解：分别绘函数lg y x =战3y x =-的图象，正在二个函数图象的接面处，函数值相等．果此，那个面的横坐标便是圆程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x =-的图象不妨创造，圆程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，而且那个解正在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用估计器估计得果为2.5625与2.625透彻到0.1的近似值皆为2.6，所以此圆程的近似解为1 2.6x ≈.思索:创造估计的截止约宁静正在2.58717.那本量上是供圆程近似解的另一种要领——迭代法．除了二分法、迭代法，供圆程近似解的要领另有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用估计器，供圆程24x x +=的近似解（透彻到0.1）．【解】圆程24x x +=不妨化为24x x =-．分别绘函数2x y =与4y x =-的图象，由图象不妨了解，圆程24x x +=的解正在区间(1,2)内，那么对付于区间(1,2)，利用二分法便不妨供得它的近似解为 1.4x ≈.逃踪锻炼一1. 设0x 是圆程ln 4x x =-+的解，则0x 地圆的区间为（ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)25710x x --=的正根地圆的区间是（ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．估计器供得圆程25710x x --=的背根地圆的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用估计器,供下列圆程的近似解(透彻到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34x x =+问案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中真数p 、q 、r 谦脚021p q r m m m++=++，其中0m >，供证：（1）()01m pf m <+)；（2）圆程()0f x =正在(0,1)内恒有解．分解：原题的巧妙之处正在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1)内的数，且()01m pf m <+，那便开收咱们把区间(0,1)区分为(0，1m m +)战（1m m +，1）去处理．【解】（1）22(1)(2)p m m m =-++，由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =,(1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01m f m <+若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 正在（0，1m m +）内有解．若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++ ()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =正在（1m m +,1）内有解． ②当0p <时共理可证．面评：（1）题目面明是“二次函数”，那便表示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”二个字去掉，所证论断相映变动．（2）对付字母p 、r 分类时先对付哪个分类是有一定道究的，原题的道明中，先对付p 分类，而后对付r 分类隐然是比较佳．逃踪锻炼二1．若圆程2210ax x --=正在(0,1)内恰有一则真数a 的与值范畴是(B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞D ．1[,1)8- 22210x x k -+-=的二个根分别正在区间(0,1)战(1,2)内，则k 的与值范畴是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，正在[2,1]-上存留0x ，使0()0f x =，则真数m 的与值范畴是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试供函数()y f x =的整面；⑵是可存留自然数n ，使()1000f n =？若存留，供出n ，若没有存留，请道明缘由．问案：（1）函数()y f x =的整面为0x =；（2）估计得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知没有存留自然数n ，使()1000f n =创造．。

《二分法求方程的近似解》精选习题(含解析)

《二分法求方程的近似解》精选习题（含解析）一、选择题1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x42.下列函数不能用二分法求零点的是( )A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-33用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.9B.0.7C.0.5D.0.44在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,2.5]D.[-0.5,1]5已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要( )A.5次B.6次C.7次D.8次二、填空题6用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.600)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.57 50)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.7.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .8.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇(a k,b k),若f(a)<0,f(b)>0,则f(a k)的符号为.(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)9若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:f(1)=-2 f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为.10下面是连续函数f(x)在上一些点的函数值:x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165 0.625 1.982 2.645 4.356由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确度0.1)三、解答题12在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?13 已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).参考答案与解析1【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.2【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.3【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.4【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.5【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到>0.01,>0.01,<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.6【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.答案:1.5625(或1.5562)7【解析】因为函数f(x)=log a x+x-b(2<a<3)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=log a2+2-b<log a a+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>log a a+3-b=4-b>0,所以x0∈(2,3)即n=2.答案:29【解析】因为=0.0625<0.1,所以在区间内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.答案:1.4375(或1.375)10【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.答案:1.438(或1.4065)12【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.13【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算。

(必修第一册)用二分法求方程的近似解(同步练习)(含解析)

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1，所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间，所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈，取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误；要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同，因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件．故选：ABC ．【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解．【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间，符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案．【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点，又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以方程的一个近似解可取为1.4，故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈，因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解--讲义练习及答案

3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点；（2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元（2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。

4.5.2 用二分法求方程的近似解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(

4.5.2 用二分法求方程的近似解一、二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。

2、注意点：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。

二、用二分法求函数零点1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算2-，精确到0.01，即0.3313（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。

