几类经典排列组合问题

一、小球放盒子问题（分组问题）

（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。

解析：分步乘法计数原理， 每个小球都有六种放法

答案：66

。

（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。

解析：思路一：分步乘法计数原理， 第一个小球有6种放法

第二个小球有5种放法 ……

第六个小球有1种放法 即6*5*4*3*2*1；

思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A 6 6。 答案：720。

（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。 解析：平均分组的问题

因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出2个，为C 2 6； 然后从剩下的4个球中选出2个，为C 2 4； 最后剩下2个球，为C 2 2；

但是：C 2 6取出AB 球、C 2

4取出CD 球、剩EF 球；

C 2 6取出AB 球、C 2

4取出EF 球、剩CD 球；

C 2 6取出C

D 球、C 2

4取出AB 球、剩EF 球；

C 2 6取出C

D 球、C 2

4取出EF 球、剩AB 球；

C 2 6取出EF 球、C 2

4取出AB 球、剩CD 球；

C 2 6取出EF 球、C 2

4取出CD 球、剩AB 球；

得到的结果是一样的，故按照C 2 6C 2 4C 2 2组合完成后还应除去A 3

3，

答案：C 2 6C 2 4C 2 2/A 3

3

（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。 解析：平均分组后再分配的问题

平均分组得到的结果为C 2 6C 2 4C 2 2/A 3

3，分完组后三堆小球还要放到不同的盒 子里，即再进行一个A 3 3的排列

答案：C 2 6C 2 4C 2

2

（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。 解析：非平均分组的问题

因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆， 首先从6个球中选出1个，为C 1 6； 然后从剩下的5个球中选出2个，为C 2 5； 最后剩下3个球，为C 3 3；

注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，

因此C 1 6C 2 5C 3 3即为最后结果，不需要再除以A 3

3

答案：C 1 6C 2 5C 3

3

（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。 解析：非平均分组再分配的问题

非平均分组得到的结果为C 1 6C 2 5C 3 3/A 3

3，分完组后三堆小球还要放到不同的 盒子里，即再进行一个A 3 3的排列

答案：C 1 6C 2 5C 3 3A 3

3

（7）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个相同的盒子里。 解析：部分平均分组的问题

分成的四堆中，有三堆数量一样，设想6个小球编号为ABCDEF ， 首先从6个球中选出3个，为C 3 6； 然后从剩下的3个球中选出1个，为C 1 3； 再从剩下的2个球中选出1个，为C 1 2； 最后剩下1个球，为C 1 1；

但是：C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出D 球、C 1

2取出E 球、剩F 球；

C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出

D 球、C 1

2取出F 球、剩E 球；

C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出E 球、C 1

2取出D 球、剩F 球；

C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出E 球、C 1

2取出F 球、剩D 球；

C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出F 球、C 1

2取出D 球、剩E 球；

C 3 6取出ABC 球、C 1 3取出F 球、C 1

2取出E 球、剩D 球；

得到的结果是一样的，故按照C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1组合完成后还应除去A 3

3，

答案：C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3

3

（8）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个不同的盒子里。 解析：部分平均分组再分配的问题

部分平均分组得到的结果为C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3

3，分完组后四堆小球还要放到不 同的盒子里，即再进行一个A 4 4的排列

答案：(C 3 6C 1 3C 1 2C 1 1/A 3 3)A 4

4

（9）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个相同的盒子里。 解析：部分平均分组再分配的问题

答案：C 2 6C 2 4C 1 2/（A 2 2A 2

2）

（10）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个不同的盒子里。 解析：部分平均分组再分配的问题

答案：[C 2 6C 2 4C 1 2/（A 2 2A 2 2）]A 4

4

（11）6个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，5个盒 子6个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放2个，其他盒子 放一个；即小球按照2、1、1、1、1的数量，分别放到5个不同的盒子中。

答案：（C 2 6C 1 4C 1 3C 1 2C 1 1/A 4 4）A 6

6

（12）6个不同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：

?1 1 4，部分平均分组再分配的问题：（C1

6C1

5

C4

4

/A2

2

)A3

3

?1 2 3，非平均分组再分配的问题的问题：C1

6C2

5

C3

3

A3

3

?2 2 2，完全平均分组再分配的问题：C2

6C2

4

C2

2

答案：（C1

6C1

5

C4

4

/A2

2

)A3

3

+C1

6

C2

5

C3

3

A3

3

+C2

6

C2

4

C2

2

（13）6个相同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：思路一：首先应该确定小球个数的分配方案，再分类讨论：

?1 1 4，小球相同小盒不同，只需选出一个盒子装4个小球：C1

3 ?1 2 3，3堆不同数量的小球，排序后往3个不同的盒子里装：A3

3 ?2 2 2，每个盒子装2个小球，只有一种方案：1

思路二：隔板法

__ __ __ __ __

相当于在6个小球之间放

2个板儿

第一个板儿左侧的球放第一个盒子里

两个板儿中间的球放第二个盒子里

第二个板儿右侧的球放第三个盒子里

答案：C

1

3

+A3

3

+1

（14）6个不同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：分类讨论分组的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：

?1 1 4，部分平均分组的问题：C1

6

C1

5

C4

4

/A2

2

?1 2 3，非平均分组的问题：C1

6

C2

5

C3

3

?2 2 2，平均分组的问题：C2

6

C2

4

C2

2

/A3

3

答案：C1

6

C1

5

C4

4

/A2

2

+C1

6

C2

5

C3

3

+C2

6

C2

4

C2

2

/A3

3

（15）6个相同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。

解析：首先应该确定小球个数的分配方案：

?1 1 4 ?1 2 3 ?2 2 2

因为盒子没有区别，随便放，则小球的分配方案就是最后的方案答案：3

二、排列的捆绑法

（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人必须相邻；

解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与另外三个人进行排列A4

4

，然后对甲乙

丙松绑A3

3

。

答案：A4

4

A3

3

（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求3个人必须相邻；

解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与三个空位进行排列A1

4

，然后对甲乙丙松绑A3 。