立体图形染色
人教版六年级数学讲义-4染色和表面积
染色和表面积学生姓名年级学科授课教师日期时段教学核心三视图求表面积、染色问题课型培训辅导/课堂讲解教学目标1、进一步认识立体图形的特征2、利用三视图掌握求不规则立体图形的表面积3、利用长方体与正方体的特征.解决实际生活问题4、增强小升初考试的应试能力重点难点教学重点1、2教学难点3、4课前引导1、询问上次课学习内容2、检查上次作业知识导图课前检测1.小红从三个不同的角度观察这个立体图形.从正面看到是（）.从左面看到的是（）.从上面看到的是（）.2.小明从不同方向观察一个物体.看到的情况如下：下面的图形中.满足小明所观察到的图形是（）.导学一：三视图求表面积重点讲解 1三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形.我们可以利用三视图求由小正方体拼成的不规则立体图形的表面积.也可以根据三视图还原立体图形.例 1. 16个边长为1厘米的小正方体堆成如图的形状.求它的表面积.例 2. 有一个棱长是4厘米的正方体.从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后.得到的物体的表面积是多少平方厘米？课堂练习1.用棱长为1厘米的小正方体拼成下图（1）和（2）的形状.请分别求出它们的表面积.2.下图是由17个棱长2厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.3.有一个棱长是5厘米的正方体.从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后.粘在另一个面上（如图）.那么得到的物体的表面积是多少平方厘米？4.一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体.被切去一块后（如图）.剩下部分的表面积是多少平方厘米？导学二：染色问题重点讲解 1在长方体和正方体的问题中.有些问题是对表面涂色.再根据已知条件进行计算.解决这类问题时.要抓住“顶点”、“棱”、“面”的不同情况.结合图形进行分类计算.且要谨记：一个正方体（或长方体）有8个顶点、6个面、 12条棱.例 1. 下图是由16个相同的正方体拼成的.在它的外面全部涂成红色后分开.4个面涂有红色的小正方体有（）个.3个面涂有红色的小正方体有（）个.2个面涂有红色的小正方体有（）个.课堂练习1.有25个相同的白色小方块堆成了如图所示形状.将它的外面全部涂成红色后分开.4个面涂有红色的小正方体有（）个.3个面涂有红色的小正方体有（）个.2个面涂有红色的小正方体有（）个.2.给下图的每个小正方体涂上红色再分开.每个小正方体涂色的面数是怎样的？请你在图中标记出来.导学三：拓展练习重点讲解 1：对一个正方体的表面涂色.再分成棱长是1的小正方体.有如下结论（表中为对应的小正方体的个数）：例 1. 把一个棱长为3厘米的正方体每个面都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中. 其中三个面涂有颜色的有多少个？两个面涂有颜色的有多少个？只有一个面涂有颜色的有多少个？各个面都没有涂颜色的有多少个？课堂练习1.把一个棱长为4厘米的正方体的每个面上都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.①三个面涂有颜色的有多少个？②两个面涂有颜色的有多少个？③只有一个面涂有颜色的有多少个？④各个面都没有涂颜色的有多少个？2.把一个棱长是整厘米数的正方体的表面涂颜色后再分割成体积为1立方厘米的小正方体.其中有27个小正方体的表面没有涂颜色.那么有一个面涂有颜色的小正方体有多少个？限时考场模拟1.下图是由10个棱长为1分米的小正方体构成的图形.求它的表面积.2.下图是由34个棱长1厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.3.如图是一个由8个小正方体拼成的图形.在它的四周都涂上颜色.那么四个面涂有颜色的小正方体有（）个.两个面涂有颜色的小正方体有（）个.4.把一个棱长为2厘米的正方体每个面上都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中.其中三个面涂有颜色的有（）个.课后作业1.下图是由28个棱长1厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.2.下图是一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体.从它的一个角切下一个棱长是2厘米的小正方体.剩下图形的表面积是多少？3.有5个相同的白色小方块堆成了如图所示形状.将它的外面全部涂成红色后分开.问：5个小方块各有几个面是红色的？4.如图是一个由12个小正方体拼成的图形.在它的四周都涂上颜色.那么四个面涂有颜色的小正方体有（）个.两个面涂有颜色的小正方体有（）个.1.完成本堂课的课后作业.2.标注理解不深刻的例题回去复习.将错题誊写到错题集上.课前检测1.C、A、B2.A导学一重点讲解 1例题1.48平方厘米解析:前（后）：1＋1＋2＋3＝7（个）上（下）：3×3＝9（个）左（右）：1＋2＋2＋3＝8（个）表面积：（7×2＋8×2＋9×2）×（1×1）＝48（平方厘米）2.96平方厘米解析:4×4×6＝96（平方厘米）课堂练习1.28平方厘米.26平方厘米解析:①（6×2＋4×2＋4×2）×（1×1）＝28（平方厘米）②（4×2＋6×2＋3×2）×（1×1）＝26（平方厘米）2.216平方厘米解析:（9×2＋9×2＋9×2）×（2×2）＝216（平方厘米）3.154平方厘米解析:5×5×6＋1×1×4＝154（平方厘米）4.48平方厘米解析:（5×1＋5×3＋1×3）×2＋1×1×2＝48（平方厘米）导学二重点讲解 1例题1.4、8、4解析:四个角落的是涂色4面.正方形中央的4个是图有2面的.