题型一二分法的概念理解【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故D 错.故选：B.【变式1-1】用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的零点，可以取的初始区间是（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为,lg y x y x ==是单调增函数，故()f x 是单调增函数，其零点至多有一个；又()()11,2lg20f f =-=>，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是()1,2.故选：B.【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】观察图象与x 轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B 不能用二分法求零点．故选：B.【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（）A ．()43f x x =-B ．()ln 28f x x x =+-C ．()sin 1f x x =+D ．()231=-+f x x x【答案】C【解析】选项C sin 10y x =+≥恒成立，不存在区间(),a b 使()()0f a f b ⋅<，所以sin 1y x =+不能用二分法求零点.故选：C题型二用二分法求方程的近似解【例2】方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定在（）A ．[]2,1-上B ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上C ．71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上D ．75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上【答案】D【解析】设32()236f x x x x =-+-，则(2)8866280f -=----=-<，(4)6432126380f =-+-=>，因为2412且(1)123640f =-+-=-<，所以函数()f x 在[]1,4上必有零点. 又因为14522+=且5125251537()6028228f =-+-=>，所以函数()f x 在51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点.又因为517224+=且32777797()()2()360444464f =-⨯+⨯-=-<，所以函数()f x 在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点. 即方程的根必在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上.故选：D【变式2-1】若函数()31f x xx =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f （x ） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（）A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.25【答案】B【解析】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可.故选：B【变式2-2】若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =- (1.4375)0.162f = (1.40625)0.054f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.1）为（）．A ．1.2B ．1.4C ．1.3D ．1.5【答案】B【解析】因为(1)0,(1.5)0f f <>，所以(1)(1.5)0f f <，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f <，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f <，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .【变式2-3】求方程221x x =+的一个近似解（精确度0.1）【答案】2.4375【解析】设2()21f x x x =--.因为(2)10,(3)20f f =-<=>()f x 在区间()2,3内单调递增，所以在区间()2,3内，方程2210x x --=有唯一的实数根为0x 取2与3的平均数2.5因为(2.5)0.250f =>，所以02 2.5x <<，再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以02.25 2.5x <<；如此继续下去，有(2.375)0,(2.5)0f f <>，所以()0 2.375,2.5x ∈；(2.375)0,(2.4375)0f f <>，所以()0 2.375,2.4375x ∈；因为|2.375 2.4375|0.06250.1-=<，所以方程221x x =+的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375题型三用二分法求函数的零点【例3】用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（） A ．()0,0.5，()0.125f B ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f【答案】D【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f ，故选：D.【变式3-1】已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.5【答案】C【解析】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2y x 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3.故选：C.【变式3-2】已知函数()329f x x x =+-在()1,2内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617()f x －6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088要使()零点的近似值精确度为，则对区间()的最少等分次数和近似解分别为（）A ．6次1.75B ．6次1.76C ．7次1.75D ．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76．故选：D ．【变式3-3】用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n，用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确度为0.01，10.012n∴≤，解得7n ≥，故选：C.【变式3-4】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算，()0.540f <，()0.720f >，()0.680f <，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（） A ．0.68 B ．0.72 C ．0.7 D ．0.6【答案】C【解析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为()0.68,0.72，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选：C ．。

二分法求方程的近似解(分层作业)-【上好课】高一数学同步备课系列(原卷版)

4.5.2 二分法求方程的近似解（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()3222f x x x x =+--的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：12f ，()1.50.625f =，()1.250.984f =-，()1.3750.260f =-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.4375fD ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.3125f2．（2022·全国·高一课时练习）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x11.51.251.3751.3125()f x －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151则方程310x x --=的一个近似根（误差不超过0.05）为（） A ．1.375B ．1.34375C ．1.3125D ．1.253．（2022·全国·高一课时练习）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（） A ．用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根 B ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根 C ．用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根 D ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解4．（2022·全国·高一课时练习）若函数32()22f x x x x =+--的部分函数值如下，那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）可以是（）12f()1.50.625f =()1.250.984f ≈-()1.3750.260f ≈-()1.43750.162f ≈A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数()321f x x x =+-的零点时，第一次计算，得()00f <，()0.50f >，第二次应计算()1f x ，则1x 等于（） A ．1B ．1-C ．0.25D ．0.756．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．()0,0.5，()0.125fB ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f7．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题8．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f ≈，()1.250.87f ≈-，()1.3750.28f ≈-，()1.43750.02f ≈，()1.406250.13f ≈-．下列说法正确的有（）A ．()f x 的零点在区间()1.375,1.40625内B ．()f x 的零点在区间()1.25,1.4375内C ．精确到0.1的近似值为1.4D ．精确到0.1的近似值为1.59．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数()f x 的图像与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x ，()3,0P x ，()4,0Q x 四点，则能用二分法求出()f x 的零点近似值的是（）A ．1xB ．2xC ．3xD ．4x10．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（） A ．23y x=- B ．1,01,0x x y x x -+≥⎧=⎨+<⎩C ．233y x x =-+D ．2y x =-11．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f =，()1.250.87f =-，()1.3750.26f =-，()1.43750.02f =，()1.40650.13f =-，()1.4220.05f =-，下列说法正确的有（）A ．精确到0.1的近似值为1.375B ．精确到0.01的近似值为1.4065C ．精确到0.1的近似值为1.4375D ．精确到0.1的近似值为1.25三、填空题12．（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数3()31f x x x =-+在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是__________． f （1）=-1f （2）=3f （1.5）=-0.125 f （1.75）=1.109375f （1.625）=0.41601562f （1.5625）=0.1271972613．（2022·全国·高一课时练习）对于在区间[],a b 上图象连续不断且________的函数()y f x =，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做___________14．（2022·全国·高一专题练习）利用二分法求3()2f x x =-的零点时，第一次确定的区间是12（,），第二次确定的区间是___________.15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数3()21f x x x =+-的零点，第一次经计算(0)0,(0.5)0f f <>，则第二次计算的()f x 的值为___．16．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[0,1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______．四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()281f x x x =--为R 上的连续函数，判断()f x 在()1,1-上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12a f =-．(1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（） A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x2．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（） A ．5B ．6C ．7D ．83．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足：对任意[]12,,x x a b ∈，都有()()12120f x f x x x ->-，且()()0f a b ⋅<.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[],,,,1,23a b b a b a a +⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又2403a b f +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的零点为（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．154．（2022·全国·高一课时练习）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、多选题5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题正确的是（） A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和1,2内 B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间1,2和()2,3内 C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和()2,3内 D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间1,2内6．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．6 B ．9 C ．8 D ．7三、填空题7．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数()325f x x x =-+在[]2,1x ∈--上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.8．（2022·全国·高一专题练习）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin5π的近似值是_______． 9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x 的图象是连续的，且函数()f x 的唯一零点同在()0,4，()0,2，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,42⎛⎫⎪⎝⎭内，则与()0f 符号不同的是______.（填写所有正确的序号） ①()4f ；②()2f ；③()1f ；④32f ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤54f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题10．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料求方程220x -=的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：第一步：令22f x x ．因为()10f <，()20f >，所以设11x =，22x =．第二步：令122x x m +=，判断()f m 是否为0．若是，则m 为所求；若否，则继续判断()()1f x f m ⋅大于0还是小于0．第三步：若()()10f x f m ⋅>，则1x m =；否则，令2x m =．第四步：判断120.005x x -<是否成立？若是，则12,x x 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑220x -=的一种等价形式变形如下：2x x =，∴2x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴122x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这就可以形成一个迭代算法：给定0x根据1122k k k x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0k =，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)2的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢； (2)50.001）．11．（2022·湖南·高一课时练习）用二分法求方程210x x +-=的根的近似值（误差不超过0.001）．12．（2022·湖南·高一课时练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程310x x --=在区间[]1,2上的根的近似值（误差不超过0.001）．13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()11xf x x-=+. (1)探究()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程()()21log 2f x f x +=⎡⎤⎣⎦是否存在实根？若存在，设此根为0x ，请求出一个长度为18的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；若不存在，请说明理由.（注：区间(),a b 的长度为b a -）14．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC 和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．15．（2022·江西抚州·高一期末）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y （单位2m ）与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择.23 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ ）（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.11。

课时跟踪检测(三十) 用二分法求方程的近似解

课时跟踪检测（三十）用二分法求方程的近似解层级(一)“四基”落实练1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]解析：选A∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，∴可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．2．用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－2的一个零点，根据参考数据，可得函数f(x)的一个零点的近似解(精确到0.1)为()(参考数据：lg 1.5≈0.176，lg 1.625≈0.211，lg 1.75≈0.243，lg 1.875≈0.273，lg 1.937 5≈0.287)A．1.6B．1.7C．1.8 D．1.9解析：选C由题意可得，f(1.5)＝lg 1.5＋1.5－2＝0.176＋1.5－2＜0，f(1.625)＝lg 1.625＋1.625－2＝0.211＋1.625－2＜0，f(1.75)＝lg 1.75＋1.75－2＝0.243＋1.75－2＜0，f(1.875)＝lg 1.875＋1.875－2＝0.273＋1.875－2＞0.因为函数f(x)在(0，＋∞)上是连续的，所以函数在区间(1.75,1.875)上有零点，故函数f(x)的一个零点的近似解为1.8.3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为()A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)解析：选B因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．4．(多选)根据已给数据：在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x＋4的一个近似解可以为()A．－1 B．1.5C．1.562 D．1.7解析：选BC令f(x)＝3x－x－4，由已知表格中的数据，可得：f(1.5)＝5.196－1.5－4＝－0.304＜0，f(1.531 25)＝5.378－1.531 25－4＝－0.153 25＜0，f(1.562 5)＝5.565－1.562 5－4＝0.002 5＞0，f(1.625)＝5.961－1.625－4＝0.336＞0，f(1.75)＝6.839－1.75－4＝1.089＞0.∵精确度为0.1，而f(1.5)·f(1.562 5)＜0，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，f(1.5)·f(1.625)＜0，且|1.625－1.5|＝0.125＞0.1，f(1.531 25)·f(1.625)＜0，且|1.625－1.531 25|＝0.093 75＜0.1，f(1.531 25)·f(1.75)＜0，且|1.75－1.531 25|＝0.218 75＞0.1，∴[1.5,1.562 5]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x＋4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．5．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为()A．1.5 B．1.25C．1.375 D．1.437 5解析：选D由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.答案：a 2＝4b7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f (2)·f (4)＜0.取区间的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：因为f (2)·f (3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．答案：(2,3)8．证明函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：由于f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又函数f (x )是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈(1,2)．下面用二分法求解：因为f (1.187 5)·f (1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f (x )＝2x ＋3x －6精确度为0.1的零点可取为1.2.层级(二) 能力提升练1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8 解析：选C 已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7.2．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是______次．解析：设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n <0.001，即2n ＞100，由于26＝64,27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．答案：73．用二分法求函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.解析：开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n ≤0.1，即2n ≥10，则n ≥4，所以至少需要操作4次．答案：44．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明：∵f (1)>0，∴f (1)＝3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，－b －2c >0， ∴－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴f (0)＝c >0，∴a >0. 取区间[0,1]的中点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上各有一个零点．又f (x )为二次函数，最多有两个零点， ∴f (x )＝0在[0,1]内有两个实根． 5．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：∵f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，∴f (0)·f (2)＝－13<0，由函数的零点存在性定理可得方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)＝－19<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0， ∴f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＝－124<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32. 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 故f (x )＝0的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．层级(三) 素养培优练某电脑公司生产A 形手提电脑，2014年平均每台A 形手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2015年开始，公司加强管理，降低生产成本.2018年平均每台A 形手提电脑尽管出厂价仅是2014年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．(1)求2018年每台A 形手提电脑的生产成本；(2)以2014年的生产成本为基数，用二分法求2015～2018年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．解：(1)设2018年每台A 形手提电脑的生产成本为P 元，依题意得P (1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P ＝3 200，所以2018年每台A 形手提电脑的生产成本为3 200元．(2)设2015～2018年生产成本平均每年降低的百分数为x ，根据题意，得5 000(1－x )4＝3 200(0<x<1)，即5(1－x)2＝4(0<x<1)．令f(x)＝5(1－x)2－4，则f(0.10)＝0.05>0，f(0.11)＝－0.039 5<0，所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.取区间[0.10,0.11]的中点0.105，则f(0.105)≈0.005>0，所以f(0.11)·f(0.105)<0，所以x0∈(0.105,0.11)．0．105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.所以2015～2018年生产成本平均每年降低11%.。

8.1.2 用二分法求方程的近似解(练习)高一数学(新教材苏教版必修第一册)

8.1.2 用二分法求方程的近似解【基础练习】1．设函数()26x f x e x =+-，在用二分法求方程()0f x =在()12x ∈，内的近似解过程中得(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，，则方程的解所在的区间是（）A ．()01，B ．()11.25，C ．()1.251.5，D ．()1.52，【答案】C 【解析】函数()26x f x e x =+-在R 上为增函数，又(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，，则方程的解所在的区间为()1.251.5，. 2．用二分法求函数f (x )＝2x ＋2x －2在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)【答案】B【解析】因为f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (4)＝24＋8－2>0，f (2)＝22＋4－2>0，所以下一个存在零点的区间为(0,2)．3．函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，则(1)(1)f f -的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．与0的大小关系无法确定【答案】D【解析】因为函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，所以当0x ≠时，对应区间(2,2)-内的任意实数，都有()0f x ≠，所以(1)(1)0f f -≠；若()f x x =，满足在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，此时(1)(1)0f f -<；若2()f x x =，也满足在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，此时(1)(1)0f f ->；所以(1)(1)f f -的值与0的大小关系无法确定.4．设函数2y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点为()00,x y ，则0x 所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 【答案】B【解析】令()2212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，∴f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数2y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点的横坐标()01,2x ∈．5．（多选）下列说法中正确的是（）A ．函数()1f x x =+，[2,0]x ∈-的零点为()1,0-B ．函数()1f x x =+，[2,0]x ∈-的零点为1-C ．函数()f x 的零点，即函数()f x 的图象与x 轴的交点D ．函数()f x 的零点，即函数()f x 的图象与x 轴的交点的横坐标【答案】BD【解析】根据函数零点的定义，可知()1f x x =+， [2,0]x ∈-的零点为1-，即函数()f x 的图象与x 轴的交点的横坐标,因此，说法B ，D 正确，由零点概念知AC 错误.6．（多选）已知()y f x =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是（）A ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(,)a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<B ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(,)a b 内没有零点C ．若()f x 在区间(,)a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(,)a b 内有零点 D ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(,)a b 内有零点 E.若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(,)a b 内有且只有一个零点【答案】DE【解析】对于A 中，函数2y x 在()1,1-内有零点，但是(1)(1)0f f -⋅>，故A 不正确；对于B 中，函数2y x ，满足(1)(1)0f f -⋅>，在()1,1-内有零点，故B 不正确；对于C 中，若()f x 在区间(),a b 上的图像是条连续不断的曲线，()1f a =-，()1f b =，且在(),a b 上()0f x >恒成立，此时满足()()0a f f b ⋅<，但是其在(),a b 内没有零点，故C 不正确对于D 中，若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，根据零点的存在定理，可得在(,)a b 内有零点，故D 是正确的；对于E 总，若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，根据零点的存在定理，在(,)a b 内有且只有一个零点，故E 是正确的.7．若方程3x ＋m ＝0的根在(－1,0)内，则m 的取值范围是．【答案】(0,3)【解析】设f (x )＝3x ＋m ，由题意得f (0)·f (－1)<0，∴m (m －3)<0，得0<m <3.8．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为．【答案】0.7【解析】已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7. 因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．9．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )上有一根(a ，b 是整数，且b －a ＝1)，则a ＋b ＝．【答案】－3【解析】设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，得a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b ＝－3.10．已知函数()23log x f x x =+，方程()0f x =在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有没有实数解？为什么？【解析】142113log 2044f ⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭，()213log 130f =+=>，且函数()23log x f x x =+的图象在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，()f x ∴在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，即方程()0f x =在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有实数解. 【能力提升】11．若函数()24f x x x m =-+存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m 的取值范围是( )A ．()4,+∞B ．(),4-∞ C.{}4 D ．[)4,+∞【答案】C【解析】由已知，方程240x x m -+=有两个相等实根，则1640m -=，4m =.12．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根.【解析】证明：∴f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.∴a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .∴f (0)>0，∴c >0，则a >0.在区间[0,1]内选取二等分点12，则1331()02444f a b c a a a ⎛⎫=++=+-=-< ⎪⎝⎭. ∴f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

高考数学专题复习：利用二分法求方程的近似解

高考数学专题复习：利用二分法求方程的近似解一、单选题1．已知函数3()2xf x x=-在区间(1,2)上有一个零点0x ，如果用二分法求0x 的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1,2)至少等分的次数为（） A ．5B ．6C ．7D ．82．用二分法求方程2log 2x x +=的近似解时，可以取的一个区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．下列函数图象与x 轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（）A ．B ．C ．D ．4．用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（） A ．6B ．7C ．8D ．95．若函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度为0.05）可以是（） A ．1.25B ．1.375C ．1.42D ．1.56．用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2)3，内的零点近似值，至少经过（）次二分后精确度达到0.1. A ．2 B ．3 C ．4D ．57．二分法求函数的零点的近似值适合于（） A ．零点两侧函数值符号相反 B ．零点两侧函数值符号相同 C ．都适合D ．都不适合8．已知用二分法求函数()f x 在(1,2)内零点近似值的过程中发现，(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则可以确定方程()0f x =的根所在区间为（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．无法确定9．若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.510．设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=近似解的过程中，有f （1）0<，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则该方程的根所在的区间为（）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定11．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[n a ，]()n b n N ∈上，当||n n a b m -<时，函数的零点近似值02n na b x +=与真实零点a 的误差最大不超过（） A ．4mB ．2m C ．m D ．2m12．用二分法求方程3x-=的近似解，可以取的一个区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)二、填空题13．已知方程lg 3x x =-的根在区间()2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为________．14．已知二次函数()26f x x x =--在区间[1，5]上的图象是一条连续的曲线，且()160f =-<，()5140f =>，由零点存在性定理可知函数在[1，5]内有零点，用二分法求解时，取（1，5）的中点a ，则()f a =________．15．方程310x x ++=在()1,0x ∈-上的近似解为________(精确到0.01)16．若函数()24f x x x m =-+存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m 的取值是________．三、解答题17．用二分法求函数33y x =-的一个正零点（精确度0.1）.18．用二分法求方程ln(26)23x x 的根的近似值时，令()ln(26)23x f x x ，并用计算器得到下表：由表中的数据，求方程ln(26)23x x 的一个近似解(精确度为0.1)．19．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+．（1）求证：()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）．20．已知函数1()f x x=．（1）讨论函数1()f x x=在定义域上的单调性，并加以证明；（2）设()()2F x f x =-，已知0x 是()F x 的一个零点，求该零点的近似值．（精确到0.01）21．已知函数3()234f x ax ax a =++-在区间(1,1)-上有个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若3233a =，用二分法求方程()0f x =在区间(1,1)-上的根.22．已知函数()2log 2f x x x =+-.（1）判断函数()f x 的零点的个数并说明理由；（2）求函数()f x 零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过12；（3）若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，对于任意的t R ∈，不等式()221f x t mt <-+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】根据二分法的定义可得10.012n <，解得6n >即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的12，则等分n 次后的区间长度变为原来的12n，则由题可得10.012n <，即621002n >>，6n ∴>，则至少等分的次数为7. 故选：C. 2．B 【分析】构造函数2()log 2f x x x =+-并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解. 【详解】22log 2log 20x x x x +=⇔+-=，令2()log 2f x x x =+-，()f x 在(0,)+∞上单调递增，并且()f x 图象连续，(1)10f =-<，(2)10f =>，()f x 在区间(1,2)内有零点，所以可以取的一个区间是(1,2). 故选：B 3．A 【分析】根据二分法求零点的条件，直接判断即可. 【详解】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x 轴，据此分析选项：A 选项中函数不能用二分法求零点，4．B 【分析】由题可得经过n 次操作后，区间的长度为12n，令10.012n <即可求解. 【详解】根据题意，原来区间[]0,1的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为12n，若10.012n <，即7n ≥. 故选：B ． 5．C 【分析】根据零点的存在性定理求解即可. 【详解】解：由表格可得，函数()3222f x x x x =+--的零点在()1.40625,1.4375之间；结合选项可知，方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度为0.05）可以是1.42；故选：C ． 6．C 【分析】根据用二分法求方程的近似解的步骤计算即可. 【详解】解：开区间(2)3，的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为12n，故有10.12n≤，解得：4n ≥， ∴至少需要操作4次.7．A 【分析】根据连续函数零点存在性定理即可求解. 【详解】根据函数零点存在性定理知，利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反．故选：A 8．B 【分析】根据零点存在性定理可直接判断. 【详解】由(1.25)0f <，(1.5)0f >，可判断方程()0f x =的根所在区间为(1.25,1.5). 故选：B. 9．C 【分析】利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】因为(1.438)0.1650f =>，(1.4065)0.0520f =-<， (1.438)(1.4065)0f f ⨯<，所以方程的近似根在()1.4065,1.438，则近似根为1.4 故选：C 10．B 【分析】根据题意，分析可得(1.25)(1.5)0f f <，由二分法的定义可得答案．【详解】根据题意，由于(1.5)0f >，(1.25)0f <，则(1.25)(1.5)0f f ⋅<，又因为()338x f x x =+-是单调递增函数，则该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)；故选：B ． 11．B 【分析】根据函数的零点总位于区间[n a ，]()n b n N ∈上，则由0||||||22n nn nn a b a b x a a a ++-=--或0||||||22n nn nn a b a b x a a b ++-=--求解. 【详解】根据题意，函数的零点总位于区间[n a ，]()n b n N ∈上，即[n a a ∈，]n b ，零点近似值02n na b x +=，若[n a a ∈，]2n n a b +，则0||||||||2222n n n n n n n a ba b b a mx a a a ++--=--==，即有0||2mx a -；同理当[2n na b a +∈，]n b 时，也有0||2m x a -；综合可得：0||2mx a -，函数的零点近似值02n n a b x +=与真实零点a 的误差最大不超过2m ；故选：B ．【点睛】本题主要考查二分法求函数的零点问题，属于基础题. 12．C 【分析】令()3f x x=-，根据零点存在性定理，以及二分法的概念，即可得出结果.【详解】令()3f x x=-，则()122322lg 23lg 2102f ⎛⎫=-=-⨯--=-< ⎪⎝⎭， ()3333lg302f =-=>， ∴用二分法求方程3x-=的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查二分法求方程近似解，熟记零点存在性定理即可，属于常考题型. 13．()2.5,3【分析】由题意构造函数()lg 3f x x x =-+，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令()lg 3f x x x =-+，其在定义域上单调递增，且()2lg210f =-<，()3lg30f =>，()2.5lg 2.50.50f =-=，由f （2.5）f （3）＜0知根所在区间为()2.5,3．