2012年高考文科数学(福建卷)

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2012学年高考文科数学年福建卷答案

()
A. (a 5 b) 元 4
C. (a 5b) 元
B. (a 5 b) 元 4
D. (a 5b) 元
20.如图 10 反映的过程是：小刚从家去菜地浇水,又去青稞地除草,然后回家.如果菜地
和青稞地的距离为 a 千米,小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了 b 分钟,则 a 、b 的
值分别为
方差分别是： S甲2 0.6 , S乙2 =0.4 ,则下列说法正确的是
()
A.甲比乙的成绩稳定
B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定
D.无法确定谁的成绩更稳定
16.如图 8,一次函数 y kx-3 的图象与反比例函数 y m 的图象交 x
A , B 两点,其中 A 点坐标为 (2,1) ,则 k , m 的值为 ( )
()
A.1, 8 B. 0.5 ,12
C. 1 , 12 D. 0.5 , 8 三、(本大题共 3 小题,第 21 题 5 分,第 22 题 6 分,第 23 题 8 分,共 19 分).
21.计算： | 5 | 2cos 60 (1)2 ( 2 π)0 . 2
22.先化简,再求值：
A. k 1, m 2
B. k 2 , m 1
C. k 2 , m 2
D. k 1, m 1
17.如图 9,在 Rt△ABC 中, CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD 5 ,
AC 6 ,则 tanB 的值是
()
A. 4
B. 3
5
5
C. 3
D. 4
4
3
数学试卷第 2 页（共 6 页）
五、(本大题共 2 小题,第 27 题 10 分,第 28 题 12 分,共 22 分).

2012高考真题文数福建卷

数学试题（文史类）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i ）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12 B.x-1 C.x=5 D.x=04. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱5 已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A 31414 B 324 C 32 D 436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B -10C 0D -27.直线x+3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. 25 B 23. C.3 D.1 8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π 9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为 A.-1 B.1 C. 32D.2 11.数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.0（I ）已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2012年福建高考文科数学真题

2013年福建高考（文科）数学考试真题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（2+i）2等于（）2．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）3．已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）4．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）5．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）B6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）7．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）8．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）﹣﹣））的值为（）9．设f（x）=，g（x）=，则f（g（πm的最大值为（）2我相信，我能行！我能考到120分！11．数列{a n}的通项公式a n =ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=_________14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_________．15．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．16．某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．优一5班提分专用318．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；4我相信，我能行！我能考到120分！（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．优一5班提分专用521．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py （p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．22．（14分）（2012•福建）已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．6我相信，我能行！我能考到120分！2012年福建高考（文科）数学真题答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．因为向量==⊥，所以∵双曲线=1﹣d=由直线与圆相交的性质可知，，即=kπ+，x=kπ+，）的图象对﹣9．B优一5班提分专用7由题意，）满足约束条件=ncos是以T=）＜8我相信，我能行！我能考到120分！优一5班提分专用9二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．AC=．的对边，可利用正弦定理，14．应抽取女运动员人数是 12 ．15．实数a 的取值范围是（0，8）．16．铺设道路的最小总费用为 16 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． =10+∴这两项的值相等的概率：．=a=﹣，∴回归直线方程∴该产品的单价应定为，又CC×2×1=1=AD•．，MC= =10我相信，我能行！我能考到120分！20.sin30°，故．．﹣cos sinαcosαsin．+﹣﹣（）﹣sin﹣cos2α+sin2α﹣﹣+．，，4，）上，∴）知，：即优一5班提分专用11得，∴）（﹣x+y+）=2y，）﹣，，又函数故函数在，不合题意；，，又函数故函数在12我相信，我能行！我能考到120分！）=综上所述，得）知，，从而有＜（=又函数在，）单调递增，故函数，，）[，，，∈（，）在（，，）＞）在（）在（，优一5班提分专用13。

