[初二数学]第十九章四边形

第十九章四边形

19.1平行四边形

第一课时

一、教学目标

知识与技能

理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．过程与方法

会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．

情感、态度与价值观

培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．

二、重点难点

重点: 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

难点: 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

三、教学过程

(一)复习导入

1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

你能总结出平行四边形的定义吗？

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四

边形．

(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那

么四边形

ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；

②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时结合图形，让学生认识清楚）2．探究：平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．

让学生根据平行四边形的定义画一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）

（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．

下面证明这个结论的正确性．

已知：如图ABCD，

求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）

证明：连接AC，

∵ AB∥CD，AD∥BC，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

又 AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA （ASA）．

∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．

又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴∠BAD＝∠BCD．

由此得到：

平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．

(二)新课教授

例1．（教材P84例1）

例2．（补充）如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，

求证：AF=CE ．

分析：要证AF=CE ，需证△ADF ≌△CBE ，由于四边形ABCD 是平行四边形，

因此有∠D=∠B ，AD=BC ，AB=CD ，又AE=CF ，根据等式性质，可得BE=DF ．由“边角边”可得出所需要的结论．

证明略．

例3．如图所示，小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形场地，

其中一条边AB 长为8米，其他三边各长多少？

师生共析：利用“平行四边形对

边相等”。

解：∵四边形ABCD 是平行四边

形，

∴AB=CD ，AD=BC ．

∵AB=8， ∴CD=8．

又AB+BC+CD+DA=36．

∴AD=BC=10（米）．

例4．已知ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足为E 、F ，求证：EB=DF ．

分析：要证明EB=DF ，从图形中可以看出，只要证明△ABE ≌△CDF 即可．条

件应该从平行四边形本身具备的性质入手，然后能达到目标．

证明：

9090AE BD E AEB CD BD F CFD AEB CFD ABCD AB CD ABE CDF ⊥⇒∠=︒⎫⎬⊥⇒∠=︒⎭

⎫⎪⇒∠=∠⎪⎪⇒

⎬⎪=⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩⎭

于于四边形是平行四边形 △ABE ≌△CDF ⇒BE=DF ．

例 5. ABCD 中，∠A=150°，AB=8cm ，BC=10cm ，求：四边形ABCD 的面积．

分析：要求四边形ABCD 的面积，需知道这个平行四边形的高，这时需

作辅助线．由于已知∠A=150°，所以可知∠B=30°，然后利用直角三角形的性质即可求出．

解：过点A 作AE ⊥BC 交BC 于E ．

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ．

∴∠BAD+∠B=180°．

∵∠BAD=150°，∴∠B=30°．

∴在Rt △ABE 中，∠B=30°．

∴AE=12AB=4

． ∴S □ABCD =4×10=40（cm ）．

(三) 巩固练习

1．ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C 的度数为（ ）

A ．60°

B ．80°

C ．100°

D ．120°

解析：四边形ABCD 是平行四边形，则∠A=∠B ，又知内角和为360°，

故∠A+∠B=180°，又∠A=∠B+20°，求出∠A=180°。答案C 。

2．ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 长为

（ ）

A ．5cm

B ．15cm

C ．6cm

D ．16cm

解析：ABCD 为平行四边形，可求出AB+BC=402

1⨯cm=20cm,又知ABC 周长为25cm,则易得AC=ABC 周长－（AB+BC ）=5cm.答案A 。

3．ABCD 中，∠A=43°，过点A 作BC 和CD 的垂线，那么这两条垂线

的夹角度数为 （ ）

A ．113°

B ．115°

C ．137°

D ．90°

解析：由于ABCD 为平行四边形，则∠C=∠A=43°，再根据四边形内角

和为360°可知，360°－∠C －2×90°=137°，即该夹角的度数。答案C 。

4．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是 （ ）．

（A ）对角相等 （B ）对角互补 （C ）邻角互补 （D ）内角和是︒360

5．在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）．

（A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个

6．如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE ．