椭圆双曲线抛物线的概念和性质

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圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

2022年高考复习椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质

抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x
轴,则△FAB的周长的取值范围为
圆
锥
曲
线
的
几
何
性
质
(8,12);
抛物线的准线l：直线x=-2, 焦点F(2,0),
由抛物线定义可得|AF|=xA+2,
圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,
所以△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,
2
);有相同离心率的椭圆方程为
=1(k>-b
+
2
2
a k b k
y 2 x2
x2 y2
+ 2 =λ1(λ1>0,焦点在 x 轴上)或 2 + 2 =λ2(λ2>0,
2
b
a
a
b
焦点在 y 轴上).
核心考点
(5)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,
常用
结论
其方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率 e= 2 ,
2022
高考复习
椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质
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核心考点
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆: |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线: ||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线: |MF|=d(d为M点到准线的距离且定点M在准线外).

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

2. 标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，$a$ 是椭圆的长半轴，$b$ 是短半轴。

3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 $2a$。

- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。

- 椭圆的面积 $A = \pi a b$。

4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 $P$ 与两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 构成的三角形中，$PF_1 + PF_2 = 2a$。

5. 椭圆的离心率 $e$：$e = \frac{c}{a}$其中，$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ 是焦点到中心的距离。

二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

2. 标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 为右开口双曲线；$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ 为上开口双曲线。

3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 $2a$。

- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。

- 双曲线的面积无限大。

4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 $P$ 与两个焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 构成的三角形中，$PF_1 - PF_2 = 2a$。

5. 双曲线的离心率 $e$：$e = \frac{c}{a}$其中，$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是焦点到中心的距离，且 $e > 1$。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。

1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。

2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。

3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。

二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。

三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。

2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。

3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。

四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。

2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。

3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。

五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨迹叫做椭圆。

符号语言：()12222MF MF a a c +=>将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是椭圆②.当122a F F =时，点的轨迹是线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹不存在标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ,短半轴长=ba b c 、、关系 222a b c =+离心率)10(<<=e ace通径22b a焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠与椭圆12222=+by a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()222221x y k b a k b k +=>-++二、双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于的点的轨迹叫做双曲线。

符号语言：()12-222MF MF a a c =<将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是双曲线②.当122a F F =时，点的轨迹是两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹不存在标准方程22221x y a b -= (0,0)a b >> 22221y x a b -= (0,0)a b >> 图形性质焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221=c F F 221=范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标)0,(a ± ),0(a ±，实轴、虚轴实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=ba b c 、、关系 222c a b =+离心率(e 1)ce a=>渐近线方程 b y x a =±a y x b=±通径22b a焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2210mx ny mn -=>与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线系方程可设为：()2222221x yb k a a k b k -=-<<-+ y oabxxy o ab xy a o与双曲线22221x y ab-=共渐近线的双曲线系方程可设为：()22220x y a bλλ-=≠三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

高中圆锥曲线二级结论

高中圆锥曲线二级结论圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，通常包括椭圆、双曲线、抛物线三种类型。

它们的定义和性质可以通过其标准方程和一些几何证明来描述。

在高中数学中，学生需要掌握圆锥曲线的基本知识和二级结论，以便在解题过程中应用。

一、椭圆1. 椭圆的定义：设点 F1(x1, y1) 和 F2(x2, y2)（F1F2 < 2a）是平面上的两个固定点，以它们为焦点、以 2a 为长轴的所有点 P(x, y) 的集合称为椭圆。

2. 椭圆的标准方程：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$其中，中心为 (x0, y0)，长轴长为 2a，短轴长为 2b，离心率为$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$。

（1）两个焦点到任意点 P 的距离之和等于长轴长：F1P + F2P = 2a。

二、抛物线设点 F(x1, y1) 是平面上一定点，点 L 是直线 y = -d （d > 0）上的一点，对于平面上任意一点 P(x, y)，使得点 P 到 F 的距离等于点 P 到 L 的距离，那么这个点 P 所在的集合称为抛物线。

$y^2=2px$其中，抛物线的焦点为 F(p, 0)，直线 y = -p 是抛物线的准线。

3. 抛物线的性质：（1）抛物线的轴是准线 y = -p，对称轴是 x 轴。

（2）抛物线的离心率为1。

（3）直线 y = mx + n 与抛物线相交于两点 A 和 B，那么点 A 和 B 与抛物线的两个交点和点 M（直线和 x 轴的交点）共线，即 MA + MB = 2PM。

三、双曲线（1）双曲线的两个极点分别为焦点 F1 和 F2。

（2）对于任意一点 P，它到两个焦点的距离之差等于双曲线的距离，即 PF1 - PF2 = 2a cosh(d / a)，其中 cosh 表示双曲余弦函数。

（3）双曲线的两条渐近线分别为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点

椭圆
标准
方程
（焦点在轴）
（焦点在轴）
定义
第一定义：平面内与两个定点，的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线与直线的位置关系：
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（为参数）
（为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆（为参数）上一点到直线的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆与直线的位置关系：
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线和双曲线的位置
双曲线与直线的位置关系：
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线

椭圆方程,双曲线方程,抛物线方程联立

椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。

通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。

本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。

一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。

二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。

双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。

通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。

三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。

抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。

抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。

四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。

以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。

这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。

结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。

椭圆,双曲线,抛物线性质

1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a[1]2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）4、离心率：e=c/a 或e=√1-b^2/a^25、离心率范围 0<e<16、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆7.焦点(当中心为原点时)（-c，0），（c，0）或(0,c),(0,-c)切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P 的两侧，则∠APF1=∠BPF2。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

方程标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。

a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。

即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。

椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1。

椭圆,双曲线,抛物线性质

椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==-离心率22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径0,0()M x y左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab HM 22=（焦点）弦长公式1,12,2(),()A x y B x y ，2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=【说明】：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，21,F F 的位置(焦点跟着分母大的走)，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c2(即a,b,c 为直角三角形的三边，a 为斜边)1.方程C By Ax =+22表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

椭圆双曲线与抛物线

椭圆双曲线与抛物线椭圆双曲线和抛物线是数学中常见的曲线形状，它们在几何、物理和工程学中有广泛的应用。

本文将分别介绍椭圆双曲线和抛物线的定义、特点以及一些实际应用。

一、椭圆双曲线椭圆双曲线是平面上一类特殊的闭合曲线，它由两个焦点和一个恒定的距离和焦点间的任意点的距离之和构成。

椭圆双曲线可以分为椭圆和双曲线两种情况。

1. 椭圆椭圆是一种有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之和等于一个常量。

椭圆具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之和等于一个常量。

- 椭圆具有对称性，焦点为对称中心。

- 椭圆的离心率小于1，离心率为0时为一个圆。

椭圆在几何学和天体力学中有广泛的应用。

例如，行星绕太阳的轨道就呈现出椭圆形状，地球绕太阳的轨道也是一个椭圆。

2. 双曲线双曲线也是一类有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之差等于一个常量。

双曲线具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之差等于一个常量。

- 双曲线具有对称性，焦点为对称中心。

- 双曲线的离心率大于1。

双曲线在物理学、电磁学和天体力学中有广泛的应用。

例如，光线在折射过程中呈现双曲线的形状，行星绕太阳的超级高速轨道也是一个双曲线。

二、抛物线抛物线是一种特殊的曲线形状，它由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）上的所有点到焦点和准线的距离相等而构成。

抛物线具有以下特点：- 所有点到焦点和准线的距离相等。

- 抛物线具有对称性，焦点和准线在曲线上的对称点对称。

- 抛物线在平面上无限延伸。

抛物线在物理学、工程学和天文学中有广泛的应用。

例如，摩天大楼的外形常常设计成抛物线形状，抛物面反射器在卫星通讯中也起到重要作用。

总结：椭圆双曲线和抛物线都是重要的数学曲线，在几何、物理和工程学中有广泛的应用。

椭圆双曲线包括椭圆和双曲线两种形态，而抛物线则是一种特殊的曲线形状。

它们的定义、特点和应用在不同领域中都有一定差异，但都有着重要的实际意义。

椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质

考点26 椭圆、双曲线与抛物线的方程及几何性质1．基础知识1．椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆；②若a c =，则集合P 为线段；③若a c <，则集合P 为空集． 2．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离． 3．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)4．重要结论椭圆：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）1、24ABF C a ∆=；2、椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(F c 3、焦点12PF F ∆中，12F PF θ∠=，（1）1222sin tan 21cos PF F S b bθθθ∆==+；（2）12max ()PF F S bc ∆=；（3）当点P 位于短轴顶点处时，4、焦点弦中， (1) 通径最短，22b AB a=；（2）2112aAF BF b +=． 5、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ,(00x 2OM AB a 6、（1）与椭圆22221x y a b +=（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：22221x y a k b k+=++；（2）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）1、等轴双曲线（1）22a b =；（2）渐近线为 y x =±；（3）离心率e =2、双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-；当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--． 3、焦点到渐近线的距离为b ．4、焦点12PF F ∆中，12F PF θ∠=，12221cos cot2sin PF F S b b θθθ∆+==；5、AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b K K a ⋅=，即0202y a x b K AB=． 6、（1）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）．（2）与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b=（2k a <且2k b ≠-）．抛物线22(0)y p x p =>,11(,)A x y ,22(,)B x y1、212y y p =-，2124p x x =；2、焦半径公式：12pAF x =+；3、焦点弦长公式：（1）121222p pAB x x x x p =+++=++（2）min 2AB p =（即焦点弦中，通径最短）．（3）AF BF p +=；（4）以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；【考点分类】考点一椭圆的标准方程及其几何性质例1．【2015浙江文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．例2．【2015江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，右焦点F 到左准线2:a l x c=-的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和A B 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．【方法总结】1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆2222=1x y a b+，有－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．3．求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a 、b 的关系：22222222e =1-c a b b ba a a a-==⇔= 巩固练习1．【2015广东文8】已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率= ．3．三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．．．．．．已知点A 是椭圆的一个短轴端点，如果以A ．为直．．角顶点．．．的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是（）（A ）（B ）（C ）（D ）4．【2015天津文19】已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,（I ）求直线BF 的斜率;（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ,||=||PM MQ l ．（i ）求l 的值；（ii ）若||sin PM BQP Ð,求椭圆的方程．5．【2015四川文20】如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD⋅＝－1．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点二双曲线的标准方程及其几何性质例3．【2015湖北文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【方法总结】1．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)；(2)与双曲线2222=1x y a b -有共同渐近线的双曲线方程可设为2222=x y a bλλ-≠（0）．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．2．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时若焦点不确定时，m ＝b a (m >0)或m ＝ba，故离心率有两种可能．巩固练习1．【2015天津文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 2．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A ．2 B ．3 C ．23 D ．26 3．已知直线x=2与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于E 1、E 2两点，记2211,e OE e OE ==，任取双曲线C 上的点P ，若),(21R b a be ae OP ∈+=，则（）A ．1022<+<b aB ．21022<+<b a C ．122≥+b a D ．2122≥+b a 4．【2015山东文15】过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为．5．【2015江苏12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为．考点三抛物线的标准方程及其几何性质例4．【2015新课标1文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12例5．【2015福建文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【方法总结】1．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用．注意定义在解题中的应用．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．巩固练习1．已知F 是抛物线2yx =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点．若线段AB 的中点到y 轴的距离为54，则||||AF BF += （） A ．2 B ．52C ．3D ．4 2．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆面积最小值是（） A ．2 B ．8 C ．8D 3．抛物线22y px =（0>p ）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为（）A B ．1 C D ．2 4．已知点A(3,4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M 点坐标是( )A ．(0,0)B ．)C ．(2,4)D ．(3，－)5．已知圆P ：x 2+y 2=4y 及抛物线S ：x 2=8y ，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A ，B ，C ，D ，如果线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的斜率为( ) A ．22±B ．22 C ．2± D ．2 6．【2015新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由．。

椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质

椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质椭圆、抛物线、双曲线是高中数学中常见的三种二次曲线，它们的定义和性质对于我们理解数学和应用数学起着非常重要的作用。

本文将详细介绍这三种曲线的定义以及它们的一些重要性质。

一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，半径为c，满足 $a^2=b^2+c^2$。

椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个参数，$0<e<1$，当离心率为0时，椭圆就退化成为一个圆。

椭圆具有如下性质：1.椭圆的中心在两个焦点的中垂线上；2.椭圆的两个焦点到圆心连线的夹角等于圆心到椭圆上任意一点P的切线与椭圆长轴之间的夹角；3.椭圆的周长和面积分别为 $C=4aE(e)$，$S=\pi a b$；其中$E(e)$为第二类完全椭圆积分。

二、抛物线的定义及性质抛物线是平面上到一个定点F到直线l距离等于点P到定点F 距离的所有点P的轨迹，这个定点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。

抛物线具有如下性质：1.抛物线的焦点到抛物线顶点的距离等于抛物线定点F到准线距离的一半，称为抛物线的焦距；2.抛物线的汇聚点为无穷远处；3.对于平面上任意的一点P，直线FP与准线l的夹角等于点P 到抛物线顶点的切线与抛物线轴线的夹角相等。

三、双曲线的定义及性质双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a为双曲线的距离。

双曲线具有如下性质：1.双曲线的两个分支之间存在一对渐近线，渐近线与双曲线的距离趋近于无穷；2.双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}>1$；3.双曲线没有汇聚点，但是有两个分支的顶点。

总之，椭圆、抛物线、双曲线是研究二次曲线非常重要的三种类型，它们都具有自己独特的定义及性质。

理解这些性质不仅有助于我们提高抽象思维和数学运用能力，还有助于我们在物理、工程、计算机等领域的具体应用中理解和解决实际问题。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，那么动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①假设常数2a 等于2c ，那么动点轨迹是线段12F F 。

②假设常数2a 小于2c ，那么动点轨迹不存在。

椭圆双曲线抛物线知识点

椭圆双曲线抛物线知识点椭圆、双曲线和抛物线是常见的曲线形状，它们在数学和物理中有广泛的应用。

本文将介绍椭圆、双曲线和抛物线的基本定义、性质、方程和常见应用。

一、椭圆（ellipse）椭圆是一个平面上的闭合曲线，该曲线的各点到两个定点（称为焦点）的距离之和是一个常数。

椭圆有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为椭圆的中心。

椭圆的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为椭圆的半长轴，短轴的一半称为椭圆的半短轴。

椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别是椭圆半长轴和半短轴的长度。

椭圆的性质：1.椭圆是轴对称的，关于x轴和y轴都有对称性。

2.椭圆的离心率0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。

3.椭圆的周长可以用椭圆的长轴和半短轴的长度计算。

椭圆的应用：1.椭圆的几何性质使它在图形设计和艺术中有广泛的应用。

2.椭圆的光学性质使它在透镜和镜面的设计中有应用。

3.椭圆在天体力学中用来描述行星的轨道。

4.椭圆在密码学中用来生成加密算法的公钥和私钥。

二、双曲线（hyperbola）双曲线是一个平面上的开放曲线，该曲线的各点到两个焦点的距离之差是一个常数。

双曲线有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为双曲线的中心。

双曲线的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为双曲线的半长轴，短轴的一半称为双曲线的半短轴。

双曲线的数学表达式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别是双曲线半长轴和半短轴的长度。

双曲线的性质：1.双曲线有两条渐进线，它们与双曲线的轴相切。

2.双曲线是非对称的，关于x轴和y轴没有对称性。

3.双曲线的离心率e>1，离心率越大，双曲线越扁。

4.双曲线的焦点和顶点与轴的关系可以用双曲线的方程来确定。

双曲线的应用：1.在物理学中，双曲线用来描述光学中的反射和折射现象。

2.在工程学中，双曲线用于设计天线的形状，以提高信号接收和发送的效果。

3.在经济学中，双曲线用来描述供求曲线和价格变动趋势。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结教学提纲

双曲线知识点一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

专题12椭圆双曲线抛物线方程及其几何性质

专题12椭圆双曲线抛物线方程及其几何性质椭圆、双曲线和抛物线是二次曲线的三种基本类型，它们在几何学和数学分析中都具有重要的地位。

在本文中，我们将介绍它们的方程及其几何性质。

一、椭圆椭圆是平面上与两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个点被称为焦点，直线F1F2的中点O称为中心，a称为半长轴的长度。

椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为中心坐标，a和b分别为半长轴和半短轴的长度。

椭圆的基本性质如下：1.椭圆的焦点到中心的距离为c，有c²=a²-b²。

2.椭圆的离心率定义为e=c/a，且0<e<13.椭圆的轴是与坐标轴平行的直线，其中长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

4.椭圆的焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于常数2a。

5.椭圆的顶点为(h±a,k)和(h,k±b)，其中(h,k)为中心坐标。

二、双曲线双曲线是平面上与两个给定点F1和F2到点的距离之差的绝对值等于常数2a的点的集合。

这两个点被称为焦点，直线F1F2的中点O称为中心，a称为半长轴的长度。

双曲线的标准方程为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为中心坐标，a和b分别为半长轴和半短轴的长度。

双曲线的基本性质如下：1.双曲线的焦点到中心的距离为c，有c²=a²+b²。

2.双曲线的离心率定义为e=c/a，且e>13.双曲线的轴是与坐标轴平行的直线，其中长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

4.双曲线的顶点为(h±a,k)和(h,k±b)，其中(h,k)为中心坐标。

三、抛物线抛物线是平面上到一个给定点（焦点）F的距离等于到一条给定直线（准线）的距离的点的集合。

准线与抛物线的公共点被称为顶点，焦点与准线的垂线称为轴，焦点到抛物线顶点的距离称为焦距，焦点到轴的距离称为准距。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。

（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。

4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。

（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。

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