故答案为：()2.5,3． 14．0 【分析】根据二分法的定义得1533a +==，求出()3f 即可. 【详解】由于（1，5）的中点为3，则()3f =0．故答案为：0. 15．0.75x ≈- 【分析】设()31f x x x =++，利用二分法求函数在()1,0x ∈-上的零点的近似值即可.【详解】令()31f x x x =++，设()0f x =的根为0x ，因为()11110f -=--+<，()010f =>，()30.50.50.510f -=--+>，因为()()0.510f f -⋅-<，所以()01,0.5x ∈--，()30.750.750.7510f -=--+<，()30.50.50.510f -=--+> ()()0.50.750f f -⋅-<，所以()00.75,0.5x ∈--，()30.6250.6250.62510f -=--+>，()30.750.750.7510f -=--+<，所以()00.75,0.625x ∈--，因为方程的解精确到0.01，所以方程的解可以是0.75x ≈-，此答案不唯一. 16．4 【分析】本题可根据题意得出函数()24f x x x m =-+仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果.【详解】因为函数()24f x x x m =-+存在零点且不能用二分法求该函数的零点，所以由二次函数性质易知，函数()24f x x x m =-+仅有一个零点，()2440m ∆=--=，解得4m =，故答案为：4. 17．1.5或1.4375【分析】计算可得()11320f =-=-< ，()322350f =-=>，根据零点存在定理可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，直到区间端点的差精确度为0.1即可．【详解】解：()11320f =-=-< ，()322350f =-=>，因此可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见下表：从表中可知||1.5 1.437 50.062 50.1=-<，∴函数33y x =-精确度为0.1的零点，可取为1.5或1.4375. 18．1.3125．【分析】由图表知()()1.25 1.3750f f ⋅<，故由二分法思想再取(1.25,1.375)的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【详解】解：因为()()1.25 1.3750f f ⋅<，故根据二分法的思想，知函数()f x 的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.1250.1>，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.251.3125)，和(1.31251.375)，中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1<，因此1.312 5是一个近似解．【点睛】本题主要考查用二分法求方程的根的近似值，考查运算求解能力，熟练掌握二分法求方程根的近似值的方法是快速解题的关键. 19．（1）证明见解析；（2）0.2734375．【分析】（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果.（2）把3a =代入可得2()31x x f x x -=++，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】（1）任取12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x <，则210x x ->，211x x a ->，且10x a >．∴()2112110x x x xa a a a x -=-->，∵110x +>，210x +>，∴()()()2121211232201111x x x x x x x x ----=>++++．于是()()2121212122011x xx x f x f x a a x x ---=-+->++．故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）由（1）知当3a =时，2()31xx f x x -=++在(1,)-+∞上单调递增，故在(0,)+∞上也单调递增，因此()0f x =的正根最多有一个． ∵(0)10f =-<，5(1)02f =>， ∴方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：∵|0.27343750.28125|0.00781250.01-=<， ∴方程的根的近似值为0.2734375，即()0f x =的正根约为0.2734375．【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性以及二分法近似求解，着重对概念的考查，识记概念，掌握步骤，属基础题.20．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增，证明见解析；（2）0 4.86x ≈ 【分析】（1）确定函数定义域，利用定义法证明函数单调性.（2）根据零点存在定理，利用二分法计算得到答案. 【详解】（1）1()f x x=，函数定义域为()0,∞+，函数单调递增，设120x x <<，则()()2121211211x x f x f x x x x x ⎫⎫--=-=+⎪⎪⎭⎭， 120x x <<()()210f x f x ->，故函数在()0,∞+上单调递增.（2）()()2F x f x =-，()142204F =--<，()15205F =->，()14.5204.5F =-<，()14.75204.75F =-<， ()14.875204.875F =->，()14.8125204.8125F =-<， ()14.84375204.84375F =-<，()14.859375204.859375F =-<，()14.865204.885F =->，故0 4.86x ≈. 【点睛】本题考查了函数单调性，求函数零点，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．（1）2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）12.【分析】（1）分别讨论0a =与0a ≠的情况,利用零点存在性定理求解即可；（2）当3233a =时,3326412()333311f x x x =+-,由()()010f f <可得函数()f x 的零点在区间(0,1)上,进而求得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即可求得方程的根【详解】（1）若0a =,则()4f x =-,与题意不符,∴0a ≠,若0a ≠,则由题意可知,()()223232f x ax a a x '=+=+,则()f x 在(1,1)-上是单调函数,故(1)(1)4(64)0f f a -⋅=--<,解得23a >, 故a 的取值范围为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若3233a =, 则3326412()333311f x x x =+-, (1)40f ∴-=-<,12(0)011f =-<,20(1)011f =>, ∴函数()f x 的零点在区间(0,1)上,又102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴方程()0f x =在区间(1,1)-上的根为12 【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力22．（1）一个，理由见解析；（2）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；(-.【分析】（1）分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（2）先可求得函数()y f x =的零点所在的一个区间为()1,2，然后利用二分法可得出()y f x =的一个零点所在的区间，且这个区间的长度不超过12；（3）由题意可知，()2max 21f x t mt <-+，利用函数()y f x =的单调性求出该函数在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦的最大值52-，将问题转化为关于t 的不等式27202t mt -+>对任意的t R ∈恒成立，可得出∆<0，由此可解出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题易知：函数()y f x =的定义域为()0,+∞，且在()0,+∞上连续，()110f =-<，()210f =>，()()120f f ∴⋅<，函数2log y x =和2y x =-在()0,+∞上都是增函数，所以，函数()2log 2f x x x =+-在()0,+∞上是增函数，因此，函数()y f x =在()0,+∞上有且只有一个零点；（2）设函数()y f x =的零点为0x ，由（1）知：()10f <，()20f >，()01,2x ∴∈，取132x =，2223313log log log 02222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()3102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，031,2x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且3111222-=≤， 31,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭即为符合条件的区间；（3）当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，对于任意的t R ∈，不等式()221f x t mt <-+恒成立等价于()2max 21f x t mt <-+，10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，t R ∈.由函数()y f x =在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，可知()max 1522f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，25212t mt ∴-+>-对任意t R ∈恒成立，27202t mt ∴-+>对任意t R ∈恒成立，2280m ∴∆=-<，解得m -<因此，m 的取值范围是(-.。

“用二分法求方程的近似解”典型例题与答案解析

1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为（）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？（）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是（）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。

人教版高中数学必修一练习题用二分法求方程的近似解练习题

3.1.2用二分法求方程的近似解班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．函数的零点落在内，则的取值范围为A. B. C. D.2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( )A.1.5B.1.25C.1.375D.1.437 53．设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是.6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.8．已知函数在上为增函数，求方程的正根.(精确度为0.01)【能力提升】利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).答案【基础过关】1．B【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即，∴，解得0＜m＜2.2．D【解析】由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D.3．B【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).4．D【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D.5．(2,2.5)【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).6．4【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.7．令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x0,即为,取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值. 8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：区间中点值中点函数近似值(0，1) 0.5 0.732(0，0.5) 0.25 －0.084(0.25，0.5) 0.375 0.328(0.25，0.375) 0.3125 0.124(0.25，0.3125) 0.28125 0.021(0.25，0.28125) 0.265625 —0.032(0.265625，0.28125) 0.2734375 —0.00543(0.2734375，0.28125)因为｜0.2734375－0.28125｜＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.【能力提升】分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内.设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1,利用计算器计算得:f(2)<0,f(3)>0⇒x1∈(2,3);f(2.5)<0,f(3)>0⇒x1∈(2.5,3);f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625);f(2.562 5)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.562 5,2.625);因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》典型练习(含答案解析)

高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》典型练习（含答案解析）一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)<0，f(2008)<0，f(2009)>0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B．函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C．函数f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：x 0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)6．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8.用“二分法”求方程x－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f(x)＝12log x＋x－4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0B．1C．3D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？参考答案与解析1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25.又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0，又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.6875解析因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。

1.2利用二分法求方程的近似解

f
(a b) 2
4.判断函数值
f
(
a
2
b
)是否为零
a)
如果
f
(a
b) 2
=0 , 则 x a b 就是方程的解,. 2
b) 如果 f (a b)≠0，则分如下两种情况： 2
（1)若
f (a) f (a b) 2
<0 , 则得新有解区间为（a，a b）
2
（2)若
f (a) f (a b) 2
>0,则得新有解区间为（a b ,b） 2
5.判断新的有解区间长度是否小于精确度:
(1)如果新的有解区间长度大于或等于精确度,则在新的有解区间的基础上重复上述步骤;
(2)如果新的有解区间长度小于精确度,则取新的有解区间的中点为方程的近似解.
例2. 求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间 0，1 上的
P83
Hale Waihona Puke 第2题5.取 0.5， 1 的区间中点0.75;
6.计算f(0.75)= - 0.1563;
7.由于f(0.75)f(1)<0,可得新的有解间 0.75， 1 ,
精度1-0.75=0.25>0.1
8.取区间 0.75，1 的中点0.875;
9.计算f(0.875)=0.43555
10.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得 0.75，0.875，精
例1.求一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
的根的算法
解：算法如下
（1）计算⊿=b2-4ac
(2) 判断⊿
若⊿ <0,则方程无实根;
若⊿ ≥0,则方程根x=
b b2 4ac 2a

高一数学之：二分法求方程的近似解

高一数学之：二分法求方程的近似解一：知识点精析1、二分法定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(注意如下两点：①二分法的基本思想：逼近思想；②用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。

)2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c；第三步：计算f(c)；(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x。

∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x。

∈ (c，b))。

第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<c，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步。

二：典例讲解题型一：用二分法判断方程根所在区间问题例1、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x。

=2.5，那么下一个有根的区间是_____________________。

题型二：用二分法求函数零点问题例2 求函数发f(x)＝x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(精确度o.01)．题型三：用二分法求方程近似解问题例3、利用计算器求下列方程的近似解(精确度0.1)．（1）x2-2x-1=0 （2）2x3+3x-3=0题型四：用二分法解决实际应用问题例6 如果在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点就要爬一次电线杆，10 km长大约有200多根电线杆呢! 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?例7、如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为J cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以z为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长工是多少(精确到o.1 cm)?三：素质测试1、下列图象与z轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2、下列关于二分法叙述正确的是( )A、用二分法可求所有函数零点的近似值B、用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C、二分法无规律可循，无法在计算机上完成D、只有在求函数零点时才用二分法3、下列函数不能用二分法求零点的是( )A、f(x)＝2x+3B、f (x)＝lnx+2x-6C、f(x)＝x2-2x+1D、f(x)＝2x-14 、函数f(x)＝5-x2的负数零点的近似值(精确到o.1)是( )A-2. B-2.1 C．-2.2 D．-2.35、用二分法研究函数f(x)＝x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0．可使其中一个零点x∈____________，第二次应计算____________以上横线应填的内容为( )A、(0，0.5) f(0.25)B、(0，1) f(0.25)C、(0.5，1) f(0.75)D、(0，0.5) f(0.125)27、f(x)是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )A若a<0，则函数g(X)的图象关于原点对称B若a＝1，0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C若a＝-2，b=0，则函数g(x)的图象关于y轴对称d若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根xA(-1，0) B(0，1) C (1，2) D(2，3)9、某方程有一无理根在区间D＝(1，2)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分___________次后，所得近似值可精确到0．01．=0在(-∞，o)内是否存在实数根?并说明理由．10、方程x2-1x。

用二分法求方程的近似解(基础知识+基本题型)(含解析)

4.5.2用二分法求方程的近似解（基础知识+基本题型）知识点一二分法的概念对于在区间[]a b ，上连续不断且f （a ）•f （b ）﹤0 的函数y=f(x ）,通过不断地把函数f （x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 提示（1）逐步逼近的思想：采用二分法，使区间逐步缩小，使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点，当区间长度小到一定程度时，即a b —﹤ε（ε为精确度），就得到近似解.（2）可行性：从其操作过程看，方法是可行的，是可以解决待求问题的，更可以借助科学工具完成求解. （3）二分法的理论依据：如果函数y= f(x ）是连续不断的，且f(a ）及f(b ）的符号相反（a ＜b ）,那么方程f(x ）=0在a 与b 之间至少存在一个跟.知识点二二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x ）零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[]a b ，，验证f （a ）•f （b ）﹤0，给定精确度ε；（2）求区间（a ，b ）的中点c; （3）计算f （c ）；①若f （c ）=0，则c 就是函数的零点；②若f （a ）•f （c ）﹤0，则令b=c （此时零点0x ∈（a ，c ））； ③若f （c ）•f （b ）﹤0，则令a=c （此时零点0x ∈（c ，b ））.（4）判断是否达到精确度ε，即若｜a-b ︱﹤ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）—（4）.考点一用二分法判断根的存在区间例1方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定在（）A ．[]2,1-上B ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上C ．71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上D ．75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上解析：设32()236f x x x x =-+-，则(2)88660,(4)64321260f f -=----<=-+->，因为2412-+=且(1)12360f =-+-<，所以函数()f x 在[]1,4上必有零点。

