包含与排除初步
三年级 奥数 小学奥数包含与排除(一)(含答案)
包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。
“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。
【典型例题】例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。
（单位：厘米）752分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：75256422+-⨯=（平方厘米）方法二：72556422-⨯+=（平方厘米）方法三：52576422-⨯+=（平方厘米）答：盖住桌面的面积是64平方厘米。
例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下乒羽37 21 26？人此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。
方法一：37 + 26—21 = 42（人）方法二：37—21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（26—21）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分+ 第二部分—重叠部分= 两部分之和例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分+ 第二部分—重叠部分= 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。
15 + 17—24 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法语文数学15人？人17人24人方法二：17—（24—15）= 8（人）15—（24—17）= 8（人）答：两科都得优的有8人。
例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
小学五年级奥数速算与技巧包含与排除
在小学五年级的奥数中，速算与技巧是很重要的一部分。
通过掌握一些速算技巧，孩子们能够更加高效地解决数学问题，提高计算速度。
首先，我要介绍的是加法的速算技巧。
当我们进行两个两位数相加的时候，可以通过分解其中一个数来简化计算。
例如，73+57，我们可以将57分解成50和7，然后将50加到73上得到123，最后再加7，结果是130。
这样的速算技巧可以节省计算的步骤，提高计算的效率。
接下来是减法的速算技巧。
当我们进行两个两位数相减的时候，也可以通过借位来简化计算。
例如，68-27，我们可以先将27变成30然后减去68，得到2、这样比一步一步借位计算要快。
此外，还有一种减法口诀，借十退一，借百退十，可以帮助孩子们更快地进行减法运算。
除了加法和减法的速算技巧，还有一些其他的技巧也很有用。
例如，乘法的速算技巧。
当我们进行两个两位数相乘的时候，可以通过交叉相乘再相加的方法来简化计算。
例如，36乘以48，我们可以先将6和48相乘得到288，然后将3和48再相乘得到144，最后将这两个结果相加得到432、这个方法虽然需要一些计算，但是相比于一位一位相乘的方法要快速一些。
另外，对于除法，我们也可以通过一些技巧来简化计算。
例如，除以5的倍数的时候，我们可以将被除数的末尾一位数去掉，然后再除以5、例如，45除以5，我们可以先去掉5的倍数的末尾一位得到4，然后再将4除以5，结果是0.8、这样的计算方法可以减少计算的步骤。
除了速算技巧外，包含与排除也是很重要的思维方法。
在解决一些问题的时候，我们可以通过包含与排除的思维来缩小范围，找到正确的答案。
例如，解决一个数的问题的时候，我们可以从最小的可能性开始尝试，逐渐增加，不断排除不符合条件的数，最终找到符合条件的数。
这样的思维方法可以帮助孩子们更加有条理地解决问题。
总之，在小学五年级的奥数中，速算与技巧以及包含与排除是很重要的内容。
通过掌握一些速算技巧，孩子们可以更加高效地计算，提高解决问题的能力。
奥数讲义计数专题：4 包含与排除
华杯赛计数专题：4包含与排除基础知识：1.包含与排除的思想，是为了解决计数分类的过程中，出现重复计数的情况.2.基本的想法：减去重复计算的，多算了几次，就减几次，常用工具文氏图.3.两个对象及三个对象的容斥原理，利用文氏图帮助理解.4.容斥原理中的最值问题，可以利用线段图.引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？用前面学的知识能解决吗？还有别的方法吗？总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量.例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？【答案】50（种）【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种.例2.从4台不同型号的TCL电视机和5台不同型号的Haier电视机中任意取出3台,其中至少要有TCL与Haier电视机各1台，不同的取法共有多少种?【答案】70（种）【解答】9台不同的电视，随意选取3台，一共有种方法.其中包括只选取Haier的方法一共种，还包括只选取TCL的方法一共种.所以符合题意的方法一共有84-10-4=70种.例3.7个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法?思考：答案是吗？为什么【答案】3720（种）【解答】7个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的6个同学全排列，一共有种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙在排尾，共有种排法，根据容斥原理，符合题意的排法共有种.例4.板报组有10名同学，每个人至少擅长绘画或写文章中的一种，已知其中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么有多少种选组长的方法？如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？【答案】32（种）【解答】因为10名同学中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章的有5＋7－10=2个人，所以只擅长绘画的有5个人，只擅长写文章的有3个人, 选组长可以分为三类：第一类：先从擅长绘画的人中选1个，再从剩下的人中选1个，共有5×5=25种选法；第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的2个人选1个，再从擅长写文章的3个人中选1个，共有2×3=6种选法；第三类：选2个既擅长绘画又擅长写文章的，共有1种选法；综合共有25＋6＋+1=32种.例5.一次考试共有A、B、C三道题，一共有100个人参加了这次考试.其中，答对A 题的有50人，答对B题的有60人，答对C题的有20人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题，且只答对A题的有24人，只答对A题和B题的有10人，还有10个人A、B均未答对.