椭圆双曲线抛物线专题训练

椭圆、双曲线、抛物线

专题训练

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)

1．(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )

A.1

2

B ．1

C ．2

D ．4

2．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2

＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线

段AF 交C 于点B .若FA ＝3FB ，则|AF |＝ ( )

A. 2 B ．2 C.3 D ．3

3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝

3

2

|MN |，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12

4．过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠

F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )

A.

22 B.3

3

C.12

D.13

5．双曲线x 24－y 2

5＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若线段PF 1的

中点在y 轴上，那么点P 到双曲线左准线的距离是( )

A.133

B.53

C.154

D.94

6．(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (7

2

，4)，则|PA |＋d 的最小值是( )

A.7

2

B ．4 C.9

2

D ．5

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)

7．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±1

3

x 的双曲线的方程为________．

8．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1·x 2＝－2，则抛物线C 的方程为________．

9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 三、解答题(本大题共3个小题，共46分)

10．(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1

2，

且椭圆经过点N (2，－3)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程．

11．(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

3，过右

焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

22

. (1)求a ，b 的值；

(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．

12．(本小题满分16分)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2

a 2－

y 2

b 2

＝1(a ＞0，b ＞0)交于A 、B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b

a x 对称的直线l 2与x 轴平行．

(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．

1．(精选考题·合肥模拟)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )

A.3或

6

2

B ．2或 3 C.233或2 D.233或62

2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 为抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，则在抛物线C 上且满足△OFP 为等腰直角三角形的点P 的个数为( )

A ．2

B ．4

C ．2或4

D ．P 点不存在

3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )

A ．y 2＝12x

B ．y 2＝8x

C ．y 2＝6x

D ．y 2＝4x

4．已知抛物线y 2

＝4x 的准线与双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a ＞0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦

点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )

A. 3

B. 6 C ．2 D ．

5．(精选考题·温州十校模拟)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为F (－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是(1，12

)．

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)过坐标原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，求△ABC 的面积的最大值．

6．(精选考题·茂名模拟)已知圆Q 过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心Q 在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆Q 在x 轴上所截得的弦．

(1)当Q 点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；

(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆Q 的位置关系，并说明理由．

参考答案:

1. 解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p

2

与圆(x －3)2＋y 2＝16相切．圆心为(3,0)，

半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p

2

＝4，解得p ＝2.

答案：C

2. 解析：BM 垂直于右准线于M ，右准线与x 轴交于N ，

易求得椭圆的离心率为e ＝

2

2

，由椭圆的第二定义得BM ＝BF e ，在Rt △AMB 中，BM AB ＝BF e ·AB ＝12e ＝2

2

，它为等腰直角三角形，则