棱的中间是图有3面的课堂练习1.4、12、92.4、4、4、3、4、5解析:导学三重点讲解 1：例题1.8、12、6、1解析:三个面涂有颜色的小正方体有8个.两个面涂有颜色的小正方体有（3－2）×12＝12（个）.只有一个面涂有颜色的小正方体有（3－2）×（3－2）×6＝6（个）.各个面都没有涂颜色的小正方体有（3－2）×（3－2）×（3－2）＝1（个）课堂练习1.8、24、24、8解析: ①8个.②（4－2）×12＝24（个）.③（4－2）×（4－2）×6＝24（个）.④（4－2）×（4－2）×（4－2）＝8（个）2.54解析:27＝3×3×3.3＋2＝5（个）.（5－2）×（5－2）×6＝54（个）限时考场模拟1.34平方分米解析:（7×2＋5×2＋5×2）×（1×1）＝34（平方分米）2.66平方厘米解析:（3×4＋3×3＋4×3）×2＝66（平方厘米）3.5个.1个4.8课后作业1.66平方厘米解析:（3×4＋3×3＋4×3）×2＝66（平方厘米）2.376平方厘米解析:（10×8＋10×6＋8×6）×2＝376（平方厘米）3.5、5、2、5、5 解析:4.4个.2个。
小学奥数题目-六年级-计数类-立方体染色
通常，在一个大的立方体表面进行染色，染色之后再进行切割，将大立方体切割成许多小的立方体，这样得到的小立方体中，染色的情况会有许多种，一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面，两面，三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色，如果沿着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？1. 1.长宽高分别为3，4，5的长方体，将其表面涂上红色，然后将其切成60个边长为1的小立方体，这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少？2. 2.长宽高分别为6，8，12的长方体，将其表面涂上红色，然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次，沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次，沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次，将其分成若干个小长方体，这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少？3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色，如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？例2、有30个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？1. 1.如下图，由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式，现在把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？2. 2.有55个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？3. 3.如下图，由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？视频描述例3、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块？两面涂有油漆的有多少块？1. 1.一个长方体木块，长10分米，宽6分米，高8分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
高中立体图形染色问题教案
高中立体图形染色问题教案
教学目标
- 让学生掌握立体图形的基本性质和相关公式。
- 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
- 教会学生如何通过染色方法解决立体图形的问题。
教学内容与过程
引入阶段
教师可以展示一些常见的立体图形模型，如立方体、长方体、球体等，并引导学生观察它们的特点。
提出染色问题：如果我们要对这些立体图形进行染色，最少需要多少种颜色才能确保相邻面不重色？
探索阶段
将学生分组，让每组选择一个立体图形，使用彩纸或者绘画工具来进行染色尝试。
在此过程中，教师需巡视指导，鼓励学生发现规律，比如立方体的六个面染两种颜色即可满足条件。
讨论阶段
各小组分享他们的染色方案，并解释其背后的逻辑。
教师点评各种方案的优劣，并总结出染色问题的一般性原则，即“欧拉公式”在立体图形中的应用。
应用阶段
给学生提供更复杂的立体组合图形，如多面体的组合，要求他们运用所学知识进行染色。
这一步骤旨在巩固学生的理解和应用能力。
总结阶段
教师应总结立体图形染色问题的关键点，包括：
- 立体图形的性质和面的相邻关系。
- 染色问题的解题策略和欧拉公式的应用。
- 逻辑推理在解决问题中的重要性。
课后作业与反思
布置相关的习题，让学生在家中继续练习，加深对立体图形染色问题的理解。
同时，教师应根据学生的反馈和作业表现，反思教学方法和内容，以便不断优化教学效果。
第3讲.切片与染色.B版
64 个同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成一个 4×4×4 的大正方体，大 正方体表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最小是多少? 【分析】中心 8 个都用白色，在面上但不在边上的小正方体 24 个，也都用白色，还有 2 个白色放在棱上，
所以白色小正方形有 24+4=28 个，黑色小正方形有 96-28=68 个，那么面积之比最小为 28:68=7:17.