那么有________个人只答对了B题.【答案】36（人）【解答】因为100人中有10人A、B两题均未答对，所以有90人至少答对A，B中的一道.又因为50人答对A题，60人答对B题，所以至少答对A、B两题的有50＋60－90=20人.即答对AB两题或答对ABC三题的人合起来有20个.而只答对AB两题的人有10个，所以ABC三个题全答对的人有20－10=10个.由于有24人只答对A题，所以还有50－24=26人答对A题和至少另外一道题.这26人答对的题目只有3种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有26－20=6个人.由于答对C的人在A、B两题中至少答对一道，所以答对C的20个人答对的题目也只有三种可能：AC、BC和ABC.那么只答对BC两题的有20－6－10=4人.现在已知答对AB两题的有10人，答对BC两题的有4人，答对ABC的有10人，而至少答对B一个题目的一共有60人，所以只答对B一个题的有60－10－4－10=36人.例6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有种.【答案】14（种）【解答】6个人中选4个，共有种选法，选4个男生，共有种选法，所以符合题意的选法共有种.例7.从6双手套中取出4只，则至少取出一双的方法有种.【答案】255（只）【解答】有6双手套，即12只，从12只中任选4只，共有种，若选出的4只均不同双，则分步进行，第一步，从6双中选出4双，共有种；第二步，在选出的4双中分别选出左手或右手，共有，根据乘法原理：若选出的4只均不同双的选法共有种，所以符合题意的选法共有种.例8.在4×4的方格表里写上两个A和两个B（每个方格里至多写一个字母），那么相同字母既不同行也不同列的写法有多少种？【答案】3960（种）【解答】写入两个A既不同行也不同列的写法共有种，同理写入两个B既不同行也不同列的写法共有种，依次写入A、B，共有种写法.若A、B写入同一个方格中，可以分为两类考虑，第一类：A、B有两个格子均重合，共有72种写法；第二类，A、B中有一个格子重合，共有种写法；所以若A、B写入同一个方格中共有种写法，综上符合题意的共有种写法。
包含与排除(容斥原理)
教师1对1中小学课外辅导学生姓名：授课教师：贺琴年级：小升初 授课时间：包含与排除（容斥原理）集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合， 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成 一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成 一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有 10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A 、B 合并在一起，就组成了一个 新的集合CO 计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除： 先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除” A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A÷ B - ABb在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量 关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、 很清楚，因而容易进行计算。
1、六年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人?［分析］用左边的圆表示订少年报的 64人，右边的圆表示订小学报的 48人，中间重叠部 分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64+ 48=112人，比总人数多112 — 96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【练习】1、一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做 完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？科目：数学 学生签字：2、六年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
五年级奥数：包含与排除
五年级奥数：包含与排除五年级奥数：包含与排除1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？解：两个小组共有（15+18）-10=23（人），都不参加的有40-23=17（人）答：有17人两个小组都不参加。
解：45-29-10+3=9（人）答：语文成绩得满分的有9人。
解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4又是6的倍数有50/12商4个。
4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。
面向老师的人数=50-12=38（人）答：现在面向老师的同学还有38名。
解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2和3人倍数有100/6商16个。
领2支的共准备（50-16）*2=68，领3支的共准备（33-16）*3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33共需要68+51+80+33=232（支）答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。
5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段？解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号59+44-14=89个。
剪89次，变成89+1=90段答：绳子共被剪成了90段。
解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25所以总共有（16+15+25）/2=28（幅），1，2，3，4年级共有28-25=3（幅）答：其他年级的画共有3幅。
7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3，标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张。
四年级第十一讲包含与排除及答案(附例题答案)
101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。
记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。
（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。
二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？解析：37+26-21=42人例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？解析：15 + 17—24 = 8（人）或者15-（24-17）=8或者17-（24-15）=8例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？解析：24+18-11=31人 31+5=36人例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。
五年级数学奥数讲义-包含与排除(学生版)
“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。
一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。
【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
包含与排除问题(容斥原理)
包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。
“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。
【典型例题】例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。
（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：方法二：方法三：答：盖住桌面的面积是64平方厘米。
例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。
方法一：37 + 26—21 = 42（人）方法二：37—21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（26—21）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。
15 + 17—24 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法方法二：17—（24—15）= 8（人）15—（24—17）= 8（人）答：两科都得优的有8人。
例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。
包含与排除(容斥原理)
学生姓名: 年级:小升初科目:数学授课教师:贺琴授课时间: 学生签字:包含与排除(容斥原理)集合就是指具有某种属性得事物得全体,它就是数学中得最基本得概念之一。
如某班全体学生可以瞧作就是一个集合,0、1、2、3、4、5、６、7、8、９便组成一个数字集合。
组成集合得每个事物称为这个集合得元素。
如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都就是这个集合得元素,数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新得集合C。
计算集合C得元素得个数得思考方法主要就是包含与排除:先把A、B 得一切元素都“包含"进来加在一起,再“排除”Ａ、B两集合得公共元素得个数,减去加了两次得元素,即:C=A+B－AB。
在解包含与排除问题时,要善于使用形象得图示帮助理解题意,搞清数量关系得逻辑关系、有些语言不易表达清楚得关系,用了适当得图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。
1、六年级９６名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有4８人订了小学生报。
两种报纸都订得有多少人？［分析］用左边得圆表示订少年报得6４人,右边得圆表示订小学报得48人,中间重叠部分表示两种报刊都订得人数。
显然,两种报刊都订得人数被统计了两次:６4+４8＝1１２人,比总人数多112—9６=1６人,这1６人就就是两种报刊都订得人数。
【练习】1、一个班得52人都在做语文与数学作业、有3２人做完了语文作业,有3５人做完了数学作业、语文、数学作业都做完得有多少人？2、六年级有1２2人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优、其中语文得优得有６５人,数学得优得有87人。
语文、数学都得优得有多少人？3、某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分得学生有1７人,那么,两次测验都得满分得有多少人？2、某校教师至少懂得英语与日语中得一种语言、已知有35人懂英语,３4人懂日语,两种语言都懂得有21人。
五年级奥数专题 包含与排除(学生版)
学科培优 数学 “包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点,很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容,是考察学生逻辑思维能力,以及理解利用新知识的一个非常重要的方面,其中容斥原理更是最关键的点,而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。
知识梳理一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）,其中C 为重复部分,则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B,其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）, 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集,“A ∪B ”表示A 并B,通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合）,“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集,“A ∪B ”表示A 交B,通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合）,“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A,又属于B,还属于C 的元素数量C B A C B A例题精讲【试题来源】【题目】某小学三年级四班,参加语文兴趣小组的有28人,参加数学兴趣小组的有29人,有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图,三个圆等大）,它们的面积都是100cm2,并知A、B两圆重叠的面积是20cm2,A、C两圆重叠的面积为45cm2,B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2,求盖住桌子的总面积。
【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名,其中教英语的有50名,教日语的45名,教法语的有40名,有15名教师既教英语又教日语,有10名教师既教英语又教法语,有8名教师既教日语又教法语,有4名教师会教英语、日语和法语三门课,求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动,其中24人参加了绘画小组,20人参加了合唱小组,参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5倍,又是三项活动都参加人数的7倍,既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人,求参加朗诵小组的人数。
包含与排除
四年级第二学期讲义第十一讲 包含与排除一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。
记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。
（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。
二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。
那么两种课外班都参加的有多少人？例6、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
包含与排除(基础篇)
【本讲总结】
两个集合的韦恩图
包含与排除之基本方法篇
一、包含与排除
什么是包含与Biblioteka 除？在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，也叫做包含与排除。
包含与排除的教案
包含与排除的教案教案标题：包含与排除的教案教案概述：本教案旨在引导教师设计包含与排除的教案，以满足不同学生的学习需求。
通过灵活运用教学资源和策略，教师可以为学生提供个性化的学习体验，同时确保教学内容的全面覆盖。
教案目标：1. 了解包含与排除的概念，以及其在教学中的重要性。
2. 掌握设计包含与排除的教案的方法和策略。
3. 能够根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法。
教案步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍包含与排除的概念，并解释其在教学中的作用。
- 引发学生思考：为什么我们需要包含与排除的教学？2. 理论讲解（10分钟）- 解释包含教学的概念：包含教学是指在教学过程中，教师努力将不同学生的需求纳入教学内容和方法中。
- 解释排除教学的概念：排除教学是指教师根据学生的学习需求，有意地从教学内容和方法中排除一些元素。
- 分析包含与排除教学的优势和挑战。
3. 设计包含与排除的教案（15分钟）- 分组讨论：将学生分成小组，要求每个小组选择一个教学主题，并设计一个包含与排除的教案。
- 提示问题：如何根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法？如何平衡包含与排除的要求？4. 小组分享与讨论（10分钟）- 每个小组展示他们设计的教案，并解释他们在设计过程中的思考和决策。
- 全班讨论：学生和教师一起探讨各组设计的教案的优点和改进之处。
5. 总结与反思（5分钟）- 教师总结包含与排除的教案设计原则和方法。
- 学生反思：你在设计教案时遇到了哪些挑战？你认为如何平衡包含与排除的要求？教案扩展：1. 学生可以在小组合作的基础上，独立设计一个包含与排除的教案，并与同学分享。
2. 教师可以提供更多的案例和资源，帮助学生更好地理解和应用包含与排除的教学原则。
3. 教师可以观察学生在实际教学中如何运用包含与排除的教学策略，并提供反馈和指导。
小学五年级奥数教案--第33讲-包含与排除(容斥原理)
第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习一1、一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
四年级数学专题讲义第十二讲 包含与排除
第十二讲包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图(1)，两个面积都是4平方厘米的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8平方厘米吗？(2) 如右图(2)，一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8平方厘米，现在它们有一部分重叠了。
因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8平方厘米。
(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4－4＝20(个)点。
这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。
当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时，应把重复计数的部分排除掉。
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)。
在我们小学阶段的容斥问题除了上述的二元容斥外，还有三元容斥问题(如下图)。
整个图形的面积=三个圆的面积－重合二次部分的面积+重合三次部分的面积。
五年级奥数专题--包含与排除(容斥原理)
五年级奥数专题--包含与排除（容斥原理）专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一.如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合.组成集合的每个事物称为这个集合的元素.如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素.两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C.计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B－AB.在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系.有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算.例1.五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报.两种报纸都订的有多少人？变式训练1.一个班的52人都在做语文和数学作业.有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业.语文、数学作业都做完的有多少人？2.五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优.其中语文得优的有65人，数学得优的有87人.语文、数学都得优的有多少人？3.某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分.如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？例2.某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言.已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人.这个学校共有多少名教师？变式训练1.某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动.已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好.这个学校共有学生多少人？2.某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优.这个班共有多少人？3.第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人.第一小组共有多少人？例3.学校开展课外活动，共有250人参加.其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人.问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？变式训练1.五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人.两个小组都不参加的有多少人？2.五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人.两科都在90分以下的有多少人？3.老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人.两科都在90分以上的有多少人？例4.实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的.该校书法比赛获奖的总人数是多少人？变式训练1.五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？2.少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？3.六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？例5.在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师.问：只懂英语的老师有多少人？变式训练1. 40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题.已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人.只做对第一题的有多少人？2.五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优.已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数.3.全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人.仅会打羽毛球的有多少人？。
包含与排除
第六单元包含与排除第一课时基础篇【知识要点】1、概念；包含与排除问题也叫重叠问题。
它是集合方面的知识2、容斥原理（1）总量=A+B-AB（2）总量A+B+C-AB-BC-CA+ABC【准备知识】1、六（5）班同学中，有36人参加兴趣小组，有42人参加语文兴趣小组，有26人两样都参加。
六（5）班有多少人？2、六（6）班有56人，其中36人参加数学组，42人参加语文组，两样都参加的有多少人？例1、1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数有多少？想：（1）7的倍数；500÷7=71……3 即=71（个）9的倍数；500÷9=55（个）7，9的倍数500÷（7×9）=7（个）即77+55-7=119（个）（2）不是7，9的倍数；500-119=381（个）练：1.在1到200的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?2.在1～1000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?3.在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?例2.李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对,第二题有12人末做对,两题都做对的的20人.问第二道题对第一题不对的有几个人?两题都不对的有几个人?想；（1）画图（2）A表示对1错2， B表示错1对2，C表示1，2都对， D表示1，2都错（3）列式；A+B+C+D=40 A+C=30A+D=12 D=20（4）类比法；比较（2）与（4）（3）与（5）A=10，D=2 即B=8整理；答对2错1的8人，两题都有错的有2人练；1.有40名运动员,其中有25人会摔跤,有20人会击剑,有10人击剑、摔跤都不会,问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人?2.100个人参加测试,要求回答五道题,并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格.测试结果是:答对第一题的有81人,答对第二题的有91人,答对第三题的有85人,答对第四题的有79人,答对第五题的有74人,那么至少有多少人及格?3.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人.那么既爱好音乐又爱好体育的人,最少有多少人?最多有多少人?作业；1.某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.那么两题都不对的有多少人?2.五一班期末考试语文得“优”的有15人,数学得“优”的有18人,两门功课都得“优”的有8人,两门功课都没得“优”的有20人,这个班共有多少人参加期末考试?3.六年级90名学生,每人至少订《少年报》和《小学生学习报》不的一种.有2/3的人订了《少年报》,有1/2的人订了《小学生学习报》.两种报刊都订的有多少人?第二课时较复杂的容斥问题【准备知识】将A，B，C，（AB），（AC），（BC），（ABC）标在图中，说给同座位同学听。
(29)包含与排除(上下)
（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。
包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。
【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。
三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。
但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。
这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。