2012高考福建文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i2．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．12x=-B．x＝－1C．x＝5 D．x＝04．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5．已知双曲线22215x ya-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A．14B4C．32D．436．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10 C．0 D．－27．直线x＋－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．B．C D．18．函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是… ()A．π4x=B．π2x=C．π4x=-D．π2x=-9．设1,0,()0,0,1,0,xf x xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩1,()xg xx⎧=⎨⎩为有理数，，为有理数，则f(g(π))的值为()A．1 B．0 C．－1 D．π10．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的最大值为()A．12B．1 C．32D．211．数列{a n}的通项公式πcos2nna n=，其前n项和为S n，则S2 012等于()A．1 006 B．2 012 C．503 D．012．(文)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0．现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0．其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC=，则AC＝__________．14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．15．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．16．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．(1)求a n和b n；(2)现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程 y bx a=+，其中b＝－20，a y b x=-；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．如图，等边三角形OAB的边长为E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．22．已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i．2． D ∵M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，∴M ∩N ＝{2}． 3． D ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C 由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率32c e a ==．6． A (1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，输出s ＝－3．7． B 圆心O 到直线AB的距离1d ==，所以||AB ===． 8． C 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ．当k ＝－1时x ＝－π＋3π4＝π4-．故选C ．9．B ∵g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0．10． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．11． A ∵函数πcos 2n y =的周期2π4π2T ==，∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝－2－6－…－2 010＝503(22010)2⨯--＝－503×1 006，a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝4＋8＋…＋2 012＝503(42012)2⨯+＝503×1 008．故S 2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006．12． C 设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝0，则x 1＝0，x 2＝x 3＝3，其图象如下图：要使f (x )=x 3－6x 2+9x －abc 有3个零点，需将g (x )的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )=3x 2－12x +9=0时，x 1=1，x 2=3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．故由图象可知f (0)·f (1)＜0，f (0)·f (3)＞0．13．解析：如图：由正弦定理得sin sin AC BC BA=，即sin 45sin 60AC =︒︒22=，故AC =14．答案：12 解析：∵282987=，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42(人)，∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．15．答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，∴∆＝(－a )2－4·2a ＜0，即a 2－8a ＜0,0＜a ＜8．故a 的取值范围是(0,8)．16．答案：16解析：由题意知，各城市相互到达，且费用最少为1＋2＋2＋3＋3＋5＝16＝FG ＋GD ＋AE ＋EF ＋GC ＋BC ．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ．依题意得S 10＝10＋1092⨯d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1．(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率29P =．18．解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250． (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 19．解：(1)由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，故点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1．又∵111121122M C C S C C C D ∆=⋅=⨯⨯=，∴111133A M C C M C C V A D S -∆⋅＝＝．(2)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M +MC 取得最小值．由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 中点．连结C 1M ，在△C 1MC 中，1M C =，MC =，CC 1=2，∴CC 12=MC 12+MC 2，得∠CMC 1=90°，即CM ⊥MC 1．又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM ．又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ．同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴B 1M ⊥平面MAC ．20．(理17，文20)解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－2sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．21．解：方法一：(1)依题意，||O B =BOy ＝30°．设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝ y ＝|OB |·cos 30°＝12．因为点B(12)在x 2＝2py 上，所以(2＝2p ×12，解得p ＝2．故抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．设M (0，y 1)，令0M P M Q ⋅= 对满足20014y x =(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于M P ＝(x 0，y 0－y 1)，M Q ＝(20042x x -，－1－y 1)，由0M P M Q ⋅= ，得20042x x -－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 12＝0，即(y 12＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0．(*) 由于(*)式对满足20014y x =(x 0≠0)的y 0恒成立，所以121110,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩解得y 1＝1．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二：(1)同方法一． (2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P (1，14)，Q (32-，－1)，以PQ 为直径的圆为(x ＋14)2＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4(0，74-)．故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为M P ＝(x 0，y 0－1)，M Q ＝(20042x x -，－2)，M P M Q ⋅ ＝2042x -－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M ． 22．解：(1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋x cos x ＞0．当a ＝0时，3()2f x =-，不合题意；当a ＜0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，从而f (x )在(0，π2)内单调递减，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当a ＞0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＞0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为π()2f ，即π3π3222a --=，解得a ＝1．综上所述，得f (x )＝x sin x －32．(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x 32-，从而有f (0)＝32-＜0，ππ3()022f -=>，又f(x)在［0，π2］上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在［0，π2］上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且仅有一个零点．当x∈［π2，π］时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x．由g(π2)＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在［π2，π］上的图象是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0．由g′(x)＝2cos x－x sin x，知x∈(π2，π)时，有g′(x)＜0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x∈［π2，m］时，ππ3()()022f x f-≥=>，故f(x)在［π2，m］上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在［m，π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。

2012年高考文科数学福建卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共24页）数学试卷第2页（共24页）数学试卷第3页（共24页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 复数2(2i)+等于（）A .34i +B .54i +C .32i +D .52i + 2. 已知集合12{,,4}3,M =,{2,2}N =-,下列结论成立的是（）A .N M ⊆B .MN M = C .M N N = D .{2}M N =3. 已知向量)2(1,a x =-,1()2,b =,则a b ⊥的充要条件是（）A .12x =-B .1x =-C .5x =D .0x =4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（）A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱5. 已知双曲线22215x ya -=的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于（）ABC .32D .436. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s 值等于（）A .3-B .10-C .0D .2-7.直线20x -=与圆224x y +=相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于（）A. B. CD .18. 函数π()sin 4()f x x =-的图象的一条对称轴是（）A .π4x =B .π2x = C .π4x =- D .π2x =-9. 设1,0,()0,0,1,0,x f x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞＜1,()0,x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则((π))f g 的值为（）A .1B .0C .1-D .π10. 若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的最大值为（）A .1-B .1C .32D .211. 数列{}n a 的通项公式ππcos 2n n a =,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（）A .1006B .2012C .503D .012. 若已知3269()f x x x x abc =-+-,a b c ＜＜,且()()(0)f a f b f c ===.现给出如下结论：①()(00)1f f ＞；②()(00)1f f ＜；③()(003)f f ＞；④()(003)f f ＜.其中正确结论的序号是（）A .①③B .①④C .②③D .②④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 在ABC △中,已知60BAC ∠=,45ABC ∠=,BC =,则AC =________.14. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是________. 15. 已知关于x 的不等式220x ax a -＋＞在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_______. 16. 某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.图1图2现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为_______.图3--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共24页）数学试卷第5页（共24页）数学试卷第6页（共24页）三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中,111a b ==,48b =,{}n a 的前10项和1055S =. （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.18.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,（Ⅰ）求回归直线方程y bx a =+,其中20b =-,a y bx =-；（Ⅱ）预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从（I ）中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（本小题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 为棱1DD 上的一点. （Ⅰ）求三棱锥1A MCC -的体积；（Ⅱ）当1A M MC +取得最小值时,求证：1B M ⊥平面MAC .20.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)22sin 13cos 17sin13cos17+-； (2)22sin 15cos 15sin15cos15+-； (3)22sin 18cos 12sin18cos12+-； (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.21.（本小题满分12分）如图,等边三角形OAB 的边长为,且其三个顶点均在抛物线E ：20)2(x py p =＞上.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P 与直线1y =-相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.22.（本小题满分14分）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ,且在π[0,]2上的最大值为π32-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 在(0,π)内的零点个数,并加以证明.数学试卷第7页（共24页）数学试卷第8页（共24页）{1,2,3,4,M N ={2}M N =≠{2}MN =，故【提示】由{M ={1,2,3,4,M N ={2}MN =≠从而可判断。

2012年文数高考试题答案及解析-福建

全国高考文科数学试题答案及解析数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。

D正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱、【解析】分别比较A、B、C的三视图不符合条件，D 符合【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。

5 已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A14B4C32D436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A -3B -10C 0D -2【解析】1.S=2×1-1=1，K=22.S=2×1-2=0，K=33．S=2×0-3=-3 K=4，输出-3【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。

7.直线x+y2-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A. B C. D.18.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D .π 【解析】因为g （π）=0 所以f （g （π））=f （0）=0 。

2012年福建省高考数学试卷(文科)教师版

2012 年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?福建）复数（ 2+i ）2等于（）A ．3+4iB ．5+4iC ．3+2iD ．5+2i 【剖析】直接依据复数的乘法的运算法例，以及 i 2 ﹣ 1 可求出所求．= 【解答】解：（2+i ） 2=4+4i+i 2 =3+4i应选： A ．2．（5 分）（2012?福建）已知会合M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣2， 2} ，以下结论成立的是（）A ．N? MB ．M ∪N=MC ．M ∩N=ND ．M ∩N={ 2}【剖析】由 M={ 1， 2， 3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，则可知，﹣ 2∈ N ，可是﹣ 2?M ，则N?M ，M ∪N={ 1，2，3，4，﹣ 2} ≠M ，M ∩N={ 2} ≠N ，从而可判断．【解答】解： A 、由 M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，可知﹣ 2∈N ，可是﹣ 2?M ，则 N?M ，故 A 错误；B 、M ∪N={ 1，2，3，4，﹣2} ≠M ，故C 、M ∩N={ 2} ≠N ，故 C 错误；D 、M ∩N={ 2} ，故 D 正确．B 错误；应选： D ．3．（5 分）（2012?福建）已知向量件是（）=（x ﹣1，2），=（ 2， 1），则 ⊥ 的充要条A ．x=﹣B ．x=﹣1C ．x=5D ．x=0【剖析】直接利用向量垂直的充要条件，经过坐标运算求出x 的值即可．【解答】解：因为向量 =（x ﹣1，2）， =（2，1）， ⊥ ，因此 2（x ﹣1）+2=0，解得 x=0．应选： D ．4．（5 分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都同样，大小均相等，那么这个几何体不能够是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【剖析】利用简单几何体的构造特点以及三视图的定义，简单判断圆柱的三视图不行能形状同样，大小均等【解答】解： A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适合高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都同样；C、正方体的三视图能够是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其余两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都同样，大小均等，那么这个几何体不能够是圆柱．应选： D．5．（5 分）（2012?福建）已知双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），可得a=2，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），∴ a2+5=9∴ a2=4∴ a=2∵ c=3∴应选： C．6．（5 分）（2012?福建）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出s 值等于（）A．﹣ 3B．﹣ 10C．0D．﹣ 2【剖析】经过循环，计算 s，k 的值，当 k=4 时退出循环，输出结果即可．【解答】解： k=1，知足判断框，第1 次循环， s=1，k=2，第 2 次判断后循环， s=0，k=3，第3 次判断并循环s=﹣3，k=4，第3 次判断退出循环，输出 S=﹣ 3．应选： A．7．（5 分）（2012?福建）直线 x+﹣2=0与圆x2+y2=4订交于A，B两点，则弦AB 的长度等于（）A．2B．2C．D．1【剖析】由直线与圆订交的性质可知，，要求AB，只需先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d=由直线与圆订交的性质可知，即∴应选： B．8．（ 5 分）（2012?福建）函数 f（ x）=sin（ x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【剖析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数 f（x）的对称轴方程，比较选项即可得结果【解答】解：由题意，令 x﹣ =kπ+ ， k∈z得 x=kπ+ ，k∈z 是函数 f（ x） =sin（x﹣）的图象对称轴方程令 k=﹣1，得 x=﹣应选： C．．（分）（福建）设（），＞，g（ x）=，为有理数，则f（g ，9 52012? f x =，为无理数，＜（π））的值为（）A．1B．0C．﹣ 1D．π【剖析】依据π是无理数可求出g（π）的值，而后依据分段函数 f （x）的分析式可求出 f（g（π））的值．【解答】解：∵ π是无理数∴g（π） =0则 f（ g（π））=f（ 0） =0应选： B．10（．5 分）（2012?福建）若直线 y=2x上存在点（ x，y）知足拘束条件，则实数 m 的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【剖析】依据，确立交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）知足拘束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直 y=2x 上存在点（ x，y）足束条件，如所示．可得m≤1∴ 数 m 的最大 1故： B．．（分）（福建）数列n}的通公式a n=ncos ，其前 n 和 S n，11 52012?{ aS2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【剖析】由已知得 f（n）=cos是以 T==4 周期的周期函数，由此能求出S2012的．【解答】解：∵ a n=ncos，又∵ f（ n） =cos是以T==4 周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4 =（0 2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0 6+0+8）=2，⋯a2009+a2010+a2011+a2012=（ 0 2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+⋯+a2012=（0 2+0+4）+（0 6+0+8）+⋯+（0 2010+0+2012）=2×503=1006故： A．12．（ 5 分）（2012?福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a） =f （b）=f（ c） =0．现给出以下结论：①f（0）f （1）＞ 0；② f（0）f （1）＜ 0；③ f（0）f （3）＞ 0；④f（0）f （3）＜ 0．此中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【剖析】依据 f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a）=f（ b）=f（c）=0，确立函数的极值点及a、b、c 的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得 f ′（x）=3x2﹣12x+9=3（ x﹣ 1）（x﹣3），∵a＜ b＜ c，且 f（ a） =f（b）=f（c）=0．∴a＜ 1＜b＜ 3＜ c，设 f（ x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（ a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵ f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴ a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴ b+c=6﹣a，∴ bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜ 0，∴0＜ a＜4，∴0＜ a＜1＜ b＜ 3＜c，∴f（0）＜ 0， f（1）＞ 0， f（3）＜ 0，∴f（0）f （1）＜ 0，f（0）f（ 3）＞0．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应地点．13．（ 4 分）（ 2012?福建）在△ ABC中，已知∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， BC=，则AC=．【剖析】联合已知两角一对边，要求 B 的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，∴ BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（ 4 分）（2012?福建）一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56人．按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【剖析】依据田径队的男女运动员数量和用分层抽样要抽取的数量，获取每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数量，获取结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，∴这支田径队有女运动员98﹣ 56=42 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28 的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42 人，∴女运动员要抽取42× =12 人，故答案为： 1215．（ 4 分）（2012?福建）已知对于x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（0，8）．【剖析】将对于 x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，转变成△＜ 0，从而获取对于 a 的不等式，求得 a 的范围．【解答】解：因为不等式 x2﹣ax+2a＞ 0 在 R 上恒成立．故答案为：（ 0， 8）．16．（ 4 分）（2012?福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点 A， B， C 表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的花费，要求从任一城市都能抵达其余各城市，而且铺设道路的总花费最小．比如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总花费为 10．现给出该地域可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总花费为16．【剖析】确立铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从 G 分叉，G→ C→B，即可求得铺设道路的最小总花费．【解答】解：由题意，铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G 分叉， G→ C→B总花费为 2+3+1+2+3+5=16故答案为： 16三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（2012?福建）在等差数列 { a n} 和等比数列 { b n} 中， a1=b1=1，b4=8，{ a n} 的前 10 项和 S10=55．（Ⅰ）求 a n和 b n；（Ⅱ）现分别从 { a n} 和{ b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本领件，并求这两项的值相等的概率．【剖析】（Ⅰ）先依据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先依据第一问的结果把基本领件都写出来，再找到知足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得： S10=10+d=55； b4=q3=8；解得： d=1， q=2．因此： a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从 { a n} 和 { b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，获取的基本领件有9 个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（ 1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（ 12 分）（2012?福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价 x（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568 y（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，此中 b=﹣20，a= ﹣b ；（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【剖析】（I）计算均匀数，利用b=﹣20，a= ﹣b ，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获取的收益为 L 元，利用收益 =销售收入﹣成本，成立函数，利用配方法可求工厂获取的收益最大．【解答】解：（I），=∵ b=﹣20，a= ﹣b ，∴a=80+20× 8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获取的收益为 L 元，则 L=x（﹣ 20x+250）﹣ 4（﹣ 20x+250） =﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获取的收益最大．19．（12 分）（ 2012?福建）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点．（1）求三棱锥 A﹣MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 获得最小值时，求证： B1M ⊥平面 MAC．【剖析】（1）由题意可知， A 到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（ 2）将侧面 CDD1C1绕 DD1逆时针转 90°睁开，与侧面ADD1A1共面，当 A1，M，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．易证 CM⊥平面 B1C1M ，从而 CM⊥ B1M ，同理可证， B1M ⊥AM，问题获取解决．【解答】解：（1）由长方体 ABCD﹣ A知， AD⊥平面 CDD ，1B1C1D11C1∴点 A 到平面 CDD1 1的距离等于 AD=1，C又= CC1×CD= ×2×1=1，∴= AD?= ．90°睁开，与侧面ADD A 共面，11DD 逆时针转（ 2）将侧面CDDC 绕111当 A1，M ，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．由 AD=CD=1，AA1=2，得 M 为 DD1的中点．连结 C1M ，在△ C1MC 中， C1 M=，MC= ，C1C=2，∴=+MC2，得∠ CMC°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面 CDD ，1=901C1∴B1C1⊥CM，又 B1C1∩ C1M=C1，∴CM⊥平面 B1C1M，∴CM⊥ B1M ，同理可证， B1M⊥AM，又 AM∩MC=M，∴B1M ⊥平面 MAC20．（ 12 分）（2012?福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1） sin2 13°+cos217°﹣sin13 cos17° °（2） sin2 15°+cos215°﹣sin15 cos15° °（3） sin2 18°+cos212°﹣sin18 cos12° °（4） sin2（﹣ 18°）+cos248°﹣sin（﹣ 18°）cos48 °（5） sin2（﹣ 25°）+cos255°﹣sin（﹣ 25°）cos55 °（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）选择（ 2），由 sin215°+cos215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，可得这个常数的值．（Ⅱ）推行，获取三角恒等式sin2α+cos2（ 30°﹣α）﹣ sin αcos（ 30°﹣α） = ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左侧，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣ sin α（ cos30°cos+sin30α °sin ）α，即 1 ﹣+α sin2 αcos2 +﹣ sin2 α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（ 2），计算以下：sin 215°+cos 215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，故这个常数为．（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推行，获取三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣ sin αcos （30°﹣α）= ．22 2α证明：（方法一）sin α（30°﹣ α）﹣sin αcos （30°﹣α）=sin+cos+﹣ s in α（cos30°cos+sin30α °sin ）α22222 2．=sin α+ cos α+ sin α+ sin α cos ﹣α sin α cos ﹣α sin α=sin α+ cos α= 2 2αcos （30°﹣α）=+﹣（方法二）sin α（30°﹣α）﹣sin+cossin α（ cos30 ° cos+sin30α ° sin ）α﹣ + （cos60°cos2+sin60α °sin2）α﹣sin2 α﹣2α=1sin﹣+αsin2 α﹣sin2 α﹣﹣﹣ + =．=1cos2 + =121．（ 12 分）（2012?福建）如图，等边三角形 OAB 的边长为，且其三个极点均在抛物线 E ：x 2=2py （ p ＞ 0）上．（ 1）求抛物线 E 的方程；（ 2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y=﹣1 相较于点 Q ．证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．【剖析】（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，从而可得 B （4， 12），利用 B在 x 2=2py （ p ＞ 0）上，可求抛物线 E 的方程；（ 2）由（1）知，，，设 P （x 0，y 0），可得 l ：，与 y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想知足条件的点M 存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，设B（x， y），则 x=| OB| sin30 °=4 ， y=| OB| cos30°=12∵B（ 4 ，12）在 x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线 E 的方程为 x2=4y；（ 2）由（ 1）知，，设 P（x0，y0），则 x0≠0．l：即由得，∴，取 x0=2，此时 P（2，1），Q（0，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x﹣ 1）2+y2=2，交y 轴于点 M 1（0，1）或 M 2（ 0，﹣ 1）取 x0=1，此时 P（1，），Q（﹣，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x+ ）2+（y+ ）2=2，交 y 轴于点 M3（ 0， 1）或 M 4（0，﹣）故若知足条件的点M 存在，只好是 M（0，1），证明以下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0 +2=0故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M （0，1）．22．（ 14 分）（2012?福建）已知函数 f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数 f（ x）的分析式；（2）判断函数 f （x）在（ 0，π）内的零点个数，并加以证明．【剖析】（ I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单一性，确立出最值，令最值等于，即可获取对于 a 的方程，因为a的符对函数的最值有影响，故能够对 a 的取值范围进行议论，分类求解；（II）借助导数研究函数 f （x）在（ 0，π）内单一性，由零点判断定理即可得出零点的个数．【解答】解：（ I）由已知得 f （′ x）=a（sinx+xcosx），对于随意的 x∈（ 0，），有sinx+xcosx＞0，当 a=0 时， f （x）=﹣，不合题意；当 a＜0 时， x∈（ 0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单一递减，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （0）=﹣，不合题意；当 a＞0 时， x∈（ 0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单一递加，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （）==，解得a=1，综上所述，得（ II）函数 f（x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．证明以下：由（ I）知，，从而有 f （0）=﹣＜0，f （）=＞ 0，又函数在，上图象是连续不停的，因此函数f（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又由（ I）知 f（x）在（ 0，）单一递加，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当 x∈[ ，π] 时，令 g（ x）=f ′（x）=sinx+xcosx，由 g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且 g（ x）在 [，π]上的图象是连续不停的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由 g′（x）=2cosx﹣xsinx，知 x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π] 上单一递减．当 x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单一递加故当 x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当 x∈（ m，π）时，有 g（x）＜ g（m）=0，即 f ′（ x）＜ 0，从而 f（ x）在（，m）内单一递减．又 f（m ）＞0，f（π）＜ 0 且 f（ x）在 [ m，π] 上的图象是连续不停的，从而 f （ x）在[ m，π] 内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（ x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．。

评析2012年福建省高考文科数学第16题

评析2012年福建省高考文科数学第16题作者：梁志永来源：《考试周刊》2013年第08期摘要： 2012年福建省高考文科数学第16题以当前与人们的工作、生活联系非常紧密的道路建设问题为背景，考查网络知识，富有浓郁的时代气息，构思巧妙、设计独特、立意新颖，考生既感到熟悉又感到新鲜，令人耳目一新.本文对这道题进行了解析与评析.关键词：解析评析试题特点能力考查一、题目某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案.方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.三、评析第16题以当前与人们的工作、生活联系非常紧密的道路建设问题为背景，考查网络知识，富有浓郁的时代气息，构思巧妙、设计独特、立意新颖，考生既感到熟悉又感到新鲜，令人耳目一新，不失为一道好题.主要体现在以下两个方面：（一）试题的特点1.与时俱进.随着社会发展，人们更清楚明白一个致富道理“要致富、先修路”，通过求道路建设最小费用，提倡节约意识、避免浪费.2.背景公平.该题背景材料对城乡考生而言均为日常所见，考生具有解答它的知识和能力，它不同于难题、偏题、怪题，适合全体考生.3.区分度高.考生并不能马上得出答案，而必须经过思考、分析，完全理解后，方可通过口算得出答案，是一道区分不同层次人才的关口.4.承前启后.如果仔细品味，则不难发现其数学模型是网络，充分体现了初等数学与高等数学的自然衔接，为学生今后学习高等数学埋下了伏笔.（二）能力的考查1.考查阅读理解能力.题干材料长，阅读量大，要求考生耐心阅读文字语言和图形，理解题意，提取解题所需的有效信息，如“最小总费用”，“从任一城市都能到达其余各城市”，考生必须对题干中的所给信息进行加工、提炼，寻找解题突破口.2.考查心理应变能力.该题位于填空题的最后一题，对于考生来说，突然出现一个新颖题目，往往措手不及，看了一遍，不知如何下手，这就要求考生沉着、冷静思考，及时调整心态，避免紧张，乱了方寸.3.考查应用意识.该题贴近生活实际，引导考生置身于现实社会生活之中，关心自己身边的数学问题，关心社会的发展和进步，使考生能够自觉地运用所学的数学知识解决现实生活中的实际问题，让考生体会到学数学是有用的，达到学以致用的目的.4.考查创新意识.该题背景贴近生活、图文并茂，重点考查能力，加大了思维量，减少了运算量，要求考生“多想点、少算点”，考查考生综合与灵活地应用所学的数学知识，有效分析、提取信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.。

2012福建高考数学文科

2012福建文一、选择题1 ．复数2)2(i +等于（）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+2 ．已知集合}4,3,2,1{=M ,}2,2{-=N ,下列结论成立的是（）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M3 ．已知向量=(1,2)x -a , =(2,1)b ,则⊥a b 的充要条件是（）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=xD ．0=x4 ．一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是（）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5 ．已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(,则该双曲线的离心率等于（）ABC ．32D ．436 ．阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出s 值等于（）A ．3-B ．10-C ．0D ．2-7 ．直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点,则弦AB 的长度等于（）A．B．CD ．18 ．函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（）A ．4π=xB ．2π=xC ．4π-=xD ．2π-=x9 ．设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ,⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(,则))((πg f 值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．π=x10．若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为（）A ．1-B ．1C ．23 D ．211．数列}{n a 的通项公式2cosπn n a n =,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（）A ．1006B ．2012C ．503D ．012．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23,且0)()()(===c f b f a f ,现给出如下结论:①0)1()0(>f f ;②0)1()0(<f f ;③0)3()0(>f f ;④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．在ABC ∆中,已知060=∠BAC ,045=∠ABC ,3=BC ,则=AC _______.14．一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_______.15．已知关于x 的不等式022>+-a ax x 在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 16．某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为____________.图3273133266659G FE D CBA三、解答题17．在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中,8,1411===b b a ,}{n a 的前10项和5510=S .(Ⅰ)求n a 和n b ;(Ⅱ)现分别从}{n a 和}{n b 的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(I)求回归直线方程a bx y +=∧,其中-∧-=-=x b y a b ,20(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入—成本)19．如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,2,11===AA AD AB ,M 为棱1DD 上的一点.(I)求三棱锥1MCC A -的体积;(II)当MC M A +1取得最小值时,求证:⊥M B 1平面MAC .20．某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)02217cos 13sin 17cos 13sin -+; (2)02215cos 15sin 15cos 15sin -+; (3)02212cos 18sin 12cos 18sin -+; (4)00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-; (5)00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-.(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.21．如图,等边三角形OAB 的边长为且其三个顶点均在抛物线)0(2:2>=p py x E 上.(I)求抛物线E 的方程;(II)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线1-=y 相交于点Q .证明:以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.22．已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-.(I)求函数)(x f 的解析式;(II)判断函数)(x f 在),0(π内的零点个数,并加以证明2012福建文参考答案一、选择题 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C 9. B 10. B 11. A 12. C极大值04961)1(>-=-+-=abc abc f ，极小值0275427)3(<-=-+-=abc abc f ，且0)3()0(<=-=f abc f ，所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

2012年福建高考数学文科试卷(带答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建文科卷）1.复数2(2i)+等于（）A . 34i +B . 54i +C . 32i +D . 52i +【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的平方形式，求其值.【参考答案】A【试题解析】2(2i)414i 34i +=-+=+.2.已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-，下列结论成立的是（）A . N M ⊆B . M N M =C . M N N =D .{}2M N =【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出若干个已知集合，判断之间的关系.【参考答案】D【试题解析】N 中元素2-不在M 中，因此，A 错； {2}M N N =≠ ，因此选D .3.已知向量(1,2),(2,1)x -a =b =，则⊥a b 的充要条件是（）A . 12x =- B . 1x =- C .5x = D . 0x = 【测量目标】平面向量的数量积的坐标表示与运算.【考查方式】直接给出含有未知数的向量与一个已知向量之间的数量积运算求满足条件的未知数.【参考答案】D【试题解析】(1)220x =-⨯+=a b ，解得0x =. 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是（）A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱【测量目标】空间几何体的判定.【考查方式】给定空间几何体的三视图的形状判定该几何体.【参考答案】D【试题解析】圆柱的三视图，分别矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形. 5.已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于（）A .14B .4C .32D .43 【测量目标】圆锥曲线离心率.【考查方式】给出双曲线方程的某个基本量求未知基本量.【参考答案】C【试题解析】由题，259a +=，解得2a =，32c e a ==. 6.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（）A . 3-B .10-C . 0D .2-【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图运行得出数值.【参考答案】A【试题解析】进入循环体，第一次，1s =，2k =第二次，0s =，3k =第三次，3s =-，4k =然后，退出循环，输出3s =-.7.直线20x -=与圆224x y +=相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于（）A .B .C .D .1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给定直线与圆锥曲线的方程求其交点、弦长等.【参考答案】B【试题解析】圆心为原点，到直线的距离为1d ==，||AB ===.8.函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（）A .4x π=B .2x π=C .4x π=- D.2x π=- 【测量目标】三角函数图像的性质.【考查方式】给出三角函数的解析式求基本量.【参考答案】C 【试题解析】三角函数会在对称轴处取得最值，当π4x =-代入π()sin()4f x x =-得()1f x =-，取得函数的最小值，因此，直线π4x =-是对称轴． 9. 设1,0()0,01,x f x x x m >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()0x g x x ⎧=⎨ ⎩，为有理数，为无理数，则((π))f g 的值为（）A ． 1B ．0C ．1-D ．π【测量目标】复合函数的性质.【考查方式】给出两个或两个以上的函数结合成复合函数再求解.【参考答案】B【试题解析】∵π是无理数，∴(π)0g =，∴((π))(0)0f g f ==，故选B ．10. 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩………则实数m 的最大值为（）A ．1-B ．1C ．32D ．2 【测量目标】函数最值问题的熟练掌握.【考查方式】给出多个函数，同时满足其约束条件，求相关最值.【参考答案】B【试题解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象与直线03=-+y x 的交点时，函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内，由230y x x y =⎧⎨+-=⎩，得)2,1(P ，∴1m …．11.数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n s ，则S 2012等于（） A 1006 B . 2012 C .503 D .0【测量目标】数列和三角函数之间的运算.【考查方式】给定数列的通项公式求其前n 项的和或特定数值.【参考答案】A 【试题解析】cos 2n n a n π=，所以1cos 02a π==，22cos 2a =π=-，333cos 02a π==，44cos24a =π=.可见，前2012项的所有奇数项和为0，1006个偶数项依次为2,4,6,8,-- ，发现依次相邻两项的和为2，所以20121006S =．12.已知32()69f x x x x abc =-+-，a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；② (0)(1)0f f <；③ (0)(3)0f f >；④ (0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是（）A .①③B .①④C .②③D .②④【测量目标】掌握含有未知参数的函数的性质.【考查方式】给出含有未知参数的函数及部分条件判断正误.【参考答案】A【试题解析】2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增，又因为()()()0f a f b f c ===，所以(,1)a ∈-∞(1,3)b ∈，(3,)c ∈+∞，因为(1)40f abc =->，(3)0f abc =-<，所以(0)0f abc =-<．又因为3222()69(69)[(3)]0f b b b b abc b b b abc b b ac =-+-=-+-=--=，所以ac 为正数，所以a 为正数，又因为(0)0f abc =-<，(1)0f >，(3)0f <．13.在ABC △中，已知60BAC ︒∠=， 45ABC ︒∠=，BC ，则AC =_______.【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的角或边求其他的角与边的值.【试题解析】由正弦定理，sin sin AC BC B A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______.【测量目标】分层抽样.【考查方式】实际案例中运用抽样调查的方法得出其他所需答案.【参考答案】12【试题解析】由题，女运动员数为42，因此抽取的运动员为42281298⨯=. 15.已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【测量目标】不等式的求解.【考查方式】给出含有未知数的不等式求未知量.【参考答案】(0,8)．【试题解析】由题，2()80a a ∆=--<，解得(0,8)a ∈.16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小.例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________.【测量目标】线性规划与最优解问题.【考查方式】给出一个问题的多种解决方案选出其中最优的解.【参考答案】16【试题解析】最短路线为C B A E F G D----<，总费用为23123516+++++=. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 1141,8a b b ===，{}n a 的前10项和1055s =. （Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）现分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.【测量目标】等差数列、等比数列、古典概型的知识运用.【考查方式】给出某个等差数列或等比数列的某些基本量求该数列的通项.【试题解析】解：（1）设{}n a 的公差为d ， {}n b 的公比为q .依题意得310410910=55,8,2s d b q ⨯=+==（步骤1）解得1,2,d q ==所以1,2.n n n a n b -==（步骤2）(2)分别从{}n a 和{}n b 的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)(3,4).符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2)..故所求的概率29p =.（步骤3） 18.(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程 y bx a =+，其中20b =-，a y bx =-；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【测量目标】线性回归知识在实际生活中的运用.【考查方式】实际应用题的最优方案.【试题解析】（1）1(88.28.48.68.89)8.56x =+++++=， 1(908483807568)806y =+++++=，（步骤1） ∴80208.5250a y bx =-=+⨯=，∴ 20250y x =-+．（步骤2）（2）工厂获得利润2(4)203301000z x y x x =-=-+-. （步骤3）， ∴ 当334x =时，max 361.25z =（元）．（步骤4） 19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点． (1)求三棱锥1A MCC -的体积；(2)当1A M MC +取得最小值时，求证：1B M ⊥平面MAC ．【测量目标】解析几何熟练运用.【考查方式】给出一个几何体通过已知条件求该几何体中所涉及的未知量.【试题解析】（1）由长方体1111ABCD A BC D -知，AD ⊥平面11CDD C ，（步骤1）∴点A 到平面11CDD C 的距离为1AD =，（步骤2）又111121122MCC S CC CD =⨯=⨯⨯=△，（步骤3） ∴111111333MCC A MCC V S AD ∆-=⋅=⨯⨯=三棱锥．（步骤4）（2）将侧面11CDD C 饶1DD 按逆时针旋转90展开，与侧面11ADD A 共面，如图，当1,,A M E 共线时，1A M MC +取得最小值，（步骤5） ∵1AB CD ==，得M 是棱1DD 的中点，连接1C M ，在1C MC △中，112MC MC CC ==，（步骤6）∴22211CC MC MC =+，∴1CM MC ⊥，（步骤7）又由长方体1111ABCD A BC D -知，11B C ⊥平面11CDD C ，CM ⊂平面11CDD C ，（步骤4）∴11B C CM ⊥，（步骤8）∵1111B C MC C = ，∴CM ⊥平面1BC M ，得1CM B M ⊥．同理可证，1B M AM ⊥（步骤9），∵AM CM M = ，∴1B M ⊥平面MAC ．（步骤10）20. （本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①22sin 13cos 17sin13cos17+-②22sin 15cos 15sin15cos15+-③22sin 18cos 12sin18cos12+-④22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论．【测量目标】三角恒等变化及特殊角之间的转换求解问题.【考查方式】给出角的正弦与余弦值计算他们的和与差.【试题解析】（1）选择②：22sin 15cos 15sin15cos15+- 131sin 3024=-= ．（2）三角恒等式为：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---= ，证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+---2211sin sin )sin sin )22αααααα=++-+211sin sin sin )22ααααα=++- 22231sin cos sin 44ααα=+-22333sin cos 444αα=+=． 21.（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB 的边长为E ：22x py =（0p >）上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【测量目标】抛物线的图像及其性质.【考查方式】给出抛物线的解析式求其未知量.【试题解析】（1）∵OAB △为等边三角形，∴直线OB 的方程为tan60y x =⋅= （步骤1），由22y x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得,6)B p ，（步骤2）∵点,A B 关于y轴对称，∴(,6)A p -，∴2⨯=2p =，∴抛物线E 的方程为24x y =．（步骤3）（2）设200(,)4x P x ，∵24x y =，∴12y x '=，（步骤4） ∴过点P 的切线方程为20001()42x y x x x -=-，即200124x y x x =-（步骤5），令1y =-，得20042x x x -=，即2004(,1)2x Q x --．设(0,)M t 满足：0MP MQ ⋅= ,∵00(,)MP x y t =- ，2004(,1)2x MQ t x -=-- ，（步骤6） ∴200004()(1)02x x y t t x -⋅+-⋅--=， ∴22004()(1)04x x t t -+-⋅--=，（步骤7） ∴2204(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立， ∴22010t t t ⎧+-=⎨-=⎩，∴1t =， ∴以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M ．（步骤8）22.（本小题满分14分）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在[0,]2π上的最大值为32π-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．【测量目标】已知三角函数最值问题求其解析式.【考查方式】给出含有未知量的三角函数和其最值求其解析式.【试题解析】（1）33()sin 22f x ax x π-=-…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， sin 2ax x π⇔…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， ()s i n 2g x x x a π⇔=…在[0,]2π上恒成立，且能取到等号， max ()2g x aπ⇔=，（步骤1） ∵()sin cos 0g x x x x '=+>，∴()g x 在[0,]2π上上单调递增， ∴()222g a πππ==，∴1a =，∴3()sin 2f x x x =-．（步骤2）（2）∵3()sin 2f x x x =-，∴()sin cos f x x x x '=+，（步骤3） ①当(0,]2x π∈时，()0f x '>，∴()f x 在(0,]2π上上单调递增， ∵33(0)()0222f f ππ-⋅=-⨯<，∴()y f x =在(0,]2π上有唯一零点， ②当(,)2x π∈π时，令()sin cos g x x x x =+， ∴()2cos sin 0g x x x x '=-<，∴()g x 在(,)2ππ上单调递减，（步骤4） ∵()()102g g π⋅π=-π<，∴在(,)2ππ上存在()0g m =， ∴当(,)2x m π∈时，()()0g x g m >=，即()0f x '>，()f x 在(,)2m π上单调递增，（步骤5）故当[,]2x m π∈时，3()()022f x f ππ-=>…，∴()f x 在(,)2m π上无零点，当(,)x m ∈π时，()()0g x g m <=，即()0f x '<，()f x 在(,)m π上单调递减，又()0f m >，()0f π<，∴()f x 在(,)m π上有且仅有一个零点，综上所述：()f x 在(0,)π内有两个零点．（步骤6）。