综合数论模块
将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方体；在这些小
正方体中，6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红色的有 28 块，仅有一个面涂红色的有
3
+
切片与染色
预习
本讲内容
切片法解决立体图形体积 标数法解决立体图形表面积 立体图形的染色计数问题
前铺知识
长方体与正方体——五年级寒假第 1 讲(第 10 级上) 立体图形和空间想象——五年级春季第 12 讲(第 10 级下)
后续知识
圆柱与圆锥——六年级秋季第 2 讲(第 11 级下) 旋转与轨迹——六年级秋季第 6 讲(第 11 级下)
3 第 3 讲 切片与染色（优秀 B 版 教师版）
4
故体积为 21 9 21 9 21 81 . 求例 1 中各个立体图形的表面积：
(1)
(2)
(3)
【分析】(1)标数法解决表面积：先把立体图形的正视图画好，然后考虑从每一个小方格的中心“穿进去” 时，将会“穿过”多少面“墙”，注意这里仅计算从正面这个方向看见(穿过)的面.这样就可以求 出正方体前面的面积(如下图).其余 5 个方向的小方格亦可用同样的方法被计算，故这个方法可以 求出立体图形的表面积；
第五讲 立体图形染色问题
第五讲立体图形染色问题
姓名成绩
【例1】一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
【例2】一个长方体长9cm，宽4cm，高8 cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
〖练习1〗一个正方体，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，期中一面涂色的有216个小正方体，这个正方体的体积是多少？
〖练习2〗一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________。
综合试题
1、某学生语文和数学平均分为90分，语文和英语的平均分为94分，英语和数学平均分为91分。
这位学生语文考（）分，数学考（）分。
2、甲仓库有大米95.8吨，乙仓库有大米54.5吨。
要从甲仓库中运（）吨到乙仓库后，乙仓库中的大米吨数是甲仓库中的2倍。
3、有一组数据如下图排列：
一二三四五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
······如此规律，1991排在第（）列。
4、一个长方体，如果长减少2厘米，宽、高不变，它的体积减少48立方厘米，如果宽增加3厘米，长、高都不变，它的体积增加99立方厘米，如果高增加4厘米，长、宽都不变，它的体积增加352立方厘米，求原长方体的表面积是多少平方厘米？。
二年级下册数学思维拓展：第一讲 染色问题
小朋友，学过的知识可以用思维导图表示出来哦。
试着自己画一画吧！下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上橙色，想一想，有多少个小正方形没有被涂色？用小正方体拼成了一个如下图的模型，然后把它粘在地上喷上蓝色油漆。
这堆正方体中共有多少个小正方形没有被喷上颜色？（1）艾迪把一个大长方体表面都涂上了黄色，然后切成了4个长方体，这些长方体中有多少个面没有被涂上颜色？（2）薇儿把刚才艾迪涂好色并切割好的长方体又切了三刀，变成下图的样子，请问现在有多少个面没有被上颜色？武西看到了薇儿切割好的长方体，开心地说：“这些小长方体中，有的1面被涂上黄色了，有的2面被涂上黄色了，有的3面被涂上黄色了，还有的4面被涂上黄色了！真神奇呀！”薇儿说：“你说的不对哦。
”小朋友们，武西哪里说错了？请你帮他数一数吧。
加加把下面的立体图形粘在地上喷上绿色油漆，并切成了如图所示的样子。
请你数一数，0面、1面、2面、3面、4面被涂色的小正方体块各有多少个。
一个大正方体的表面都涂上橙色，然后切成64个小正方体。
在这些切成的小正方体中，0面、1面、2面、3面、4面被涂色的小正方体块各有多少个？减减搬来了27块小正方体，请加加帮忙喷油漆。
加加把这27块小正方体摆成了一个新的立体图形，并在外边喷上了一层油漆。
减减把这27个小正方体块一一拿开，发现有8个小正方体3面喷上了油漆，12个小正方体2面喷上了油漆，6个小正方体1面喷上了油漆，1个小正方体6个面都没有喷上油漆。
请问加加把这27个小正方体摆成了什么样的立体图形呢？乘乘用正方体小砖块垒成了下面的形状，粘到地上后从里到外喷上了橙色的油漆，中间是空心的。
请你数一数，0面、1面、2面、3面、被涂色的小正方体块各有多少个。
小航老师给下面的立体图形从里到外喷上了绿色的油漆，然后把它放到了桌子上。
仔细观察，下图中有多少个小正方形没有被染色？（中间是空心的）你能用不同的方法算一算吗？如图，这是一个用小正方体粘成的模型。
棋盘染色法的分类与应用
棋盘染色法的分类与应用华师大二附中王崇熙指导教师施洪亮摘要组合数学是数学应用中非常重要的一门分支，染色法是其中非常重要的一种方法，随着染色法的发明，一大系列难解的组合问题都得到了非常简便地解决，本研究着重将过去比较模糊的染色法的概念做了一个系统的分类，创造了一种可行的发现新的染色方案的比较系统的思想，并将普遍的二维染色法做了一个推广，解决了一个三维中的组合问题。
研究得出的主要结论为：1、二维染色法的分类：（1）双色染色法（国际象棋盘染色法）；（2）多色规则染色法（高度对称）；（3）不规则染色法（根据问题灵活转变）；2、三维染色法的初步结论：三维染色法基于二维的一些情况进行推广，解决了一个较为困难的三维覆盖问题。
关键词：染色法；博弈问题；覆盖问题；分类；推广一、引言：组合数学是一门研究离散的量的变化规律的学科。
组合数学的方法千变万化，没有一种适用于所有问题。
这些方法有一些共同点：1、所有的方法追求的是简单与清晰。
2、所有的方法都较难想到，而说破了却又很简单，解决问题后经常有一种恍然大悟的感觉。
作为一名数学爱好者，很多人喜欢解组合数学的问题，其中染色法是颇受欣赏的方法。
但是在中学或大学数学教与学的过程中缺乏对染色法的系统研究，这使得人们很难学习与掌握该方法。
做题时并不能真正的掌握问题的本质，在下一次遇到可能用染色法解决的问题时并不能很好地找到正确的解决方法。
我们不妨来看一下过去使用染色法解决问题的过程，一道问题的解答一半多以这样开头：“这道问题我们用染色法来解决，把点A涂上红色……，如图，分析一下各类不变量，我们得到……”。
在做了大量的练习之后，笔者初步掌握了棋盘染色方法，对该染色法进行了分类，并研究了该染色法在解决组合问题中的具体应用。
二、棋盘染色法的分类:棋盘染色法是一类借助国际象棋棋盘通过染色解决组合问题的解踢方法的简称。
经过对染色法问题的系统研究，分析每种方法的解题特点，经过归纳整理，可将棋盘染色法大致分为以下几类：1、双色相邻染色法（国际象棋棋盘染色法）这个染色法的基本构图（如右图），正如它的名字所言，是分析问题的奇偶本质。
小学奥数 长方体正方体染色问题、三视图 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。
（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。
公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。
正方体染色切拼问题
染色方案与计数
总结词
染色方案与计数主要研究的是如何通过计算得出正方体染色的方案数量，以及如何通过 染色方案得出正方体的数量。
详细描述
在染色方案与计数问题中，主要考虑的是如何通过计算得出正方体染色的方案数量，以 及如何通过染色方案得出正方体的数量。这个问题可以通过数学模型和组合数学的方法 进行解决，主要涉及到组合数学中的排列组合和计数原理。同时，还需要考虑到正方体
结构分析
在建筑结构分析中，正方体染色切拼问题可以用于研究结构的稳定性、承载能力和抗震性能等。通过 将复杂的结构体系简化为正方体模型，可以更方便地进行数值模拟和计算，提高分析的效率和准确性 。
数学教育中的应用
几何教学
正方体染色切拼问题可以作为几何教学的一种有效手段，帮助学生更好地理解几何概念和性质。通过实际操作和 观察染色切拼的过程，学生可以更直观地认识几何图形的性质和变化规律，提高空间想象能力和几何思维能力。
将切拼问题的解决方案应用于实际生 活中，如建筑设计、工艺品制作等领 域。
计算机模拟
利用计算机模拟技术，对切拼过程进 行模拟，以验证解决方案的可行性和 正确性。
04 正方体染色中的应用
建筑设计
正方体染色切拼问题在建筑设计中有着广泛的应用，如建筑立面、室内装饰和景观设计等。通过运用 染色切拼的方法，可以创造出独特、富有创意的视觉效果，增强建筑的立体感和层次感。
VS
动画制作
在动画制作中，正方体染色切拼问题可以 用于制作更加生动和有趣的动画效果。通 过对正方体进行动态的染色和切拼，可以 创造出各种动态的视觉效果，增强动画的 表现力和观赏性。
05 结论与展望
CHAPTER
研究结论
正方体染色切拼问题是一个经典的几何问题，通过研究正方体的染色和切拼，可以深入了解 几何图形的性质和变换。
小学数学精讲(9)几何(三) 立体图形
小学数学精讲(9)几何（三） 立体图形一、知识地图⎧⇒⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⇒⎩⎪⎪⇒⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩3“一个思想”不规则化为规则阳光照面求图形体积表面积“三个方法”看变化规律整体切片“一个模式”整体思考最短路线与展开图形状以点定线，以线定面n 边小正方形染色规律染色问题欧拉公式 二、基础知识万丈高楼平地起。
我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。
在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：立体图形 表面积体积26S a =正方体 3V a =正方体2S ab bc ac =++长方体（） V abc =长方体2222S rh r ππ=+=+圆柱侧面积个底面积 2V r h π=圆柱22S l r ππ=++圆锥n侧面积底面积=360 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。
213V r h π=圆锥体24S r π=球体343V r π=球体特别的：关于球体还有这样一个结论：如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二； 球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。
这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。
二、求立体图形的表面积和体积规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。
不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。
这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：、 方法一：阳光照面阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。
方法二：与时俱进图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。
《正方体染色切拼问题》课件
02
01
正方体的所有面都是相等的
正方形。
03
正方体的所有棱长都相等。
04
05
正方体的所有顶点都在同一 个平面上。
正方体的几何结构
总结词：正方体的几何 结构
01
正方体有8个顶点，每 个顶点都是三条棱的交
点。
03
正方体的体对角线是三 个顶点的连线，且长度
等于棱长的√3倍。
05
正方体有12条棱，这些 棱连接着相对的顶点。
可分为单一目标和多目标两类。单一目标是指通过切拼得到一个新的 几何体，多目标是指同时满足多个条件或达到多个目标。
06
正方体切拼问题的解决方法
切拼问题的解析解法
解析解法定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过数学公式和逻辑推理 ，将问题转化为可计算的 形式，从而得到精确解的 方法。
应用场景
适用于规则简单、约束条 件明确的问题，可以快速 得到答案。
几何变换
研究几何体的变换，如旋 转、平移、对称等，以及 这些变换对几何体的影响 。
组合数学
研究组合问题的方法和技 巧，如排列、组合、概率 等。
切拼问题的分类
按切割方式分类
可分为直线切割和曲线切割两类。
按拼接方式分类
可分为平面拼接和立体拼接两类。
按染色方式分类
可分为单色染色和多色染色两类。
按目标分类
染色问题的定义
染色问题
在几何形状的表面进行染色，使 得相邻的面或区域有不同的颜色 ，且相邻的面或区域的颜色不同 。
正方体染色问题
在正方体的表面进行染色，使得 相邻的面或区域有不同的颜色。
染色问题的数学模型
数学模型
通过建立数学模型，将染色问题转化为数学问题，以便进行求解和分析。
专题08《立体图形的染色问题》(解析)
2022-2023学年专题卷小升初数学几何问题精选真题汇编强化训练（提高）专题08立体图形的染色问题考试时间：100分钟；试卷满分：100分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•威县期末）在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（）种不同的涂法．A．2B．3C．4【思路点拨】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．【规范解答】解：画图如下：答：在图形中再给1个格子涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有4种不同的涂法．故选：C。
【考点评析】此题主要考查了学生对轴对称意义的灵活运用，解题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得出不同图案．2．（2分）（2022秋•兴化市期中）如图，从一个体积是30立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后在表面涂上红漆，三面都涂色的小正方体有（）个。
A．8B．9C．10D．11【思路点拨】因为5×2×3＝30，根据立体图形的知识可知：三个面均涂色的是各顶点处的小正方体加上挖掉那块左、右和后面相邻的3个；根据上面的结论，即可求得答案。
【规范解答】解：长方体三面都涂色的小正方体，在8个顶点处，加上挖掉那块左、右和后面相邻的3个。
8+3＝11（个）答：三面都涂色的小正方体有11个。
故选：D。
【考点评析】此题考查了立方体的涂色问题；注意长方体表面涂色的特点及应用。
3．（2分）（2022秋•洪湖市期末）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相等，需要有（）个面涂红色。
A．2B．3C．4【思路点拨】一个正方体有6个相同的面积，这6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色面朝上的可能性最大，蓝色面和黄色面朝上的可能性相同，涂红色的面数最多，涂蓝色、黄色的面数相同。
6个面只能4份涂红色，蓝色、黄色各涂1份。
小学五年级竞赛 第十二讲 染色问题
第十二讲染色问题一、课前热身：1、如果用红、黄、绿三种颜色给下列两幅图涂色，共有几种不同的涂色方法。
（要求：相邻的部分不能涂相同的颜色）2、图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有多少种不同的涂色方法？二、典例精析：3、如图，用红、黄、蓝、绿四种颜色给小方块涂色（每个小方块涂一种颜色），且每种颜色都要用上，共有多少种涂法？4、小明想要对图中的每个小三角形进行染色，要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色。
图中给出了某些边的颜色，则AB边应该染色。
5、用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有种方法。
6、在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法．例如图2和图3是相同类型的涂法。
回答最多有多少种不同类型的涂法？7、如图，在5×5的方格表中，涂黑若干个小方格，使得在任意3×3的正方形内恰好有4个黑格。
请画出黑格最多和最少的涂法，并说明理由。
8、有一个正方体木块，外表全部涂上红色后将它切成27个小正方体（如图），切好后：涂有1面红色的小正方体有块；涂有2面红色的小正方体有块；涂有3面红色的小正方体有块。
9、如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块。
10、把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？三、竞赛真题：11、（2010•华罗庚金杯）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有种不同的着色方法。
《长方体的染色问题》PPT课件
目的是努力使弱点趋于最
小，使机会趋于最大
O
T ST对策
最小与最大对策，即着重 苦乐
考虑优势因素和威胁因素， 参半
大
小
目的是努力使优势因素趋 于最大，是威胁因素趋于
最小。
SO对策
最大与最大对策，即着重 理想 考虑优势因素和机会因素， 目的在于努力使这两种因 素都趋于最大。
解威胁因素；考虑过去，立足当前，着眼未来。运用系统分析的综合分析方
法，将排列与考虑的各种环境因素相互匹配起来加以组合，得出一系最小与最小对策，即考虑 悲观
弱点因素和威胁因素，目
的是努力使这些因素都趋
大
小
于最小。
WO对策 最小与最大对策，即着重 苦乐
S
W
考虑弱点因素和机会因素， 参半
➢市场分析人员经常使用这一工具来扫描、分析整个行业和市场，获取相关 的市场资讯，为高层提供决策依据，其中，S、W是内部因素，O、T是外部 因素。
➢它在制定公司发展战略和进行竞争对手分析中也经常被使用。 SWOT的 分析技巧类似于波士顿咨询（BCG）公司的增长/份额矩阵（The Growth/Share Matrix），
已知一个正方体木块能分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块又知在这个大的正方体木块的5个面上涂上红色后把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块中有两面涂上红色的共108块
《长方体的染色问题》
【Applicable to lecture training work report】
Special lecture notes
构造SWOT矩阵
在构造SWOT过程中，将那些对公司发展有直接的、重要的、大量的、迫切的、 久远的影响因素优先排列出来，而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、 短暂的影响因素排列在后面。
五年级 第11讲 长、正方体的染色 例题 教师版
北京大学附属小学 2014年5月27日 【知识导航】一个长方体或正方体的的表面染色，然后切成若干个小正方体。
三面图色的立方体都在原来立体图形的顶点处；两个面涂色的都在原来立体图形的棱上，一个面涂色的都在原来立体图形的面上, 中间的心是无色的。
【典型例题】 【例1】将一个7×7×7的正方体表面涂上红色，再将切割成343个1×1×1的小正方体，其中恰有一面涂色的小正方体有多少个？两面、三面和没有被涂色的呢？ 【分析】三面涂色在顶点处。
两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，无色在里面。
【答案】（150,60,8,125）【例2】一个 3×3×3的正方体，如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。
问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n 3块小正方体构成的n ×n ×n 正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n －2）块，一面涂有红色的有6×（n －2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n ＝6．6×6×6=216。
【例3】如图，将边长为3的正方体的一个面、边长为5的正方体的一个面和边长为7的正方体一个面粘合在一起，使得较小的面恰好位于较大的面的一角。
将新得到的立体图形的表面涂成红色，然后把它沿刚才的粘合面切开得到三个正方体，接着将这三个正方体都切成边长为1的小正方体，那么在全部3×3×3+5×5×5+7×7×7=495个小正方体中，恰好有两个面涂成红色的有多少个？（没有染色、一面染色、三面染色的各多少个呢？）【答案】（183，208，90，14）【例4】有一个n ×n ×n 的大正方体，将它的六个面中的一些面涂上红色，再将它全部切割成1×1×1的小正方体，结果发现至少一面被涂上红色的小正方体有281块，问：这之中恰好只有一面涂色的小正方体共有多少块？【答案】（240）【例5】一个长方体木块表面涂满了红漆，把它切成棱长全为1厘米的小正方体后，各个面都没有漆的只有11块。
小学奥数题目-五年级-计数类-立方体染色
通常，在一个大的立方体表面进行染色，染色之后再进行切割，将大立方体切割成许多小的立方体，这样得到的小立方体中，染色的情况会有许多种，一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面，两面，三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色，如果沿着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？1. 1.长宽高分别为3，4，5的长方体，将其表面涂上红色，然后将其切成60个边长为1的小立方体，这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少？2. 2.长宽高分别为6，8，12的长方体，将其表面涂上红色，然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次，沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次，沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次，将其分成若干个小长方体，这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少？3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色，如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？视频描述例2、有30个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？1. 1.如下图，由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式，现在把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？2. 2.有55个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？3. 3.如下图，由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？视频描述例3、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块？两面涂有油漆的有多少块？1. 1.一个长方体木块，长10分米，宽6分米，高8分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
六年级数学第二章 切片与染色 教案
第二章切片与染色（讲义）知识点睛1.切片法切片法常常用来解决被挖孔的立体图形体积问题。
其思想是有序思考，由上到下，化整为零，化立体为平面。
方法是把每层的小立体方块相加即为总体积。
2.标数法标数法是把三视图乘2加凹槽的思想方法升级转化，数出通过此方向穿过（看见）多少个面，在三视图上的各个小格中记录标数，再相加乘2即为表面积。
对于三视图对称的图形，标出一个面求和乘6即可。
精讲精练【板块一】体积切片表面积标数经典例题1下列立体图形都是由一些棱长为1的小立方体粘合而成的，求它们的体积：（1）一个3×3×3的立方体，所有面的中心正方形被打通，如图：（2）一个5×5×5的立方体，所有面的中心正方形被打通，如图：（3）一个5×5×5的立方体，所有的面有4个小正方形被打通，如图：经典例题2下列立体图形都是由一些棱长为1的小立方体粘合而成的，求以下各个图形的表面积：练一练有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“T字型”的孔（如图所示），这个立体图形的体积和表面积分别是多少？【板块二】立体图形染色经典例题4（1）一个1×1×6的长方体，将其表面涂成红色，并切成6个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中五面、四面被涂成红色的小正方体各有多少块？（2）一个1×5×6的长方体，将其表面涂成红色，并切成30个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中四面、三面、两面被涂成红色的小正方体各有多少块？（3）一个4×5×6的长方体，将其表面涂成红色，并切成120个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？练一练（1）一个5×5×5正方体，如果将其表面涂成红色，并切成125个大小相同的小正方体，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？（2）一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n刀后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________。
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题12-染色问题
专题12-染色问题小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）×60面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
【典例一】已知一个大正方体木块能分割成若干个棱长是1cm的小正方体木块，在这个大正方体木块的6个面上涂红色，在分割成的若干个棱长是1cm的小正方体大木块中，两面涂红色的共有108块，那么只有一面涂红色的有几块？【分析】根据两面涂色的小正方体的个数=正方体的棱长数⨯（棱长2)-，可得大正方体的棱长；接下来再根据一2)-即可得到答案。
面涂色的小正方体的个数=正方体的面数⨯（棱长2【解答】解：大正方体的棱长为：10812211()÷+=cm26(112)486⨯-=（块)答：只有一面涂红色的有486块。
【点评】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数=正方体的棱长数⨯（棱长2)-，求出大正方体的棱长。
【典例二】图中的立体由26个小正立方体组成，外露的部分（包括底部）漆上油漆后再拆散，问有多少个小正立方体有三面漆了油漆？【分析】小正立方体有三面漆了油漆的在大立方体的顶点处，由于大正方体在涂油漆前少了一个角，从而空出一个小正方体，却导致增加了两个小正方体倍涂色三个面；据此得解．【解答】解：三面漆了油漆的在大立方体的顶点处，由于大正方体在涂油漆前少了一个角，从而空出一个小正方体，却导致增加了两个小正方体倍涂色三个面；-+=（个)81310答：有10个小正立方体有三面漆了油漆．【点评】本题考查了学生观察的能力以及找规律的能力，关键是换角度思考，先数出涂色的面数．【典例三】给图中的各点（小圆圈）涂上颜色，相连接的两个点的颜色要不相同，最少要用几种颜色？【分析】图中有5个正方形，每个正方形只要保证每条对角线上的两的点同色，另一条与它不同色即可，这样只需要两种颜色，据此解答．【解答】解：根据分析画图如下：答：最少要用两种颜色．【点评】本题实际是著名的四色问题，四色问题是1852年英国数学家费南希斯 格里斯提出的，结论是：“不论多么复杂的地图，只要用不多于四种颜色就可以解决着色问题．”一．选择题（共8小题）1．一个棱长是3厘米的正方体，表面全部涂上红油漆，然后切成棱长是1厘米的小正方体，有3面是红色的小正方体有()个。
棋盘染色法的分类与应用
棋盘染色法的分类与应用华师大二附中王崇熙指导教师施洪亮摘要组合数学是数学应用中非常重要的一门分支，染色法是其中非常重要的一种方法，随着染色法的发明，一大系列难解的组合问题都得到了非常简便地解决，本研究着重将过去比较模糊的染色法的概念做了一个系统的分类，创造了一种可行的发现新的染色方案的比较系统的思想，并将普遍的二维染色法做了一个推广，解决了一个三维中的组合问题。
研究得出的主要结论为：1、二维染色法的分类：（1）双色染色法（国际象棋盘染色法）；（2）多色规则染色法（高度对称）；（3）不规则染色法（根据问题灵活转变）；2、三维染色法的初步结论：三维染色法基于二维的一些情况进行推广，解决了一个较为困难的三维覆盖问题。
关键词：染色法；博弈问题；覆盖问题；分类；推广一、引言：组合数学是一门研究离散的量的变化规律的学科。
组合数学的方法千变万化，没有一种适用于所有问题。
这些方法有一些共同点：1、所有的方法追求的是简单与清晰。
2、所有的方法都较难想到，而说破了却又很简单，解决问题后经常有一种恍然大悟的感觉。
作为一名数学爱好者，很多人喜欢解组合数学的问题，其中染色法是颇受欣赏的方法。
但是在中学或大学数学教与学的过程中缺乏对染色法的系统研究，这使得人们很难学习与掌握该方法。
做题时并不能真正的掌握问题的本质，在下一次遇到可能用染色法解决的问题时并不能很好地找到正确的解决方法。
我们不妨来看一下过去使用染色法解决问题的过程，一道问题的解答一半多以这样开头：“这道问题我们用染色法来解决，把点A涂上红色……，如图，分析一下各类不变量，我们得到……”。
在做了大量的练习之后，笔者初步掌握了棋盘染色方法，对该染色法进行了分类，并研究了该染色法在解决组合问题中的具体应用。
二、棋盘染色法的分类:棋盘染色法是一类借助国际象棋棋盘通过染色解决组合问题的解踢方法的简称。
经过对染色法问题的系统研究，分析每种方法的解题特点，经过归纳整理，可将棋盘染色法大致分为以下几类：1、双色相邻染色法（国际象棋棋盘染色法）这个染色法的基本构图（如右图），正如它的名字所言，是分析问题的奇偶本质。
第3讲.切片与染色.A版
【答案】由三视图及凹槽可知表面积为(7+5+7+2)×2＝42 2. 小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体图形(如图最右).从上体上面看这个堆积体， 看到的图形是图 1～3 中的 .(填序号)
1
2
3
【答案】考察学生从立体图形中提炼视图的能力.答案为图 3
3
+
切片与染色
预习
本讲内容
切片法解决立体图形体积 标数法解决立体图形表面积 立体图形的染色计数问题
前铺知识
长方体与正方体——五年级寒假第 1 讲(第 10 级上) 立体图形和空间想象——五年级春季第 12 讲(第 10 级下)
后续知识
圆柱与圆锥——六年级秋季第 2 讲(第 11 级下) 旋转与轨迹——六年级秋季第 6 讲(第 11 级下)
⑶一个 4 5 6 的长方体，将其表面涂成红色，并切成 120 个大小相同的小正方体，如图所示，那么其中一 面、两面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?
⑷一个 a b c 的长方体，将其表面涂成红色，并切成 abc 个大小相同的小正方体，这些小正方体中，最多有 几个面涂红色，最少有几个面涂红色? 【分析】⑴五面：2 块；四面：4 块．
【分析】由顶到底的切片如下图：
故体积为 8 2 8 18 立方厘米；正视图、俯视图、侧视图的标数如下：
121 2
121
22 1 22 22 1
121 11 121
总和分别为 10、14、10，故表面积为 (10 14 10) 2 68 平方厘米.
2. 下图中的立体图形是由一些棱长为 1 的小立方体粘合而成的；开口部分都是贯穿整个立体图形的；请求 出它的体积.