所以：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习1【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对第4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？【解析】：如下图：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36（人）。
包含与排除(知识点、方法、例题和习题)
包含与排除（知识点、方法、例题和习题）学习目标：1.了解包含与排除的概念。
2.理解韦恩图中各区域所代表的含义。
3.掌握两者、三者包含与排除问题的解决方法。
4.对包含与排除的变形题进行解决。
学习重点：1.学会画韦恩图，明确各部分区域的含义。
2.三者包含与排除的公式。
3.包含与排除的变形题。
导入：班级组织同学们去郊游，有15人带了香蕉，20人带了苹果，可是班级一共有30人，怎么会多出5人呢？这是怎么回事呢？思考：15+20-30=5人，这5人是既带了香蕉又带了苹果。
数重复了。
大家能可以通过画图的方法来理解此题么？可以通过上图了解，整个黄色代表带香蕉的15人，整个红色代表带苹果的20人，中间重叠部分表示既带香蕉又带苹果的5人。
整块阴影区域就是表示一共的人数。
计算15+20中中间部分被算了2次，因此多1次，要减去5人。
所以15+20-5=30人。
这就是韦恩图，那么思考一下黄色区域（不包含重叠部分）表示的是什么意思呢？表示的为只带香蕉的人数，所以就是只带香蕉的人数为15-5=10人，那么红色部分（不包含重叠部分）的代表含义就可以知道了。
例题1：（两者包含与排除，无圈外人）某班一共有30人，参加兴趣班的情况有三种，一种是只参加足球，一种是只参加篮球，一种是足球、篮球都参加的。
已知参加足球的有20人，参加篮球的有23人，只参加一种兴趣班的有多少人？解：图中A代表只参加篮球人数，B代表只参加足球人数，C代表既参加篮球又参加足球的人数。
则A+C=23;B+C=20;A+B+C=30.所以只参加篮球：30-20=10人。
只参加足球：30-23=7人。
所以只参加一种兴趣班的有10+7=17人。
例题2：（两者包含与排除，有圈外人）学校运动会有40人，参加跑步的有28人，参加跳绳的有18人，两个项目都没有参加的有6人，两个项目都参加的有多少人？解：图中A代表只参加跑步，B代表只参加跳绳，C代表两者都参加，D代表两者都没参加。
五年级奥数专题：包含与排除
包含与排除【专题导引】两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典型例题】【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？【试一试】1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？【试一试】1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的老师有多少人？【试一试】1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
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练习2
四年级（1）班的同学去图书馆借书，每人至少借 一本。最后的统计结果是：20人借了文艺书，25人 借了故事书，30人借了科技书，有9人既借了文艺 书又借了故事书，有11人既借了文艺书又借了科技 书，有10人既借了故事书又借了科技书，有1人三 种书都借了。问四年级（1）班共有多少人？
【解析】 至少参加一个兴趣小组的人有 30+26-13=43（人）
没有参加这两个兴趣小组的人有 48-43=5人参加数学小 组，18人参加航模小组，有10人两个小组 都参加。那么有多少人两个小组都不参加？
答案 40-（15+18-10）=17（人）
例3 李老师出了两道题，全班40人中，第一道题有30人做 对，第二道题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问： （1）第二题对，但是第一题不对的有多少人？ （2）两道题都不对的有几个人？
（1）C=A+B-AB（相交部分）
（2）D=A+B+C-AB（相交部分）-AC （相交部分） - BC （相交部分）+ ABC（三个集合相交部分）
例1 某班有学生45人，在一次考试中，语 文优秀的有22人，数学优秀的有30人，问 两科都是优秀的至少有多少人?
【解析】语文优秀人数加上数学优秀人数为： 22+30=52人，已经超过总人数，说明有部分 同学两科都是优秀。由于考试是每个人都要 参加的，所以两科优秀人数至少： 22+30-45=7（人）
答案 第二题做对的有40-18=22（人）
两题都对的有25+22-10=37（人）
两题都做错的有40-37=3（人）
例4 六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人 爱好体育，30人既爱好数学又爱语文，20人既爱好 语文又爱好体育，35人既爱好体育又爱好数学，有 18人则三方面都爱好。请问这个年级中数学、语文、 体育三个方面至少爱好一项的学生有多少人？
20+25+30-9-11-10+1=46（人）
在桌上有三个面积各为20平方厘米的圆纸片，见 下图。三个纸片共同重叠的面积是3平方厘米，三 个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。那么，
图中阴影部分的面积之和是（ 18 ）平方厘米。
20×3-36-2×3=18（平方厘米）
P162~163 1、4、5、7、8、9、10
解析 （1）第二题对：40-12=28（人） 第二题对，但第一题不对的有： 28-20=8（人）
（2）至少有一题做对的有 30+28-20=38（人）
两道题都不对的有： 40-38=2（人）
练习
一次数学小测验只有两道题，全班 共40人，结果全班有10人全对，第 一题有25人做对，第二题有18人做 错。问：两题都做错的有多少人？
【解答】 22+30-45=7（人）
答：两科都优秀的至少有7人。
练习 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳 高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37 人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛 都参加的学生有多少人？
答案 37+40-48=29（人）
例2 某班共48人，参加书法兴趣小组的有 30人，参加生物小组的有26人，其中，这 两个兴趣小组都参加的有13人。在这个班 上还有多少人没有参加这两个兴趣小组？
解析 运用容斥原理得： 60+50+42-30-20-35+18=85（人）
答：这三个方面至少爱好一项的学生有85人。
练习1
四年级（1）班有学生若干，每人在暑假里 都参加训练队，其中参加足球队的有25人， 参加排球队的有22人，参加游泳队的有34 人，足球、排球都参加的有12人，足球、游 泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有 14人，三队都参加的有7人。那么四年级 （1）班有多少人？