2012年高考福建文科数学试卷解析(教师版)

本套试题主要特点是注重基础、贯穿所学的考点，有实际应用问题（数学思想和方法解答实际问题，彰显了数学魅力），又由知识的综合与巧妙的结合（第17题把数列与概率巧妙的结合在一起，在知识交汇处命题，体现了高考命题的原则）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数（2+i ）2等于2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 ⊆∪∩∩N={2}【解析】显然A ，B,C 错，D 正确；【答案】D【考点定位】考查集合包含关系与运算.属基础题. 3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是【答案】D【考点定位】考查数量积的运算和性质，要明确性质.5 已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A314 B 32 C 32 D 43【解析】22353,2,.2a a e +=∴=∴=C 正确.【答案】C【考点定位】本题主要考察双曲线的标准方程、简单的几何性质，把握性质是关键. 7.直线3y 与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于 A. 5 B 23 C.3【解析】22220,02,=22(2 3.13r AB -=∴-=+圆心（），半径弦长B 正确.【答案】B【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系，考查计算求解能力.9.设1,01()00,()0,1,0x x f x x g x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩为有理数，为为无理数,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π 【解析】()0,(())(0)0..g f g f B ππ=∴==正确【答案】B【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域和值域，考查求值计算能力.10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为【解析】3021,21x y y x m +-==∴≤和交点为（），只有才能符合条件.B 正确.【答案】B【考点定位】本题主要考察一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解能力.11.数列{a n }的通项公式cos,2n n a n π=其前n 项和为S n ，则S 2012等于 12、已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。