§30 二分法求方程的近似解

一、基础知识
1.二分法简介：（1）二分法的作用不仅仅是求方程的近似解；反之求方程的解也不一定要用二分法. （2）二分法求方程解的优点是：操作步骤上极具规律性，便于编程，便于用电脑求方程的近似解. 练习1：二分法简介 ①资料P:128 Ex9 2.精确度为0.1与精确到0.1的区分：精确度为0.1：是指小数点后第一位. 精确到0.1：是指运算到小数点后第二位，最后四舍五入.
2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。注3：充分条件闭连异顾名思义存在性加入单调根唯一未谈个数具体值
充分条件：有他必成，无他未必不成必要条件：有他未必成，无他必不成
二、二分法求近似解
使用前提闭连异定区间找中点周而复始何时了
②资料P:71 例1 ③资料P:71 左下 Ex1 试一试 ④资料P:73 左上 Ex3 ⑤资料P:128 Ex1
参课本P:90
操作程序四大步零点落在异号间精确度上来判断
练习2：何时能用二分法求解
例1：课本P:88 例1

例2：课本P:90 例2
练习3：二分法求方程的近似解
个人观点：二分法求方程的近似解，要么不考，就算考也难度不会太大. 因为二分法主要是给电脑用.而高考时，严禁用电脑.
⑥资料P:128 Ex5 ⑦资料P:132 Ex10
作业：课本P:92 Ex1
预习：1.根的分布资料P:69 2.函数的实际应用
Ex3
§30 二分法求方程的近似解
一、基础知识二、二分法求近似解
零点存在（堪根）定理
注1：区间（a,b）称对应方程的一个隔根区间.

用二分法求方程的近似解-课时作业(含解析) (12)

3.1.2 用二分法求方程的近似课后篇巩固提升1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是( )解析:根据二分法的思想,函数f (x )在区间[a ,b 上的图象连续不断,且f (a )·f (b )<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间(a ,b )一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D 都符合条件,而选项C 不符合,因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化,因此不能用二分法求函数零点. 答案:C2.用二分法求函数f (x )=2x -3的零点时,初始区间可选为( )A.[-1,0B.[0,1C.[1,2D.[2,3解析:f (-1)=-52<0,f (0)=-2<0,f (1)=-1<0,f (2)=1>0,f (3)=5>0,则f (1)·f (2)<0,即初始区间可选[1,2 .答案:C3.在用二分法求函数f (x )零点的近似值时,第一次取的区间是[-2,4 ,则第三次所取的区间可能是( ) A.[1,4 B.[-2,1 C.[-2,2.5D.[-0.5,1解析:第二次取区间的中点x 1=-2+42=1,故零点所在区间为[-2,1 或[1,4 ; 第三次取中点x 1=-2+12=-0.5,或x 2=1+42=2.5.所以零点所在区间为[-2,-0.5 或[-0.5,1 或[1,2.5 或[2.5,4 ,故选D .答案:D4.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625B.-0.009C.0.562 5D.0.066解析:设近似解为x0,因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,所以x0∈(0.531 25,0.562 5).因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.答案:C5.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为()A.2B.3C.4D.5解析:等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意,故选D.答案:D6.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定解析:∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.答案:B7.若函数f(x)=x2+ax+4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为.解析:由题意知Δ=a2-16=0,解得a=±4.答案:±48.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)内的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).解析:因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以(0.687 5,0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案:0.75(答案不唯一)9.若函数f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为.(只填序号)①(-∞,1 ②[1,2 ③[2,3 ④[3,4 ⑤[4,5 ⑥[5,6 ⑦[6,+∞)解析:根据零点存在定理,f(x)在[2,3 ,[3,4 ,[4,5 内都有零点.答案:③④⑤10.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.解析:第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6. 答案:611.已知方程2x +2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间; (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1). 参考数值:解(1)令f (x )=2x +2x-5.因为函数f (x )=2x +2x-5在R 上是增函数, 所以函数f (x )=2x +2x-5至多有一个零点. 因为f (1)=21+2×1-5=-1<0,f (2)=22+2×2-5=3>0, 所以函数f (x )=2x +2x-5的零点在(1,2)内. (2)用二分法逐次计算,列表如下:(1.25,1.3125)因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1, 所以函数的零点近似值为1.312 5, 即方程2x +2x=5的近似解为1.312 5. 12.导学号03814054求方程3x +xx+1=0的近似解(精确度0.1). 解原方程可化为3x -1x+1+1=0,即3x =1x+1-1.令g (x )=3x ,h (x )=1x+1-1, 在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g (x )=3x 与h (x )=1x+1-1的简图.g (x )与h (x )图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一交点,∴原方程只有一个解x=x 0.令f (x )=3x +x x+1=3x -1x+1+1, ∵f (0)=1-1+1=1>0,f (-0.5)=√3-2+1=√3√3<0,∴x 0∈(-0.5,0). 用二分法求解列表如下:中点值中点(端点)函数值及符选取区间∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1, ∴原方程的近似解可取为-0.437 5.。